Exame de Mecânica Clássica

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VIRTUSIMPAVIDA
Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de F´ısica
Programa de Po´s-Graduac¸a˜o
Exame Geral de Doutorado
MECAˆNICA CLA´SSICA
Quinta-feira 27/02/2014 - 09h00 a`s 12h00
(Escolha treˆs dentre as quatro questo˜es)
1a Questa˜o: Oscilac¸o˜es Acopladas
Dois blocos de mesma massa m esta˜o ligados entre si atrave´s de uma mola de massa
desprez´ıvel e constante ela´stica k. Como mostrado na figura, uma mola de constante
ela´stica K e massa desprez´ıvel conecta o bloco 1 a uma parede r´ıgida. As coordenadas
x1 e x2 sa˜o tais que x1 = 0 e x2 = 0, quando as molas esta˜o relaxadas. Suponha que
na˜o ha´ atrito entre os blocos e o piso.
a) (30%) Escreva a lagrangiana do sistema e obtenha as equac¸o˜es de movimento
correspondentes.
b) (40%) Determine as frequeˆncias dos modos normais de oscilac¸a˜o em func¸a˜o de
m, k e K.
c) (30%) No limite de acoplamento forte entre os blocos (k >> K), calcule as
frequeˆncias dos modos normais ate´ primeira ordem em K/k.
2a Questa˜o: Dinaˆmica de Corpo Rı´gido
Um cilindro uniforme de raio R e massa M encontra-se em repouso sobre uma
superf´ıcie horizontal com atrito. No instante t = 0 uma forc¸a horizontal constante de
mo´dulo F passa a atuar no centro do cilindro fazendo-o rolar sem escorregar, como
mostrado na figura. Responda as questo˜es abaixo em termos de R, M , F .
a) (30%) Qual o mo´dulo da acelerac¸a˜o do centro de massa do cilindro ?
b) (40%) Determine, em func¸a˜o do tempo, o momento angular do cilindro em
relac¸a˜o ao seu eixo e o momento angular total em relac¸a˜o ao ponto O.
c) (30%) Qual a expressa˜o para ~rA(t), o vetor posic¸a˜o do ponto A do cilindro, como
func¸a˜o do tempo ?
3a Questa˜o: Mecaˆnica Lagrangiana
As equac¸o˜es de movimento (Euler-Lagrange) para uma lagrangiana da forma
L
(
qi, si =
dkqi
dtk
, t
)
(i = 1, ..., n) sa˜o escritas como
(−1)k d
k
dtk
(
∂L
∂si
)
+
∂L
∂qi
= 0 , (1)
e o momento linear e´ definido como pi =
∂L
∂si
.
a) (50%) Determine as equac¸o˜es de Hamilton para a hamiltoniana H = H1(qi, pi, t),
para k = 1.
b) (50%) Determine as equac¸o˜es de Hamilton para a hamiltoniana H = H2(qi, pi, t),
para k = 2.
Sugesta˜o: Use a transformada de Legendre Hk =
∑n
i=1 pisi − L
(
qi, si =
dkqi
dtk
, t
)
.
4a Questa˜o: Sistemas Conservativos e Equac¸o˜es de Hamilton
Uma part´ıcula de massa m esta´ submetida a` forc¸a
~F (x, y) = −x xˆ− y yˆ.
a) (20%) Verifique explicitamente que esta forc¸a e´ conservativa usando os caminhos
C1, C2 e C3 da figura, que va˜o da origem ate´ o ponto (X,Y).
b) (30%) Determine a energia potencial, a lagrangiana e a hamiltoniana deste sis-
tema mecaˆnico.
c) (30%) Mude de coordenadas e verifique se o sistema tem varia´vel c´ıclica.
d) (20%) Obtenha as constantes de movimento do sistema.