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Movimento em 2D e 3D - Conteúdo: - Álgebra vetorial - Vetor Posição e Vetor Deslocamento - Vetor Velocidade Média e Vetor Velocidade Instantânea - Vetor Aceleração Média e Vetor Aceleração Instantânea - O Problema Inverso - Corpo em Queda Livre - Movimento de um projétil - Movimento Circular Uniforme -Referências: -Young & Freedman. Física. Vol. 1. 12a Edição. Pearson (2008). - Serway e Jewett. Princípios de Física. Vol. 1. 3a Edição. CENGAGE (2004). - Resnick R. e D. Halliday. Física. Vol. 1. 4a Edição. Livros Técnicos e Científicos S.A. (1997). TIPLER, Paul A.; MOSCA, Gene. Física para cientistas e engenheiros. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006. (v.1) Tipler, Paul. Física. Vol. 1. Livros Técnicos e Científicos S. A. (LTC), (2000). - Movimento Circular Uniforme - Período - Aceleração Tangencial e Radial - Movimento Relativo 01 aˆque tem um módulo (ou intensidade) e orientação especificado por , onde 1. Álgebra Vetorial Seja um vetor A r | |aA=A ˆrr 1=a) 1.1 – Leis básicas da álgebra vetorial | |A=A r | |A=a r r ˆ 1=a) aˆ aAA ˆ = r A ---1--- | |AA=a rˆ e 02 BA rr = ⇔ BA = ba ˆˆ =eOBS: – Soma de vetores A r B rC r = Br A r C r Logo .CABBA rrrrr =+=+ – Subtração de vetores r BAD rrr −= )( BA rr −+= A r B r − D r 03 – Produto de um número por um vetor i=A ˆ3 r i=A ˆ62 r ⇒ 04 05 onde, e Outra notação: – Soma – Subtração 06 – Produto de um número por um vetor Vetor Posição e Vetor Deslocamento Fig. 1 - Uma partícula em movimento no plano xy é localizada pelo vetor posição traçado da origem até a partícula. O deslocamento da partícula entre os pontos A e B no intervalo de tempo é igual ao vetor deslocamento .rrr rrr −=∆ if ttt −=∆ jyixr ˆˆ +=r Trajetória da partícula - Vetor Deslocamento - Vetor Posição if rrr rrr −=∆ ktzjtyitxtr ˆ)(ˆ)(ˆ)()( ++=r kzzjyyixxr ififif ˆ)(ˆ)(ˆ)( −+−+−=∆ r deslocamento . if rrr rrr −=∆ Em 3D Raymond A. Serway / Jonh W. Jewet, Jr. Prícipios de Física, Vol. 1- CENGATE Learning 07 da partícula kzjyixr ˆˆˆ ∆+∆+∆=∆r Exercício 1 A posição de uma partícula em função do tempo em uma trajetória é dado no SI, x(t) = 0,2t2 + 5,0t + 0,5 e y(t) = -1,0t2 +10,0t +2,0, calcular o vetor deslocamento entre t = 3s e t = 6s. 08 então, Vetor Velocidade Média e Vetor Velocidade Instantânea - Vetor velocidade média: if if m tt rr t r v − − = ∆ ∆ = rrr r trttr v −∆+ = )()( rrr Fazendo, )( ttrrf ∆+= rr ,)(trri rr =e Fig. 3 – Partícula deslocando-se de A para B. Seu vetor velocidade muda no decorrer do tempo. Fig. 4 – Fazendo ttt trttr vm −∆+ = )()( k t zj t yi t x vm ˆˆˆ ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ = r - Vetor velocidade instantânea: t trttr v t ∆ −∆+ = →∆ )()(lim 0 rr r k dt dzj dt dyi dt dx dt trd v ˆˆˆ )( ++== r r 0→∆t if rr rr → a posição A se confunde com a posição B, ou seja, . 0→∆t if rr rr → Observações: - é sempre tangente à trajetória; - coincide com o módulo da velocidade escalar no instante t. v r v r 09 - Vetor velocidade média: k t zj t yi t x vm ˆˆˆ ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ = r - Vetor velocidade instantânea: k dt dzj dt dyi dt dx dt trd v ˆˆˆ )( ++== r r kvjvivv mzmymxm ˆˆˆ ++= r kvjvivtrdv ˆˆˆ)( ++== r r onde, Fórmulas para Cálculo da Velocidade (Derivada da posição em relação ao tempo). t z v t y v t x v mzmymx ∆ ∆ = ∆ ∆ = ∆ ∆ = ;; dt dz v dt dy v dt dx v zyx === ;; kvjviv dt trd v zyx ˆˆˆ )( ++== r onde, 10 222 mzmymxm vvvv ++= r e 222 zyx vvvv ++= r e Exercício 2 A posição de uma partícula em função do tempo em uma trajetória é dado no SI, x(t) = 0,2t2 + 5,0t + 0,5 e y(t) = -1,0t2 +10,0t +2,0, calcular (a) o vetor velocidade média entre t = 3s e t = 6s, (b) a velocidade instantânea em qualquer instante de tempo e (c) e velocidade no instante t = 5s. 11 Vetor Aceleração Média e Vetor Aceleração Instantânea - Vetor aceleração média: t tvttv t v am ∆ −∆+ = ∆ ∆ = )()( rrrr k t vj t v i t v a z yx m ˆˆˆ ∆ ∆ + ∆ ∆ + ∆ ∆ = r - Vetor aceleração instantânea: tvttv −∆+ )()( rrr - Lembrando que: dt trd v )(rr = dt tvd a )(rr =e Então, dt tvd a )(rr = = dt trd dt d )(r 2 )(trd a r r = t tvttv a t ∆ −∆+ = →∆ )()(lim 0 rr r k dt dvj dt dv i dt dv dt tvd a z yx ˆˆˆ )( ++== r r onde, kajaia dt tvd a zyx ˆˆˆ )( ++== r r dt dv a dt dv a dt dv a zz y y x x === ;; 2 )( dt trd a r = ou ainda, k dt tzdj dt tydi dt txd a ˆ )( ˆ )( ˆ )( 2 2 2 2 2 2 ++= r 12 k dt tzd a dt tyd a dt txd a zyx ˆ )( ; )( ; )( 2 2 2 2 2 2 === onde, Características da Aceleração Instantânea -A aceleração resulta de qualquer variação do vetor velocidade (quer seja do módulo, da direção ou do sentido de ). - O vetor aceleração sempre está voltado para o “interior” da trajetória. v r 13 Exercício 3 A posição de uma partícula em função do tempo em uma trajetória é dado no SI, x(t) = 0,2t2 + 5,0t + 0,5 e y(t) = -1,0t2 +10,0t +2,0, calcular (a) o vetor aceleração média para t = 3s e t = 6s, (b) a velocidade instantânea em qualquer instante de tempo e (c) e velocidade no instante t = 5s. 14 O Problema Inverso - Para uma aceleração conhecida, integrando obtém-se a velocidade :)(tar )(tvr ,)()( 0 tdtavtv t i ′′=− ∫ rrr onde, t ′′+= ∫ .)()( ;)()( ;)()( 0 0 0 tdtavtv tdtavtv tdtavtv t zziz t yyiy xxix ′′+= ′′+= ′′+= ∫ ∫ ∫ 15 - Integrando novamente, obtém a posição expressão da posição em função do tempo: O Problema Inverso ,)()( 0 tdtvrtr t i ′′+= ∫ rrr onde, ;)()( tdtvxtx t ′′+= ∫ .)()( ;)()( ;)()( 0 0 0 tdtvztz tdtvyty tdtvxtx t zi t yi t xi ′′+= ′′+= ′′+= ∫ ∫ ∫ 16 Exercício 4 Uma partícula descreve uma trajetória no sistema de coordenadas cartesiano com uma aceleração constante com componentes ax, ay e az não nulas. (a) Determine a velocidade instantânea e a (b) posição da partícula para qualquer instante de tempo. 17 Lançamento Horizontal A descrição do movimento é feita decompondo-se em: x yReferencial : Eixo-x : Movimento uniforme Eixo-y : Movimento com aceleração da gravidade tvxtx ixi+=)( 2)2/()( tgtvyty iyi −+= 18 tgvtv iyy −=)( Exercício 5 : Uma avião de salvamento lança um pacote com suprimentos de emergência para um grupo em terra. Se o avião está viajando horizontalmente com velocidade de 40 m/s a uma altura de 100 m do solo, encontre a distância que o pacote atinge o solo em relação ao ponto de lançamento. 19 Movimento de um projétil A trajetória de um projétil é unicamente determinado pela velocidade inicial .0v r vx = vx i= vi cos θi = constante vy = vy i - gt= vi sen θi - gt Componente x : Componente y : Tempo para atingir altura máxima h (quando vy = 0): th = (vy i / g) = (vi /g) sen θi Altura máxima h: h = (vy i th) – (g/2) th2= (vi2sen2 θi )/(2g) Note que o movimento é simétrico: o corpo leva um tempo th para subir e o mesmo tempo th para cair ao mesmo nível. 20 Alcance Alcance: distância horizontal percorrida até o objeto voltar à altura inicial R = vox(2th ) Para um módulo dado da velocidade )2( 2 i i sen g v R θ= Para um módulo dado da velocidade inicial o alcance máximo é : °=⇒= 452/2 ii θpiθ Então, g v R i 2 max= 21 Exercício 6 : Uma pedra é arremessada do alto de um prédio de 45 m com um ângulo de 30,0° e com velocidade escalar inicial de 20 m/s . (a) Por quanto tempo a pedra permanece em vôo? (b) Qual a velocidade da pedra antes de alcançar o solo? 22 Movimento Circular Uniforme (a) Um carro em movimento ao longo de um trajetória circular com velocidade constante está em movimento circular uniforme. (b) Quando a partícula desloca de A para B, seu vetor velocidade muda de vi para vf. (c) A construção para determinar a direção na velocidade ∆v, a qual se dirige para o centro da curva do círculo para ∆θ (a) (b) (c) para o centro da curva do círculo para ∆θ pequeno. Módulo da aceleração centrípeta:r v ac 2 = 23 v é a velocidade escalar; r é o raio de curvatura. No movimento circular uniforme (MCU), o intervalo de tempo necessário para completar uma volta é chamado período (T) Período RS pi2=∆Para ⇒ Tt =∆ T R v pi2 = t S v ∆ ∆ = ⇒ ⇒ v RT pi2= Exercício 7:Exercício 7: Em um brinquedo de um parque de diversões, os passageiros viajam com velocidade constante num círculo de raio 5,0 m. Se eles fazem uma volta completa em no círculo em 4,0 s, qual é a aceleração deles? R v ac 2 = R TR 2)/2( pi = 2 24 T Rpi = 2 2 )0,4( )0,5(4 s mpi = ⇒ 2/12 smac = 24 Aceleração Tangencial e Radial Aceleração tangencial: mudança na velocidade escalar Aceleração radial: mudança na direção da velocidade r v aa cr 2 −=−= dt vd at r = Módulo da Aceleração: 22 tr aaa += 25 Exercício 8 : Uma partícula em movimento circular de raio 1m, parte do repouso com aceleração uniforme e atinge uma velocidade escalar de 2 m/s em 5s. Determinar no instante 3 s (a) a aceleração tangencial, (b) a aceleração centrípeta e (c) a aceleração total. Resolução: (a) dt vd at = Como a aceleração é uniforme: v a ∆ = 02− = (b) A aceleração centrípeta depende da velocidade escalar. Para t = 7s: v a 2 = 2,1 2 = tavv ti += 0 ⇒ )3(4,0=v sm /2,1= 2/44,1 sm= t v at ∆ ∆ = 05 02 − − = 2/4,0 smat = 26 r ac = 1 = 2/44,1 smac = 2/44,1 sm= Para t =3s ⇒ (c) A aceleração total para t =3s: 22 tc aaa += 22 4,044,1 +=a 2/49,1 sma= A aceleração tangencial tem módulo igual ao da aceleração escalar, portanto, após 7s: 2/4,0 smat = Movimento Relativo Dois observadores medem a velocidade escalar do carro da frente. Para o observador O que está parado ao lado da rodovia, a velocidade escalar é 60 mi/h. Já para o observador O’ que está no carro de trás movendo-se com mesma velocidade escalar, o carro da frente tem velocidade escalar nula. 27 Movimento Relativo – Sistema de Referência Seja uma partícula localizada no ponto P no plano xy. O observador O’ está no sistema de referência S’ move-se com velocidade em relação à S. - Para t = 0, S’ coincide com S. - Para t > 0, S’ está a uma distância de S. Assim, Ov r tvO r Assim, tvrr O rr +′= Derivando em relação à t: ( ) ( )tvr dt d r dt d O rrr +′= Ovvv rrr +′= Ovvv rrr −=′ 28 Exercício 8 : Um barco direcionado para o norte cruza um rio largo com velocidade escalar em relação à água. O rio tem uma correnteza tal que a água está em movimento com velocidade escalar de 5,00 km/h em relação ao solo. (a) Qual é a velocidade do barco em relação a um observador estacionário ao lado do rio? (b) A qual ângulo deveria estar direcionado o barco se ele se ele deve navegar em direção ao norte pelo rio, e qual é a velocidade do barco em relação a terra? 29
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