Cálculo 1 - Funções

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CÁLCULO I 
 
IMPORTANTE: 
Este é um material complementar da disciplina de Fundamentos de Matemática 
Aplicada É importante ressaltar que o conteúdo por completo deverá ser estudado a 
partir do livro texto adotado na nossa disciplina (Cálculo vol. 1 e 2, James Stewart). 
 
 
FUNÇÕES 
 
 
 LINEARES, QUADRÁTICAS, POTÊNCIAS, RACIONAIS 
TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIAIS E LOGARÍTMICAS, ENFOCANDO 
TRANSLAÇÕES E REFLEXÕES 
 
“Aquilo que eu escuto, eu esqueço. 
Aquilo que vejo, eu lembro. 
Aquilo que eu faço, eu aprendo.” 
Confúcio 
 
 
PROBLEMATIZAÇÃO: 
 
A- Um móvel desloca-se a uma velocidade 
v
 (em m/s) variável em relação ao 
tempo 
t
, dada por: 
4020)(  ttv
. Complete a tabela abaixo e responda: 
 
 
Tempo (em segundos) Velocidade (em m/s) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
a) Qual a velocidade inicial? 
b) Qual a velocidade no tempo de 3s? 
c) Quanto tempo é necessário para atingir a velocidade de 240m/s? 
d) Observem na tabela os valores das velocidades. Existe algum padrão de 
comportamento? 
 
 
 
2 
 
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DAS FUNÇÕES 
 
A forma como utilizamos o cálculo para resolver certos problemas é através de 
funções. Nesse curso vamos observar os principais tipos de funções e utilizá-las como 
modelos matemáticos de fenômenos do mundo real. 
O que é uma função? 
As funções surgem quando relacionamos uma quantidade com outra. Por exemplo: 
 
a) A área de um círculo relacionada com a medida do raio do mesmo 
b) A população mundial com relação ao tempo. 
 
 Nos exemplos citados, acima, a área de um círculo e a população mundial, são 
chamadas de variáveis dependentes. A medida do raio e o tempo são chamadas de 
variáveis independentes. 
O domínio de uma função é o conjunto de possíveis valores da variável independente e 
a imagem é o conjunto correspondente de valores da variável dependente. 
 
DEFINIÇÃO: 
 Uma função f é uma lei a qual para cada elemento x pertencente ao domínio 
( ) corresponde exatamente um elemento chamado f(x) da imagem (Im(f)). 
 
 
 
- Os valores de x , que anulam a função f, são chamados de raízes ou zeros da 
função. 
 
O que é um gráfico? 
 
O gráfico é um conjunto de pontos onde relacionamos para cada valor do domínio a sua 
imagem, ou seja, 
 
 
Para que uma curva seja o gráfico de uma função um valor do domínio só pode ter uma 
imagem. 
 
dominio 
Variação
ão 
x 
y 
3 
 
TIPOS DE FUNÇÕES 
 
1- FUNÇÃO LINEAR 
 
 Uma função linear é uma função da forma onde 
m 
 é chamado de coeficiente angular e indica a inclinação, ou a taxa de variação de y em 
relação a x. 
 O valor de 
b
 é chamado de coeficiente linear e indica onde o eixo y é interceptado, ou 
seja, quando x é zero. O gráfico da função linear é uma reta. 
 
Para compreendermos melhor, vamos a um exemplo prático. 
 
a) Um móvel desloca-se a uma velocidade constante, quando é obrigado a reduzir 
sua velocidade, o que faz com que a função que representa a sua velocidade em 
relação ao tempo seja dada por 
602)(  ttv
. Complete a tabela abaixo e 
responda: 
Tempo (em segundos) Velocidade (em m/s) 
0 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
a) Qual a velocidade inicial? 
b) Qual a velocidade no tempo de 4s? 
c) Quanto tempo irá demorar para o móvel parar? 
d) Observem na tabela os valores das velocidades. Existe algum padrão de 
comportamento? 
 
 
 Traçar os gráficos das seguintes funções: 
 
4020)(  ttv
 
602)(  ttv
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
 
a) Qual a principal diferença entre os dois gráficos? 
 
 
 
 
 
Conclusões: Numa função linear (
bmxxfy  )(
), podemos afirmar que: 
 
 Se o coeficiente angular 
m
 é positivo, então................................................................ 
 
 Se o coeficiente angular m é negativo, então............................................................... 
 
Exercícios: 
 
1- Esboce o gráfico das seguintes funções lineares: 
a) 
63)(  xxf
 b) 
42)(  ttf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) 
xy  d) 42  xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2- À medida que o ar seco move-se para cima, ele se expande e esfria. Se a 
temperatura do solo for de e a temperatura a uma altura de 1 km for de 10 : 
a) Expresse a temperatura 
T
(em .) como uma função da altura 
h
 (em km), 
supondo que o modelo linear seja apropriado. 
b) Faça o gráfico desta função. O que representa a inclinação? 
c) Qual é a temperatura a 2,5 km de altura? 
 
 
 
 
5 
 
Inclinação da reta 
 
A equação reduzida de uma reta é da forma 
bmxy 
 e sabemos que m é a 
inclinação da reta e representa a variação de y com relação à x. Por exemplo, a função 
10002 x
 dólares representa o custo para produzir x unidades, a inclinação dois representa 
o custo necessário para produzir cada unidade adicional. 
 Se conhecermos dois pontos 
),( 00 yx
 e 
),( 11 yx
, podemos obter a inclinação da reta 
através de: 
01
01
xx
yy
m



 
E com isso conseguimos encontrar a função através da fórmula: 
)( 00 xxmyy 
. 
 
Exemplo: Dado o gráfico abaixo, determine a inclinação da reta e a lei que representa a 
função: 
 
 
 
2- FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Uma função do tipo
cbxaxxfy  2)(
, com 
oa 
, é chamada função 
quadrática. Os números a, b e c são chamados de coeficientes e x é a variável. 
Determinamos suas raízes através da fórmula: 
a
acbb
x
2
42 

. 
A quantidade de raízes depende do sinal da expressão 
acb 42 
. Se for positiva, a 
função possui duas raízes reais. Se for nula possui apenas uma raiz real. Se for negativa não 
possui raízes reais. 
O seu vértice é determinado por: 





 

aa
b
V
4
,
2
. Um exemplo de aplicação das 
funções quadráticas é na representação da trajetória de objetos em queda livre. 
 
 
 
6 
 
Vejamos alguns exemplos: 1 - Esboce o gráfico das seguintes funções: 
 
a) 
2xy 
 (função mãe) 
x
 
y
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
b) 
12  xy
 
x
 
y
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
c) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
2)( 2  xxf
. 
d) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
3)( 2  xxf
. 
 
e) 
2xy 
 
x
 
y
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
f) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
12  xy
. 
g) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
32  xy
. 
 
h) 
2)1(  xy
 
x
 
y
 
-2 
-1 
0 
1 
2 
i) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
 22 xy
. 
j) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
  32 2  xy
. 
k) Sem utilizar tabela, esboce o gráfico da função 
  53 2  xy
. 
 
7 
 
CONCLUSÕES: 
 Quando somamos um número a uma função estamos fazendo uma 
translação vertical, isto é, o gráfico desloca-se no sentido vertical uma 
quantidade de vezes equivalente ao número somado (ou subtraído). 
 
 Quando somamos ou subtraímos um número ao argumento da função, 
deslocamos o gráfico para a direita ou esquerda (horizontal) uma quantidade 
equivalente ao número somado ou subtraído, porém no sentido contrário à 
operação. Esta é uma translação horizontal. 
 
 Quando multiplicamos o gráfico por 
1
 estamos fazendo uma reflexão, em 
relação ao eixox
. 
 
Obs.: Estes são apenas alguns tipos de translações e reflexões. Listamos apenas aqueles 
que consideramos mais importantes. Porém, estas idéias não se aplicam apenas à função 
quadrática, mas sim a qualquer tipo de função! 
 
 
3- FUNÇÕES POLINOMIAIS 
 
Uma função 
P
 é denominada polinomial se: 
 
01
2
2
1
1 ...)( axaxaxaxaxP
n
n
n
n 


 
 
onde 
n
 é um inteiro não negativo e os números 
naaaa ,...,,, 210
 são constantes chamadas de 
coeficientes. O domínio de qualquer polinômio sempre é o conjunto de todos os números 
reais, ou seja, o intervalo 
),( 
. Determinamos o grau de um polinômio, como sendo o 
maior expoente cujo coeficiente é não nulo. Por exemplo: 
3
3
2
3)( 35  xxxxP 
é um polinômio de grau 5. 
Obs.: A função linear é uma função polinomial de grau 1 e a função quadrática é uma 
função polinomial de grau 2. Como conseqüência, temos que o domínio destas funções é o 
conjunto dos números reais. 
 
Veja agora alguns exemplos de funções cúbicas, de grau quarto e de quinto grau. 
 
8 
 
4- Funções de Potência 
Uma função da forma 
akxxf )(
, onde k e a são constantes, é chamada de função 
potência. Podemos considerar três casos: 
 
Primeiro caso: 
na 
é um número inteiro positivo 
Neste caso observemos o que acontece com as funções: 
xy 
 
2xy 
 
3xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4xy 
 
5xy 
 
6xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A forma geral do gráfico de 
nxxf )(
 depende de n ser par ou ímpar. Se 
n
 for par, o 
gráfico se assemelha a uma parábola, se for ímpar, é similar ao gráfico da função cúbica 
3)( xxf 
. 
 
Observe que à medida que a potência cresce, o gráfico torna-se mais achatado próximo de 
zero e mais inclinado para valores maiores que 1 e menores que -1. 
9 
 
Segundo caso: 
na /1
, onde 
n
é um inteiro positivo. 
A função 
nn xxxf 
1
)(
 é uma função raiz. 
Exemplos: 
xy 
 
3 xy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio Domínio 
Exercício: 
1- Usando as regras de translações e reflexões, esboce o gráfico das seguintes funções: 
a) 
xy  b) 2 xy c) xy  d) 2 xy 
 
 
 
Note que as regras acima funcionam para qualquer função raiz de índice par e que nas 
funções de índice ímpar não nos preocupamos com a análise do domínio, pois existem 
raízes de índice ímpar de números negativos. 
 
Terceiro caso: 
1a
 
A função 
x
xxf
1
)( 1  
, dada por 
x
y
1

 ou 
1. xy
 é uma hipérbole cujos eixos 
coordenados são suas assíntotas. 
Veja como se comporta seu gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
x
xf
1
)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: 
10 
 
5- FUNÇÕES RACIONAIS 
 
Uma função racional 
f
 é uma razão entre dois polinômios: 
)(
)(
)(
xQ
xP
xf 
, onde 
P
 
e 
Q
 são polinômios. O domínio consiste em todos os valores reais de
x
, tais que 
0)( xQ
. 
 
Exemplos: 
a) 
23
2
3
532
)(
xx
xx
xf



 é uma função racional, cujo domínio é 
 3;0|  xxxD
 
b) 
x
xf
1
)( 
 é também uma função racional, cujo domínio é 
 0|  xxD
 
c) 
1
2
)(
2



x
xx
xf
, 
 1|  xxD
 
 
Obs.: Note que 
1
)1)(2(
1
2
)(
2






x
xx
x
xx
xf
. Podemos simplificar esta última 
expressão, uma vez que possui o fator
)1( x
 em ambos os termos da fração? 
 
6 - Função Valor Absoluto 
É uma função definida por partes, sendo dada por: 






0 
0 
)(
xsex
xsex
xxf
 
Note que esta função é não negativa e representa o valor absoluto de um número 
real, ou seja, a distância deste número à origem. 
 
Exemplos: 
55)5( f
, 
33)3( f
 e 
00)0( f
. 
Gráfico 
 
 
a) D(f) = 
b) Im(f) = 
 
Exercícios: Esboce os gráficos das funções: 
a) 
2)(  xxf 
b) 
3)(  xxf 3)()  xxfc 41)()  xxfd 
 
 
 
 
 
11 
 
7- FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS 
 
Inicialmente relembraremos um pouco de trigonometria básica. 
No primeiro círculo trigonométrico, enfocaremos os quadrantes, o raio do círculo, 
os ângulos e a transformação de graus em radianos, enfatizando esta importância, uma vez 
que ângulo não é um número real. 
 No segundo analisaremos seno, cosseno e tangente numa visão geométrica. 
Também faremos associação dos eixos verticais e horizontais com estas funções, bem como 
análise de sinais nos diferentes quadrantes. 
 
 
A- Construção dos gráficos das funções (mães) seno e cosseno. 
 
O gráfico da função 
senxxf )(
 é obtido plotando-se os pontos para 
20  x
 e 
então usando a periodicidade da função para completar o gráfico. Idem para a função 
xxf cos)( 
. 
Vamos construir o gráfico destas duas funções. 
 
senxxf )(
 
xxf cos)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Domínio: Domínio: 
Imagem: Imagem: 
12 
 
Usando as idéias de translação e reflexão aprendidas nas últimas aulas, esboce o 
gráfico das seguintes funções. Analise sempre o domínio, a imagem destas funções. 
 
a) 
senxxf  2)(
 b) 
xxf cos.2)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) 
senxxf  1)(
 d) 







2
)(

xsenxf
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 e)
senxxf 2)( 
 f) 
 xsenxf 2)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pelo visto, acima, concluímos que a fórmula para o período das funções seno e 
cosseno é igual a .............. 
Obs. A função tangente relaciona-se com as funções seno e cosseno pela fórmula 
 
Exercício: 
 Faça uma pesquisa sobre as funções trigonométricas 
xxf sec)( 
, 
xxf seccos)( 
 e 
gxxf cot)( 
, bem como das funções inversas das funções trigonométricas (apêndice do 
livro texto). Enfocando seus gráficos e suas relações com as funções seno e cosseno, 
 
13 
 
8 - FUNÇÃO EXPONENCIAL 
 
São as funções da forma 
xaxf )(
, onde a base 
a
é uma constante positiva. 
Vamos à construção de alguns gráficos, para depois generalizarmos. 
 
 
CONCLUSÕES SOBRE A FUNÇÃO EXPONENCIAL: 
 
 A função será crescente quando: 
 
 A função será decrescente quando: 
 
 O gráfico da função irá interceptar o eixo 
y
 no ponto: 
 
 Onde a função possui um comportamento assintótico? 
 
 
IMPORTANTE: Uma função extremamente importante e que possui incontáveis 
aplicações em vários ramos da modelagem matemática, das engenharias, da computação, da 
física, da química é a função cuja base é dada pelo número de Euler. Este número é 
representado pela letra 
e
, é um número irracional e seu valor aproximado é dado por 
...718281828,2e
 Uma das maneiras de se obter este número é usando a fórmula 
x
x x
e 







1
1lim
. 
 
xxf 2)( 
 
x
xf 






2
1
)(
 
x y 
-2 
-1 
0 
1 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
x y 
-2 
-1 
0 
12 
 
Domínio: Domínio: 
Imagem: Imagem: 
14 
 
Exercício: 
1- Esboce o gráfico das seguintes funções, usando as idéias de translação e reflexão 
vistas anteriormente. Analise sempre o domínio e a imagem. 
a) 
xey 
 b) 
xxf 32)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) x
xf 






5
4
1)(
 d) 
15  xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9- Função Logarítmica 
Chamamos de função logarítmica de base 
a
 função da forma 
yxa log
, com 
0,1,0  xaa
. 
 
OBS: A função logarítmica é a função inversa da função exponencial e é tal que: 
0,1,0,log  xaaxayx ya
 
 
Vamos à construção de alguns gráficos, para depois generalizarmos. 
xxf 2log)( 
 
xxf
2
1log)( 
 
x y 
0 
1 
2 
3 
4 
 
 
 
 
x y 
0 
1 
2 
3 
4 
 
Domínio: Domínio: 
Imagem: Imagem: 
15 
 
CONCLUSÕES SOBRE A FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 A função será crescente quando: 
 
 A função será decrescente quando: 
 
 O gráfico da função irá interceptar o eixo 
x
 no ponto: 
 
 Onde a função possui um comportamento assintótico? 
 
Exercícios: 
Esboce o gráfico das seguintes funções, usando as idéias de translação e reflexão. Analise 
sempre domínio e a imagem. 
a)
xy 3log
 b) 
xxf
5
3log1)( 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c)
 3log3  xy
 d) 
 2log2 5  xy
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abaixo, vemos alguns exemplos de funções logarítmicas em várias bases. Observe que este 
tipo de função cresce lentamente quando 
1x
. 
 
16 
 
Propriedades dos logaritmos: 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
 Estas propriedades também são válidas para o logaritmo de base e, cujo símbolo é 
 Este logaritmo é chamado de logaritmo natural. 
 . 
 
 
 
Mudança de base 
Para mudarmos o logaritmo de base a para base b, procedemos da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
Exercícios; 
1- Esboce o gráfico das seguintes funções, usando as idéias de translação e reflexão. 
Analise o domínio e a imagem. 
a) b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 c) d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
 APÊNDICE: APLICAÇÕES 
 
Aplicação da Função trigonométrica 
 
A figura abaixo mostra vários números de horas de luz solar como uma função da época em 
várias latitudes a partir do dia 1º se março. Dado que a Filadélfia está localizada a 
aproximadamente 40º N latitude (representada na curva em verde), encontre uma função 
que modele a duração da luz solar durante os dias na Filadélfia. 
 
 
 
Observe que cada curva assemelha-se a função seno deslocada e esticada. Como o 
gráfico refere-se a luz solar, devemos observar qual o dia de maior número e menor 
número de horas, isso ocorre nos solstícios: 21 de junho (14,8 horas) e 21 de dezembro (9,2 
horas). Assim, a curva deve ser esticada verticalmente em 
8,2
2
2,98,14


 (a amplitude). 
Devemos determinar agora, o quanto a curva seno é esticada horizontalmente, se a medida 
do tempo t for em dias: 
Como temos cerca de 365 dias em um ano, o período de nosso modelo deve ser de 
365 dias. Assim o fator de esticamento horizontal é 
365
2
. 
Note que o gráfico começa no 80º dia do ano então devemos deslocar a curva 80 
unidades para a direita. Também no dia 1º de março o número de horas de luz solar foi 12 
horas, devemos deslocar 12 unidades para cima. Assim sendo, modelamos o comprimento 
dos dias na Filadélfia em função dos dias por 
 





 80
365
2
8,212)( tsentL
. Assim, 
conseguimos saber uma previsão do número de horas com a luz do sol em qualquer dia. 
 
 
 
18 
 
Aplicação da Função exponencial 
 
A vida média do estrôncio-90 é de 25 anos. Isso significa que a metade de qualquer 
quantidade irá se desintegrar em 25 anos. 
a) Se uma amostra de estrôncio-90 tiver uma massa de 24 mg, encontre uma expressão para 
a massa m(t) que sobrará após t anos. 
b) Encontre a massa remanescente após 40 anos. 
 
Solução: 
a) A massa inicial de 24mg é dividida ao meio a cada período de 25 anos, assim 
 
 
)24(
2
1
)24(
2
1
2
1
)100(
)24(
2
1
24
2
1
2
1
2
1
)75(
)24(
2
1
24
2
1
2
1
)50(
24
2
1
)25(
24)0(
43
3
2





m
m
m
m
m
 
 
Desse padrão tiramos que a massa remanescente após t anos é 
25
25
2.24)24(
2
1
)(
t
t
tm


 
 
b) A massa remanescente após 40 anos é 
mgm 9,72.24)40( 25
40

