Exame de Mecânica Quântica - UFPE

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Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica
Exame Geral de Doutorado
Segundo semestre de 2012
Mecaˆnica Quaˆntica
09/08/2012 – 09h a`s 12h
(Escolha treˆs dentre as quatro questo˜es)
Exame Geral de Doutorado
Mecaˆnica Quaˆntica
1
Questa˜o 1: Fundamentos da mecaˆnica quaˆntica
Considere uma part´ıcula de massa M num poc¸o de potencial infinito de largura a.
a) (20%) Obtenha as func¸o˜es de onda para a part´ıcula de massa M e as respectivas energias.
Em seguida, calcule a energia do estado fundamental de um sistema de cinco part´ıculas
na˜o interagentes presas nesse poc¸o de potencial supondo que sejam (i) a´tomos de He3 e
(ii) a´tomos de He4.
b) (20%) Obtenha a func¸a˜o de onda Ψ(x, t) em termos das autofunc¸o˜es Ψn de energia En
sabendo que em t = 0 temos Ψ(x, 0) = Ψm(x). Em seguida, calcule a probabilidade de
encontrar a part´ıcula num ponto x no interior da caixa num dado instante t.
c) (30%) Se, em t = 0, Ψ(x, 0) = [Ψ1(x) + Ψ2(x)]/
√
2, calcule a probabilidade de encontrar
a particula num ponto x num instante t. Qual seria o valor me´dio da energia para um
conjunto de muitas medidas?
d) (30%) Suponha que a part´ıcula seja uma mole´cula de ga´s em um recipiente macrosco´pico
de largura a. Admita que a func¸a˜o de estado Ψ(x, t) da mole´cula seja uma soma sobre
um numero limitado de autofunc¸o˜es cujas energias Em sejam vizinhas do valor Mv
2
0/2
correspondente a n >> 1. Mostre que a densidade de probabilidade associada a` mole´cula e´
muito pro´xima de uma func¸a˜o perio´dica de per´ıodo T = 2a/v0. Compare com o resultado
que seria obtido pela mecaˆnica cla´ssica.
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Questa˜o 2: Oscilador harmoˆnico
Considere um autoestado do hamiltoniano do oscilador harmoˆnico unidimensional.
a) (20%) Mostre que os valores esperados da posic¸a˜o e do momento do oscilador sa˜o nulos.
b) (20%) Calcule o valor esperado da energia potencial do oscilador, mostrando em seguida
que e´ ideˆntico ao valor esperado da sua energia cine´tica.
c) (20%) Mostre que ∆x e ∆p, respectivamente as incertezas na posic¸a˜o e no momento,
satisfazem a` relac¸a˜o ∆x ·∆p = (n+ 1/2)~, onde n e´ o nu´mero quaˆntico do estado.
d) (20%) Mostre que a paridade do estado n e´ par (´ımpar), se n for par (´ımpar).
e) (20%) Mostre que a autofunc¸a˜o do estado fundamental e´ uma gaussiana.
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Questa˜o 3: Teoria de perturbac¸a˜o independente do tempo
Uma part´ıcula de massa m e carga q oscila num potencial harmoˆnico unidimensional, com
uma frequeˆncia angular ω.
a) (60%) Usando teoria de perturbac¸a˜o, mostre que o efeito de um campo ele´trico de mag-
nitude ε aplicado paralelamente ao movimento e´ o de baixar todos os n´ıveis de energia
por uma quantidade ε2q2/2mω2.
b) (40%) Compare o resultado do ı´tem anterior com o resultado cla´ssico.
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Questa˜o 4: Sistema de dois n´ıveis
Considere um a´tomo de spin 1/2. Os autovetores e autovalores de Sz sa˜o |±〉 e ±~/2.
a) (40%) Represente, na base {|+〉 , |−〉}, a observa´vel Su = ~S · uˆ, onde uˆ e´ o vetor unita´rio
definido na figura abaixo. Em seguida, obtenha os autovetores de Su na mesma base.
b) (30%) Calcule os valores me´dios de Sx, em um dos autoestados de Su. Comente o resultado
sabendo que os poss´ıveis valores para uma medida de Sx sa˜o +~/2 e −~/2.
c) (30%) O a´tomo e´ colocado num campo magne´tico uniforme B0zˆ. O hamiltoniano H que
descreve a evoluc¸a˜o do spin do a´tomo neste campo e´ dado por H = ω0Sz, onde ω0 = −γB0
e γ e´ o fator giromagne´tico. Suponha que no instante t = 0 o sistema esteja no estado
|Ψ(0)〉 = cos(θ/2)e−iϕ/2 |+〉+ sen(θ/2)eiϕ/2 |−〉
Calcule os valores me´dios de Sz, Sx e Sy e mostre que eles se comportam como um
momento magne´tico cla´ssico com movimento de precessa˜o de Larmor de frequeˆncia ω0.
x 
y 
z 
�� 
� 
� 
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Formula´rio
Definic¸a˜o e propriedades do operador de aniquilac¸a˜o:
a = (mωx+ ip)/
√
2m~ω (1)
a |n〉 = √n |n− 1〉 ; a† |n〉 = √n+ 1 |n+ 1〉 (2)
Matrizes de Pauli:
Sx =
~
2
(
0 1
1 0
)
Sy =
~
2
(
0 −i
i 0
)
Sz =
~
2
(
1 0
0 −1
)
Incerteza em uma grandeza f´ısica A:
∆A =
√
〈A2〉 − 〈A〉2