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CÁLCULO TOMO I - HOLOS - ALTERAÇÃO (1)

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PG 169 - PAG 24 
				CAPÍTULO I
 			 LIMITES 
	
§1 Introdução
§2 Noções Precedentes
	1.1 Módulo 
	Definição: “Chama-se módulo de um número real, digamos , e indica-se | |, ao próprio número, se ele é positivo, e ao oposto do número, se ele é negativo.”
Simbolicamente, 
	
Nota. (i) Usaremos o termo positivo para 0. Usaremos o termo não negativo para .
(ii) Identicamente, usamos o termo negativo para . Não positivo para .
(iii) Colocaremos: = | |.
	1.2 Propriedades
 
 
 
Nota. (a) Propusemos apenas estas propriedades sobre MÓDULO, com . Se precisarmos de ma is alguma, deveremos apresentá-la.
(b) Todo número aqui tratado é real. Se necessitarmos de algum outro, devemos, obrigatoriamente, esclarecer.
	Exemplo 1. Conforme definição e propriedades, temos:
 
 
Exemplo 2. Represente geometricamente o conjunto de todos os números reais tais que 
Solução. Temos 
 
	O conjunto resposta é a parte hachurada (a parte marcada com os “pauzinhos”) acrescida das duas “bolinhas”. Neste caso, é o intervalo fechado real de extremos . Como se vê, é o intervalo fechado real de centro e raio . Assim, o conjunto resposta é .
Nota. Como todo intervalo tratado aqui é real, no lugar de intervalo fechado real diremos simplesmente intervalo fechado, entendendo se tratar de um intervalo fechado real. Como se vê, omitimos o termo real.
 Exemplo 3. Apresente geometricamente o conjunto de todos os tais que 
	Solução. Temos: 
 
	Como se vê, é o intervalo fechado real de centro e raio . Guarde isto! Assim, o conjunto resposta é . 
 
	Exemplo 4. Represente geometricamente o conjunto de todos os números reais tais que 2.
	Solução. Neste caso, 
 
	O conjunto resposta é a parte hachurada (a parte marcada com os “pauzinhos”) acrescida das duas bolinhas. Neste caso, é a reunião dos intervalos semi-fechados e . Como se vê, é o complemento do intervalo aberto de centro 0 e raio 2. Assim, o conjunto resposta é . 
Exemplo 5. Estabeleça, geometricamente, o conjunto de todos os números reais tais que 
Solução: Temos:
 
Nota. Olhando o resultado, vemos que se tratam de todos números reais fora do intervalo de centro raio, , contando-se os extremos. Ou seja, os extremos fazem parte do conjunto. Assim, o conjunto resposta é 
 Exemplo 6. Esboce o gráfico da função que segue.
 
 Solução. Fique atento às raízes nos módulos. Neste caso, são 1 e – 2. O estudo do sinal das expressões nos módulos é dado como segue.
 
 
 
Como se vê, temos três intervalos, onde conhecemos “os sinais” das expressões dentro dos módulos. Por isso, é que vamos dividir a nossa solução em três casos.
 Neste caso, os argumentos nos dois módulos são negativos. Logo, o módulo de cada um deles é igual ao oposto dele (note que, logo e que logo . Temos:
 
	Desta forma, para , observe que o gráfico da função é, exatamente, o da reta .
 Neste caso, um dos argumentos é negativo, logo o módulo dele é o oposto do mesmo (particularmente, , daí ). O outro argumento é positivo, logo o módulo dele é ele próprio (particularmente, logo . Temos:
 
	Assim, para , observe que o gráfico da função é, exatamente, o mesmo gráfico da reta .
	1
 Neste caso, os argumentos dos dois módulos são positivos. Logo, o módulo de cada um deles é igual a ele próprio (note que, logo e que logo . Temos:
 
	Neste caso, ou seja , observe que o gráfico da função é, exatamente, o da reta . 
		Por conseguinte, reunindo os três resultados em um só gráfico, obtemos:
 
 
 6
 
 4
 
 2 
 - 2 0 1 
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
 
 	1.Calcular os módulos seguintes.
	2. Desenhe o conjunto de todos os números reais tais que:
 ( 
	3. Exiba, geometricamente, o conjunto de todos os números reais tais que | | .
	4 Exiba, geometricamente, o conjunto de todos os números reais , em cada caso abaixo. Diga o que cada um representa.
(a) (b) (c) 15 (d) 1
(e) 1 
	5. Desenhe o conjunto de todos os pontos tais que . Diga o que ele representa.
	6. Desenhe o conjunto de todos os pontos em cada caso. Diga o que cada um representa. 
(a) (b) (c) 10
		7. Estabeleça, geometricamente, o conjunto de todos os pontos tais que . O que ele representa?
	8. Estabeleça, geometricamente, o conjunto de todos os pontos em cada caso abaixo. O que cada um representa?
(a) 	(b) 
(c) 10 	(d) 
	9. Esboce o gráfico de 
 
	1.3 Supremo
Definição. “Seja E um conjunto limitado superiormente (¹). Suponhamos que satisfaça às duas seguintes propriedades:
(i) é uma cota superior (¹) de E;
(ii) Se , então não é cota superior de E.
Nestas condições, chamamos de supremo do conjunto E.”
	Exemplo 7. Considere o conjunto . Neste caso, o número real 1 é uma cota superior de E (basta ver que . Assim, o conjunto E é limitado superiormente. E ainda, se , então não é cota superior de E (porquê?). Aqui, 1 é supremo de E.
Ínfimo
	Definição. “Seja E um conjunto limitado inferiormente (²) . Suponhamos que satisfaça às seguintes propriedades:
(i) é uma cota inferior (²) de E;
(ii) Se , então não é cota inferior de E.
Nestas condições, chamamos de ínfimo do conjunto E.”
	Exemplo 8. Considere o conjunto . Neste caso, o número real 0 é uma cota inferior de E (basta ver que . Assim, o conjunto E é limitado inferiormente. E ainda, se então não é cota inferior de E (porquê?). Aqui, 0 é ínfimo de E.
		 
Nota. Um conjunto limitado inferiormente e superiormente é chamado conjunto limitado.
_______________________________________________________________
(¹) Conjunto Limitado Superiormente. Seja E um subconjunto do conjunto dos números reais. Se existe um número real tal que , para todo x em E, dizemos que o conjunto E é limitado superiormente. Chamamos de cota superior de E (usa-se também o nome de majorante).
(²) Conjunto Limitado Inferiormente. Seja E um subconjunto do conjunto dos números reais. Se existe um número real tal que , para todo x em E, dizemos que o conjunto E é limitado inferiormente. Chamamos de cota inferior de E (usa-se também o nome de minorante).
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO 
		11. Seja . Apresente três cotas superiores e três cotas inferiores de E. 
	12. Qual o ínfimo de E no exercício 11? E o supremo?
		13. Consideremos os conjuntos de números reais abaixo. Apresente, para cada um deles, três cotas inferiores e três cotas superiores. Qual o ínfimo e o supremo de cada um?
(a) [0,1] (b) [0,1[	(c) {0,1}		(d) ]-1,1]
(e) [0,1[ ]1,2]
	 
	 	1.5 Teorema (Condição de Supremo) 
 	Enunciado. “Um número real é supremo de um conjunto de número reais E se, e só se,
Nota. De modo análogo, para ínfimo
	1.6 Teorema
 		Enunciado. “Seja E um conjunto não vazio limitado superiormente de números
reais. Então, existe o supremo de E.”
Nota. (i) O Teorema pode ser enunciado também para ínfimo: Se um E conjunto não vazio é limitado inferiormente, então ele possui ínfimo.
(ii) Caso exista supremo de um conjunto, ele é único. A partir disto, diremos “O SUPREMO DE UM CONJUNTO”. 
(iii) Caso exista ínfimo de um conjunto, ele é único. A partir disto, diremos “O ÍNFIMO DE UM CONJUNTO”.
	1.7 Conjunto dos Números Reais Ampliado
		Definição. “O conjunto dos números reais ampliado é o conjunto dos números reais acrescido dos dois símbolos e satisfazendo às seguintes propriedades:
 (i) Se é real, então
 
 
(ii) Se , então 
 
 
(iii) Se , então
 
Nota. No conjunto dos números reais ampliado todo subconjunto tem supremo e ínfimo. Esta é a principal razão de introduzirmos o conceito de reais ampliado, ou seja, introduzirmos os símbolos e 
 	Exemplo 9. Conforme definição 1.7, temos:
 
 
 
	Temos, também, 
	 
 
 
		Exemplo 10. Conforme definição 1.7, temos:
 
 
		Exemplo 11. Conforme definição 1.7, temos:
 
 
 
Nota. No conjunto dos números reais ampliado, quando se quer fazer a distinção entre números reais e os símbolos e , chamamos os números reais de finitos.
	1.8 Vizinhança
	Definição. “Considere um número real p. Uma vizinhança de p, no conjunto dos números reais, é todo intervalo aberto real que contenha p.”
		Exemplo 12. Uma vizinhança de 2, em  é (por exemplo) ]1,5[. Também, ]1,3[ é uma vizinhança de 2. Esta última é chamada vizinhança simétrica, com raio 1, de 2. Indicaremos:
	Vizinhança simétrica, com raio 1, de 2 = 
Nota. Uma vizinhança de 2, da qual 2 não faz parte, é chamada vizinhança deletada de 2. Neste caso, 
Vizinhança deletada de 2= V1(2) – {2} = ]1,2[ ]2,3[ 
 
		1.9 Ponto de Acumulação
		Definição. “Considere um subconjunto S de . Dizemos que um número real (pertencente ou não ao conjunto S) é um ponto de acumulação de S se, e só se, toda vizinhança, de raio , de possui ao menos um ponto de S.”
		Exemplo 13. Considere o conjunto 
	
		Afirmamos que 0 (zero) é um ponto de acumulação de S.
Nota. Apesar de acharmos que a verificação (prova) desta afirmação não faz parte deste compêndio, contudo vamos fazê-la. Devemos mostrar que, em qualquer vizinhança, de raio , de zero, há pelo menos um elemento de S. Para isto, basta considerar os dois seguintes casos:
 Neste caso, todo elemento de S está presente em . Lembre-se de que
Como os números de S são maiores do que 0 e menores ou iguais a 1, claramente, todos eles devem estar em . Atente-se para o fato de que os extremos de (que são e ) são menor que -1 e maior do que 1. Neste caso, toda vizinhança de zero sempre possui elementos de S, particularmente possui todos eles. Isto é a definição de ponto de acumulação. Ou seja, 0 é ponto de acumulação de S.
 Para todo nestas condições, as propriedades arquimedianas garantem que existe um inteiro positivo (fixo) tal que
Mas isto é equivalente afirmar que . Como e estes elementos, pela definição de S, são elementos de S e todos eles são menores ou iguais a , quer dizer, então que eles estão na vizinhança . Isto é, com exatidão, a definição de ponto de acumulação. Ou seja, 0 é ponto de acumulação de S.
		1.10 Teorema (Bolzano-Weierstrass (³))
		Enunciado.”Todo conjunto infinito limitado tem pelo menos um ponto de acumulação.”
		Exemplo 14. O conjunto é infinito limitado. Pelo teorema Bolzano-Weierstrass, deve possuir ao menos um ponto de acumulação. Com efeito, 0 é ponto de acumulação deste conjunto.
(³) Bolzano (Bernard), filósofo, lógico e matemático theco de origem italiana (Praga 1781 – idem 1848).
Weierstrass (Karl Theodor Wilheim), matemático alemão (Ostenfeld 1815 – Berlim 1897)
		1.11 Número Algébrico 
		Definição. “Um número que é solução da equação polinomial
onde (), , são inteiros e é um inteiro positivo fixo, é chamado número algébrico.”
	Exemplo 15. Os números e , que são raízes das equações polinomiais x² - 3 = 0 e 5x – 2 = 0, respectivamente, são números algébricos.
		1.12 Número Transcendente
	Definição. “Todo número que não pode ser expresso como raiz de uma equação polinomial 
onde (), , são inteiros e n é um inteiro positivo é denominado número transcendente.”
	Exemplo 12. Os números e são transcendentes. 
Nota. (a) Ainda não se sabe se os números e são algébricos ou não.
(b) Sobre , acreditamos que o leitor já o conhece e que ele é aproximadamente, 3,1425926... Enquanto que o número será apresentado posteriormente. Seu valor, aproximadamente, é 2,718...
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
	14. Fazer as contas que seguem (conforme definição 1.7).
 
	
		15. Dê um exemplo de vizinhança simétrica, com raio 2, de 5, em O número 5 faz parte dessa vizinhança? 
		16. Apresente, se existir, um ponto de acumulação de cada conjunto abaixo.
	17. Considere o conjunto S=. Dentre os pontos que seguem, dizer quais são pontos de acumulação e quais não são.
,1
	18. Considere o conjunto S=. Dentre os pontos que seguem, dizer quais são pontos de acumulação e quais não são.
,1
		19. Os números e , que são raízes das equações polinomiais x² - 5 = 0 e 7x – 5 = 0, respectivamente, são chamados de ...
		20. Que nome se dá a todo número que não pode ser expresso como raiz de uma equação polinomial com coeficientes inteiros?
		21. Você seria capaz de dar dois exemplos de números transcendentes?
 	RESUMO
Módulo “Chama-se módulo de um número real, digamos , e indica-se | |, ao próprio número, se ele é positivo; ao oposto do número, se ele é negativo.”
Usaremos o termo positivo para 0. Usaremos o termo não-negativo para ≥ 0.
Colocaremos: .
Propriedades, , , 	
Supremo “Seja E um conjunto limitado superiormente (¹). Suponhamos que satisfaça às duas seguintes propriedades:
(i) é uma cota superior (¹) de E;
(ii) Se , então não é cota superior de E.
Nestas condições, chamamos de supremo do conjunto E.”
 Um conjunto limitado inferiormente e superiormente é chamado conjunto limitado.
Condição de Supremo (Teorema): “Um número real é supremo de um conjunto de número reais E se, e só se,
De modo análogo, para ínfimo
Condição de Existência (Teorema): “Seja E um conjunto números reais, não vazio e limitado superiormente. Então, existe o supremo de E.”
Para ínfimo: Todo conjunto números reais, não vazio limitado inferiormente, possui ínfimo.
Caso exista supremo de um conjunto, ele é único. A partir disto, diremos “O SUPREMO DE UM CONJUNTO”. Idem para ínfimo.
(¹) Conjunto Limitado Superiormente. Seja E um subconjunto do conjunto dos números reais. Se existe um número real tal que , para todo x em E, dizemos que o conjunto E é limitado superiormente. Chamamos de cota superior de E (às vezes, usa-se também o nome de majorante).
Ínfimo “Seja E um conjunto limitado inferiormente (²) . Suponhamos que tenha as seguintes propriedades:
(i) é uma cota inferior (²) de E;
(ii) Se , então não é cota inferior de E.
Nestas condições, chamamos de ínfimo do conjunto E.”
(²) Conjunto Limitado Inferiormente. Seja E um subconjunto do conjunto dos números reais. Se existe um número real tal que , para todo x em E, dizemos que o conjunto E é limitado inferiormente. Chamamos de cota inferior de E (às vezes, usa-se também o nome de minorante).
(ii) Se 
, então
 
(i) Se x é real, então
 Conjunto dos Números Reais Ampliado: “O conjunto dos números reais ampliado é o conjunto dos números reais acrescido dos dois símbolos e satisfazendo às seguintes propriedades:
No conjunto dos números reais ampliado todo subconjunto tem supremo e ínfimo. Esta é a principal razão de introduzirmos o conceito de reais ampliado, ou seja,
introduzirmos os símbolos e .
Vizinhança: “Considere um número real p. Uma vizinhança de p em é todo intervalo aberto real que contenha p.”		
Uma vizinhança de p, da qual p não faz parte, é chamada vizinhança deletada de p. Neste caso, vizinhança deletada de p= V1(p) – {p} . 
Ponto de Acumulação: “Considere um subconjunto S de . Diremos que um número real (pertencente ou não ao conjunto S) é um ponto de acumulação de S se, e só se, toda vizinhança, de raio , de possui ao menos um ponto de S.”
Teorema de Bolzano-Weierstrass:Todo conjunto infinito limitado tem pelo menos um ponto de acumulação.”
Número Algébrico: “Um número que é solução da equação polinomial
onde () e , são inteiros e n é um inteiro positivo, é chamado número algébrico.”
Número Transcendente: “Todo número que não pode ser expresso como raiz de uma equação polinomial 
onde (), , são inteiros e n é um inteiro positivo é denominado número transcendente.”
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
 	1. Calcular os módulos que seguem..
| | =
| | = = 8
2. Desenhe o conjunto de todos os tais que 
Solução. Temos 
 
 
O conjunto resposta é a parte marcada mais forte (destacada em vermelho) acrescida das duas “bolinhas”. Neste caso, é o intervalo fechado real de extremos . Como se vê, é o intervalo real fechado de centro 0 e raio 5. Assim, o conjunto resposta é .
 3. Apresente geometricamente o conjunto de todos os x tais que 
	Solução. Temos: 
 
 
	Como se vê, é o intervalo fechado real de centro 2 e raio 7. Guarde isto! Assim, o conjunto resposta é . 
 
	4. Desenhe o conjunto de todos os números reais tais que | | 4. Neste caso, | | 
1
2
O conjunto resposta é a parte marcada mais forte (destacada em vermelho) acrescida das duas “bolinhas” (extremidades do intervalo). Neste caso, é a reunião dos intervalos semi-fechados e . Como se vê, é o complemento do intervalo a de aberto de centro 0 e raio 4. Assim, o conjunto resposta é . . 
5. Estabeleça, geometricamente, o conjunto de todos os números reais tais que 
Solução: Temos:
 
Nota. Olhando o resultado, vemos que se tratam de todos números reais fora do intervalo de centro 6 raio, 4, contando-se os extremos. Ou seja, os extremos fazem parte do conjunto.
6. Esboce o gráfico de
 
 Solução. Fique atento às raízes das expressões nos módulos. Neste caso, são e , respectivamente. Temos:
 
 
 
Como se vê, temos três intervalos, onde conhecemos “os sinais” das expressões nos módulos em cada um deles. Por isso, é que vamos dividir a nossa solução em três casos.
 Neste caso, o primeiro argumento é negativo (daí, , enquanto que o segundo é positivo.(daí, . Temos:
 
	Neste caso, ou seja , observe que o gráfico da função é, exatamente, o da reta . 
 Neste caso, o primeiro argumento é positivo (daí, , como também o segundo é positivo (daí, . Temos:
 
 Neste caso, o primeiro argumento é positivo (daí, , enquanto que o segundo é negativo.(daí, . Temos:
 
Por conseguinte, reunindo os três resultados em um só gráfico, obtemos:
 
 
 
 
 
 
 
 - 4 1/2
	7. Considere o conjunto . Neste caso, o número real 1 é uma cota superior de E (basta ver que . Assim, o conjunto E é limitado superiormente. E ainda, se , então não é cota superior de E (porquê?). Aqui, 1 é supremo de E.
	8. Considere o conjunto . Neste caso, o número real 0 é uma cota inferior de E (basta ver que . Assim, o conjunto E é limitado inferiormente. E ainda, se então não é cota inferior de E (porquê?). Aqui, 0 é ínfimo de E.
	9. Conforme definição 1.7, temos:
 
 
 
	Temos, também, 
	 
 
 
		10. Conforme definição 1.7, temos:
 
 
		11. Conforme definição 1.7, temos:
 
 
	12. Apresente três vizinhanças do número -2.
	Solução. Temos:
	V(-2)=]-5,53[é uma vizinhança de -2
	 é uma vizinhança simétrica, com raio 5, de -2.
	 é uma vizinhança simétrica, com raio 1, de -2.
	
	13. Apresente três vizinhanças deletadas de -2.
	Solução. Temos:
	V*(-2)=]-5,-2[53[ é uma vizinhança deletada de -2
	 é uma vizinhança simétrica deletada, com raio 5, de -2.
	 é uma vizinhança simétrica deletada, com raio 1, de -2.
	14. Dê três exemplos números algébricos.
	Solução. Afirmamos que os números são algébricos. Basta ver que cada um deles é solução da equação algébrica com coeficientes inteiros que segue.
	 
	15. Você seria capaz de citar dois números transcendentes?
	Solução. Afirmamos que e são números transcendentes. 
EXERCÍCIOS 
PROPOST
OS
Calcular os módulos que seguem.
2. Desenhe o conjunto de todos os pontos tais que 
 3. Apresente geometricamente o conjunto de todos os tais que O que representa esta desigualdade?
	4. Diga o que representa cada uma das seguintes desigualdades. 
	. Diga o que representa cada uma das seguintes desigualdades. 
 
	6. Desenhe o conjunto de todos os números reais tais que | | 21. O que representa esta desigualdade?
	. Diga o que representa cada uma das seguintes desigualdades. 
	. Diga o que representa cada uma das seguintes desigualdades. 
9. Esboce o gráfico de cada uma das funções que seguem.
SUGESTÃO (e): Temos:
 
 
 * raízes: 
 
 eixo: | |
** Vide *
	Nota que
 	
e que:
	10. Considere o conjunto . Dê três cotas superiores deste conjunto.
	11. Dê três cotas superiores de cada um dos conjuntos que seguem.
 
 
 
	12. Encontre o supremo de cada um dos conjuntos que seguem.
 
 
 
	13. Considere o conjunto . Dê três cotas inferiores deste conjunto.
	14. Dê três cotas inferiores de cada um dos conjuntos que seguem.
 
 
	15. Encontre o ínfimo de cada um dos conjuntos que seguem.
 
 
 
	16. Complete os espaços em branco para que se tenha uma sentença verdadeira.
 
 
 
	Temos, também, 
	 
 
 
		17. Complete os espaços em branco para que se tenha uma sentença verdadeira.
 
 
		18. Complete os espaços em branco para que se tenha uma sentença verdadeira.
 
 
	19. Apresente três vizinhanças do número -2.
	20. Apresente três vizinhanças de cada um dos números que seguem.
	21. Apresente três vizinhanças simétricas de cada um dos números que seguem.
	22. Apresente três vizinhanças deletadas de cada um dos números que seguem.
	23. Apresente três vizinhanças deletadas simétricas de cada um dos números que seguem.
	24. O que um número deve satisfazer para que ele seja algébrico?
	25. Dê cinco exemplos de números algébricos.
	26. O que um número deve satisfazer para que ele seja transcendente?
	27. Dê dois exemplos de números transcendentes.
	28. Dê um exemplo de ponto de acumulação. 
	29. Dentre os conjuntos abaixo, aponte aqueles que apresentam ponto de acumulação. Quais os
pontos de acumulação?
Encontre o ínfimo de cada um dos conjuntos que seguem.
 
 
 
	
	PROBLEMAS DE APLICAÇÕES PRÁTICAS 
	30. O gráfico abaixo mostra a taxa de crescimento de uma colônia de bactérias. (a) Estime um intervalo dentro do qual a taxa dobra. (b) O que você diz a respeito da taxa de crescimento para ? (c) Calcule o 
Resposta: 
	31. Um estacionamento cobra 10 reais na primeira hora, 5 reais em cada hora adicional. Faça um gráfico correspondente. A função é contínua?
	
 	32. Esboce o gráfico do estoque de arroz de um supermercado durante um trimestre. A função é contínua?
	33. Um
AQUI
	§2 Limites pela Definição
Limite pela Definição
			Definição. “Considere uma função real f de variável real . Dizemos que f tem limite q, quando tende para p, este um ponto de acumulação de D(f), se, e só se, dada uma vizinhança arbitrária de q, digamos (q), seja possível encontrar, em correspondência, uma vizinhança de p, digamos (p), tal que (q), se (p).”
		Simbolicamente, a definição acima pode ser escrita como segue:
Ou ainda, em termos de e , podemos escrever:
Nota. (i) Usou-se para indicar vizinhança deletada de p, de raio .
(ii) No lugar de 
, se é válido escrever
 	
 (iii) Alertamos ao leitor da dificuldade inerente deste tópico. Limite pela Definição é DIFÍCIL por si só.
		Exemplo 1. Calcular, pela definição, o 
	Solução. Quando tende para 2 (numa linguagem comum, você diria se aproxima de 2), o leitor pode perceber que 3 – 1 tende para 5 (se aproxima de 5). Vamos ilustrar isso por meio da tabela que segue.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
 
	Atente-se para o fato de que esta tabela não é o cálculo que se quer,ou seja o cálculo pela definição. Ela, na verdade, dá uma “pista” do limite. Para mostrar que ele é, realmente, o limite procurado, o mesmo deve satisfazer a definição. Vamos, então à prova. Devemos mostrar que
	Como se vê, precisamos descobrir uma relação entre e . Para isto, orientamos ao prezado leitor trabalhar com a expressão:
Então, 
 = , pois | 
Daí, basta definir 
Como se vê, encontramos uma relação entre e . Particularmente, . Conseqüentemente, 
Esta sentença é a definição de limite. Uma vez satisfeita a definição, vale o limite, ou seja, 
	Interpretação Geométrica
	Seja   . Para ilustrar vamos tomar tendendo a .
 
Na verdade, vamos tomar . Daí obtemos (5) = ]3,5 ; 6,5[ . Verifique, no desenho, que, através de , os correspondentes dos extremos e são, respectivamente, 1,5 e 2,5. Basta ver, conforme dedução do exercício acima, que . Daí, dado = 1,5, obtemos = 0,5
Veja no desenho que, quando é dada a vizinhança = , existe em correspondência, a vizinhança = tal que qualquer dentro de (ou seja implica em que esteja dentro de 
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
	1. Calcule, pela definição, os limites abaixo, dando a interpretação geométrica de cada um deles.
2.2 Limite Lateral à Esquerda
	Definição. “
	Exemplo 2. Considere a função, definida para todo diferente de zero. Afirmamos que 
Devido à exigüidade de tempo, não faremos a prova. Apenas apelamos para que o prezado leitor examine o gráfico de , que segue abaixo.
 
Notas. (i) Indicamos, também, 
(ii) Alternativamente, podemos também definir o limite lateral à esquerda assim: Seja definida no intervalo aberto ][ e um ponto qualquer tal que . Dizemos que
se , quando , qualquer que seja a seqüência em tal que .
2.3 Limite Lateral à Direita
	Definição. “
	Exemplo 3. Considere a função, definida para todo x diferente de zero. Afirmamos que 
 
Nota. (1) Indicamos, também, 
(2) Alternativamente, podemos também definir o limite lateral à direita assim: Seja definida no intervalo aberto ][ e um ponto qualquer tal que . Dizemos que
se , quando , qualquer que seja a seqüência em tal que .
		Alerta! Uma função não é obrigada a ter limite num ponto. Mas, para tê-lo deve satisfazer a seguinte:
 2.3 Condição de Existência
	Enunciado. “ Uma função, digamos f, tem limite num ponto de acumulação p de seu domínio se, e só se, 
 
Indicamos
Nota. Guarde bem isto: Para uma função ter limite num ponto, devem existir os limites laterais (tanto pela esquerda como pela direita) e eles dois devem ser iguais.
Para finalizar este tópico, destacamos a seguinte 
Propriedade (Teorema do )
onde c 0.
	Exemplo 4. Aplique o Teorema do para o limite 
	Solução: Pela definição, tínhamos
Agora, pelo teorema do , fazendo, por exemplo , temos:
EXERCÍCIOS DE
 
FIXAÇÃO
 
	2. Considere a função, definida para todo x diferente de zero. Afirmaremos que 
Falso ou verdadeiro? Esboc e um desenho.
	3. Considere a função, definida para todo diferente de zero. Afirmaremos que 
Falso ou verdadeiro? Esboçe o gráfico.
	4. Para que exista o limite de uma função num ponto, exigem-se três condições. Quais são elas?
	5. Aplique o Teorema do para o limite 
nos seguintes casos em que c =
 	6. Quais são as condições para existência do limite num ponto?
	Solução. A existência do limite num ponto está atrelada à existência dos limites laterais pela esquerda e pela direita. Além do que os dois devem ser iguais.
	7. Considere uma função real de variável real . Sabe-se que ela tem limite para tendendo à zero . Além do mais:
onde é uma constante real. Qual o valor de ?
	Solução. Uma condição necessária e suficiente para que um limite exista é que os limites laterais existam e sejam iguais. Logo,
	8. Enuncie o teorema do para .
	Solução. Temos:
Particularmente, para , temos:
	
		
		RESUMO
Limite pela Definição: “Considere uma função real de variável real Dizemos que tem limite , quando tende para , ponto de acumulação do D(), se, e só se, sempre que for dada uma vizinhança arbitrária de , digamos (), seja possível encontrar, em correspondência, uma vizinhança de , digamos (), tal que (q), se (p).”
Simbolicamente:
Ou ainda,
Nota. (i) Usou-se para indicar vizinhança, de raio deletada de p.
, se 
(ii) No lugar de é válido escrever: 	
Limite Lateral à Esquerda:
	
Limite Lateral à Direita:
	
Condição de Existência: “ Uma função, digamos f, tem limite num ponto de acumulação p de seu domínio se, e só se, 
Nota. Guarde bem isto: Para uma função ter limite num ponto devem existir os limites laterais (tanto pela esquerda, como pela direita) e eles dois devem ser iguais.
Teorema do 
EXERCÍCIOS 
FIXAÇÃO	
Calcular, pela definição, o 
Solução. Quando tende para 1 (numa linguagem comum, você diria aproxima-se de 1), o leitor pode perceber que tende para 2 ( aproxima-se de 2). Vamos ilustrar isso por meio da tabela que segue.
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
		Atente-se para o fato de que esta tabela não é o cálculo rigoroso que se quer, ou seja, o cálculo pela definição. Ela, na verdade, dá uma “pista” do limite. Para mostrar que ele é, realmente, o limite procurado, o mesmo deve satisfazer a definição. Vamos, então à prova. Devemos mostrar que
	Como se vê, precisamos descobrir uma relação entre e . Particularmente, devemos descobrir uma função = (). Para isto, orientamos ao prezado leitor trabalhar com a expressão:
Então, 
 = , pois | 
Daí, basta definir 
Como se vê, encontramos uma relação entre e . Particularmente, . Conseqüentemente, 
Esta sentença é a definição de limite. Uma vez satisfeita a definição, vale o limite, ou seja, 
		2. Apresente uma interpretação geométrica do cálculo pela definição do 
Solução. Seja   . Para ilustrar vamos tomar tendendo a .
Na verdade, vamos tomar . Daí obtemos (2) = ]1 ; 3[ . Verifique no desenho que, através de , os correspondentes dos extremos e são, respectivamente, 0,8 e 1,2. Basta ver, conforme dedução do exercício acima, que . Daí, dado = 1, obtemos = 0,2
	Veja no desenho que, quando é dada a vizinhança = , existe, em correspondência, a vizinhança = tal que qualquer dentro de (ou seja implica em que esteja dentro de .
	3. Considere a função, definida para todo diferente de zero. Afirmaremos que 
Devido à exigüidade de tempo não faremos a prova. Apenas apelamos para que o prezado leitor examine o gráfico de , que segue abaixo.
																								 Figura 1.								4. Considere a função, definida para todo diferente de zero. Afirmamos que 
Devido à exigüidade de tempo não faremos a prova. Apenas apelamos para que o prezado leitor examine o gráfico de , na figura 1 acima.
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
	1. Calcular, pela definição, os limites que seguem. 
	 2. Apresente uma interpretação geométrica do cálculo pela definição dos limites que seguem. 
	
	3. Considere as funções que seguem. Calcule o limite lateral pela esquerda de cada uma delas.
	4. Considere as funções que seguem. Calcule o limite lateral pela direita de cada uma delas.
		
 
 §3 Operações com Limite
 
3.1 Caro leitor, ainda bem que existem as propriedade (TEOREMAS) no cálculo de limites. Pois, em caso contrário, calculá-los, só pela definição, nos deixaria “malucos” (é extremamente laborioso; porque não dizer difícil). Dentre elas (propriedades), uma importante é o:
	3.2 Teorema (UNICIDADE)
	Enunciado. “Caso uma função tenha limite num ponto, ele é único.”
Nota. Fica subentendido (por comodidade), daqui para frente, que, quando dissermos limite num ponto, trata-se de um ponto de acumulação do domínio da função.
		Exemplo 1. Vimos que a função (página 9) tem limite igual a 5, para tendendo a Caso defrontarmos com uma situação em que 
onde é real, temos, pelo Teorema 3.1 (UNICIDADE), que
	Veja, aqui empregamos dois fatos:
 
	Recordemos a definição de função limitada.
	3.3 Função Limitada
	Definição. “Uma função é limitada se, e só se, ∃M0 / || ≤ M, D().”
	Exemplo 2. A função é limitada. 
	Vejamos por que. Temos:
x² 
Basta tomar M = 1 (ou qualquer número M maior do 1), para termos
∃M = 1 0 / M = 1 
Nota. Acentuamos que, no caso de uma função limitada, o seu gráfico no plano está dentro de uma “certa” faixa do mesmo plano. Ilustrando, a função do exemplo 2 está, como se vê, dentro da faixa . Veja o desenho abaixo.
 
	Propomos uma propriedade que é válida , mas a sua recíproca, não.
	3.3 Teorema
	Enunciado. “Se uma função tem limite num ponto , excetuando o ponto , existe uma vizinhança de , dentro da qual a função é limitada.”
Nota. O leitor não deve confundir
 ter limite
 ser limitada
Ter limite significa que se tende para p, então tende para . Na verdade o que ocorre é que, quanto mais próximo estiver de , mais próximo estará de .
Por outro lado, ser limitada significa que o “DESENHO” (gráfico) de uma função deve estar dentro de uma faixa (HORIZONTAL) no plano.
	Exemplo 3. A recíproca deste teorema pode ser ilustrada através da função 
dada nos exemplos de limites laterais. Vimos que:
Como os limites laterais existem e não são iguais, então a função 
não tem limite em zero (lembre-se de que, para que uma função tenha limite num ponto, devem existir os limites laterais e eles devem ser iguais). A função não tem limite em zero.
Entretanto, o seu desenho está compreendido numa faixa no plano, em particular de -2 a 2.
 
		Vamos enunciar, agora, as propriedades operatórias que facilitam o cálculo de limites.
	3.4 Teoremas
O limite de uma constante é a própria constante.Temos 
O limite da identidade é a própria identidade no ponto. Temos
O limite da
	 SOMA (DIFERENÇA, PRODUTO, QUOCIENTE (DENOMINADOR NÃO NULO)) é a SOMA (DIFERENÇA, PRODUTO, QUOCIENTE (DENOMINADOR NÃO NULO)) dos limites.
	Simbolicamente, 
 - -
 x x
 : :
(iv) O limite do módulo é o módulo do limite.
Simbolicamente
O limite da potência é a potência do limite.
Simbolicamente, 
Nota. Com as devidas precauções, vale para .Daí, como um caso particular, o limite da raiz (radicando não negativo) é a raiz do limite. Assim:
No caso do zero, trata-se do limite pela direita.
Exemplo 4. Usando os teoremas (propriedades operatórias), calcular o 
	Solução. Temos:
Nota. Estes cálculos são conhecidos como: “substituindo diretamente, temos”. Temos:
Repetindo, nestes dois casos diremos simplesmente: “”. 
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
	6. 	Vimos que a função (página 26) tem limite igual a 5. Caso defrontarmos com uma situação em que 
onde A é real, quanto vale A? 	 
	7. A função é limitada. Justifique.
	8. Afirmaremos que cada função que segue abaixo é limitada. Justifique cada uma.
	9. Temos:
Como os limites laterais existem e não são iguais, o que se conclui sobre o limite da função em 0? 
10. Usando os teoremas (propriedades operatórias), calcular o 
	Solução. Temos:
	11. Usando as técnicas operatórias, calcular os seguintes limites.
Usando os teoremas calcular os limites que seguem.
	Voltemos à teoria.
	Vamos enunciar o Teorema do Confronto. Ele fala sobre o limite de uma terceira função compreendida por duas outras. 
	3.5 Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduiche)
	Enunciado. “ Suponha que a função esteja compreendida entre as duas funções e , numa vizinhança de um ponto de acumulação , exceto em . Caso existam os limites 
e eles são iguais, então existe o 
e ele coincide com os dois anteriores.”
 
Simbolicamente,
 	
 	Exemplo 5. Considere as funções e . Os limites das funções são iguais a 1, para tendendo a 1. Dada a função , para todo , temos:
 1 
Como 
decorre daí, conforme o Teorema do Confronto, que 
	3.5 Teorema da Troca de Variável (ou Mudança de Variável).
	Enunciado. “Suponhamos que X, Y, Z , E X, f: E Y, g: f(E) Z e h: E Z definida por Caso existam os limites
então, deve existir também o limite e ele deve ser igual a .
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apesar do teorema acima (Teorema da Troca de Variável) ter essa “cara” (enunciado todo “COMPRIDÃO”), o seu uso é muito fácil. Vejamos o seguinte 
	Exemplo 6. Com o intuito de ilustrar o teorema, vamos fazer uma troca de variável (TEOREMA DA TROCA DE VARIÁVEL) no cálculo do 
		Solução. Fazendo uma troca de variável, seja . Daí, , quando Então
Nota. Neste caso, temos e , onde . Mais ainda, 
Daí, existe o
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
 	
	13. Suponha que 
e que , nas vizinhanças do ponto 2. Sabendo-se que existe
com real, calcule .
	Solução. Devido ao Teorema do Confronto 
Mas, 
	14. Admita que
e que em uma certa vizinhança de 1. Calcule em cada caso abaixo, sabendo que 
	15. Faça a troca de variável a seguir e calcule os limites
	3.6 Teorema da Conservação (ou Permanência) do Sinal
Enunciado. “Suponhamos que uma função tenha limite positivo numa vizinhança de um ponto de acumulação de se domínio. Então, existe uma vizinhança de dentro da qual a função é positiva.”
Simbolicamente,
	Exemplo 7. Temos:
	Neste caso, como vimos (graficamente, página 26 ) existe , dentro da qual, 
Nota. O teorema continua válido para o limite negativo.
	Uma conseqüência do Teorema da Conservação do Sinal é o 
	3.7 Teorema
	Enunciado. “Se uma função tem limite menor que o limite de uma função para um mesmo ponto de acumulação , então existe uma vizinhança deletada de dentro da qual, para todo , é menor do que .”
	Simbolicamente,
	Exemplo 8. Sejam e = . No ponto 1, temos
daí, 
		Como é arbitrário, podemos tomar , para, daí, conseguir (Vide livro de Limites de Barbosa, Iderval Alves página l36). Aí, se
x ] [, temos
	Por conseguinte,
Para finalizar este tópico, vamos enunciar o Critério de Cauchy (¹) para funções.
	Antes, propriamente, seja o seguinte:
3.8 Lema
	Enunciado. “ Uma condição necessária e suficiente para que 
 é que para qualquer sequência real 
com limite p, ou seja, 
 
Nota. Recordamos que (definição):
e que
	 3.9 Critério de Cauchy para Funções
	Enunciado. “Seja uma função real de variável real. Uma condição necessária e suficiente para que a função tenha limite , para tendendo a , é que para qualquer , exista de modo que 
	O leitor deve atentar-se para o fato de que o Critério de Cauchy estuda o limite da função sem manipulá-lo.
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
	16. Temos:
	Apresente uma vizinhança (2) dentro da qual 
	17. Sejam e . Encontre uma vizinhança deletada de 1 dentro da qual
.
SUGESTÃO:
daí, 
		Como é arbitrário, podemos tomar , para, daí, conseguir (Vide livro de Limites de Barbosa, Iderval Alves página 136). Aí, se
x ] [, temos
(³) Cauchy, barão Augustin Louis – matemático francês (Paris 1789 – Sceaux 1857)
	Por conseguinte,
Nota. Vemos que se e decorre que e que
 Ora, elegendo-se
 temos:
Agora, se , temos:
Portanto, 
para qualquer 
R E S U M O
 
Teorema (UNICIDADE):Caso uma função tenha limite num ponto, ele é único
Função Limitada: “Uma função f é limitada se, e só se, ∃M0 / |f(x)| ≤ M, xD(f).”
Teorema: “Se uma função tem limite num ponto p, excetuando o ponto p, existe uma vizinhança de p, dentro da qual a função é limitada.”
Teoremas: (i) O limite da constante é a própria constante.Temos: 
O limite da identidade é a própria identidade no ponto. Temos:
O limite da:
 
- 
 
-
 x 
x
 : :	 SOMA (DIFERENÇA, PRODUTO, QUOCIENTE (DENOMINADOR NÃO NULO)) é a SOMA (DIFERENÇA, PRODUTO, QUOCIENTE (DENOMINADOR NÃO NULO)) dos limites.
Simbolicamente, 
 (iv) O limite do módulo é o módulo do limite. 
O limite da potência é a potência do limite.
Teorema do Confronto: “ Suponha que a função esteja compreendida entre as duas funções e numa vizinhança do ponto de acumulação exceto em Caso existam os limites e eles sejam 
iguais, então existe o e ele coincide com os anteriores.”
Teorema da Conservação (ou Permanência) do Sinal: “Suponhamos que uma função tenha limite positivo numa vizinhança de um ponto de acumulação de se domínio. Então, existe uma vizinhança de dentro da qual a função é positiva.”
Simbolicamente:
Teorema: “Se uma função tem limite menor que o limite de uma função num mesmo ponto de acumulação , então existe uma vizinhança deletada de dentro da qual, para todo , é menor do que .”
Lema: Uma condição necessária e suficiente para que é 
que para qualquer seqüência real com limite p, ou seja,
 
 Definição:
Critério de Cauchy para Funções: “Seja uma função real de variável real. Uma condição necessária e suficiente para que a função tenha limite , para tendendo a , é que para qualquer , exista de modo que 
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
	1.Vimos que a função (página 26) tem limite igual a 5. Caso defrontarmos com uma situação em que 
onde é real, quanto vale ? 	
	Solução. Em virtude do teorema da unicidade do limite, temos:
	2. A função é limitada. Justifique.
	Solução. Com efeito, 
Disto, podemos eleger , pois daí, existe tal que:
	3. Temos:
Como os limites laterais existem e não são iguais, o que se conclui sobre o limite da função em 0? 
	Solução. Concluímos que a função não tem limite no ponto 0.
	4. Usando os teoremas (propriedades operatórias), calcular o 
	Solução. Temos:
	5. Suponha que 
e que nas vizinhanças do ponto 2. Sabendo-se que existe
com real. Calcule .
	Solução. Devido ao Teorema do Confronto 
Mas, 
	
	6. Faça a troca de variável sugerida em cada caso seguinte e calcule o respectivo limite.
Solução. 
. Neste caso, chamando vemos que tende para 9 quando tende para 1. Logo
 Neste caso, chamando , vemos que tende para 2 quando tende para 1. Logo 
. Neste caso, chamando , vemos que tende para 0 quando tende para 1. Logo 
Nota. Atente-se para o fato de que quando para zero temos , (recorde que a vizinhança tomada no limite é vizinhança deletada). Por isso é que podemos fazer o cancelamento de em cima e em baixo, na fração.
 Neste caso, chamando , vemos que tende para 0 quando tende para 1. Logo 
	7. Temos:
	Apresente uma vizinhança (2) dentro da qual a função é positiva, ou seja, 
	Solução. Primeiro vamos achar uma relação entre e . Para isto, seja
Como é arbitrário, podemos eleger Desta forma, seja 
ou seja, é positiva.
	8. Sejam e . Como se vê, 
	Encontre uma vizinhança deletada de 1 dentro da qual .
SUGESTÃO: 
daí, 
	Como é arbitrário, podemos tomar , para, daí, conseguir (Vide livro de Limites de Barbosa, Iderval Alves página 136). Aí, se
x ] [, temos
	Por conseguinte,
Nota. Vemos que se e decorre que 
 Ora, elegendo-se , temos:
Agora, se , temos:
Portanto, 
para qualquer 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
	1. Vimos que a função (página 26) tem limite igual a 5. Caso defrontarmos com uma situação em que 
onde A é real, quanto vale A? 
	 2. A função é limitada. Justifique.
	3. Afirmamos que cada função que segue abaixo é limitada. Justifique cada uma de suas respostas.
	4. Temos:
Como os limites laterais existem e não são iguais, o que se conclui sobre o limite da função em 0? 
	5. Usando os teoremas (propriedades operatórias), calcular o 
	Solução. Temos:
	6. Usando as técnicas operatórias, calcular os seguintes limites.
Nota. Na resolução do item , lembre-se de que a vizinhança de 0 é deletada. Isto é, a função pode ou não ser definida no ponto para calcular o limite. Antes de tomar o limite, podemos simplificar (cancelar) em cima e em baixo por .
	7. Usando os teoremas calcular os limites que seguem.
	8. Suponha que 
e que f(x) h(x) g(x) nas vizinhanças do ponto 2. Sabendo-se que existe
com real, calcule .
	Solução. Devido ao Teorema do Confronto 
Mas, 
	9. Admita que
e que em uma certa vizinhança de 1. Calcule em cada caso abaixo, sabendo que 
	15. Faça
a troca de variável a seguir e calcule os limites
	
	16. Temos:
	Apresente uma vizinhança (2) dentro da qual 
	17. Sejam e . Encontre uma vizinhança deletada de 1 dentro da qual
.
	§4 Limite das Funções Elementares
	Existem algumas funções que valem a pena calcular individualmente o seu limite. Ou seja, são importantes. Essas funções são as funções elementares: exponencial, logarítmica, trigonométricas, e algumas outras.
	4.1 Exponencial
	Enunciado. “O limite da função exponencial num ponto de acumulação de seu domínio é o valor da função no próprio ponto.”
	Simbolicamente, 
onde 
Nota. Como se vê, aqui, podemos fazer a substituição direta de por .
	Exemplo 1. Conforme propriedade acima
	4.2 Logaritmo
	Enunciado. “O limite da função logarítmica num ponto de acumulação de seu domínio é o valor dessa função no ponto.”
	Simbolicamente, 
onde 
	Exemplo 2.
	4.3 Cosseno
	Enunciado. “O limite da função cosseno num ponto de acumulação de seu domínio é o valor da função no próprio ponto .”
	Simbolicamente, 
 
	Exemplo 3. Através do teorema acima
	4.4 Seno
	Enunciado. “O limite da função seno num ponto de acumulação de seu domínio é o valor da função no próprio ponto.”
	Simbolicamente, 
	Exemplo 4. Através do teorema acima, temos:
	4.4 Tangente 
	Enunciado. “O limite da função tangente num ponto de acumulação p de seu domínio é o valor da função no próprio ponto.”
	Simbolicamente, 
	Exemplo 5. Através do teorema acima, temos:
Nota. (i) Lembre-se de que a função tangente não assume valores em +.
(ii) Nos casos acima (funções elementares), é costume dizer que o “limite é direto” (o limite da função é a função do limite. Esclarecendo melhor: o limite da função é a própria função aplicada no ponto de acumulação). Ainda temos, como “direto”: 
. 
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
	1. Usando os teoremas (para Funções Elementares) calcular os limites que seguem.
Nota. Indicaremos o
por ou , onde é o numero de Euler. Temos:
e = 2,718 . . . É obtido a partir do 2° Limite Fundamental.
Observação. A função é a função inversa da função seno. Também é indicada por 
Vejamos quando é possível a inversão.
O gráfico da função seno é o que segue abaixo.
Por conseguinte, para a função seno (cujo símbolo é sen), temos: 
 
 
	 
RESTRIÇÃO (da função seno de ) 
X
YTomamos a restrição (na linguagem comum, o leitor diria uma “pedaço da função seno”) da função seno para que possamos falar na inversa desta função. Pois, considerando a função seno em sua totalidade, ela não é inversível. Particularmente, a relação inversa não é uma função. (por quê?)
 
 
INVERSA (da função seno. Recorde que para você obtenha a inversa de uma função a bissetriz dos quadrantes ímpares funciona como um “espelho”. Foi imitando (em frente ao “espelho”) a restrição da função seno que conseguimos o gráfico da inversa)
X
Y
 
Para a função arco seno (cujo símbolo é arc sen), temos:
 
 
É costume também utilizar no lugar de . Diríamos até que é a fórmula matemática, enquanto que é a fórmula operacional (queremos dizer, é o que se usa em exercícios e cálculos da inversa do seno). Idem para as demais funções trigonométricas.
	Analogamente ao que se fez para o seno, faz-se para as demais funções trigonométricas.
	4.6 Símbolos de Indeterminação
	São sete, os símbolos de indeterminação:
Examinando os resultados da página 8, o prezado leitor pode constatar que, lá, estes resultados não foram definidos; aliás eles significam indeterminações. Agora, cabe, então, explicar o que significa essa tal “indeterminação”. Esclarecemos que caso se chegue a um destes resultados, o limite
 pode não existir
 p ode existir e ser finito
 pode existir e ser infinito
Fica claro, desde já, que se chegarmos a uma indeterminação, não obtivemos um resultado definitivo (não se chegou a nada!). Para conseguirmos o resultado de um limite, devemos, então
 	 LEVANTAR A INDETERMINAÇÃO
Levantar a indeterminação significa aplicar 
 ARTIFÍCIOS (truques matemáticos)
ou seja, usar fórmulas trigonométricas, usar fórmulas de progressões, dividir o numerador e o denominador por uma mesma expressão (não nula), usar fórmulas de indução, além de outros truques como requer cada exercício de limite.
	Exemplo 6. Calcular o limite que segue.
	Solução. Substituindo diretamente por (com rigor, estaríamos aplicando os teoremas: do quociente, da potência, da diferença, …) chegamos a . (³) O prezado leitor deve guardar que toda vez que dissermos “substituindo diretamente por isso ou aquilo” significa que estamos aplicando os teoremas: do quociente, da potência, da diferença, . . .). Fatorando o numerador, obtemos Depois, cancelando em cima e embaixo na fração (isto é possível porque, pela definição de limite, quando ( tende para ) significa que se aproxima, cada vez mais, de ; sem, entretanto, ser igual a 2, conforme definição de limite. Lembre da vizinhança deletada).
	Quer dizer, então, que a indeterminação foi quebrada, resultando limite igual a 4.
	Exemplo 7. Calcular os limites que seguem.
	Solução. (a) Uma substituição direta (na verdade, aplicamos os teoremas: soma, quociente, … ) nos leva à indeterminação do tipo 
Levantando a indeterminação, temos:
1ª 
Fatorar
* OPÇÕES PARA SIMPLIFICAR O leitor pode fatorar Neste caso, obtém-se:
	 
2ª
 
Briot-Ruffini
 Lembre-se de que: 
 O leitor pode aplicar o Teorema de Briot-Ruffini. Neste caso, 
 1 0 0 -8
____________________________
2 1 2 4 0
Nota. Acerca do processo de Briot-Ruffini, relembramos que o leitor deve abaixar o 1, depois multiplicar o 2 (da esquerda) pelo 1 abaixado e, em seguida, somar o resultado com o primeiro zero (da esquerda para a direita), obtendo 2. Depois, multiplica-se o 2 (aquele da esquerda) por este último 2 obtido e soma-se o resultado com 0 (segundo zero), obtendo 4. Assim por diante.
Algoritmo de Euclides
 O prezado leitor pode também aplicar o algoritmo da divisão de Euclides.
 1 0 0 -8 1 -2
-1 2 1 2 4
 0 2 0 -8
 -2 4
 0 4 -8
 -4 8
 0 0 
(b) Substituindo diretamente, obtemos a indeterminação do tipo
Vamos levantá-la. Temos:
	
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO	
	 2. Apenas por via “substituição direta”, diga qual é o tipo de indeterminação em cada caso.
	3. Calcule os limites de (a) a (h) em no exercício 2.
	Voltemos à teoria,
	Há duas indeterminações importantes. São elas
 
 e
Na realidade, são dois teoremas. O primeiro é chamado de 1° Limite Fundamental (ou Trigonométrico). O segundo de 2° Limite Fundamental (ou limite exponencial).
Antes propriamente de enunciarmos e demonstrarmos o primeiro limite fundamental, vamos compor uma tabela com alguns valores para termos uma pista do limite.
	
	100
	10
	1
	0,5
	0,1
	0,01
	0,001
	
	
	-0,5064 
	-0,5440 
	0,8415 
	0,4794 
	0,0998 
	0,0998 
	0,00099 
	
	 
	-0,0051 
	-0,0544 
	0,8415 
	0,9588 
	0,9983 
	0,9999 
	0,99999 
	
Os valores 100 e 10 não interessam (porquê?). De olho na tabela, vemos que 
 se se aproxima de 0, então se aproxima de 1
 ou seja 
 
Escrevemos isto assim
 
Nota. Alertamos que isto não é prova. Simplesmente
uma pista.
	4.7 Teorema (1° Limite Fundamental ou Trigonométrico)
	Enunciado.” 
	Demonstração. Iniciamos nossa demonstração considerando a circunferência unitária (orientada) trigonométrica, conforme figura abaixo. O centro C da circunferência é a origem do sistema de coordenadas retangulares, isto é, C = (0, 0). O ponto (1, 0) será designado por A, ou seja, A = (1, 0). Vamos tomar o ponto B, na circunferência, de modo que o arco (pequeno) 
de extremos A e B tenha medida radianos, com . Em seguida, tracemos por A e por B as tangentes (geométricas) à circunferência. Estas tangentes se encontram no ponto D. Temos ainda Daí: , conforme o caso L.A.L., lado-ângulo-lado, de congruência de triângulos, da GP. Isto quer dizer que
e	
Ainda devido à GP, sabemos que toda poligonal inscrita num arco de circunferência é menor do que ele, que, por sua vez, é menor do que toda poligonal a ele circunscrita. Isto se escreve assim:
m(m(
Levando em conta que
o teorema do Confronto (página 43) aí aplicado nos fornece:
De outro lado, aplicando o Teorema da Troca de Variável (página 43), obtemos:
Confrontando os resultados em (1) e (2), obtemos
Daí, pela Condição de Existência do Limite, existe o 
 Fizemos a troca de variável: . Disto, tendo a zero pela direita, quando tende a zero pela esquerda, ou seja, , se .
	Exemplo 8. Calcular o limite
	Solução. Temos: 
	Exemplo 9. Calcular os limites que seguem
	Solução. (a) Faz-se , daí Logo:
 (b) Faz-se , pois daí, Então, 
	(c) Aqui, fazemos a troca de variável: . Disto, t e .
Assim, 
	(d) Temos:
(e) Aqui, fazendo , obtemos e . Por conseguinte,
	(f) Neste exercício, usaremos uma formula da Trigonometria:
 (fórmula do arco metade -Vide formulário no fim deste livro).	
Daí, 
Nota. Fazendo temos , onde .
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
	4. Calcular os limites que seguem.
	
R
 
E
 
S
 
U
 
M
 
O
 	
 
 Limite das Funções Elementares: 
	
 
 
 
 
 
 
 
SÍMBOLOS DE INDETERMINAÇÃO:
	
Teorema (1° Limite Fundamental ou Trigonométrico):
	
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
‘	1. Calcular os limites que seguem.
	Solução. 
EXERCÍCIOS 
PROPOSTOS
	1. Calcule os limites que seguem. 
	2. Calcule os limites que seguem. 
	3. Calcule os limites que seguem. 
	4. Calcular os limites que seguem.
 
 
	
		§5. Limites no Infinito e Limites Infinitos
	Vamos tratar, agora, de limites para tendendo ao infinito e limites em que tende para o infinito. Para isto, começamos tomando pertencente aos reais, ou seja, finito. Daí, seguem as seguintes definições:
Limite no Infinito
	Das definições acima, tiramos imediatamente que
	Devido à exigüidade de nosso tempo e da grande importância deste item, vamos demonstrar uma delas (as outras se fazem de maneira análoga). Particularmente, 
Devemos demonstrar que 
Seja 
Daí, 
Disto, podemos definir
pois, desta igualdade, obtemos
	Logo, 
	Exemplo 1. Calcular 
	Solução. Lembre-se de que quando Dai, . Assim, 
_______________________________________________________________
 Neste caso, como , significa que x é negativo (particularmente, “bem negativo”, logo , disto ).
EXERCICIOS DE 
FIXAÇÃO
	 1. Calcular os limites que seguem:
 
Limite Infinito
Neste caso, vamos tomar finito, ou seja, real.
Nota. Como decorrência das definições acima, temos
	Exemplo 2. Calcular 
	Solução. Neste caso, faz-se, de onde vem que .
Logo, 
Nota. Perceba que se , é que , logo . Isto quer dizer exatamente que, se , então ele tende pela esquerda, ou seja, 
EXERCICIOS DE 
FIXAÇÃO
	 	2. Calcular os limites que seguem.
Limites Infinitos no Infinito
	Exemplo 3. Calcular os limites que seguem.
	Solução. 
EXERCICIOS DE 
FIXAÇÃO
	3. Calcular os limites que seguem.
	4. Calcular os limites que seguem.
	5.4 Teorema
	Enunciado. “Suponhamos que 
seja finito, ou seja, que seja um número real, e que p seja pertencente ao conjunto dos reais ampliado. Então
onde .”
O fato de 
é também escrito assim: , se. Então 
conforme o Teorema 4.1 , página 27.
Nota. Caso q (conjunto dos reais ampliado) se
Teorema
	Suponhamos que 
seja finito e que p Então, 
	Basta definir , pois daí, 
ou seja, 
 	 
Daí
Corolário
	Enunciado. 
	Basta fazer .
		Para finalizar este tópico, vamos enunciar o segundo limite fundamental. Antes de propormos o enunciado, vejamos a tabela que segue, ou seja, vamos calcular alguns valores de 
	x
	1
	2
	3
	4
	5
	10
	100
	1.000
	10.000
	100.000
	
	
	
	2
	2,25
	2,3704
	2,4414
	2,4883
	2,5737
	2,7048
	2,7169
	2,7181
	2,7182
	
	
A partir desta tabela, vemos que se
 (este número é indicado por ).
Repita a tabela para x . O prezado leitor encontrará também que
 Este número, que surge aí, é chamado Número de Euler (¹). É a base dos logaritmos neperianos (devido à Neper (²)). Até a l0ª casa decimal ele é 2,7182818285 . 
Teorema (2º Limite Fundamental)
Enunciado. 
_______________________________________________________________________________________________
(¹) Euler (Leonard Euler: Bâle 1707 – São Petersburgo 1783).
(²) Neper ou Napier (John), barão de Merchiston, matemático escocês (Merchiston 1550 – Idem 1617).
Nota. O limite acima vale, tanto, para tendendo a menos infinito, como para mais infinito, ou seja, tanto para como para O resultado em cada caso é o mesmo número, particularmente, . Na verdade, temos aí dois teoremas, um para e outro para Ou seja, 
 Assim, 
ou
	Exemplo 4. Calcular os limites que seguem.
	Solução. (a) Fazemos . Daí, e +, se +. Então
(c) Fazemos . Daí, e -, se +. Então,
(d) Fazemos . Daí, e , se . Então,
	Exemplo 5. Calcular o 
	Solução. Basta fazer Daí, e . Assim, 
Nota. Com rigor, deveríamos fazer as considerações de limites laterais para a esquerda e para a direita de zero. Obtendo, obviamente menos infinito e mais infinito respectivamente. A solução que fizemos é uma abrangência destes dois casos.
	Exemplo 6. Calcular os limites que seguem
	Solução. (a) Basta fazer (⇒ quando e ), para cair no exemplo 5. Daí,
 (b) Fazendo ou e quando . Por conseguinte, aplicando o exemplo 5, temos:
 (c) Façamos a seguinte troca de variável: ou e quando . Desta forma, aplicando o exemplo 5, conseguimos: 
	Exemplo 7. Calcular o limite que segue.
Solução.Usa-se a troca de variável: , onde . Além do mais, 
		 
Por conseguinte, 
Aplicando o exemplo 5, obtemos:
	Exemplo 8. Calcular o os limites seguintes
	Solução. (a) Seja e t . Desse jeito, 
Aplicando o exemplo 7, obtemos:
	(b) Seja e . Obtemos: 
Aplicando o exemplo 7, obtemos:
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
	5. Calcular os limites seguintes.
	6. Calcular os limites que seguem
	7. Calcular o 
	8. Calcular os limites seguintes
RESUMO
Limite no Infinito:
Propriedade:
Limite Infinito:
Limites Infinitos no Infinito:
Teorema: “Suponhamos que seja finito e 
pertencente ao conjunto dos reais ampliado. Então 
 onde 0 a 1.”
Teorema: Se e . Então, 
Nota. Particularmente, 
Corolário:
Teorema (2º Limite Fundamental):
	
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
	1. Calcular 
	Solução. Lembre-se de que, quando temos Dai, . Assim, 
	2. Calcular 
	Solução. Neste caso, faz-se, de onde vem que .
Logo, 
	3. Calcular os limites que seguem.
Solução. 
	
	4. Calcular os limites que seguem.
	Solução. (a) Fazemos . Daí, e +, se +. Então,
(c) Fazemos . Daí, e , se . Então,
(d) Fazemos . Daí, e , se . Então,
	5. Calcular o 
	Solução. Basta fazer Daí, e . Assim, 
Nota. Com rigor, deveríamos fazer as considerações de limites laterais para a esquerda e para a direita de zero. Obtendo, obviamente menos infinito e mais infinito respectivamente. A solução que fizemos é uma abrangência destes dois casos. Os casos levam ao mesmo resultado. Ou seja, 
	
	6. Calcular os limites que seguem
	Solução. (a) Basta fazer (⇒ quando e ), para cair no exemplo 5. Daí,
 (b) Fazendo ou e quando . Por conseguinte, aplicando o exemplo 5, temos:
 (c) Façamos a seguinte troca de variável: ou e quando . Desta forma, aplicando o exemplo 5, conseguimos: 
	7. Calcular o limite que segue.
	Solução. Usa-se a troca de variável: , onde . Além do mais, 	 
Por conseguinte, 
Aplicando o exemplo 5, obtemos:
	
	8. Calcular os limites seguintes.
	Solução. (a) Seja e . Desse jeito, 
Aplicando o exercício 7, obtemos:
(b) Seja e . Obtemos: 
Aplicando o exercício 7, obtemos:
EXERCÍCIOS 
PROPOST
OS
	 
	1. Calcular 
	2. Calcular 
	3. Calcular os limites que seguem.
	
	4. Calcular os limites que seguem.
	
	5. Calcular o 
	6. Calcular os limites que seguem
	
	7. Calcular o limite que segue.
	
	8. Calcular os limites seguintes.
	
	 
	
	§6. Continuidade
	6.1 Função Contínua
”	Definição. “Uma função real de variável real é contínua num ponto de acumulação pertencente ao seu domínio se, e só se, 
	Para facilitar o uso operacional desta definição, enunciaremos o teorema que segue. 
	6.2 Teorema
	Enunciado. ”Uma função real de variável real f é contínua num ponto de acumulação pertencente ao seu domínio se, e só se, 
Nota. (i) O leitor deve observar aí três fatos:
PRIMEIRO: Existe o 
SEGUNDO: Existe 
	
TERCEIRO: 
Guarde bem: Para uma função ser contínua num ponto, devem ocorrer, simultaneamente, os três seguintes fatos: deve existir o limite, deve existir o valor da função no ponto e os dois devem coincidir.
Uma função que é contínua em todos os pontos de seu domínio é chamada função contínua.
	Exemplo 1. A função é contínua em , pois aí:
existe 
existe
 
eles são iguais 
AQUI
	6.3 Função Descontínua
	Toda função que não é contínua é chamada função descontínua.
	6.4 Descontinuidade Simples (ou de 1ª Espécie)
	Definição. “Seja uma função descontínua no ponto de acumulação de seu domínio. Dizemos que esta descontinuidade é simples (ou de 1ª espécie) se, e só se, existem os limites laterais e eles são finitos.”
	Exemplo 2. Seja . Vamos estudar a descontinuidade dessa função em zero.
	Solução. É oportuno ressaltar que, como a função não é definida em 0 (zero), ela é descontínua aí. Por outro lado, 
Como existem os limites laterais e eles são finitos, então a descontinuidade é de primeira espécie.
Nota. Existem dois casos de descontinuidade simples (ou de 1ª espécie):
REMOVÍVEL: Neste caso, 
NÃO-REMOVÍVEL: Neste caso, 
	Exemplo 3. Acabamos de ver (exemplo 2) que para a função f (x) = temos:
	 apresenta descontinuidade não removível em 0
	Por outro lado, a função é descontínua em 0 (zero), pois não é definida aí. Mas
	apresenta descontinuidade removível em 0.
	6.5 Descontinuidade de 2.ª Espécie.
	Definição. “Seja f uma função descontínua num ponto de acumulação p de seu domínio. Dizemos que esta descontinuidade é de 2ª espécie em p se, e só se, não existir ou não existir ou se pelo menos um deles for infinito.”
	Exemplo 4. Seja . Vamos estudar a descontinuidade de em 0.
	Solução. Como não existe o limite de para tendendo a 0, ou seja, 
dizemos que a função apresenta uma descontinuidade de 2ª espécie em 0.
	6.6 Função Seccionalmente Contínua
	Definição. “Dizemos que uma função é seccionalmente contínua num intervalo se, e só se, 
o intervalo pode ser dividido em um número finito de subintervalos nos quais a função é contínua;
os limites laterais de função para tendendo para os extremos desses subintervalos são finitos.”
	Exemplo 5. A função maior inteiro é seccionalmente contínua em 
	Considere a função maior inteiro contido em conforme definição abaixo.
 
 
 
 
 
 
O seu gráfico é o que segue abaixo.
Nota. (i) Observe que o intervalo de definição da função [0, 5] foi dividido em cinco intervalos. Dentro de cada um deles a função é contínua. Ainda mais, existem os limites laterais para x tendendo aos extremos de cada um destes subintervalos; sendo cada um deles finito.
(ii) Alguns autores chamam essa função de função escada, função de base, dentre outros nomes. Neste último caso, indicam = ⌊ ⌋. (É um colchete sem a “partizinha” de cima)
EXERCÍCIOS DE TREINAMENTO
	
	1. Afirmamos que as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados. Justifique cada caso.
	2. Estude a continuidade de cada função abaixo no ponto indicado. Classifique-as.
	3. Dentre as funções descontínuas, se houver, no exercício anterior é possível “consertá-las” (com rigor, redefini-las) de modo que elas sejam contínuas? Justifique sua resposta.
	4. Dê um exemplo e justifique de uma função:
descontínua em 2;
descontínua de 1ª espécie em 3;
descontínua de 1ª espécie em 2;
descontínua removível em 0;
seccionalmente contínua em [0, 6].
	5. Esboce o gráfico de cada função seccionalmente contínua.
 maior inteiro contido em , no intervalo de 0 a 8.
 maior inteiro contido em , no intervalo de -5 a 5.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
	RESUMO
Função Contínua
”: “Uma função real de variável real é contínua num ponto de acumulação p pertencente ao seu domínio se, e só se, 
Teorema: ”Uma função real de variável real é contínua num ponto de acumulação p de seu domínio se, e só se, 
Para uma função ser contínua devem valer, simultaneamente, os três fatos:
Uma função que é contínua em todos os pontos de seu domínio é chamada função contínua.
Função Descontínua:Dizemos que uma função é descontínua quando não é contínua. 
Descontinuidade Simples (ou de 1ª Espécie): “Seja uma função descontínua no ponto de acumulação p pertencente ao seu domínio. Dizemos que esta descontinuidade é simples (ou de 1ª espécie) se, e só se, existem os limites laterais e eles são finitos.”
 
Existem dois casos de descontinuidade simples (ou de 1ª espécie):
REMOVÍVEL: Neste caso, 
NÃO-REMOVÍVEL: Neste caso
	
Descontinuidade de 2.ª Espécie: “Seja f uma função descontínua num ponto de acumulação de seu domínio. Dizemos que esta descontinuidade é de 2ª espécie em se, e só se, não existir ou não existir ou se pelo menos um deles for infinito.”	
Função Seccionalmente Contínua: “Dizemos que uma função é seccionalmente contínua num intervalo se, e só se, 
o intervalo pode ser divido em um número finito de subintervalos nos quais a função é contínua;
os limites laterais de função para x tendendo para os extremos desses subintervalos são finitos.”
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. A função é contínua em , pois aí:
existe 
existe
 
eles são iguais 
	2. Seja . Vamos estudar a descontinuidade dessa função
em zero.
	Solução. É oportuno ressaltar que, como a função não é definida em 0 (zero), ela é descontínua aí. Por outro lado, 
	Como existem os limites laterais e eles são finitos, então a descontinuidade é de primeira espécie.
	3. Acabamos de ver (exercício 2) que para a função temos:
	 apresenta descontinuidade não removível em 0.
	
	4. Por outro lado, a função é descontínua em 0 (zero), pois não é definida aí. Mas
	apresenta descontinuidade removível em 0.
	5. Seja . Vamos estudar a descontinuidade de em 0.
	Solução. Como não existe o limite de para tendendo a zero pela esquerda, ou seja, 
dizemos que a função apresenta uma descontinuidade de 2ª espécie em 0.
	6. A função maior inteiro é seccionalmente contínua em 
	Considere a função maior inteiro contido em conforme definição abaixo.
 
 
 
 
 
 
 
 
O seu gráfico é o que segue abaixo.
Y
X
Nota. (i) Observe que o intervalo de definição da função [0, 7] foi dividido em sete intervalos. Dentro de cada um deles a função é contínua. Ainda mais, existem os limites laterais para tendendo aos extremos de cada um destes subintervalos; sendo cada um deles finito.
EXERCÍCIOS 
PROPOST
OS
	1. Verifique se as funções que seguem são contínuas. Apresente sua justificativa.
 
	2. Seja . Estudar a descontinuidade dessa função em zero.
		3. Apresente três exemplos de descontinuidade não removível em 0.
	4. Apresente três exemplos de descontinuidade não removível em 2.
	5. Classifique a descontinuidade de cada função abaixo.
	
	6. A função maior inteiro é seccionalmente contínua em Justifique, apresentando um gráfico.
	
CAPÍTULO II 
 DERIVADAS
 
	§1 Conceitos e Teoremas
	
1.1 Derivada
Definição. “Considere uma função  e um ponto Chama-se derivada dessa função no ponto ao seguinte limite (caso exista e seja finito)
para todo 	
Notas.() Indicando a derivada de no ponto por , temos:
 
Há outras notações, como , também , onde .
() Considerando limites laterais (à esquerda e à direita) na definição de derivada acima, obtemos as derivadas laterais, e ou seja,
() Admita que a função seja definida (e com valores reais) em e que . Não existem ) e (). Lembre-se de que, por exemplo, a derivada lateral à esquerda , conforme nota (ii), exige-se que a função seja definida à esquerda de e à direita de . O que não ocorre. Existem sim, ) e (). 
() Fazendo uma troca de variável em (), temos:
.
 Neste caso,	
Ou, também, se .
Aqui,
() A razão , particularmente, é chamada razão incremental. Temos:
	Exemplo 1. Vamos calcular, pela definição, a derivada da função , em .
	Solução. Temos: 
Embora tenhamos calculado a derivada “desse jeito”, alertamos que o cálculo das derivadas será feito por meio de fórmulas (TEOREMAS), que, por sinal, facilita bastante.
 1.2 Função Derivada
	Definição “Chama-se função derivada de uma função à função ’ cujo domínio é o conjunto de todos os pontos em que o limite na definição 1.1 Derivada existe e cuja imagem de cada ponto é a derivada de nesse ponto.”
Portanto,	
Notas. () Além da notação , para designar a função derivada (da função ), há outras notações, tais como:
() Reafirmamos que o termo (ou o termo ) que aparece acima é chamado de acréscimo da variável independente, enquanto que é chamado de acréscimo da variável dependente
 O quociente é chamado RAZÃO INCREMENTAL.
1.3 Interpretação Geométrica
Conforme triângulo abaixo obtido da figura ao lado,
 onde , consequentemente, .
De outro lado, ao aproximarmos de , o que estamos fazendo nada mais é que se não traçarmos retas que passam por e por . Observamos que, quando tende para a reta secante tende à reta tangente à curva em (). Como essa tangente (geométrica) forma o ângulo como o eixo das abscissas, então , quando .
Portanto, 
Como, 
concluímos que: 
 
Conclusão: Inferimos que a derivada de uma função num ponto é, justamente, a tangente trigonométrica do ângulo que a tangente geométrica à curva, no ponto, forma com o eixo das abscissas. 
1.4 Interpretação Cinemática
	Considere um móvel animado de um movimento. Durante o decorrer do tempo, temos a variação de sua distância. Isto nos leva a dizer que a distância é uma função de tempo. Assim, podemos escrever:
onde é o tempo. De outro lado, conforme definição de velocidade média, sabe-se que esta é o quociente da distância percorrida pelo móvel dividida pelo tempo gasto para realizá-la, ou seja,
onde é, justamente, a distância percorrida pelo móvel durante o tempo e no tempo . Tomando-se o limite em ambos os membros, para , encontramos, como se conhece da Física, a velocidade “instantânea” do móvel no instante , ou seja,
onde é a velocidade “instantânea” do móvel no instante , ou também velocidade no instante . Mas
Confrontando os resultados em (1) e (2), temos:
.
Conclusão: A derivada da distância de um móvel num determinado instante é exatamente a velocidade do móvel naquele instante.
	Exemplo 2. Admita que a distância de um móvel obedeça à equação . Calcule a sua velocidade no instante . Escolha M.K.S.
	Solução. Conforme interpretação cinemática da velocidade 
Mas, conforme exemplo 1, . Logo, , daí .
1.5 Função não derivável 
	Conforme definição, a derivada num ponto existe se
	Vimos dois casos onde isto falha.
	Exemplo 3. Calcular a derivada da função em 
	Solução. Temos
Desta forma, 
Antes de calcularmos a derivada, duas coisas devem ser lembradas:
Quando se toma o limite de uma função num ponto (no caso a função é ), ela não precisa ser definida no ponto. Ou seja, não se exige que a função seja definida em zero. 
Para existir o limite de uma função num ponto, devem existir os limites laterais e eles devem ser iguais.
Vamos, agora, ao cálculo, propriamente, da derivada. Temos:
ou seja
	 .
Logo este limite não existe. Por conseguinte, a função | não é derivável em .
	Exemplo 4. Afirmamos que a função não é derivável em 0. Basta ver que:
 
E a função não é derivável à esquerda, por que o limite é infinito.
Nota. Observe ainda que 
Para o limite existir (neste caso, a derivada), os limites laterais à esquerda e à direita deveriam existir e ser iguais. É, exatamente, o que não ocorre.
EXERCÍCIOS DE 
FIXAÇÃO
Verifique que não é derivável em 0.
Verifique que não é derivável em 0.
Verifique se é derivável em 1.
	1.6 Proposição
	Enunciado. “Se uma função é derivável num ponto , então ela é contínua no ponto.”
	Demonstração. Para todo , , vale a identidade que segue:
Tomando o limite para, , temos:
 
Disto,
 
Isto quer dizer que é contínua em 
Nota. A recíproca não é verdadeira. Basta voltar ao exemplo 3, lá a função é contínua, mas não é derivável.
	1.7 Regras de Derivação
	Alertamos que, devido à exigüidade de tempo, apenas enunciaremos os teoremas que seguem. Para aquele que se interessar por qualquer uma das demonstrações, consultar o livro de Cálculo Diferencial e Integral (volume II), de Barbosa Iderval Alves.
Uma ou outra demonstração será feita no meio dos exercícios resolvidos.
OPERAÇÕES
 		Sejam e duas funções definidas em um mesmo conjunto, digamos , e deriváveis em , com sendo uma constante.
Então, as funções: , são deriváveis em e tem-se:
() 	 (“A constante pode sair da derivada”)
() 	
() 	
Nota. É comum usar a notação que segue. Ou seja, chamando

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