Aula Geometria

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Ricardo Alexandre Deckmann Zanardini 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Quando pensamos em retas, temos muitas aplicações no cotidiano. 
Linhas retas compõem as bordas de objetos tais como mesas retangulares, 
armários e molduras de quadros, dentre outros. Também aparecem 
computacionalmente nas bordas de uma tabela, em gráficos ilustrando a 
variação de valores tais como preço, produção etc., em delimitadores de páginas 
da internet e muito mais. Uma reta está associada a quantidades proporcionais 
e para representarmos matematicamente uma reta, precisamos de uma equação 
associada a ela. Em particular, na geometria analítica, aprenderemos diferentes 
maneiras de escrevermos equações de retas. Aprenderemos a identificar 
posições relativas entre retas, determinar a intersecção, caso exista e calcular o 
ângulo formado por retas. 
TEMA 1 – EQUAÇÃO REDUZIDA E EQUAÇÃO GERAL DA RETA 
Uma forma muito comum de representarmos uma reta é por meio da 
equação reduzida. A equação reduzida tem a forma 
baxy += 
em que a e b são constantes. 
Dizemos que a é o coeficiente angular e que o termo b é o coeficiente 
linear. O coeficiente angular está associado à inclinação da reta e o coeficiente 
angular indica o ponto no qual a reta intercepta o eixo y. 
Podemos pensar em uma aplicação real associada a uma reta. Para isso, 
vamos imaginar que em um certo local o litro de água mineral custa R$ 0,50. 
 
 
3 
Como o total a ser pago é proporcional à quantidade de água adquirida, temos 
a tabela a seguir, que apresenta o total a ser pago em função da quantidade 
adquirida. 
Quantidade Total (R$) 
0 0,00 
1 0,50 
2 1,00 
3 1,50 
4 2,00 
5 2,50 
Observe que o respectivo gráfico é uma reta. 
Uma outra aplicação muito comum relacionada a retas e que será 
abordada com mais detalhes em disciplinas futuras é o que chamamos de 
mínimos quadrados. Em um problema de mínimos quadrados, não temos uma 
reta que passa sobre os pontos dados, mas que se aproxima da melhor forma 
destes pontos. Problemas de mínimos quadrados aparecem em diversas 
situações reais. Por exemplo, podemos analisar o que ocorre com o custo 
 
 
4 
quando há variações na produção. A tabela a seguir mostra a relação entre a 
quantidade produzida por uma determinada empresa e os respectivos custos. 
Produção Custo (R$) 
10 123,00 
12 145,00 
15 190,00 
18 226,00 
20 240,00 
23 285,00 
 
Em duas situações distintas temos exemplos relacionados a retas. Mas 
como é possível obter os valores de a e de b para que tenhamos a respectiva 
equação reduzida da reta? 
Há diversas formas. Veremos a seguir alguns exemplos. 
Exemplo: Sabendo que a equação reduzida da reta r é y=ax+b, encontre 
a equação da reta que passa pelos pontos A(2, 7) e B(6, 19). 
0
50
100
150
200
250
300
10 12 15 18 20 23
x
 
 
5 
Resolução: Uma forma simples para encontrarmos a equação da reta que 
passa pelos pontos A e B é substituirmos as coordenadas de cada um desses 
pontos na equação y=ax+b. Assim, podemos obter os coeficientes a e b da 
equação reduzida da reta. 
Vamos considerar, inicialmente, o ponto A(2, 7). Note que x=2 e y=7. 
Vamos substituir os valores de x e y na equação y=ax+b: 
7=a.2+b 
Multiplicando a por 2, temos 
7=2a+b 
ou, equivalentemente, 
2a+b=7 
Vamos substituir agora as coordenadas do ponto B (6, 19) na equação 
y=ax+b. Neste caso, x=6 e y=19. Portanto 
19=a.6+b 
Multiplicando a por 6 temos 
19=6a+b 
que corresponde a 
6a+b=19 
Como temos duas variáveis e duas equações, vamos resolver o seguinte 
sistema linear 



=+
=+
196
72
ba
ba
. 
Há vários métodos destinados à resolução de sistemas lineares. Vamos 
utilizar um conhecido como método da adição. Relembrando, o método da 
adição consiste em multiplicarmos as duas equações por números convenientes 
de modo que, somando as duas equações, possamos obter uma nova equação 
com apenas uma variável. Calculando o valor dessa variável, basta substituí-la 
 
 
6 
em uma das duas equações originais para que possamos obter o valor da outra 
variável. 
No caso do sistema 



=+
=+
196
72
ba
ba
, 
podemos multiplicar a primeira equação por -1. Essa multiplicação faz 
com que, ao somarmos as duas equações, seja possível obtermos uma nova 
equação contendo agora apenas a variável a. 



=+
−=+
196
)1( x 72
ba
ba
 
Multiplicando cada termo da primeira equação por (-1), temos 



=+
−=−−
196
72
ba
ba
 
Agora podemos somar, termo a termo, as duas equações, ou seja, vamos 
calcular os valores de -2a+4a, -b+b e -7+19. Sendo assim, temos 
1204
196
72
=+



=+
−=−−
a
ba
ba
 
o que resulta em 
4a=12 
a=12/4 
a=3 
Como já sabemos o valor de a, podemos calcular o valor de b substituindo 
este valor em uma das duas equações. Vamos substituir a por 3 na primeira 
equação, ou seja, em 2a+b=7, para que possamos calcular o valor de b: 
2(3)+b=7 
Multiplicando 2 por 3, temos 
6+b=7 
 
 
7 
b=7-6 
b=1 
Sabendo que a=3 e que b=1, a equação cartesiana da reta, na forma 
reduzida, que passa pelos pontos A e B corresponde a y=3x+1. 
Exemplo: Obtenha a equação reduzida da reta r que passa pelos pontos 
A(4, 1) e B(6, 5). 
Resolução: Vamos resolver este exemplo de uma forma mais direta para 
vermos como é simples a resolução: 
Para A(4, 1), temos 
baxy += 
ba += )4(1 
ba += 41 
14 =+ ba 
Para B(6, 5), temos 
baxy += 
ba += )6(5 
ba += 65 
56 =+ ba 
A partir das duas equações, temos o sistema 



=+
=+
56
14
ba
ba
 



=+
−×=+
56
)1( 14
ba
ba
 



=+
−=−−
56
14
ba
ba
 
 
 
8 
402
56
14
=+



=+
−=−−
a
ba
ba
 
42 =a 
2=a 
Substituindo na primeira equação, temos 
14 =+ ba 
1)2(4 =+ b 
18 =+ b 
81−=b 
7−=b 
Logo, a equação reduzida é 
72 −= xy 
Como na equação reduzida, o termo a é conhecido como coeficiente 
angular, também podemos obter a equação a partir de um ponto pertencente à 
reta e da respectiva inclinação. Basta utilizarmos )()( 00 xxmyy −=− . O termo m 
 
 
9 
é o coeficiente angular da reta (o mesmo que a na equação y=ax+b) e é dado 
por 
AB
AB
xx
yym
−
−
= ou também por θ tg=m , onde θ é a inclinação da reta. 
O exemplo a seguir ilustra o uso dela. 
Exemplo: Um desenvolvedor de games precisa da equação reduzida da 
reta para poder fazer a trajetória, representada em vermelho, da aeronave que 
tem uma inclinação de 78° em relação à horizontal e está, inicialmente, no ponto 
A de coordenadas (300, 100), conforme a figura a seguir. 
Com base nessas informações, qual é a respectiva equação reduzida? 
Resolução: 
 
 
10 
)()( 00 xxmyy −=− 
)001 ,300(A 
°= 78 tgm 
7,4=m 
)300(7,4)100( −=− xy 
14107,4100 −=− xy 
10014107,4 +−= xy 
13107,4 −= xy 
A partir da equação reduzida da reta, podemos determinar, por exemplo, 
qual é a inclinação da reta, qual a intersecção da reta com o eixo y, se um dado 
ponto pertence à reta e muito mais. Nos exemplos a seguir veremos isso com 
detalhes. 
Exemplo: Determine a inclinação da reta r de equação y=1,2x+3. 
Resolução: A inclinação da reta r é dada pelo coeficiente angular a, que é 
igual à tangente do ângulo de inclinação dessa reta. Como a=1,2, podemos obter 
a inclinação da reta através da equação 
2,1)(tg =θ 
donde 
)2,1( tgarc=θ 
o que resulta em 
°= 19,50θ 
Portanto, a inclinação da reta r é igual a 50,19°. Relembrando, o valor do 
arco tangente de 1,2 é obtido facilmente com o uso de uma calculadora científica. 
Exemplo: Qual é o ponto de intersecção da reta r de equação y=1,2x+3 
com o eixo y. 
Resolução: O ponto de intersecção da reta r com o eixo y ocorre quando 
x é igual a 0. Neste caso, vamos substituir x por 0 na equação y=1,2x+3. 
 
 
11 
y=1,2(0)+3 
y=0+3 
y=3 
Portanto o ponto de intersecção procurado tem coordenadas (0, 3). 
Note que, quando x é igual a 0, o valor de y coincide como valor de b da 
equação y=ax+b. 
Exemplo: Verifique se o ponto P(5, 9) pertence à reta r de equação 
y=1,2x+3. 
Resolução: Para verificarmos se um determinado ponto pertence ou não 
a uma reta, se ao substituirmos as coordenadas deste ponto na equação da reta, 
a igualdade precisa valer. No caso do ponto P(5, 9), basta substituirmos x por 5 
e y por 9 na equação y=1,2x+3. 
9=1,2(5)+3 
9=6+3 
9=9 
Como a igualdade se verifica, podemos afirmar que o ponto P(5, 9) 
pertence à reta de equação y=1,2x+3. 
Exemplo: Considere a reta t representada na figura a seguir. 
 
 
12 
Com base nas informações apresentadas, escreva a equação reduzida 
da reta t. 
Resolução: Note que neste caso temos a inclinação da reta t em relação 
ao eixo x e temos também o ponto de intersecção da reta com o eixo y. Sabemos 
que a equação reduzida de uma reta corresponde a 
baxy += 
onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Sendo assim, 
conhecendo os valores de a e de b podemos encontrar a equação desejada. 
O coeficiente angular a corresponde à inclinação da reta t com o eixo x. 
Sabemos que essa inclinação é igual a 30°. Como 
°= 30tga 
e como 
577,030tg =° 
temos que 577,0=a . 
O coeficiente linear b é igual a 4, pois esse é o valor de y no ponto de 
intersecção da reta t com o eixo y. Como já temos os valores de a e de b, 
podemos escrever a equação reduzida da reta t como sendo 
4577,0 += xy . 
Exemplo: Uma viga reta tem inclinação de 30º e está apoiada em uma 
torre de 8 metros de altura. A distância entre o outro ponto onde a viga será 
apoiada e a torre é igual a 10 metros. 
 
 
13 
Qual é a equação reduzida da reta associada a essa viga e quais são as 
coordenadas do ponto Q? 
Resolução: A equação reduzida é dada por 
baxy += 
Como º30tga = , temos 577,0=a . Logo, 
bxy += 577,0 
Para obtermos b, utilizaremos as coordenadas do ponto P(10, 8). Assim 
b+= )10(577,08 
b+= 77,58 
b=− 77,58 
b=23,2 
23,2=b 
Portanto, 
33,2577,0 += xy 
Para obtermos as coordenadas de Q, vamos considerar x=0: 
33,2577,0 += xy 
 
 
14 
33,2)0(577,0 +=y 
33,20 +=y 
33,2=y 
Assim, Q(0; 2,33) 
Além da equação reduzida, temos a equação cartesiana na forma geral: 
0=++ cbyax . É uma outra maneira de representarmos a equação de uma reta. 
A forma geral é útil, por exemplo, quando queremos calcular a distância de um 
ponto a uma reta. 
Exemplo: Seja a reta r definida pela equação reduzida 112 += xy . 
Escreva a equação de r na forma geral. 
Resolução: A forma geral da equação da reta é dada por 0=++ cbyax . 
Considerando a equação 112 += xy , subtrairmos y dos dois membros, ou seja, 
passarmos o y que está positivo no primeiro membro para o segundo membro, 
mas agora com o sinal negativo: 
112 += xy 
1120 +−= yx 
De forma equivalente, temos 
0112 =+− yx 
que é a respectiva equação geral. 
Veremos a seguir outras formas de representarmos as retas. 
 
 
15 
TEMA 2 – EQUAÇÃO VETORIAL E EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS 
Uma forma muito simples e muito útil de representarmos retas é a forma 
vetorial. A ideia consiste em, a partir de um ponto pertencente à reta e de um 
vetor que tem a mesma direção da reta, multiplicarmos o vetor direção por um 
número real t, que varia de menos infinito até infinito, e com isto, gerar todos os 
pontos da reta. Logo, 
vtAr .: + , Rt ∈ 
Graficamente, temos alguns exemplos de pontos pertencentes à reta r 
para alguns valores de t. 
 
Exemplo: Obtenha a equação vetorial da reta r que contém o ponto A(1, 
2) e tem direção dada pelo vetor )4 ,3(=v . 
 
 
16 
Resolução: A figura a seguir mostra o ponto e o vetor: 
A equação vetorial é dada por 
RtvtAr ∈+ ,:  . 
Logo, 
Rttr ∈+ ),4 ,3()2 ,1(: 
Graficamente, temos 
Exemplo: Um desenvolvedor de games precisa da equação vetorial da 
reta para poder fazer a trajetória, representada em vermelho, da aeronave que 
tem uma inclinação de 78° em relação à horizontal e está, inicialmente, no ponto 
A de coordenadas (300, 100), conforme a figura a seguir. 
 
 
17 
Sabendo que o vetor )47 ,10(=v possui uma inclinação de 78° em relação 
à horizontal, qual é a respectiva equação vetorial? 
Resolução: A resolução é muito simples. Como temos A(300, 100) e 
)47 ,10(=v , basta substituirmos estes elementos na equação 
RtvtAr ∈+ ,:  
Logo, 
Rttr ∈+ ),47 ,10()100 ,300(: 
que é a respectiva equação vetorial. 
Quando separamos os termos em x e y de uma equação vetorial em R2 
ou os termos em x, y e z de uma equação vetorial em R3, temos as equações 
paramétricas. 
Para compreendermos melhor, temos um exemplo: escreva as equações 
paramétricas da reta que passa por A(300, 100) e tem vetor diretor )47,10(=v . 
Resolução: 
)001 ,300(A 
)47 ,10(=v 
RtvtAr ∈+ ,:  
Rttr ∈+ ),47 ,10()100 ,300(: 
 
 
18 
Rt
ty
tx
r ∈



+=
+=
 ,
47100
10300
: 
Exemplo: Obtenha as equações paramétricas da reta r que contém o 
ponto A(1, 2) e tem direção dada pelo vetor )4 ,3(=v . 
Resolução: Sabemos que a equação vetorial corresponde a 
Rttyxr ∈+= ),4 ,3()2 ,1() ,(: 
Sendo assim, as equações paramétricas são: 



+=
+=
ty
tx
42
31
 
onde Rt ∈ . 
Exemplo: Determine uma equação vetorial da reta r que passa pelos 
pontos A(1, 3, 6) e B(-2, 3, 3). 
Resolução: Vamos utilizar os pontos A e B para definirmos um vetor 
direção: ABABv −==
 . Logo, vamos fazer )6 ,3 ,1()3 ,3 ,2( −−=v . 
Subtraindo as respectivas componentes, temos 
)63 ,33 ,12( −−−−=v 
o que resulta em 
)3 ,0 ,3( −−=v 
Como a equação vetorial de r corresponde a 
RtvtAr ∈+ ,:  
temos 
)3 0, 3,()6 ,3 ,1()( −−+= ttr 
onde Rt ∈ . 
Exemplo: Encontre uma equação vetorial para a reta r que contém os 
pontos A(1, 2, 1) e B(2, 3, 3). 
Resolução: Podemos observar os pontos A e B na figura a seguir. 
 
 
19 
Para escrevermos uma equação vetorial para a reta r, precisamos de um 
vetor direção. Faremos ABABv −==
 : 
)1 ,2 ,1()3 ,3 ,2( −=v 
)2 ,1 ,1(=v . 
Agora que já temos um vetor direção, podemos obter a equação vetorial 
de r. Sabemos que 
RtvtAr ∈+ ,:  . 
Logo, 
)2 1, ,1()1 ,2 ,1()( ttr += 
onde Rt ∈ . 
A figura abaixo apresenta o vetor )2 ,1 ,1(=v e a reta r. 
 
 
 
20 
TEMA 3 – EQUAÇÕES SIMÉTRICAS 
Outra forma de representarmos uma reta é por meio das equações 
simétricas. Observe que se considerarmos as equações paramétricas de uma 
reta, isolando t e igualando as equações, temos as equações simétricas. Para 
compreendermos melhor, temos o seguinte exemplo. 
Exemplo: Obtenha as equações simétricas da reta r que contém o ponto 
A(1, 2) e tem direção dada pelo vetor )4 ,3(=v . 
Resolução: Na figura a seguir temos o ponto A(1, 2) e o vetor )4 ,3(=v : 
 
 
21 
 
Sabemos que a equação vetorial da reta corresponde a 
Rttr ∈+ ),4 ,3()2 ,1(: 
e que as equações paramétricas são 
Rt
ty
tx
∈



+=
+=
 ,
42
31
 
Para obtermos as equações simétricas, vamos considerar, primeiro, 
tx 31+= . 
Isolando t, temos: 
tx 31+= 
tx 31 =− 
tx
=
−
3
1 
3
1−
=
xt 
 
 
 
22 
Vamos considerar agora a equação ty 42+= e em seguida vamos isolar 
t. 
ty 42+= 
ty 42 =− 
ty
=
−
4
2 
4
2−
=
yt 
Finalmente, vamos igualar as equações 
3
1−
=
xt e 
4
2−
=
yt . Assim, temos 
4
2
3
1 −
=
− yx 
que são as equações simétricas da reta que r que contém o ponto A(1, 2) e tem 
direção dada pelo vetor )4 ,3(=v . 
Observe que nos numeradores de cada fração temos as coordenadas do 
ponto A e nos denominadores as componentes do vetor v . 
Sendo assim, podemos escrever, de uma forma geral, as equações 
simétricas para retas em R2: 
vv y
yy
x
xx

00 −
=
−
. 
Para retas em R3, temos: 
vvv z
zz
y
yy
x
xx

000 −
=
−
=
−
. 
No exemplo anterior, obtivemos as equações simétricas a partir das 
equações paramétricas, mas agora que temos as respectivas fórmulas, 
podemos escrever as equações simétricas de uma forma simples e direta 
substituindoas coordenadas de A e as componentes de v na respectiva fórmula. 
Exemplo: Quais são as equações simétricas da reta r que passa por A(2, 
3, 4) e tem direção de )2 ,2 ,1(=v ? 
 
 
23 
Resolução: Substituindo as coordenadas de A e as componentes de v 
em 
vvv z
zz
y
yy
x
xx

000 −
=
−
=
−
 
temos 
2
4
2
3
1
2 −
=
−
=
− zyx 
que são as respectivas equações simétricas. 
Exemplo: A partir das equações simétricas 
2
4
2
3
1
2 −
=
−
=
− zyx da reta r, 
obtenha as respectivas equações reduzidas. 
Resolução: Como estamos tratando de uma reta em R3, as equações 
reduzidas são dadas por 



+=
+=
dcxz
baxy
, 
ou seja, escrevemos y e z em função da variável x. 
Desta maneira, a partir das equações 
2
4
2
3
1
2 −
=
−
=
− zyx , 
temos: 
2
3
1
2 −
=
− yx e 
2
4
1
2 −
=
− zx , 
pois precisamos relacionar y com x e também z com x. 
Considerando a equação 
2
3
1
2 −
=
− yx , temos: 
( ) ( )3122 −=− yx 
342 −=− yx 
yx =+− 342 
yx =−12 
 
 
24 
12 −= xy 
A partir da equação 
2
4
1
2 −
=
− zx , temos 
( ) ( )4122 −=− zx 
442 −=− zx 
zx =+− 442 
zx =+ 02 
zx =2 
xz 2= 
Sendo assim, as respectivas equações reduzidas são 



=
−=
xz
xy
2
12
. 
TEMA 4 – ÂNGULO ENTRE RETAS 
Dentro da Geometria Analítica e em muitas áreas do conhecimento, é 
importante sabermos calcular o ângulo formado por duas retas. Para obtermos 
o ângulo entre retas, utilizaremos a fórmula 
||.||
|.|cos
vu
vu


=θ , com 
2
0 πθ ≤≤° 
onde u e v são os vetores diretores das retas r e s. Graficamente, temos: 
 
 
25 
 
Exemplo: Determine o ângulo entre as retas r1 e r2 de equações 





−=
+=
+=
tz
ty
tx
r
76
28
512
:1 e 





+=
−−=
+=
tz
ty
tx
r
29
2
3
:2 
Resolução: Os vetores diretores de r1 e r2 são, respectivamente, 
)7 ,2 ,5( −=u e )2 ,1 ,1( −=v . Para determinarmos qual é o ângulo θ entre as 
retas r1 e r2 vamos utilizar esses vetores. Sabemos que o ângulo θ pode ser 
calculado através da relação 
||.||
|.|cos
vu
vu


=θ 
Vamos substituir os vetores u e v por )7 ,2 ,5( − e )2 ,1 ,1( − . Logo 
|)2 ,1 ,1(|.|)7 ,2 ,5(|
|)2 ,1 ,1).(7 ,2 ,5(|cos
−−
−−
=θ 
Calculando o produto escalar e os respectivos módulos dos vetores, 
temos 
222222 2)1(1.)7(25
|.(2))7(.(-1))2()1.()5(|cos
+−+−++
−++
=θ 
411.49425
|)14()2(5|cos
++++
−+−+
=θ 
6.78
|1425|cos −−
=θ 
 
 
26 
468
|11|cos −
=θ 
633308,21
11cos =θ 
508475,0cos =θ 
508475,0cos arc=θ 
°= ,4495θ 
Portanto, o ângulo θ entre as retas r1 e r2 é igual a 59,44°. 
Dizemos que duas retas são ortogonais quando o ângulo entre elas é igual 
a 90°. Simultaneamente, duas retas são ortogonais quando o produto escalar 
dos respectivos vetores diretores é igual a zero: 0. 2121 =⇔⊥ vvrr  onde 1v e 2v 
são as direções de 1r e 2r , respectivamente. 
 
Se 1r e 2r são concorrentes, então 1r e 2r são perpendiculares. 
 
 
 
 
27 
Duas retas são concorrentes quando há um ponto de intersecção entre 
elas. 
Exemplo: Mostre que as retas r e s dadas por 





+=
+=
+=
tz
ty
tx
r
31
4
21
: e 





−=
=
+=
tz
y
tx
s
21
5
32
: 
são ortogonais. 
Resolução: A ortogonalidade entre duas retas pode ser mostrada 
facilmente. Basta calcularmos o produto interno entre os vetores direção u e v 
das retas r e s. Se vu . for igual a 0, as retas r e s são ortogonais. Em particular, 
)3 ,1 ,2(=u e )2 ,0 ,3( −=v . Vamos calcular o produto vu . . 
)2 ,0 ,3).(3 ,1 ,2(. −=vu  
)2(.)3()0(.)1()3(.)2(. −++=vu  
606. −+=vu  
0. =vu  
Como o produto interno vu . é igual a 0, as retas r e s são ortogonais. 
Duas retas são paralelas quando o ângulo entre elas é igual a 0. 
 
Exemplo: Considere as retas g e h definidas pelas equações vetoriais 
g=(1, 9, 6)+t(3, -2, 4) e h:(0, 3, -5)+t(-6, 4, -8). Mostre que g e h são paralelas. 
Resolução: Vamos utilizar a relação 
||.||
|.|cos
vu
vu


=θ para podermos 
mostrar que as retas g e h são paralelas. Para isso, basta mostrarmos que o 
 
 
28 
ângulo θ formado entre elas é igual a 0°. Os vetores diretores de g e h são, 
respectivamente, )4 ,2 ,3( −=u e )8 ,4 ,6( −−=v . 
Inicialmente precisamos substituir os vetores u e v por )4 ,2 ,3( − e 
)8 ,4 ,6( −− . Fazendo isto, temos 
|)8 ,4 ,6(|.|)4 ,2 ,3(|
|)8 ,4 ,6).(4 ,2 ,3(|cos
−−−
−−−
=θ 
222222 )8(4)6(.4)2(3
|.(-8))4(.(4))2()6(.)3(|cos
−++−+−+
+−+−
=θ 
641636.1649
|)32()8(18|cos
++++
−+−+−
=θ 
116.29
|58|cos −
=θ 
3364
58cos =θ 
58
58cos =θ 
1cos =θ 
1 arccos=θ 
°= 0θ 
Portanto, as retas g e h são paralelas, pois o ângulo entre elas é igual a 
0°. 
TEMA 5 – INTERSECÇÃO ENTRE RETAS 
Quando existe um ponto P comum às retas r1 e r2, dizemos que elas 
possuem intersecção. 
 
 
29 
 
A intersecção entre segmentos de retas é muito comum de ser observada 
no cotidiano. Na representação de uma grade ou na trajetória retilínea de objetos 
podemos ter intersecções. 
 
Mas como podemos encontrar a intersecção entre retas, caso exista? No 
exemplo a seguir, veremos os detalhes. 
Exemplo: Considere as retas 





+=
+=
+=
tz
ty
tx
w
23
33
52
: e 





−−=
+=
+=
hz
hy
hx
s
41
23
21
: . 
Determine, caso exista, o ponto P de intersecção destas retas. 
Resolução: Duas retas são concorrentes quando há um ponto de 
intersecção entre elas. Caso haja um ponto de intersecção entre as retas w e s, 
então existe um valor de h e um valor de t tal que as equações paramétricas de 
w e de s podem ser igualadas em relação aos termos x, y e z. 
 
 
30 





−−=+
+=+
+=+
ht
ht
ht
4123
2333
2152
 
Os termos que possuem as variáveis t e h devem estar no primeiro 
membro e os termos independentes no segundo membro 





−−=+
−=−
−=−
3142
3323
2125
ht
ht
ht
 
que corresponde a 





−=+
=−
−=−
442
023
125
ht
ht
ht
 
Agora, precisamos resolver este sistema de equações lineares. Note que 
temos três equações e duas variáveis. Sistemas assim são chamados de 
sistemas sobredeterminados. Uma maneira de verificarmos se há uma solução 
para este sistema é resolvermos, por exemplo, as duas primeiras equações e, 
em seguida, verificarmos se a solução obtida satisfaz a terceira equação. 
Considerando apenas as duas primeiras equações, temos 



=−
−=−
023
125
ht
ht
 
Para podermos resolver o sistema pelo método da adição, vamos 
multiplicar a segunda equação por -1 



−=−
−=−
)1( x023
125
ht
ht
 
o que resulta em 



=+−
−=−
023
125
ht
ht
 
Vamos agora somar os termos correspondentes dessas equações 
 
 
31 
102
023
125
−=+



=+−
−=−
t
ht
ht
 
Para resolvermos a equação 
102 −=+t 
vamos somar 2t com 0 
12 −=t 
Para que possamos obter o valor de t, precisamos agora dividir os dois 
termos da equação por 2 
2
1
2
2 −
=
t 
donde 
2
1−
=t 
ou, na forma decimal, t=-0,5. 
Vamos agora encontrar o valor de h. Para que possamos encontrar o valor 
de h, vamos substituir t por -0,5 em uma das duas equações do sistema que 
acabamos de resolver. A escolha é feita aleatoriamente. Substituindo t por -0,5 
na equação 
125 −=− ht 
temos 
12)5,0(5 −=−− h 
Multiplicando 5 por -0,5, temos 
125,2 −=−− h 
Vamos agora somar 2,5 nos dois membros 
5,2125,25,2 +−=−+− h 
 
 
32 
o que resulta em 
5,120 =− h 
que é igual a 
5,12 =− h 
Dividindo os dois membros por -2, temos 
2
5,1
2
2
−
=
−
− h 
Dividindo -2 por -2 e 1,5 por -2, temos 
75,0−=h 
Agora que já calculamos os valores de t e de h, precisamos verificar se 
estes valores também satisfazem a terceira equação do sistema original. Para 
isso, vamos substituir os valores de t e de h na equação 
442 −=+ ht 
Como t= -0,5 e h= -0,75, temos 
4)75,0(4)5,0(2 −=−+− 
Multiplicando 2 por -0,5 e 4 por -0,75, temos 
431 −=−− 
Somando -1 com -3 
44 −=− 
Como a igualdade se verificou, t=-0,5 e h=-0,75 correspondem à soluçãodo sistema 





−=+
=−
−=−
442
023
125
ht
ht
ht
 
 
 
33 
Neste caso, podemos concluir então que as retas w e s são concorrentes. 
Vamos agora determinar as coordenadas do ponto de intersecção dessas retas. 
As coordenadas do ponto de intersecção podem ser obtidas com a 
substituição de t nas equações paramétricas de w ou com a substituição de h 
nas equações paramétricas de s. A escolha é aleatória. Vamos substituir t=-0,5 
nas equações de w 





−+=
−+=
−+=
)5,0(23
)5,0(33
)5,0(52
z
y
x
 
Multiplicando os respectivos valores, temos 





−+=
−+=
−+=
13
)5,1(3
)5,2(2
z
y
x
 
O próximo passo é realizar a somas indicadas 





=
=
−=
2
5,1
5,0
z
y
x
 
Logo, o ponto de intersecção das retas w e s é P(-0,5, 1,5, 2). 
FINALIZANDO 
Vimos, nesta aula, que as retas são importantes ferramentas na resolução 
de problemas abstratos e na resolução de problemas reais. Aprendemos que é 
possível obtermos a equação reduzida ou a equação geral a partir de algumas 
informações, tais como dois pontos dados ou a partir da inclinação da reta e de 
um ponto pertencente a ela. Vimos, também, que além da equação reduzida e 
da equação geral, podemos ter também a equação vetorial, as equações 
paramétricas, as equações simétricas. Aprendemos a calcular o ângulo entre 
duas retas, analisar posições relativas entre retas e a obter o ponto de 
intersecção entre retas.