Estádios no Concreto Estrutural

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Estádios no Concreto Estrutural 
 
O concreto estrutural (armado ou protendido) quando submetido a esforços de 
tração ou flexão apresenta três fases distintas de comportamento denominadas 
de estádios. A primeira é o Estádio I onde o nível de carga é baixo e o elemento 
não apresenta nenhuma fissura. Nesta fase, que pode ser chamada de não-
fissurada, observa-se o comportamento de um elemento de dois materiais onde 
todo o concreto resiste aos esforços de tração e compressão e o aço colabora na 
resistência à tração. Embora o comportamento do concreto não seja 
perfeitamente elástico linear, nessa fase, pode-se admitir que seja, pois a 
diferença é muito pequena. 
A segunda fase é o Estádio II que inicia quando a carga atinge um valor onde a 
tensão de tração supera a resistência à tração do concreto, tem início então o 
comportamento do concreto fissurado. Esta seção transversal não pode mais 
contar com a colaboração do concreto na resistência à tração. O Estádio II tem 
dois momentos distintos, o primeiro onde se formam as fissuras a medida que a 
carga aumenta e o segundo onde as fissuras se estabilizam (não aparecem mais 
novas fissuras) e suas aberturas e extensões aumentam. Em ambos o concreto e 
o aço dividem as resistências à compressão e tração respectivamente. A terceira 
e última fase é o Estádio III onde um dos dois materiais, ou ambos, apresentam 
escoamento, ou seja, para determinado nível de tensão a deformação continua 
aumentando. Nessa última etapa são atingidos os limites de tensão e 
escoamento admitidos para um ou para os dois materiais, e assim é chamado de 
limite de ruptura, embora não corresponda exatamente a ruína dos materiais ou 
colapso do elemento estrutural sendo um limite convencional de ruptura. 
 
 
Figura 1 – Elevação, seção transversal e diagramas de tensões e deformações 
h 
d 
xI 
xII 
x 
d 
d 
σcc 
σc 
σc εc 
εc 
εc 
εs 
εsperíodo de vida da 
estrutura e sua consideração pode ser necessária na verificação do estado limite de 
deformações excessivas. 
 
b) freqüentes: se repetem muitas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação dos estados limites de formação de 
fissuras, de abertura de fissuras e de vibrações excessivas. Podem também ser 
consideradas para verificações de estados limites de deformações excessivas 
decorrentes de vento ou temperatura que podem comprometer as vedações. 
 
c) raras: ocorrem algumas vezes durante o período de vida da estrutura e sua 
consideração pode ser necessária na verificação do Estado Limite de Formação de 
Fissuras. 
Tabela 11.2 - Valores do coeficiente γγγγf2 
 
Ações γγγγf2
 
ψψψψo ψψψψ1
1) ψψψψ2 
 
 
 
Cargas 
acidentais 
de edifícios 
Locais em que não há predominância de 
pesos de equipamentos que permanecem 
fixos por longos períodos de tempo, nem 
de elevadas concentrações de pessoas 2) 
 
Locais em que há predominância de 
pesos de equipamentos que permanecem 
fixos por longos períodos de tempo, ou 
de elevada concentração de pessoas 3) 
 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 
0,5 
 
 
 
 
0,7 
 
 
 
 
0,8 
0,4 
 
 
 
 
0,6 
 
 
 
 
0,7 
0,3 
 
 
 
 
0,4 
 
 
 
 
0,6 
Vento Pressão dinâmica do vento nas estruturas 
em geral 
0,6 0,3 
 
0 
 
Temperatura Variações uniformes de temperatura em 
relação à média anual local 
0,6 0,5 0,3 
1) Para os valores de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, 
ver seção 23. 
2) Edifícios residenciais. 
3) Edifícios comerciais, de escritórios, estações e edifícios públicos. 
 7
ESTADOS LIMITES DE SERVIÇO 
1. Fissuração 
Resumo para a avaliação da abertura de fissuras 
1. Cargas e Momento em serviço, fator ψ1 para combinações freqüentes; 
As cargas devem ser separadas entre as permanentes g e as eventuais (acidentais) q. 
O fator de ponderação das ações depende da finalidade da análise, da tabela 11.2 da 
Norma NB-1. 
 
Md,ser = Mgk+ψ1.Mqk 
 
2. Linha neutra em serviço (Estádio II); 





++−=
ρα
α
.
2
11.
.
ew
se
II
b
A
x 
3. Inércia no estádio II: 2
3
).(.
3
.
IIse
IIw
II xdA
xb
I −+= α 
 
4. Taxa de armadura;
db
A
w
s
d .
=ρ e a relação dos módulos do aço e do concreto:
c
s
e
E
E
=α 
 
5. Tensão na armadura; 
sII
serd
s
Az
M
.
,=σ ; ou ).(. II
II
ser
es xd
I
M
−= ασ onde 
 
3
II
II
x
dz −= 
6. Tensão no concreto; 
II
IIserd
c
I
xM .,=σ 
7. Área protegida pela barra, ver fig. 17.3 da NB-1; Para 1 camada ).5,7.( 2 φ+= dbA wcr 
8. Taxa de armadura para a fissuração; 
cr
s
r
A
A
=ρ 
9. Tipo de fissuração; 
s
mct
r
f
σ
ρ ,> SISTEMÁTICA 
10. A estimativa da abertura de fissura é a menor entre os dois valores. 
 
Sistemática: 





+= 45
4
..
.5,12 1
1
irsi
si
i
i
E ρ
σ
η
φ
ω 
 
 Assistemática: 







=
mct
si
si
si
i fE ,1
1
.3
..
.5,12
σσ
η
φ
ω 
 
 Onde φ é a bitola (em mm) e i1η o coeficiente de conformação superficial da barra i. 
Sendo 1,0 para barras lisas (CA-25), 1,2 para entalhadas (CA-60) e 2,25 (CA-50) para nervuradas de 
alta aderência em região de boa aderência, conforme o item 9.3.2.1 e a tabela 8.2 da NB-1/03. 
 8
Exemplo de avaliação da abertura de fissuras 
 
Uma viga bi-apoiada de concreto com um vão de 5 m será feita com C-20 e aço CA-50, 
dimensões bw =15 cm e h = 30 cm. O cobrimento adotado é de 2 cm, o estribo de 5 mm e a 
brita é a 1 com dmáx = 19 mm. Cargas permanentes de 4,0 kN/m e eventuais de 3,2 kN/m. 
 
O momento de cálculo para o ELU é: 
Md = Mk.γf = (Mgk+Mqk).γf = (12,5+10,0).1,4 = 31,5 kN.m = 3150 kN.cm 
O dimensionamento no ELU _______________ 
Linha neutra: x = 1,25.d(1-√1-Md/0,425.fcd.bw.d2) = 9,36 cm como x23=6,67cm: Domínio 3 
A armadura As = Md/fyd(d-0,4x) = 3,33 cm2; Adotando 4 φ10 (3,2 cm2) dispostos em (3+1) 
Tem-se d2 = c + φt + φL/2 + y = 2+0,5+0,5+0,75 = 3,75 cm e d = h – d2 =30–3,75= 26,25 cm 
 
Momento em serviço é então: com fator da combinação freqüente ψ1= 0,4 ; 
 
 Md,ser = Mgk+ψ1.Mqk → Mk,ser = 12,5 + 0,4 (10,0) = 16,5 kN.m 
 
1. Linha neutra em serviço (Estádio II); 





++−=
ρα
α
.
2
11.
.
ew
se
II
b
A
x cmxII 68.8= 
2. Inércia no estádio II: 2
3
).(.
3
.
IIse
IIw
II xdA
xb
I −+= α 412791cmI II = 
3. Taxa de armadura; 
db
A
w
s
.
=ρ 00828,0
)25,430.(15
2,3
=
−
=ρ 
4. Relação dos módulos do aço e do concreto: 
c
s
e
E
E
=α 627,9
21.4760
210000
==eα 
5. Tensão na armadura; 
sII
serd
s
Az
M
.
,
=σ MPas 221
2,3.
3
68,8
25,26
1650
=





 −
=σ 
6. Área para a fissuração; ).5,7.( 2 φ+= ybA wcr
25,202))1(5,70,6.(15 cmAcr =+= 
7. Taxa de armadura para a fissuração; 
cr
s
r
A
A
=ρ 0158,0
5,202
2,3
==rρ 
8. Tipo de fissuração; 
s
mct
r
f
σ
ρ ,> 0,0158 > 0103,0
221
28,2
= → F. SISTEMÁTICA 
9. Estimativa da abertura de fissura, usandoφ (em mm) e 1η =2,25 da norma NB-1/03 
10. Sistemática: 





+= 45
4
..
.5,12 1
1
rs
s
E ρ
σ
η
φ
ω = 0,11mm 
 Assistemática: 





=
ctm
s
s
s
fE
σσ
η
φ
ω
.3
..
.5,12 1
2 = 0,13mm sendo fctm = 0,3.fck
2/3 
 
Atende porque o menor valor é menor que o limite estipulado. 
 
 
 
 9
Flecha inicial e Avaliação da flecha final 
 
A flecha obtida pelas expressões que relacionam a carga e vão com a rigidez da peça é a 
flecha imediata, ou seja, não depende do tempo. Já a flecha que considera o efeito do tempo é 
a flecha final ou diferida no tempo como estabelece a norma de concreto: 
 
17.3.2.1.2 Cálculo da flecha diferida no tempo para vigas de concreto armado 
 
A flecha adicional diferida, decorrente das cargas de longa duração em função da fluência, 
podem ser calculadas de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo 
fator αf dado pela expressão: 
onde: 
ρ´ é a taxa de armadura relativa a parcela de armadura comprimida. 
 ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 17.1 ou ser 
calculado pelas expressões seguintes: 
 
 0,32t)t0,996(.0,68(t) =ξ para t ≤ 70 meses 
 
 ξ(t) = 2 para t > 70 meses 
 
Tabela 17.1 – Valores do coeficiente ξξξξ em função do tempo 
 
Tempo (t) 
meses 
0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥ 70 
Coeficiente 
ξξξξ(t) 
0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2 
 
sendo: 
t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida (70 meses); 
t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. No caso de 
parcelas da carga de longa duração serem aplicadas em idades diferentes pode-se tomar 
para t0 o valor ponderado a seguir : 
 
onde: 
Pi são as parcelas de carga; 
t0i é a idade em que se aplicou cada parcela i, em meses. 
 
O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf). 
Pode-se então admitir que o valor máximo de αf é 2 – 0,54 = 1,46 e (1 + αf) = 2,46 
Assim, tem-se no máximo a = 2,46.a0 
 
 
 
 
ρ′+
ξ∆
=α
501f
′
=ρ′
bd
As
)t()t( 0ξ−ξ=ξ∆
i
i0i
0
P
tP
t
Σ
Σ
=
 10
Roteiro prático para a determinação da flecha imediata 
 
1. Cargas e Momento em serviço, fator ψ2; 
 As cargas devem ser separadas entre as permanentes e as eventuais (acidentais). 
 O fator de ponderação das ações depende do uso da estrutura (residencial, comercial ou 
depósito) é dado na Tabela 11.2 da NB-1 e é usado o ψ2 da combinação 
 quase-permanente para as verificações do estado de deformação excessiva. 
 Md,ser = Mgk+ψ2.Mqk …(2.3) 
2. Momento de fissuração: 
t
bctm
r
y
If
M .α= ...(2.2) 
3. Se Md,ser ≤ Mr a flecha pode ser obtida no Estádio I: 
Ic
I
IE
Lp
a
.
.
.
4
0 β= ...(2.4) 
onde β depende davinculação e do tipo de carga. Sendo
384
5
 para viga bi-apoiada com 
carga uniforme e 
384
1
 para a viga bi-engastada com carga distribuída. 
4. Se Mra1 a2 
Mv 
M2 M1 
 15
Verificação da deformação excessiva em lajes bidirecionais 
 
No caso das lajes bidirecionais adapta-se o processo sugerido pela norma 
NBR 6118/2003 para as vigas, onde calculamos inicialmente os momentos de 
serviço e as inércias para os estádios I e II, e utilizamos a fórmula de Branson para 
obter a inércia equivalente quando se constata que o momento de serviço é maior 
que o momento de fissuração. E usa-se a tabela de Bares adaptada por Pinheiro, 
1988 ou por Carvalho e Figueiredo Filho, 2000 para obter o coeficiente para o 
cálculo da flecha imediata. 
 
1.1.1 Roteiro prático para a avaliação da deformação das lajes bidirecionais 
 
a) Combinações de ações a considerar 
 
Cargas e Momento em serviço, consideram o fator de redução ψ2 conforme 
tabela 13 da NB-1/2001. 
 
As cargas devem ser separadas entre as permanentes e as eventuais 
(acidentais). Normalmente usa-se g para a permanente e q para a eventual. 
 
O coeficiente de ponderação das ações γf2 = ψ2 depende da finalidade da 
construção na nova norma NB-1 na tabela 11.2 o valor da combinação quase-
permanente é indicado o valor ψ2 = 0,3 para edifícios residenciais e ψ2 = 0,4 para 
edifícios comerciais ou de escritórios e 0,6 para arquivos, oficinas e garages. 
 
2.1.2 Valor limite para o deslocamento 
 
O valor limite da deformação é obtido, conforme o tipo de deslocamento e a 
razão da limitação na tabela 13.2 - Limites de deslocamentos da NB-1/2003. Este 
limite refere-se a flecha diferida ou final, determinada de acordo com o projeto de 
revisão como indicado. 
 
2.3 Momento de serviço 
 
O momento de serviço pode ser avaliado pela expressão: 
 
 Md,ser = Mgk+ψ2.Mqk …(2.1) 
 
2.4 Avaliação do Estádio a considerar 
 
Momento de fissuração: 
t
bctm
r
y
If
M .α= ...(2.2) 
 
 
 16
 Se Mdser ≤ Mr a flecha pode ser obtida no Estádio I: 
Ic
x
I
IE
Lp
a
.
.
.
4
0 β= ...(2.3) 
onde β depende da vinculação sendo obtido de tabela elaborada com base no 
comportamento bidirecional das lajes. 
 
 Se Mré então: 
 
( ) cmaaa IIfII 38,981,3.46,2.1 0 ==+== α 
 
O limite para a flecha final segundo a nova NB-1 é a lim = L /250 = 400/250 =1,6cm 
 
3.9 Como a flecha calculada no Estádio II é maior é preciso verificar a flecha com o 
efeito ∆c usando a expressão da Inércia Equivalente [1.1]: 
 
( ) ccII
a
r
c
a
r
ceq IEI
M
M
I
M
M
EEI ≤






















−+





= .1
33
 
 
Usando Ma = Md,ser tem-se Mr/Ma=271/305 → 0,88853 = 0,7 → 0,7.Ic + 0,3.III 
 
Para uma noção das inércias: II = Ic =2858 cm4 ; Ieq = 2164 cm4 e III= 547 cm4; 
 
( ) ( )[ ]{ } ccIIcceq IEIIEEI ≤−+= 7,01.7,0 
 
(EI)eq = 4607030 kN.cm2 
 
Para comparar os valores iniciais a flecha imediata, com o efeito ∆c , resulta em: 
 
cm
EI
Lp
a
eq
e 96,0
4607030
400.0355,0
.
12
865,5
)(
.
.
44
0 === β 
 
3.10 A flecha final, considerando o efeito ∆c , é: 
 
 ( ) cmaaa IIfII 36,296,0.46,2.1 0 ==+== α 
 
Como L/250 = 1,6 cm é o limite para a flecha final, não atende, é preciso garantir a 
contra-flecha na execução. Neste caso a contra-flecha fica limitada ao valor L/350 = 
400/350 =1,14 cm o que é suficiente prever no projeto, pois: 2,36 – 1,00 = 1,36 cm. 
 
Para a preparação da Tabela 2 as lajes bidirecionais analisadas tem carga de 
revestimento de 1 kN/m2 e 2 kN/m2 de carga eventual, as dimensões variam de 0,5 
em 0,5 m de 4 a 8 metros indicando-se a espessura que corresponde ao limite da 
flecha obtido pelo respectivo processo. Compara-se o valor da flecha final af menos 
a contra-flecha cf com o limite visual de alim indicando assim a espessura mínima 
encontrada. 
 
 
 20
Tabela 2 – Elementos para a verificação da deformação excessiva de lajes. 
Lx X Ly h Mser Mr aI aII Ieq a0eq af -cf a lim 
[m] [cm] [kN.cm] [kN.cm] [mm] [mm] [kN.m2] [mm] [mm] [mm] 
4x4 7 250 271 5,81 2,87 16 
4x4,5 7 305 271 7,3 39,6 459 9,7 12,36 16 
4x5 8 381 354 6,2 32,5 760 7,4 6,8 16 
4x5,5 8 431 354 7,1 34,4 585 11 15,65 16 
4x6 9 509 448 5,93 29,9 960 8 8,21 16 
4x6,5 9 549 449 6,48 30 827 10,1 13,5 16 
4x7 10 623 553 5,39 26,1 1347 7,1 6,04 16 
4x8 10 688 553 6,04 26,5 1113 9,6 12,24 16 
 
4,5x4,5 8 339 354 6,68 3,57 18 
4,5x5 8 404 354 8,19 42,9 664 11,2 14,68 18 
4,5x5,5 9 497 448 7,18 36,3 1012 9,2 9,7 18 
4,5x6 10 592 553 6,31 33,3 1499 7,5 5,51 18 
4,5x6,5 10 653 553 7,01 33,9 1215 10,2 12,29 18 
4,5x7 11 749 669 6,09 30,8 1809 7,9 6,7 18 
4,5x8 11 844 669 6,97 32 1429 11,5 15,44 18 
 
5x5 9 446 448 7,62 4,45 20 
5x6 10 634 553 8,23 39,8 1297 11,3 13,4 20 
5x6,5 11 750 669 7,39 37,3 1805 9,7 9,48 20 
5x7 11 824 669 8,17 37,5 1498 12,9 17,37 20 
5x7,5 12 943 796 7,23 34,6 2096 10,6 11,73 20 
5x8 12 1001 796 7,78 33,4 1896 12,6 16,66 20 
 
5,5x5,5 10 573 553 8,63 45,5 1621 9,4 7,52 22 
5,5x6 11 703 669 8,1 40,9 2094 9,1 6,74 22 
5,5x7 12 932 796 8,51 40,8 2148 12,1 14,16 22 
5,5x8 13 1158 934 8,44 37,8 2458 13,4 17,19 22 
 
6x6 11 722 669 9,72 49,1 1969 11,7 11,52 24 
6x6,5 12 872 796 9,27 44,4 2479 11,5 11,05 24 
6x7 12 1031 796 10,54 45,2 1973 16,4 23,11 24 
6x7,5 13 1140 934 9,73 43,5 2535 15 19,64 24 
6x8 14 1299 1083 8,96 41,8 3258 13,4 15,78 24 
 
6,5x6,5 12 894 796 10,88 52,1 2348 14,2 16,36 26 
6,5x7 13 1067 934 10,45 52,2 2871 14,2 23,11 26 
6,5x8 14 1370 1083 10,72 44 3003 17,4 24,18 26 
 
7x7 13 1145 1083 12,11 54,2 2767 17 21,94 28 
7x7,5 14 1286 1083 11,68 54,4 3330 17,1 21,98 28 
7x8 15 1496 1243 11,17 47,7 4035 16,6 20,75 28 
 
7,5x7,5 14 1315 1083 13,41 62,5 3181 20,5 29,03 30 
7,5x8 15 1536 1243 13 55,5 3834 20,3 28,52 30 
 
8x8 16 1637 1415 12,72 56,5 5270 17,5 20,3 32