Lista de exercícios - Cinemática Vetorial

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Exercícios Extra de Física Geral e Experimental II 
 
 
LISTA 01 - CINEMÁTICA VETORIAL 
 
 
1) Uma partícula movimenta-se no plano XY e sua aceleração varia com o tempo, segundo a função: 
𝒂
→
(𝒕) = (−𝟐 𝒕 𝒊
→
− 𝟖 𝒕 𝒋
→
)(𝒎/𝒔𝟐). No instante inicial, t = 0 s, a partícula ocupa a posição de P (0,3) m e inicia o 
seu movimento com velocidade igual a 𝒗𝟎
→
= (𝟐 𝒊
→
+ 𝟖𝒋
→
) m/s. 
Pede-se determinar: 
a) A equação do vetor velocidade; 
b) A equação da trajetória; 
c) O instante em que a velocidade se anula. 
 
R: a) 𝒗
→
(𝒕) = (𝟐 − 𝒕𝟐) 𝒊
→
+ (𝟖 − 𝟒 𝒕𝟐)𝒋
→
(𝒎/𝒔), b) y = 4x + 3 e z = 0 (SI), c) t = 1,41 s 
 
2) Uma partícula se move no plano xOy, partindo da origem com velocidade inicial 𝒗𝟎
→
= (−𝟑 𝒊
→
+ 𝟖 𝒋
→
) (m/s). 
Sua aceleração é constante e vale 𝒂
→
= 𝟓 𝒊
→
 m/s2. Determinar: 
a) A velocidade vetorial 𝑣
→
( 𝑡); 
b) O vetor posição 𝑟
→
( 𝑡); 
c) O instante em que a velocidade é paralela ao eixo Oy. 
 
R: a) 𝒗
→
(𝒕) = (𝟓 𝒕 − 𝟑)𝒊
→
+ 𝟖𝒋
→
(𝑺𝑰); b) 𝒓
→
(𝒕) = ( 
𝟓 𝒕𝟐
𝟐
− 𝟑 𝒕) 𝒊
→
+ 𝟖 𝒕 𝒋
→
(𝑺𝑰) , c) t = 0,600 s. 
 
 
 
3) A lei do movimento de uma partícula em relação ao referencial XY é dada pelas funções no (SI): 
 
x = 12 t – 6 t2 ; y = 16 t – 8 t2 
 
A partícula estava em repouso na origem. Pede-se determinar: 
a) O vetor posição 𝑟
→
( 𝑡); 
b) A equação da trajetória; 
c) A velocidade vetorial média entre os instantes t =0 s e t = 1,00 s; 
 
R: a) 𝒓
→
(𝒕) = [(𝟏𝟐 𝒕 − 𝟔 𝒕𝟐) 𝒊
→
+ (𝟏𝟔 𝒕 − 𝟖 𝒕𝟐) 𝒋
→
 ] (𝒎) ; b) 4x – 3y = 0 (trajetória retilínea); c) 𝒗𝒎
→
= (𝟔 𝒊
→
+ 𝟖𝒋
→
) (𝒎/𝒔). 
 
 
4) O movimento de um ponto material, relativamente ao referencial cartesiano xyz, é definido pela lei vetorial: 
𝒓
→
(𝒕) = ( 𝟑 𝒕𝟐 𝒊
→
+ 𝟔 𝒕 𝒋
→
− 𝟗 𝒕 𝒌
→
 ) (𝒎) 
Determinar: 
a) A velocidade vetorial média entre os instantes 1,00 s e 3,00 s; 
b) A expressão da função velocidade vetorial 𝒗
→
( 𝒕) bem como a sua velocidade escalar | 𝒗 |
→
 ; 
c) O versor da velocidade 𝒖𝑻
→
 = 
𝒗
→
| 𝒗 |
→ ; 
d) A aceleração vetorial média entre os instantes 1,00 s e 3,00 s. 
 
 
R: a) 𝒗𝒎
→
= (𝟏𝟐 𝒊
→
+ 𝟔𝒋
→
− 𝟗𝒌
→
) (𝒎/𝒔) ; b) 𝒗
→
= (𝟔 𝒕 𝒊
→
+ 𝟔𝒋
→
− 𝟗𝒌
→
) 𝒎/𝒔 ; | 𝒗 |
→
= √𝟑𝟔 𝒕𝟐 + 𝟏𝟏𝟕 (𝒎/𝒔) ; 
 c) 𝒖𝑻
→
 = 
𝒗
→
| 𝒗 |
→ = 
𝟔 𝒕 𝒊
→
+𝟔 𝒋
→
− 𝟗𝒌
→
√𝟑𝟔 𝒕𝟐+𝟏𝟏𝟕 
 ; d) 𝒂𝒎
→
= 𝟔 𝒊
→
 (𝒎/𝒔𝟐) . 
 
2 
 
5) O vetor velocidade de uma partícula varia com o tempo segundo a expressão: 
 
𝒗
→
(𝒕) = (𝟒 − 𝟒 𝒕) 𝒊
→
+ (𝟔 − 𝟔 𝒕) 𝒋
→
 (𝒎/𝒔) 
 
Sabe-se que no instante inicial, o móvel está na origem. Pede-se determinar: 
a) A equação da trajetória; 
b) O vetor aceleração total; 
c) Os vetores acelerações: tangencial e normal. 
 
R: a) 3x – 2y = 0 e z = 0 ; b) 𝒂
→
= ( −𝟒 𝒊
→
− 𝟔𝒋
→
)(𝒎/𝒔𝟐) ; c) 𝒂𝑻
→
= ( −𝟒 𝒊
→
− 𝟔𝒋
→
)(𝒎/𝒔𝟐); 𝒂𝑵
→
= 𝟎 (𝒎/𝒔𝟐) 
 
6) O vetor posição de um móvel que se movimenta sobre uma trajetória, partícula obedece a seguinte lei: 
𝒓
→
(𝒕) = (𝟏 + 𝟐 𝒕) 𝒊
→
+ 𝟒 𝒕𝟐 𝒋
→
+ 𝟓 𝒌
→
 (𝒎) 
Determinar: 
a) A equação da trajetória; 
b) Os vetores aceleração tangencial e aceleração normal no instante t = 1,00 s e o raio de curvatura R no 
instante t = 1,00 s. 
 
R: a) y = x2 – 2 x + 1 e z = 5 (m) ; b) 𝒂𝑻
→
= ( 𝟏, 𝟖𝟖 𝒊
→
+ 𝟕, 𝟓𝟎𝒋
→
)(𝒎/𝒔𝟐) ; 𝒂𝑵
→
= ( −𝟏, 𝟖𝟖 𝒊
→
+ 𝟎, 𝟓𝟎𝟎𝒋
→
)(𝒎/𝒔𝟐), R = 35,0 m 
 
 
7) Uma partícula move-se em uma trajetória cuja equação no SI é: y = x2 – 3x + 2 e z = 2 
 
A componente de sua velocidade segundo o eixo OX é constante e vale vx = 2,00 m/s. Sabe-se que a 
partícula se encontrava na abscissa x = 0 m no instante t = 0 s. Pede-se determinar: 
a) O vetor posição em função do tempo 𝑟
→
( 𝑡); 
b) As componentes intrínsecas da aceleração no instante t = 1,00 s. 
c) O raio de curvatura no instante t = 1,00 s. 
 
R: a) 𝒓
→
(𝒕) = 𝟐 𝒕 𝒊
→
+ (𝟒 𝒕𝟐 − 𝟔 𝒕 + 𝟐)𝒋
→
+ 𝟐𝒌
→
 (𝒎) ; b) 𝒂𝑻
→
= ( 𝟒, 𝟎𝟎 𝒊
→
+ 𝟒, 𝟎𝟎𝒋
→
)(𝒎/𝒔𝟐) ; 
 𝒂𝑵
→
= ( −𝟒, 𝟎𝟎 𝒊
→
+ 𝟒, 𝟎𝟎𝒋
→
)(𝒎/𝒔𝟐) ; c) R = 1,41 m 
 
8) Uma partícula move-se no plano XY com uma aceleração constante: 𝒂
→
= − 𝟒𝒋
→
 𝒎/𝒔𝟐 . No instante inicial 
t0 = 0s, a partícula se encontra no ponto P(2, 3, 0), com uma velocidade inicial 𝒗𝟎
→
= ( 𝒊
→
+ 𝟐𝒋
→
) 𝒎/𝒔. Pede-se 
determinar: 
a) vetor posição 𝒓
→
( 𝒕); 
b) A equação da trajetória; 
c) A velocidade média entre os instantes t = 0 s e t = 1,00 s; 
 
R: a) 𝒓
→
(𝒕) = (𝒕 + 𝟐)𝒊
→
+ (−𝟐𝒕𝟐 + 𝟐 𝒕 + 𝟑)𝒋
→
(𝑺𝑰) ; b) y = – 2 x2 + 10 x – 9 ; c) 𝒗𝒎
→
= 𝒊
→
 (𝒎/𝒔). 
 
9) A lei do movimento de um ponto material, relativamente ao referencial xy, é definido pelas equações no 
S.I.: x = 2 t e y = t 2. Pede-se determinar o raio de curvatura da trajetória, no instante t = 1,00 s. 
 
R: 𝒂𝑻
→
= ( 𝒊
→
+ 𝒋
→
) (𝒎/𝒔𝟐) ; 𝒂𝑵
→
= ( − 𝒊
→
+ 𝒋
→
) (𝒎/𝒔𝟐) ; R = 5,66 m. 
 
10) Uma roda-gigante com raio igual a 14,0m está girando em torno do seu eixo 
conforme a figura ao lado. Sabendo que uma passageira está com velocidade linear 
constante na periferia de 7,00 m/s, determine os vetores aceleração tangencial e 
normal da passageira quando estiver: 
 
a) no ponto mais baixo da roda-gigante; 
b) no ponto mais alto da roda-gigante. 
 
R: a) 𝒂𝑻
→
= 𝟎 e 𝒂𝑵
→
= 𝟑, 𝟓 𝒋
→
 (𝒎/𝒔𝟐) ; b) ) 𝒂𝑻
→
= 𝟎 e 𝒂𝑵
→
= − 𝟑, 𝟓 𝒋
→
 (𝒎/𝒔𝟐) 
3 
 
11) A função horária da velocidade do movimento de uma partícula é dada pela função: 
 
v = 1,00 t2 – 5,00 t + 6,00 (SI) 
 
Sabendo-se que no instante inicial t0 = 0 s, a posição inicial é s0 = 10,0 m, pede-se determinar: 
a) O módulo da componente tangencial da aceleração, no instante t = 4,00 s; 
b) O módulo da componente normal da aceleração, se no instante t = 4,00 s, sabendo que o raio de curvatura 
 é R = 2,00 m; 
c) O módulo da aceleração total. 
 
 
R: a) aT = 3,00 m/s2 ; b) aN = 2,00 m/s2 ; d) a = 3,61 m/s2. 
 
 
12) A velocidade escalar de um móvel, em função do tempo é dado por𝒗(𝒕) = (𝟒 𝒕 + 𝒕𝟐)𝒎/𝒔. Num dado 
instante t, o módulo da sua aceleração tangencial é aT = 8,00 m/s2 e o raio de curvatura neste mesmo 
instante é R = 24,0 m. Determinar: 
a) o módulo da aceleração normal; 
b) o módulo da aceleração total. 
 
R: a) aN = 6,00 m/s2 ; b) a = 10,0 m/s2. 
 
13) Um partícula percorre uma trajetória circular de 6,0m diâmetro obedecendo a função da velocidade 
𝒗(𝒕) = (𝟏, 𝟎 + 𝟒, 𝟎 𝒕) 𝒎/𝒔. Para o instante t = 0,50s, determine: 
a) o módulo do vetor velocidade; 
b) o módulo do vetor aceleração total. 
 
R: a) v = 3,0 m/s ; b) a = 5,0 m/s2. 
 
 
14) A figura ao lado representa uma partícula se movendo no sentido 
horário em um círculo de raio 2,50m em um determinado instante onde o 
módulo da aceleração total vale 15,0 m/s2. Para este instante determine: 
a) o módulo da aceleração tangencial. 
b) o módulo da aceleração normal; 
c) o módulo da velocidade escalar. 
 
R: a) aT = 7,50 m/s2 ; b) aN = 13,0 m/s2 ; c) v = 5,70 m/s 
 
 
 
15) A componente tangencial da aceleração de um ponto material é dada pela expressão em função da 
posição (s): 
𝒂𝑻 = (𝟐𝟓, 𝟎 – 𝟑, 𝟎𝟎 𝒔
𝟐) (𝑺. 𝑰. ) 
 
Este ponto material inicia seu movimento a partir do repouso, na origem da trajetória. 
Determinar: 
a) A equação que fornece a velocidade escalar em função da posição: v = f(s); 
b) A posição do ponto material, quando a velocidade é zero novamente; 
c) A posição do ponto material quando a velocidade é máxima. 
 
R: a) 𝒗( 𝒔) = √ 𝟓𝟎 𝒔 − 𝟐 𝒔𝟑 (𝒎/𝒔) ; b) 5,00 m ; c) 2,89 m