Dinamica dos sistemas sólidos

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Dinâmica dos sistemas sólidos-fluidos
Estudo da dinâmica dos sistemas sólidos-fluidos com aplicação na caracterização de partículas sólidas,
sistema de peneiramento como classificação granulométricas e operações de redução e transporte de
sólidos.
Prof. Vitor da Silva Rosa
1. Itens iniciais
Propósito
A compreensão da caracterização de partículas sólidas e a classificação granulométrica são essenciais para o
projeto de sistemas de redução e transporte de sólidos particulados.
Preparação
Antes de iniciar o conteúdo, faça o download do Solucionário. Nele você encontrará o feedback das
atividades. Certifique-se de ter acesso à calculadora científica a fim de repetir os cálculos apresentados e
resolver os problemas propostos ao longo dos módulos.
Objetivos
Reconhecer a caracterização de partículas sólidas e o conceito do diâmetro característico de uma 
partícula sólida.
Reconhecer como obter a classificação granulométrica em um sistema de peneiras.
Analisar o projeto de operações de redução e transporte de sólido.
Introdução
Antes de começarmos, assista ao vídeo a seguir e compreenda os conceitos de dinâmica dos sistemas
sólidos-fluidos.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
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https://stecine.azureedge.net/repositorio/00212en/04229/docs/solucionario_dinamica_dos_sistemas_solidos_fluidos.pdf
1. Caracterização de partículas sólidas
Vamos começar!
Introdução à caracterização de partículas sólidas
Conheça agora os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Introdução aos sólidos particulados
Há uma grande variedade de operações unitárias que contêm sólidos particulados, como escoamento
hidráulico de minério de ferro, transporte pneumático de grãos alimentícios, moagem de brita, reações com
leito fluidizado, separações mecânicas, escoamento de fluidos em matrizes porosas, entre outros.
Veja que a simples presença do sólido nesses sistemas aumenta exponencialmente a dificuldade em
dimensionar esses equipamentos. Quando estamos tratando de sistemas contendo sólidos, geralmente,
perdemos a condição de sistema monofásico e homogêneo.
Atenção
Em um sistema multifásico (sólido-fluido), não é possível definir completamente o estado físico da
mistura. 
Associado a esse problema, nem todas as partículas sólidas da substância possuem a mesma forma. Na
verdade, isso é quase impossível. Assim, nós devemos definir três características importantes de uma
partícula sólida:
Composição
Determina propriedades como massa específica e condutividade, desde que a partícula seja
completamente uniforme. Porém, em muitos casos, a partícula é porosa ou pode consistir em uma
matriz contínua, na qual pequenas partículas de uma segunda substância são distribuídas.
Tamanho
Determina o tamanho da partícula e é importante porque afeta propriedades como a área superficial
por unidade de volume e a taxa na qual uma partícula se depositará num fluido. Podemos ter
partículas com forma regular (esférica ou cúbica) ou irregular – por exemplo, um pedaço de vidro
quebrado.
Forma
Determina as partículas com formas regulares que são capazes de definição precisa por equações
matemáticas, enquanto as irregulares não são. Veja que as propriedades de partículas irregulares são
geralmente expressas em termos de algumas características particulares de uma forma regular.
Grandes quantidades de partículas são manuseadas em escala industrial, sendo necessário definir o sistema
como um todo. Assim, no lugar do tamanho das partículas, é preciso conhecer a distribuição dos tamanhos
das partículas na mistura e ser capaz de definir um tamanho médio que, de alguma forma, represente o
comportamento da massa particulada como um todo. 
Caracterização de partículas simples
A forma mais simples de uma partícula é a esfera. Devido a sua simetria, qualquer questão de orientação não
precisa ser considerada. Por exemplo, se você jogar uma partícula esférica em um fluido – independentemente
de qual parte dessa esfera tocar o fluido –, o efeito provocado pela partícula será o mesmo. Nenhuma outra
partícula tem essa característica.
Com frequência, o tamanho de uma partícula de forma irregular é definido em termos do tamanho de uma
esfera equivalente, embora a partícula seja representada por uma esfera de tamanho diferente, de acordo
com a propriedade selecionada. 
Vejamos alguns dos tamanhos importantes de esferas equivalentes:
Esfera de mesmo volume que a partícula.
 
Esfera com a mesma área de superfície que a partícula.
 
Esfera com a mesma área de superfície por unidade de volume que a partícula.
 
Esfera da mesma área que a partícula quando projetada em um plano perpendicular ao seu sentido de
movimento.
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Esfera da mesma área projetada que a partícula, vista de cima, quando deitada em sua posição de
máxima estabilidade, como em uma lâmina de microscópio, por exemplo.
 
Esfera que passará pelo mesmo tamanho de abertura quadrada que a partícula, como em uma tela.
 
Esfera com a mesma velocidade de sedimentação que a partícula em um fluido especificado.
Várias definições dependem da medição de uma partícula em uma orientação particular. 
Assim, o diâmetro estatístico de Feret é definido como a distância média entre duas linhas paralelas
tangenciais à partícula em uma direção arbitrariamente fixa, independentemente da orientação de cada
partícula chegando por inspeção, conforme apresentado na imagem a seguir.
Diâmetro de Feret em uma partícula irregular.
Uma medida de forma das partículas que é frequentemente utilizada é a esfericidade definida como:
A maioria dos sistemas particulados de interesse prático consiste em partículas de uma ampla gama de
tamanhos, sendo necessária uma indicação quantitativa da dimensão média e da propagação de tamanhos.
Os resultados de uma análise de tamanho podem ser mais convenientemente representados por meio de uma
curva de fração de massa cumulativa, na qual a proporção de partículas (x) menores que determinado
tamanho (d) é plotada em relação a esse tamanho (d).
Na maioria das determinações práticas de tamanho de partícula, a análise de tamanho será obtida por uma
série de etapas, cada uma representando a proporção de partículas que se encontram dentro de certa faixa
de tamanho.
A partir desses resultados, uma distribuição de tamanho cumulativo pode ser construída e isso pode ser
aproximado por uma curva suave, desde que os intervalos de tamanho sejam suficientemente pequenos. Uma
curva típica para distribuição de tamanho em uma base cumulativa é apresentada na imagem a seguir.
• 
• 
• 
Eq. 1 
Curva de distribuição de partículas na base cumulativa.
Essa curva sobe de zero à unidade na faixa do menor ao maior tamanho de partícula presente.
A distribuição de tamanhos de partículas pode ser vista mais facilmente traçando uma distribuição de
frequência, como a ilustrada na imagem a seguir, onde a inclinação da curva cumulativa (imagem
anterior) é plotada em relação ao tamanho de partícula (d).
O tamanho que ocorre com mais frequência é mostrado pelo máximo da curva.
Curva de distribuição de partículas – frequência.
Para materiais de ocorrência natural, a curva geralmente terá um único pico. Para misturas de partículas, pode
haver tantos picos como componentes da mistura.
A distribuição de tamanho das partículas pode ser realizada experimentalmente pelos seguintes métodos:
Decantação e elutriação
São métodos indiretos que se baseiam na
medida da velocidade de decantação da
partícula em um fluido. Estando relacionada
diretamente com as dimensões da partícula,
essa velocidade permitirá o cálculo do tamanho,
desde que a equação que descreve esse
fenômeno seja conhecida.
Peneiramento
É um método que consiste em passar a massa
de partículas através de malhas
progressivamente menores, até que fique
retida. O tamanho da partícula estará
compreendido entre a medida da malha que a
reteve e a da imediatamente anterior.
Tamanho médio departícula
A expressão do tamanho de uma partícula sólida de um pó em termos de uma única dimensão linear é muitas
vezes necessária. Para partículas grossas (pós com partículas com tamanho de 0,5mm a 10mm), Bond (1963)
escolheu arbitrariamente o tamanho de abertura de uma malha por onde passará cerca de 80% do material.
O tamanho de abertura de uma malha é denominado d80.
Um tamanho médio descreverá apenas uma característica particular do pó, sendo necessário decidir qual é
essa característica antes que a média seja calculada. Assim, pode ser desejável definir o tamanho da partícula
de tal forma que sua massa, sua superfície ou seu comprimento seja o valor médio para todas as partículas no
sistema.
Vamos assumir que todas as partículas têm a mesma forma. Considere uma massa unitária de partículas
consistindo em partículas de dimensão característica constituindo uma fração em massa Então:
Onde:
 é uma constante que depende da forma da partícula.
 é a densidade das partículas.
Para toda a população de partículas, tem-se que:
Isolando na Eq. 2:
Se a distribuição de tamanho das partículas pode ser representada por uma função contínua, logo: 
Separando as diferenciais, temos:
Eq. 2 
• 
• 
Eq. 3 
Eq. 4 
Eq. 5 
Integrando, temos:
A integral do lado esquerdo possui resultado 1, uma vez que o valor máximo possível para a fração mássica
das partículas é 1. A integral do lado direito da Eq. 7 para ser resolvida requer o conhecimento da dimensão
característica A seguir, veremos como calcular a dimensão característica d em duas bases.
Tamanho médio com base no volume
Vimos a imagem da curva de distribuição de partículas na base cumulativa, em que a abscissa média (valor
médio no eixo x) é definida como o diâmetro médio do volume 
Expressando a Eq. 8 na forma de diferenças finitas, temos que:
A Eq. 9 pode ser representada em termos do número de partículas em vez da fração em massa. Assim,
substituindo a Eq. 5 na Eq. 9 e reorganizando, temos: 
Outro tamanho médio baseado no volume é o diâmetro médio do volume Se todas as partículas são de
tamanho então o volume total de partículas é o mesmo na mistura. Logo:
Eq. 6 
Eq. 7 
Eq. 8 
Eq. 9 
Eq. 10 
Eq. 11 
Em termos da fração em massa basta substituir a Eq. 12 na Eq. 5:
Tamanho médio com base na superfície
Na imagem da curva de distribuição de partículas na base cumulativa, se em vez da fração mássica total a
superfície (área) em cada fração for plotada em relação ao tamanho, então uma curva semelhante é obtida,
embora a abscissa média seja o diâmetro médio da superfície. Então:
Onde:
.
 é uma constante cujo valor depende da forma da partícula.
O parâmetro também é conhecido como diâmetro médio de Sauter, o qual é o diâmetro da partícula com a
mesma superfície específica do pó.
Substituindo a Eq. 4 na Eq. 14, temos:
Para o diâmetro médio da superfície se todas as partículas têm o mesmo tamanho, a superfície total será
a mesma que na mistura:
Analisando um exemplo
Considere uma partícula sólida de um pó com formato cúbico, com aresta de tamanho conforme
apresentado na imagem a seguir. Obtenha o valor da esfericidade da partícula.
Eq. 12 
Eq. 13 
Eq. 14 
• 
• 
Eq. 15 
Eq. 16 
Partícula com formato cúbico.
Lembrando que, por definição, a esfericidade é dada por:
A área superficial da partícula corresponde à área superficial de um cubo. Cada face do cubo tem área 
 dada por:
Como o cubo tem 6 faces, logo, a área é dada por:
O volume de um cubo é dado por:
E o volume da esfera é dado por:
Em que é o diâmetro da esfera.
Eq. 17 
Eq. 18 
Eq. 19 
Eq. 20 
Eq. 21 
A área da esfera é:
Igualando as Eq. 20 e Eq. 21, temos:
Isolando o diâmetro na Eq. 23, temos:
Substituindo a Eq. 23 na Eq. 22, temos:
A Eq. 25 representa a área superficial da esfera de mesmo volume que a partícula sólida. Por fim, substituindo
as Eq. 19 e Eq. 25 na Eq. 17, temos que:
A esfericidade de uma partícula cúbica é de 0,81. O que isso significa? Fisicamente, um cubo possui 81% da
forma geométrica de uma esfera, o que é bem coerente.
Se você tentar colocar uma esfera em cubo, verá que apenas as pontas do cubo ficarão para fora da esfera.
Mão na massa
Questão 1
A análise de tamanho de um material em pó com base em massa é representada por uma linha reta de 0% de
massa a de tamanho de partícula a 100% de massa a de tamanho de partícula, conforme
mostrado na imagem a seguir. Qual o diâmetro médio da superficie das partículas que constituem o sistema?
Eq. 22 
Eq. 23 
Eq. 24 
Eq. 25 
Eq. 26 
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Em um laboratório, foi realizado um experimento para determinar o diâmetro médio de Salter de um material
particulado. O pó passou por uma série de peneiras, de modo que o tamanho característico da partícula, em 
, foi colocado em função da fração mássica da amostra, conforme observado na imagem a seguir. A partir
dos resultados obtidos, o diâmetro médio de Salter desse material é: 
A
B
C
D
E
A alternativa C está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Conteúdo interativo
Acesse a versão digital para assistir ao vídeo.
Questão 3
A esfericidade de uma partícula com formato de um paralelepípedo nas dimensões apresentadas na imagem a
seguir é:
A
0,47
B
0,57
C
0,67
D
0,77
E
0,87
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Em um laboratório, realizou-se a análise de distribuição de tamanho de um pó. Para faixa de tamanho de 0 a 
, a distribuição é dada por e para tamanho entre 10 e , a distribuição é dada por 
. Nessas condições, o diâmetro médio da superfície é:
A
B
C
D
E
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
Conteúdo interativo
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Questão 5
Um polímero em pó teve a sua distribuição de tamanho realizada em um laboratório. A distribuição foi
realizada a partir do tamanho das partículas em função da fração em massa. Foi obtida uma curva contínua
com a seguinte equação característica: 2. A dimensão característica d é dada em . Nessas
condições, o diâmetro médio na base volumétrica é:
A
B
C
D
E
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Um farelo em pó teve a sua distribuição granulométrica realizada em um laboratório. A faixa de interesse para
o processo industrial consiste no pó com um tamanho entre 10 a 100 (d), que é dada por: 
, com o em . O diâmetro médio de Salter é:
A
B
C
D
E
A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Teoria na prática
Um engenheiro foi contratado para instalar um filtro a fim de reter farelo em suspensão em um terminal
portuário. Sabe-se que a concentração de farelo em suspensão no ar não deve ultrapassar o limite imposto
pela legislação, a fim de evitar explosões. Para o projeto do filtro, é necessário conhecer a diâmetro médio de
Salter do farelo. Para tal, em um laboratório, o engenheiro avaliou diversos tipos recebidos e chegou à
conclusão de que 95% do farelo possui uma distribuição de tamanho entre e . A equação 
 representa a distribuição do tamanho do farelo em função da fração mássica.
Chave de resposta
O diâmetro médio de Salter é calculado por:
O somatório na Eq. 27 pode ser substituído por uma integral, uma vez que a distribuição das partículas é
dada por uma função contínua:
Substituindo a função para a distribuição do tamanho da partícula na Eq. 28, temos:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Um pó teve a sua distribuição de tamanho realizada em um laboratório. Tal distribuição foi realizada a partir do
tamanho das partículas em função da fração em massa. Foi obtida uma curva contínua com a seguinte
equação característica: . A dimensão característicad é dada em . Nessas condições, o
diâmetro médio volumétrico é:
A
B
C
D
E
Eq. 27 
Eq. 28 
Eq. 29 
Eq. 30 
A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Um pó teve a sua distribuição de tamanho realizada em um laboratório. Tal distribuição foi realizada a partir do
tamanho das partículas em função da fração em massa. Foi obtida uma curva contínua com a seguinte
equação característica: . A dimensão característica d é dada em m. Nessas condições, o
diâmetro de Salter é:
A
B
C
D
E
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
2. Peneiramento como sistema de classificação de partículas
Vamos começar!
Operações de peneiramento
Conheça agora os principais pontos que serão abordados neste módulo.
Conteúdo interativo
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Operação de peneiramento
A separação de materiais é uma operação frequente nos processos industriais. As impurezas devem ser
separadas das matérias-primas e dos produtos; os produtos são separados de subprodutos de pouco valor
agregado; materiais valiosos são recuperados de resíduos.
Assim, as operações unitárias de separação são classificadas em:
Mecânicas
Físico-químicas
Químicas
Uma das operações unitárias de separação mecânica mais simples que temos é o peneiramento, que consiste
na separação de sistemas que contêm apenas fases sólidas.
A separação dos sólidos envolve dividir o sólido granular em frações homogêneas e obter frações com
partículas do mesmo tamanho. É praticamente impossível, em condições reais de operação, atingir os dois
objetivos ao mesmo tempo. Veja que, quando desejamos apenas obter frações com partículas do mesmo
tamanho, o peneiramento é a operação unitária mais econômica. Na imagem a seguir, temos uma ilustração da
ideia empregada na peneira. 
Frações obtidas no peneiramento.
O sólido é alimentado na parte superior da peneira, sendo movimentado sobre ela. As partículas que passam
pelas aberturas constituem os finos e as que ficam retidas constituem os grossos. Veja que qualquer uma
dessas frações pode ser o objetivo do processo. Se o objetivo for frações não classificadas, usa-se apenas
uma peneira, se for frações classificadas, usa-se mais de uma peneira. Entenda melhor a seguir:
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Veja que, em uma operação ideal, a maior partícula da fração fina é menor que a menor partícula da fração
grossa. A abertura da malha da peneira (imagem a seguir) limita o tamanho das partículas da fração fina e o
máximo da fração grossa, sendo denominado de diâmetro de corte.
Diâmetro de corte da peneira.
A padronização do diâmetro de corte da peneira ou abertura da malha é padronizada pela série Mesh Tyler.
Veja algumas características:
As aberturas das peneiras são quadradas e cada uma é identificada em Mesh por polegada.
O Mesh representa o número de aberturas por polegada linear.
Exemplo
Uma peneira 200Mesh Tyler implica em 200 aberturas por polegada linear ou 200 aberturas a cada
25,4mm. A espessura do fio que constitui a peneira é de 0,053mm. 
Na tabela a seguir, estão apresentados alguns valores de abertura e espessura de fio para algumas das
peneiras Mesh Tyler. 
Mesh Abertura (mm) Espessura do fio (mm)
10 1,651 0,889
20 0,833 0,437
Frações não classificadas 
Com somente uma peneira, é possível separar
apenas duas frações que são ditas não
classificadas, uma vez que somente uma das
medidas extremas de cada fração é
conhecida: a da maior partícula da fração fina
a da menor partícula da fração grossa.
Frações classificadas 
Com mais peneiras, é possível obter
frações classificadas. Cada uma satisfaz
as especificações de tamanho máximo e
mínimo das partículas. Nesse caso, a
operação passa a ser chamada de 
classificação granulométrica, muito
importante para o projeto de
equipamentos que visam separar
frações sólidas.
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Mesh Abertura (mm) Espessura do fio (mm)
48 0,295 0,234
100 0,147 0,107
150 0,104 0,066
200 0,074 0,053
400 0,038 0,025
Tabela: Valores das peneiras da série Tyler.
Vitor da Silva Rosa
Em operações reais, o diâmetro de corte nem sempre irá condizer com a abertura da malha da peneira.
Algumas partículas, maiores que esse diâmetro, passam pela peneira e se incorporam aos finos, enquanto
outras tantas partículas menores que o diâmetro de corte ficam retidas nos grossos.
Diversas razões explicam a retenção de partículas finas nos grossos do peneiramento: a aderência do pó às
partículas grandes é um fator importante; a aglomeração de várias partículas pequenas por coesão pode
originar aglomerados incapazes de passar pela abertura da malha da peneira etc.
Em relação à passagem dos grossos pela malha, isso pode ocorrer em decorrência de alguns fatores, como:
Irregularidade das malhas, ou seja, devido à fabricação pode ocorrer uma não homogeneidade do
tamanho da malha.
 
Uso de carga excessiva de material sólido na peneira, de modo que algumas partículas sólidas podem
ser forçadas a passar individualmente pela malha.
Tipos de peneiras
As peneiras podem ser construídas com qualquer metal, como ferro, latão, cobre, aço inoxidável e de plástico
(policloreto de vinila – PVC, polietileno, polipropileno). Em alguns casos, empregam-se chapas de aço
perfuradas, sendo comum também o uso de grelhas fixadas em estruturas metálicas reforçadas para realizar
peneiramentos grosseiros. 
A área da peneira depende da vazão de alimentação de sólidos e as suas propriedades físicas, do
tipo de operação (contínua ou batelada) e do tipo de peneira. 
Veja que, se a área da peneira for muito aberta e com pouco suporte, a capacidade de peneiramento será
grande; porém, se o sólido for abrasivo, a vida útil da peneira será relativamente curta. Se uma peneira possuir
uma malha quadrada com abertura e espessura de fio e, a porcentagem de abertura é dada pela Eq. 31.
Considerando uma peneira 200Mesh Tyler, temos que é igual 0,074mm com igual a 0,053mm, conforme
já apresentado. Assim, substituindo naEq. 31, temos uma porcentagem de abertura de aproximadamente 40%.
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Eq. 31 
Se utilizarmos uma peneira 400Mesh Tyler a porcentagem de abertura da
peneira será de aproximadamente 36%.
Conforme o Mesh vai diminuindo, a abertura da malha diminui progressivamente, o que também implica maior
dificuldade do sólido ao passar pela peneira. 
Esse valor é inapropriadamente chamado de eficiência da peneira. Mas a eficiência de uma peneira
vai além do tamanho da abertura da malha!
As peneiras são classificadas em:
Estacionárias
Telas.
Grelhas.
Mecânicas
Rotativas: tambores rotativos.
Agitadas: horizontal, vertical e
movimento giratório em apenas uma
extremidade.
Vibratórias
Vibradores mecânicos.
Vibradores eletromagnéticos.
Com agitação simultânea.
Entenderemos melhor cada uma das peneiras a seguir:
Peneiras estacionárias
As peneiras estacionárias são as mais simples, robustas e econômicas,
porém seu uso é restrito para a separação de sólidos grosseiros, às
vezes maiores que 5cm. São operadas de forma descontínua e possuem
como grande desvantagem o entupimento.
Essas peneiras são constituídas por telas inclinadas com 1 a 10cm de
abertura, alimentadas manualmente e em geral empregadas para separar
os finos das cargas de britadores. Também há modelos com grelhas,
como apresentado na imagem a seguir.
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Peneiras mecânicas rotativas
As peneiras mecânicas rotativas podem ser de vários tipos, o mais
comum é o tambor rotativo. Ele é constituído por um cilindro longo, com
inclinação de 5° a 10° em relação à horizontal e possui uma rotação baixa
em torno do eixo.
A superfície lateral do cilindro pode ser uma placa metálica perfurada ou
tela, com aberturas de tamanhos progressivamente maiores na direção
da saída, de modo que isso permite separar diversas frações do material.
O comprimento varia de 4 a 10 metros.
Peneiras mecânicas agitadas
As peneiras mecânicas agitadas, por sofrerem muita agitação,provoca a
movimentação das partículas sobre a superfície de peneiramento.
Geralmente são inclinadas, de modo que o material é transportado ao
mesmo tempo que é feito o peneiramento.
Possui uma eficiência relativamente elevada para materiais com
granulometria superior a 1cm, porém é ineficiente para materiais finos,
principalmente em capacidade elevada.
Peneiras mecânicas vibratórias
As peneiras vibratórias possuem alta capacidade e eficiência,
especialmente com material fino. Tem-se as peneiras com estrutura
vibrada e com tela vibrada. Nessas peneiras, o movimento vibratório é
caracterizado por impulsos rápidos de pequena amplitude (1,5 a 25mm) e
de alta frequência (1.200 a 7.000 ciclos por minuto).
Dimensionamento de uma peneira
O dimensionamento de uma peneira envolve três passos:
Primeiro passo
Cálculo das quantidades de sólidos produzidas.
Segundo passo
Cálculo da eficiência do peneiramento.
Terceiro passo
Cálculo das dimensões da peneira.
Entenderemos melhor cada um desses passos a seguir. Vamos lá?
Cálculo das quantidades de sólidos produzidas
Considere a peneira hipotética apresentada na imagem a seguir:
Esquema de uma peneira hipotética.
Podemos observar na imagem acima que uma quantidade de sólidos é alimentada na peneira, uma parte
dos sólidos passa pela peneira como finos e outra parte fica retida como grossos Um balanço de
massa total na peneira em regime permanente (sem variações de propriedades com o tempo) implica:
Se e representam a fração em massa dos grossos em e respectivamente, temos
que:
Se fizermos na Eq. 32 e substituirmos na Eq. 33, teremos:
Se fizermos na Eq. 32 e substituirmos na Eq. 33, teremos:
As Eq. 35 e Eq. 36 permitem obter os valores das vazões mássicas de finos e grossos do
peneiramento.
Eq. 32 
Eq. 33 
Eq. 34 
Eq. 35 
Eq. 36 
Eficiência do peneiramento
A fração dos grossos alimentados à peneira e que chegam ao produto dos grossos é uma medida da
eficiência de recuperação de grossos. Veja na próxima imagem:
Esquema ilustrando a recuperação dos sólidos grossos.
A fração dos grossos alimentados pode ainda ser descrita conforme mostra a equação seguinte:
Se tomarmos como referencial os finos, temos uma alimentação contendo de finos e uma fração
de finos na corrente de de modo que a eficiência de recuperação dos sólidos finos é dada
por:
Se multiplicarmos as eficiências apresentadas nas Eq. 37 e Eq. 38, temos:
A Eq. 40 possibilita o cálculo da eficiência do peneiramento Veja que, se todo o material fino fosse para a
corrente dos finos e todo o material grosso fosse para a corrente dos grossos, a eficiência do peneiramento
seria igual a 1 (ou 100%).
Dimensionamento de uma peneira
Eq. 37 
Eq. 38 
Eq. 39 
Eq. 40 
O cálculo da área necessária para realizar uma operação de peneiramento é realizada com base em dados
experimentais de capacidade mencionados em catálogos fornecidos por fabricantes.
Comumente são fornecidos os valores da capacidade específica em toneladas por 24h de operação, por
metro quadrado e por milímetro de abertura da malha da peneira.
Exemplo
Peneiras agitadas possuem capacidades específicas entre 20 e 
Na Eq. 41, temos uma relação para o cálculo da superfície de peneiramento em metros quadrados.
Onde:
 é a capacidade de alimentação de sólidos em toneladas por hora.
 é a abertura da malha da peneira.
Demonstração de um experimento
Em um laboratório foi realizado um experimento para determinar a análise granulométrica de um tipo de areia.
Foi retirada uma amostra de 1.218 gramas de areia do lote enviado para análise.
A amostra foi submetida a uma operação de peneiramento em um dispositivo contendo sete peneiras
acopladas de forma vertical, conforme imagem apresentada a seguir.
Eq. 41 
• 
• 
Peneiras acopladas verticalmente em dispositivo vibratório.
A amostra é colocada na primeira peneira (parte superior do dispositivo apresentado na imagem). Em seguida,
põe-se uma tampa e o dispositivo é fechado. Uma vibração é inserida e a operação de peneiramento é
iniciada.
Conforme a areia é peneirada, as frações são separadas em cada uma das peneiras, com os grossos na
primeira peneira (de cima para baixo) e os finos na última (a que chamamos de cega). Entre a primeira peneira
e a peneira cega, há um aumento gradual do Mesh, o que significa que o diâmetro de abertura da malha está
diminuindo.
Após um tempo, a vibração foi encerrada e cada uma das peneiras foi retirada para pesagem das frações. Na
tabela a seguir, estão apresentadas as massas pesadas em cada peneira, as quais estão identificadas pela
série Mesh Tyler, bem como a abertura da malha 
Mesh 9 16 24 32 42 60 Fundo
D(mm) 2 1 0,707 0,500 0,354 0,250 ---------
Massa(g) 23 96 118 265 174 279 263
Tabela: Massa de areia peneirada para uma amostra de 1218 gramas.
Vitor da Silva Rosa
Com as informações da tabela, vamos determinar o diâmetro médio da areia com base em 80% de material
passante pelas peneiras 
Inicialmente, vamos calcular a fração mássica da amostra em cada uma das peneiras, a partir da Eq. 42.
Eq. 42 
Os resultados estão apresentados na tabela a seguir.
Mesh Massa(g) Fraçãomássica (x)
9 23 0,0189
16 96 0,0788
24 118 0,0969
32 265 0,2176
42 174 0,1429
60 279 0,2291
Fundo 263 0,2159
Tabela: Fração mássica da amostra em cada peneira.
Vitor da Silva Rosa
Exemplo
Vamos utilizar a Eq. 42 para a primeira peneira (Mesh 9) 
O próximo passo é calcular a fração retida em cada peneira. Essa fração também é chamada de fração
acumulada.
Na tabela a seguir, estão apresentados os resultados.
Mesh 1 Fraçãomássica (x) 2 Fraçãoretida (ϕ) 3
9 0,0189 0,0189
16 0,0788 0,0977
24 0,0969 0,1946
32 0,2176 0,4122
42 0,1429 0,5551
60 0,2291 0,7842
Fundo 0,2159 1,0000
Tabela: Fração mássica da amostra em cada peneira.
Vitor da Silva Rosa
Veja o exemplo de cálculo: 
Fração retida no Mesh (soma das frações mássicas das peneiras
anteriores e atual).
 
Fração retida no Mesh .
O próximo passo envolve a construção do gráfico da fração retida em função do diâmetro de abertura
das peneiras . O gráfico está apresentado na imagem a seguir:
• 
• 
Distribuição granulométrica da amostra de areia peneirada.
O gráfico apresentado na imagem anterior ilustra a distribuição granulométrica da areia após o peneiramento
em função do material retido nas peneiras, ou seja, os grossos. Foi pedido o diâmetro médio da amostra para
80% de material passante pela malha; logo, nesse caso, deveremos obtê-lo em função dos 20% (0,2) de
material não passante.
Entrando com uma fração acumulada de 0,2 na ordenada da imagem e encontrando a curva, lê-se o diâmetro
médio da amostra. Veja na imagem a seguir:
Procedimento gráfico para o cálculo do diâmetro médio da amostra.
Podemos concluir que o diâmetro médio da amostra de areia é 1,10mm.
Esse parâmetro é importante para o projeto de moinhos, transportadores de sólidos e fluidizações.
Mão na massa
Questão 1
Uma peneira é alimentada com 500kg/h de areia que apresenta 30% da fração desejada (partículas menores
que a abertura da peneira em análise). Após o peneiramento, verifica-se que os grossos constituem uma
vazão de 170kg/h, sendo que 82% correspondem à fração desejada. Qual a eficiência desse peneiramento? 
A
6,4%
B
8,4%
C
12,4%
D
16,4%
E
20,4%
A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Uma areia foi separada mecanicamente por peneiramento. Uma peneira com 10 malhas por polegada (feita
com fios de 0,04 polegadas de diâmetro) foi utilizada, resultando nas análises acumuladas de retidos
apresentadas na tabela. Qual a eficiência da peneira?
Mesh Tyler D (cm)
Φ (frações acumuladas de grossos)
A G F
4 0,4699 --------- ---------- 
6 0,3327 0,025 0,07 
Mesh Tyler D (cm)
Φ (frações acumuladas de grossos)
A G F
8 0,2362 0,150 0,42 
10 0,1651 0,471 0,80 0,19
14 0,1168 0,728 0,95 0,56
20 0,0833 0,887 0,98 0,80
28 0,0589 0,941 1,00 0,90
35 0,0417 0,962 0,93
46 0,0295 0,972 0,96
650,0208 0,980 1,00
100 0,0147 0,986 
150 0,0104 0,990 
200 0,0074 0,993 
Fundo ----------- 1,000 
Tabela: Análises de acumulados na alimentação (A), em grossos (G) e finos (F).
Vitor da Silva Rosa
A
32,2%
B
42,2%
C
52,2%
D
62,2%
E
72,2%
A alternativa D está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 3
Para o projeto de uma unidade industrial de pirita, alguns ensaios de britamento e peneiramento foram
realizados em uma unidade semi-industrial. O material que saiu do britador apresenta uma análise
granulométrica descrita na coluna A da tabela a seguir. O material que ficou na peneira utilizada para separar
os finos do produto britado tem a análise da coluna G e será consumido na instalação de larga escala de
2.000kg/h. A análise dos finos está na coluna F. A peneira tem malhas que se aproximam significativamente da
peneira 14Mesh Tyler. O tempo do peneiramento foi de 1 hora. Calcule a quantidade de finos produzidos por
hora.
Mesh
Porcentagens retidas
A G F
3 0,0 0,0 
4 14,3 20,0 
8 20 28,0 
14 20 28,0 
28 28,5 24,0 40,0
48 8,6 30,0
100 5,7 20,0
Fundo 2,9 10,0
Tabela: Distribuição granulométrica da pirita.
Vitor da Silva Rosa
A
800kg/h
B
900kg/h
C
1.000kg/h
D
1.100kg/h
E
1.200kg/h
A alternativa A está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Questão 4
Em um laboratório, realizou-se a distribuição granulométrica de um farelo através de peneiramento,
fornecendo a fração retida de grossos, conforme apresentado na imagem a seguir. 
Foi empregada uma peneira com 10 malhas por polegada linear com um diâmetro de fio de 0,510mm. Qual a
eficiência do peneiramento?
A
75%
B
78%
C
83%
D
88%
E
92%
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Um farelo foi submetido a uma operação de peneiramento para a separação de finos e grossos. A corrente
produzida de finos possui uma vazão em massa de 1.500kg/h com uma fração mássica de grossos de 0,05. A
corrente de alimentação possui uma fração mássica de grossos de 0,52. A corrente de alimentação é o dobro
da corrente de grossos. Se na corrente de grossos a fração mássica é de 0,72, qual o valor da vazão mássica
nessa corrente?
A
1.973,75kg/h
B
2.043,75kg/h
C
2.143,75kg/h
D
2.243,75kg/h
E
2.343,75kg/h
A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Na imagem a seguir, está apresentada a distribuição granulométrica para um cereal em termos da fração
retida de grossos. Para 80% de material passante, o diâmetro médio da amostra, aproximadamente, é:
A
0,80mm
B
0,90mm
C
1,00mm
D
1,10mm
E
1,20mm
A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Teoria na prática
Em engenheiro foi contratado para o projeto de um sistema de peneiramento vibratório. Para tal é necessário
obter o diâmetro médio volumétrico das partículas. No laboratório, ele submeteu uma amostra de um minério
para o peneiramento, a fim de obter a distribuição granulométrica. Os dados obtidos forneceram uma
distribuição contínua da fração em massa em função do diâmetro de abertura da malha (em milímetros),
conforme observado na Eq. 43.
Chave de resposta
Explicitando o diâmetro D:
O diâmetro médio volumétrico é dado por:
Integrando a equação (45), temos:
O diâmetro médio volumétrico é dado por:
Verificando o aprendizado
Questão 1
Um pó foi submetido a uma operação de peneiramento para a separação de finos e grossos. A corrente
produzida de finos possui ausência de grossos. A corrente de alimentação possui 42% de grossos. Se na
corrente de grossos (2.000kg/h) a fração mássica é de 0,83, qual o valor da vazão de finos?
A
1.973,75kg/h
B
Eq. 43 
Eq. 44 
Eq. 45 
Eq. 46 
Eq. 47 
2.043,75kg/h
C
1.428,57kg/h
D
2.243,75kg/h
E
2.343,75kg/h
A alternativa C está correta.
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Questão 2
Na imagem a seguir está apresentada a distribuição granulométrica para um minério de ferro em termos da
fração retida de grossos. Para 80% de material passante, o diâmetro médio da amostra, aproximadamente, é:
A
0,44mm
B
0,54mm
C
0,64mm
D
0,74mm
E
0,84mm
A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
3. Transporte e redução de sólidos
Vamos começar!
Introdução ao transporte e redução de sólidos
Conheça agora os principais pontos que serão abordados neste módulo.
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Redução de sólidos
A quebra ou redução de partículas sólidas em partículas menores é uma operação industrial de grande
importância. Podemos citar alguns exemplos, como:
Moagem de cristais
Para facilitar a dissolução dos cristais.
Moagem de combustível sólido
Para aumentar a eficiência da combustão.
Moagem de sementes oleaginosas
Para acelerar a extração do óleo com solventes.
A redução de sólidos também é chamada de cominuição, que é a mesma coisa que fragmentação.
O mecanismo para a cominuição de um sólido é muito complexo, pois envolve diversos fatores, como:
propriedades físicas do sólido, geometria molecular do sólido e tipo de equipamento empregado.
Resumindo
Um material sólido será reduzido (quebrado) por um material mais duro. 
A escala de Mohs apresenta uma escala de resistência ao riscamento de materiais sólidos em função da
ordem crescente de dureza. Veja a representação da escala de Mohs para dureza de materiais a seguir:
Dureza 1
Material: Talco
Dureza 2
Material: Gesso
Dureza 3
Material: Calcita
Dureza 4
Material: Fluorita
Dureza 5
Material: Apatita
Dureza 6
Material: Feldspato
Dureza 7
Material: Quartzo
Dureza 8
Material: Topázio
Dureza 9
Material: Corindo
Dureza 10
Material: Diamante
Os sólidos apresentados anteriormente são apenas uma referência para a escala de Mohs. 
Exemplo
A unha humana apresenta uma dureza, em média, de 2,5, enquanto o dente humano possui uma dureza
em torno de 5 e o vidro comum em torno de 5,8. 
Se desejamos reduzir um sólido com uma dureza em torno de 8, devemos usar um material mais duro, como o 
corindo ou o diamante.
Os equipamentos destinados à redução de sólidos são classificados didaticamente em:
Britadores
Os britadores são classificados em:
Primários – Alimentação de sólidos com partículas com tamanho de 10cm a 1,50m e saída com
sólidos reduzidos entre 0,5 a 5cm.
Secundários – Alimentação de sólidos com partículas com tamanho de 0,5 a 5cm e saída com
sólidos reduzidos entre 0,1 a 0,5cm (10 a 3 mesh).
Moinhos
Os moinhos são classificados em:
Finos – Alimentação de sólidos com partículas com tamanho de 0,2 a 0,5 centímetros e saída
com sólidos reduzidos até 200mesh.
Coloidais – Alimentação de sólidos com partículas de tamanho 80mesh cm e saída com sólidos
reduzidos até 0,01µm.
Os moinhos são amplamente empregados para a cominuição de sólidos para uma redução de até 200mesh na
categoria dos moinhos finos. Um exemplar em geral utilizado industrialmente é o moinho de bolas. 
Moinho de bolas
O moinho de bolas é composto por um tambor cilíndrico rotativo com o comprimento aproximadamente igual
ao diâmetro, sendo que, em operação, o tambor é parcialmente cheio de bolas, conforme apresentado na
imagem a seguir.
Exemplo de um moinho de bolas.
• 
• 
• 
• 
O material que será cominuído é alimentado no tambor e, à medida que o tambor gira, as bolas são levantadas
até certo ponto para caírem diretamente sobre o material a ser cominuído. No impacto, o material é reduzido.
Note que a dureza do material das bolas deve ser maior que a dureza do material a ser cominuído.
Cominuído
Quando dizemos que um material foi cominuído, significa que ele foiframentado.
A operação pode ser realizada de forma descontínua. A alimentação e a descarga são realizadas na superfície
lateral do tambor ou de forma contínua, com a alimentação feita pela extremidade superior e a descarga pela
extremidade inferior. No caso de operação contínua, o tambor possui uma pequena inclinação.
 
As bolas, geralmente, são constituídas de aço, porcelana, ferro ou qualquer outro material que tenha dureza
maior que o sólido a ser cominuído.
 
É importante ficar atento às seguintes orientações:
 
O diâmetro das bolas deve ser igual a 10 ou 20 vezes o diâmetro do sólido alimentado.
 
A carga das bolas deve ocupar entre 30% e 40% do tambor.
 
Se a quantidade de bolas for insuficiente, a eficiência da moagem será reduzida.
 
Se a quantidade de bolas superar 50% da capacidade do tambor, faltará espaço de queda para as
bolas reduzirem o sólido.
 
O dimensionamento de um moinho de bolas envolve a determinação da rotação crítica e da potência
consumida. Vamos conhecer cada um deles.
Rotação crítica
Caracteriza uma situação em que as bolas ficam estáticas devido à ação da força centrífuga, ou seja, aderem
umas às outras conforme o tambor do moinho está girando. Nessa condição, não há cominuição, uma vez que
não há a queda das bolas sobre o sólido. A Eq. 48 apresenta o cálculo da rotação crítica:
Em que:
 
g é a aceleração da gravidade em m/s2.
R é o raio do tambor em metros.
• 
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Eq. 48 
• 
• 
r é o raio das bolas em metros.
 
A rotação crítica será dada em rotações por minuto (rpm).
 
Com a rotação crítica calculada, a rotação real de operação varia entre 65% e 80% da condição crítica. Há
uma influência da umidade do sólido na cominuição; para moagem a úmido, geralmente emprega-se uma
rotação real entre 65 e 70% da crítica, enquanto para moagem a seco, essa faixa é alterada de 75% a 80%.
Potência consumida
A potência consumida durante a moagem pode ser calculada com bastante precisão pela lei de Bond,
conforme apresentada na Eq. 49.
Sendo:
 
P é a potência em kW.
C é a capacidade do moinho em toneladas por hora.
Wi é o índice de trabalho de Bond em kWh/tonelada.
D1 é a abertura da peneira que passa 80% da alimentação (antes da moagem).
D2 é a abertura da peneira por ondem passa 80% do produto (material após a moagem).
k é uma constante de ajuste de unidades (para as unidades em questão, o valor de k é 0,3162).
 
A obtenção dos diâmetros de corte D1 e D2 é realizada a partir da análise granulométrica do material por
peneiramento.
A seguir, temos os valores para o índice de trabalho de Bond para o material Wi (kwh/ton):
 
Argila - 6,30
Areia - 16,46
Carvão - 13,00
Cimento - 10,57
Coque - 15,13
Gesso - 6,73
Hematita - 12,68
Sílica - 13,53
Transporte de sólidos: correia transportadora
O transporte de sólidos é uma operação de grande importância nos setores industriais, portuários e do
agronegócio. Na indústria, é preciso deslocar matérias-primas e produtos entre as operações unitárias; no
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Eq. 49 
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• 
porto, carregar e descarregar os grãos nos navios; no agronegócio, os caminhões e os trens são fundamentais
para escoar a safra até os portos.
Um dos transportadores de sólidos mais empregados industrialmente e, principalmente, no setor
portuário, é a correia transportadora. 
Basicamente, a correia transportadora é composta por uma correia sem fim que se movimenta sobre um
tambor livre, no ponto de alimentação, e outro de acionamento na extremidade da descarga. Durante todo o
percurso, a correia apoia-se em roletes. Na imagem a seguir, vemos um esquema de correia transportadora. 
Esquema de uma correia transportadora.
Há a necessidade de esticadores para manter a correia sob tensão. As correias podem ser horizontais ou
inclinadas, em comprimentos que variam de poucos metros a vários quilômetros, movimentando o material
com velocidades entre 0,5 e 3m/s.
As correias são fabricadas com uma grande variedade de materiais, como polietileno e amianto. Porém, as
mais comuns são de borracha com reforço de lona ou fios metálicos. A resistência mecânica geralmente é da
ordem de 10 a 20kg/cm de largura por lona, passando a 500kg/cm com reforço metálico.
Em relação aos tambores de acionamento, os mais simples são confeccionados em aço. Quando o atrito entre
a correia e o tambor é insuficiente, costuma-se empregar ranhuras na superfície do tambor.
Quando a correia é plana, a capacidade de processamento depende do ângulo de repouso do material (veja a
imagem a seguir), o qual é específico para cada material e depende da umidade.
Ilustração do ângulo de repouso.
O dimensionamento de uma correia transportadora envolve a determinação dos parâmetros descritos a seguir.
Inclinação máxima do material
No caso de correias horizontais, o ângulo máximo de inclinação corresponde ao ângulo de repouso do
material. Porém, com correias inclinadas, o ângulo máximo de inclinação não pode exceder o ângulo de
repouso natural do material, sendo que, na prática, é bem menor, dificilmente, ultrapassando 
Exemplo
O transporte de bicarbonato de sódio em uma correia inclinada deve possuir um ângulo máximo de
inclinação de para evitar o escorregamento do sólido. Veja que o ângulo natural de repouso é de Com o
carvão, o ângulo máximo de inclinação é enquanto o ângulo de repouso é de 
Velocidade da correia
A velocidade é determinada em função do tipo de material que será transportado. Por exemplo, para areia,
recomenda-se uma velocidade de 115m/min.; para o carvão em pó, uma velocidade de 120m/min.; e, para o sal
comum, uma velocidade de 80m/min. 
Largura da correia
A largura da correia para transportadores horizontais pode ser obtida pela correlação empírica de Liddel,
conforme apresentado na Eq. 50.
Onde:
 é a largura da correia em polegadas.
 é a capacidade em toneladas por hora.
 é uma constante empírica (comumente utiliza-se 1,5).
 é a velocidade da correia em metros por minuto.
 é a massa específica do sólido em tonelada por .
Para transportadores inclinados, a capacidade deve ser dividida por um fator de correção , conforme
apresentado na Eq. 51.
O parâmetro é uma função do ângulo de inclinação da correia conforme apresentado na Eq. 52.
Eq. 50 
• 
• 
• 
• 
• 
Eq. 51 
Eq. 52 
A Eq. 52 é válida para ângulos entre e 
Potência consumida
A potência consumida em uma correia transportadora é utilizada para movimentar o material e a correia,
vencer os atritos, elevar o material e operar os dispositivos de carga e descarga do equipamento. Existem
diversos ábacos para a estimativa da potência.
Para transportadores com mancais comuns nos roletes de apoio, tem-se a expressão de Liddel.
Onde: 
 é largura da correia em polegadas.
 é a velocidade em m/min.
 é a capacidade do equipamento em t/h.
 é o comprimento total do transportador.
 é a elevação em metros.
Transporte de sólidos: transportador pneumático
O transportador pneumático é empregado para o deslocamento de materiais finos que seriam perdidos por
arraste com o uso de outros tipos de transportadores, como por correias. Nesse dispositivo, o material é
confinado a uma tubulação, na qual o ar é o agente promotor de arraste, deslocando o material entre um
ponto e outro em uma mistura multifásica gás-sólido.
A distância empregada no transportador pneumático pode variar entre poucos metros até longas distâncias. A
granulometria do pó pode variar com grãos possuindo entre até 
Há dois sistemas para o uso de um transportador pneumático, veja:
O sistema indireto é o mais comumente utilizado, uma vez que o contato direto das partículas sólidas com as
pás do soprador pode causar erosão e diminuir a vida útil do equipamento.
Na imagem a seguir, tem-se um esquema de um transportador pneumático com o sistema indireto.
Eq. 53 
• 
• 
• 
• 
• 
Direto 
É quando o sólido passa através do
soprador.
Indireto 
É quando o soprador provoca o
escoamento do gás de transporte.
Transportador pneumático com alimentaçãoindireta.
No dispositivo apresentado na imagem, o sólido armazenado em um silo é inserido na tubulação por meio de
um transportador helicoidal, o qual empurra o sólido. Com o ar proveniente de um soprador, o sólido é
escoado pelo sistema até o destino final, onde há a presença de um ciclone. No ciclone, por diferença de
densidade, o ar é removido do sistema pela parte superior e o sólido, por ser mais pesado, é descarregado
pela parte inferior.
O projeto de um transportador pneumático envolve a determinação dos parâmetros descritos a seguir.
Velocidade de transporte
Deve ser a mínima possível, para não ocorrer acúmulo de sólido na parte inferior da tubulação, e não tão
elevada, a ponto de causar abrasão na parede da tubulação.
Na Eq. 54, está apresentada uma expressão de Dalla Valle para o cálculo da velocidade no trecho horizontal
em função da massa específica e do diâmetro característico das partículas com tamanho entre 1 e 5mm.
Onde:
 é a massa específica do sólido em tonelada por .
 é diâmentro.
Na Eq. 55, tem-se a velocidade para o trecho vertical:
As Eq. 54 e Eq. 55 fornecem aproximações razoáveis para as velocidades do trecho horizontal e vertical.
Porém, como a forma da partícula e a umidade também são influentes, recomenda-se realizar testes em
escalas-piloto para determinar a velocidade de transporte.
Para instalações de pequeno porte, a variação da velocidade no trecho horizontal e vertical é praticamente
inexistente, de modo que a Eq. 56 pode ser aplicada:
Eq. 54 
• 
• 
Eq. 55 
A massa específica deve estar em tonelada por metro cúbico e o diâmetro em milímetros.
Diâmetro do transportador
O diâmetro do transportador é obtido em função da capacidade do equipamento (C) e da velocidade de
transporte, conforme observado na Eq. 57. 
Com em metros, velocidade em e em tonelada/hora. sendo fornecido pela Eq. 58:
Perda de carga
A perda de carga total representa a soma de todas as irreversibilidades geradas no sistema durante o
escoamento do sólido – são as perdas por atrito, por aceleração e nos demais equipamentos do sistema (silos,
ciclones, entradas e saídas de ar). Na Eq. 59, tem-se uma expressão para o cálculo da perda de carga: 
Onde: 
 é a perda de carga em .
 é a capacidade do equipamento em tonelada por hora.
 é a vazão volumétrica do gás em .
 é a velocidade de transporte em m/s.
 é o diâmetro do tubo em metros.
 é o fator redutor (recomenda-se utilizar o valor de 0,5).
 é a perda de carga em milímetro de coluna d'água referente aos acessórios presente no sistema
(válvulas e conexões).
Potência do soprador
A potência do soprador pode ser calculada a partir da energia entregue diretamente ao gás para escoar o
sólido, conforme apresentado na Eq. 60. 
Eq. 56 
Eq. 57 
Eq. 58 
Eq. 59 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
Onde: 
 é a potência dada em hp.
 é a vazão volumétrica em .
 é a perda de carga em .
Exemplo
Um moinho de bolas deve ser dimensionado e projetado para a cominuição de 20.000kg/h de hematita. Para
tal, o engenheiro responsável montou uma unidade piloto em um laboratório para levantar os dados referentes
à análise granulométrica.
Na imagem a seguir, tem-se a análise granulométrica da hematita em função da fração retida de grossos
antes da moagem e após a moagem no moinho da unidade piloto.
Análise granulométrica da hematita antes e depois da moagem.
Para o projeto de moinhos, devemos calcular o diâmetro médio das partículas para 80% de material passante
pela abertura da malha da peneira. Na imagem anterior, como temos a fração retida de grossos,
encontraremos o diâmetro para o material não passante que corresponde a 20%. Entrando com uma fração
retida de 0,2 (20%) no gráfico a seguir, temos que:
Determinação do diâmetro médio das partículas antes e depois da moagem.
Eq. 60 
• 
• 
• 
A partir desse gráfico, temos que o diâmetro médio das partículas antes da moagem e depois da
moagem são 1,68 mm e 1,1 mm, respectivamente.
Com essas informações, podemos calcular a potência que o moinho de bolas industrial terá, conforme
apresentado na Eq. 61 (equação de Bond).
O índice de trabalho de Bond para a hematita é 12,68 kwh/tonelada (ver tabela do índice de trabalho de Bond
para alguns materiais). A capacidade (C) do moinho é de 20.000kg/h, correspondente a 20 toneladas por
hora. Assim, a potência, em kW é:
Como 1hp é igual 0,746kW, a potência necessária para essa operação é de 19,54hp. Considerando as perdas
por atrito e fator de segurança, é recomendado acrescentar 20% na potência calculada:
Comercialmente, o motor elétrico com potência mais próxima é de 25hp. 
Mão na massa
Questão 1
Um moinho de bolas possui um tambor com raio de 0,20m e bolas com raio 0,032m. Qual é a rotação crítica,
em rpm, assumindo uma aceleração gravitacional de 9,81m/s²?
A
58,5rpm
B
69,5rpm
C
71,5rpm
D
73,5rpm
Eq. 61 
Eq. 62 
Eq. 63 
E
75,5rpm
A alternativa B está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Um moinho de bolas está sendo empregado para a cominuição de 100 toneladas por hora de calcário, desde
um diâmetro médio de 5cm até um diâmetro de 0,236cm. O índice de trabalho de Bond para o calcário é de
14,07 kwh/tonelada. A potência requerida, em hp, com acréscimo de 20%, é:
A
314,68hp
B
324,68hp
C
344,68hp
D
364,68hp
E
384,68hp
A alternativa D está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 3
Um transportador de correia deve carregar 20 toneladas por hora de um sólido com massa específica de
1.200kg/m³ a uma velocidade de 30m/min. Nessas condições, a largura da correia é:
A
13,6 polegadas
B
15,6 polegadas
C
17,6 polegadas
D
19,6 polegadas
E
21,6 polegadas
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 4
Um transportador de correia com 40 polegadas de largura transporta 300 toneladas por hora de um sólido
com densidade de 0,9t/m³. A velocidade de transporte é de 75m/min. Se o comprimento total da correia é de
150m e a elevação é 25m, a potência requerida, em hp, é:
A
35hp
B
45hp
C
55hp
D
65hp
E
75hp
A alternativa C está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 5
Um transportador pneumático será empregado para o escoamento de 15 toneladas por hora de um sólido com
densidade de 1,15 toneladas por metro cúbico e partículas com 2,5mm de diâmetro. A unidade contém 50m de
tubulações horizontais e 4m de tubulações verticais. A velocidade de transporte é:
A
31,9m/s
B
41,9m/s
C
51,9m/s
D
61,9m/s
E
71,9m/s
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 6
Um transportador pneumático deverá ser dimensionado para o transporte de 25 toneladas por hora de um
sólido com densidade de 1.200kg/m³ e partículas com 1,6mm de diâmetro. Nessas condições, o diâmetro do
tubo do transportador é:
A
970,12mm
B
980,12mm
C
990,12mm
D
1.009,12mm
E
1.109,12mm
A alternativa E está correta.
Assista ao vídeo a seguir para conferir a resolução da questão.
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Teoria na prática
Um engenheiro foi contratado por uma empresa do agronegócio para projetar um transportador pneumático
para o deslocamento de grãos entre os seus armazéns em uma grande fazenda. O sistema funcionará com a
alimentação de modo indireto e deverá ter uma capacidade para processar 30 toneladas por hora de grãos
com diâmetro da partícula de 1,8mm e massa específica de 2.000kg/m³. O comprimento total do sistema será
de 550m de tubos horizontais e 38m de trecho vertical. A perda de carga de válvulas e acessórios na linha é
de 70mm de coluna d’água. O sólido será coletado em um ciclone. Qual a potência necessária para o soprador
escoar esse grão?
Chave de resposta
Confira agora a resolução da questão.
Potência do soprador em transportador pneumático.
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Verificando o aprendizado
Questão 1
Um transportador de correia com 50 polegadas de largura transporta 200 toneladas por hora de um sólido
com densidade de 1,2t/m³. A velocidade de transporte é de 75 metros por minuto. Se o comprimento total da
correia é de 100 metros e a elevação é 15 metros, a potência requerida é de:
A
34hp
B
44hp
C
54hp
D
64hp
E
74hp
A alternativa A está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
Questão 2
Um moinho de bolas está sendo empregado para a cominuição de 80 toneladas por hora de hematita, desde
um diâmetro médio de 4cm até um diâmetro de 0,136cm. O índice de trabalho de Bond para o calcário é de
12,68 kwh/tonelada. A potência requerida é de:
A
261hp
B
271hp
C
281hp
D
291hp
E
301hp
A alternativa E está correta.
Veja o feedback completo no Solucionário disponibilizado no campo Preparação.
4. Conclusão
Considerações finais
Diversos processos industriais possuem sistemas contendo uma interação entre sólidos e fluidos, de tal forma
que é de grande importância o estudo dessa ciência pelos futuros engenheiros. 
Iniciamos com uma discussão sobre como medir de forma apropriada o diâmetro de uma partícula em relação
à superfície e ao volume da partícula. Também foi estudado o importante conceito da esfericidade.
Abordamos, então, como realizar a distribuição granulométrica de sólidos particulados através do
peneiramento. Também falamos sobre a padronização de peneiras na série mesh Tyler. 
Por fim, apresentamos o conceito de redução de sólidos e a sua aplicação na indústria, bem como o projeto
do moinho de bolas. Também abordamos o importante tópico sobre o transporte de sólidos, focando no
projeto de correias transportadoras e transportadores pneumáticos. 
Podcast
Ouça agora os principais tópicos abordados neste conteúdo.
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Explore +
Para saber mais sobre a influência da esfericidade no escoamento multifásico gás-sólido em transportadores
pneumáticos em fase diluída, pesquise e leia os artigos Análise experimental e numérica do escoamento
multifásico gás-sólido em ciclones e Generalized method for predicting the minimum fluidization velocity.
Referências
BOND, F. C. Some recent advances in grinding theory and practice. British Chemical Engineering, n. 8, p. 631,
1963.
 
COKER, A. K. Ludwig’s applied process design for chemical and petrochemical plants. 4. ed. Elsevier, 2007. v. 1.
 
COULSON, J. M.; RICHARDSON, J. F. Chemical engineering. 5. ed. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2002.
 
FERREIRA, R.; RIBEIRO, J.; GEIZA, O. Química aplicada. Vitória: Universidade Federal do Espírito Santo, 2012.
 
GOMIDE, R. Operações unitárias: operações com sistemas sólidos granulares. Edição do autor, 1983.
 
MCCABE, W.; SMITH, J.; HARRIOT, P. Unit operations for chemical engineering. 7. ed. McGraw-Hill, 2004.
 
MORAES JÚNIOR, D.; MORAES, M. S. Laboratório de operações unitárias I. 3. ed. Edição dos autores, 2022.
 
PEÇANHA, R. P. Sistemas particulados: operações unitárias envolvendo partículas e fluidos. [s.l.]: Elsevier,
2014.
	Dinâmica dos sistemas sólidos-fluidos
	1. Itens iniciais
	Propósito
	Preparação
	Objetivos
	Introdução
	Conteúdo interativo
	1. Caracterização de partículas sólidas
	Vamos começar!
	Introdução à caracterização de partículas sólidas
	Conteúdo interativo
	Introdução aos sólidos particulados
	Atenção
	Composição
	Tamanho
	Forma
	Caracterização de partículas simples
	Decantação e elutriação
	Peneiramento
	Tamanho médio de partícula
	Tamanho médio com base no volume
	Tamanho médio com base na superfície
	Analisando um exemplo
	Mão na massa
	Questão 1
	Questão 2
	Conteúdo interativo
	Questão 3
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	2. Peneiramento como sistema de classificação de partículas
	Vamos começar!
	Operações de peneiramento
	Conteúdo interativo
	Operação de peneiramento
	Exemplo
	Tipos de peneiras
	Estacionárias
	Mecânicas
	Vibratórias
	Peneiras estacionárias
	Peneiras mecânicas rotativas
	Peneiras mecânicas agitadas
	Peneiras mecânicas vibratórias
	Dimensionamento de uma peneira
	Primeiro passo
	Segundo passo
	Terceiro passo
	Cálculo das quantidades de sólidos produzidas
	Eficiência do peneiramento
	Dimensionamento de uma peneira
	Exemplo
	Demonstração de um experimento
	Exemplo
	Mão na massa
	Questão 1
	Questão 2
	Conteúdo interativo
	Questão 3
	Conteúdo interativo
	Questão 4
	Questão 6
	Teoria na prática
	Verificando o aprendizado
	Questão 2
	3. Transporte e redução de sólidos
	Vamos começar!
	Introdução ao transporte e redução de sólidos
	Conteúdo interativo
	Redução de sólidos
	Moagem de cristais
	Moagem de combustível sólido
	Moagem de sementes oleaginosas
	Resumindo
	Dureza 1
	Dureza 2
	Dureza 3
	Dureza 4
	Dureza 5
	Dureza 6
	Dureza 7
	Dureza 8
	Dureza 9
	Dureza 10
	Exemplo
	Britadores
	Moinhos
	Moinho de bolas
	Rotação crítica
	Potência consumida
	Transporte de sólidos: correia transportadora
	Inclinação máxima do material
	Exemplo
	Velocidade da correia
	Largura da correia
	Potência consumida
	Transporte de sólidos: transportador pneumático
	Velocidade de transporte
	Diâmetro do transportador
	Perda de carga
	Potência do soprador
	Exemplo
	Mão na massa
	Conteúdo interativo
	Teoria na prática
	Potência do soprador em transportador pneumático.
	Conteúdo interativo
	Verificando o aprendizado
	4. Conclusão
	Considerações finais
	Podcast
	Conteúdo interativo
	Explore +
	Referências