caoticidade maxima

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Sistema de Molas Caóticas 
Tiago de Carvalho Borella 
 
 
1 CONTEXTUALIZAÇÃO E APRESENTAÇÃO DO PROBLEMA 
 
 Durante a história da Ciência e da Física, pensadores, físicos, matemáticos estiveram sempre 
buscando soluções para problemas específicos. Essas soluções seriam formas de prever a posição 
futura do objeto. Tais ideias são de cunho determinista e dá a entender que sabendo-se as condições 
iniciais de um corpo, seria possível prever o seu posicionamento futuro no Universo. Esse pensamento 
geralmente é atribuído a Laplace que influenciou diversos outros pensamentos. Como por exemplo, 
Poincaré, que se autodeclarava determinista, falou: “Se conhecêssemos exatamente as leis da natureza 
e a situação do Universo no momento inicial, poderíamos prever com precisão a situação do Universo 
em um momento posterior. Mas, mesmo que as leis naturais não tenham mais segredos para nós, não 
podemos conhecer a situação inicial mais do que aproximadamente. Se, isso nos permite prever a 
situação posterior com a mesma aproximação, que é tudo o que precisamos, dizemos que o fenômeno 
foi previsto e que é regido por leis. Mas nem sempre é assim: pode acontecer que pequenas diferenças 
nas condições iniciais produzam algumas muito grandes nos fenômenos finais. Um pequeno erro no 
início gerará um grande erro no final. A previsão torna-se impossível”. 
 O resultado que Poincaré deduziu filosoficamente é marcante no que se chama, hoje em dia, 
de Dinâmica Não-Linear, ou então, a Teoria do Caos. Uma pergunta pertinente seria: “O que é Caos 
e onde que aparecem esses efeitos?”. O comportamento caótico descreve o comportamento complexo 
de sistemas simples que são aparentemente aleatórios. Ele pode aparecer em problemas simples com 
poucos graus de liberdade, mas ao mesmo tempo, também é determinista. Sabendo as condições 
inicias, seu comportamento futuro pode ser previsto. 
 Algumas características quanto ao Caos incluem a sua alta sensibilidade aos valores iniciais. 
Também é característica a falta de linearidade dos problemas, a dependência do tempo também 
interfere no comportamento e, os comportamentos cíclicos complexos. 
Com essas considerações seria possível criar uma simulação no software InsightMaker para 
ilustrar um sistema caótico? 
 Para ilustrar esse comportamento não-linear foi desenvolvido uma simulação no Software 
InsightMaker de um sistema de duas molas ligadas a corpo esférico de massa arbitrária. Para analisar 
se o comportamento do sistema é caótico são usados diferentes gráficos analisando diagramas de fase 
e o comportamento das coordenadas do sistema. Também é feita uma análise sensiva dentro do 
Software para verificar o quão sensível é o sistema sujeito a diferentes condições iniciais e para 
verificar se o comportamento tende a ser caótico ou não. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 REFERENCIAL TEÓRICO 
 
 Primeiramente o problema será apresentado por meio das Figuras 1 e 2 para facilitar a sua 
visualização, em seguida, a modelagem do problema será desenvolvida em uma série de equações 
que irão caracterizar o problema, que será posteriormente adicionado no InsightMaker. O significado 
das letras são: “m” é a massa do corpo do meio, “L” é o comprimento da mola, “k1” e “k2” são as 
constantes elásticas das molas, “θ” e “φ” são os ângulos com relação aos eixos de coordenadas 
adotado e “s1” e “s2” funcionam adotando a forma de uma hipotenusa com relação aos eixos e aos 
ângulos.. 
Figura 1 – Duas Molas com constantes elásticas diferentes ligadas por meio de uma massa “m” 
 
 
Figura 2 – As duas Molas com constantes elásticas diferentes agora tensionadas 
 
 
 
 
 
 Observando a Figura 2, chega-se nas seguintes equações base: 
𝑠1 = √𝑥2 + (𝐿 + 𝑦)2 (1) 
𝑠2 = √𝑥2 + (𝐿 − 𝑦)2 (2) 
 Agora, analisando os ângulos entre as molas e os eixos, se tem as seguintes equações: 
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝐿+𝑦
𝑠1
 (3) 
𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑥
𝑠1
 (4) 
𝑐𝑜𝑠𝜑 =
𝐿−𝑦
𝑠2
 (5) 
𝑠𝑒𝑛𝜑 =
𝑥
𝑠2
 (6) 
 Com essas equações é possível construir relações das leis de Hooke, tanto em y quanto em x, 
e associar uma massa e uma aceleração ao sistema. Sendo a equação 7 a Força em x e a equação 8 a 
força em y, nessas equações �̈� 𝑒 �̈� são as acelerações nas direções x e y. 
𝐹𝑥 = 𝑚�̈� = −𝑘1(𝑠1 − 𝐿)𝑠𝑒𝑛𝜃 + −𝑘2(𝑠2 − 𝐿)𝑠𝑒𝑛𝜑 (7) 
𝐹𝑦 = 𝑚�̈� = −𝑘1(𝑠1 − 𝐿)𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑘2(𝑠2 − 𝐿)𝑐𝑜𝑠𝜑 (8) 
Isolando as acelerações e substituindo os valores dos cossenos e senos na equação, é possível 
inferir as seguintes equações de movimento que irão caracterizar o comportamento do sistema: 
�̈� =
𝑥
𝑚
(𝑘1 ∗ (
𝐿
√𝑥2+(𝐿+𝑦)2
− 1)) + (𝑘2 ∗ (
𝐿
√𝑥2+(𝐿−𝑦)2
− 1)) (9) 
�̈� =
1
𝑚
(𝑘1 ∗ (𝐿 + 𝑦) (
𝐿
√𝑥2+(𝐿+𝑦)2
− 1)) − (𝑘2 ∗ (𝐿 − 𝑦) (
𝐿
√𝑥2+(𝐿−𝑦)2
− 1)) (10) 
 Com isso, as equações 9 e 10 representam as equações de movimento do sistema, e com esse 
resultado já é possível a modelagem do problema no software InsightMaker. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 DELINEAMENTO COMPUTACIONAL 
 
Nesta seção é discutida a montagem da modelagem no software Insight Maker. A simulação 
é encontrada no link: Simulação de Sistema de Molas Caótico. Primeiramente, foram criados os 
stocks “x” e “y” no software Insight Maker, em ambas as coordenadas foi adicionado um “flow” com 
denominação “dx/dt” para a coordenada x e, “dy/dt” para a coordenada y. Esses flows irão controlar 
a velocidade de x e a velocidade de y. Em seguida é criado um stock com o nome de “Vx” e outro 
com nome de “Vy” que um link é feito entre eles com suas respectivas representações “dx/dt” e 
“dy/dt”. No “Vx” e no “Vy” é conectado um flow que irá controlar a aceleração em x e y, esses flows 
foram denominados “ax” e “ay”. 
 Além de apresentar os stocks, também é necessário criar as variáveis que atuarão no sistema, 
nesse caso, sendo “L” o comprimento da mola, “k1” e “k2” as constantes elásticas das molas e “m” 
sendo a massa do objeto em que as molas estão acopladas. 
 Agora, com todos os elementos visuais criados é necessário colocar argumentos dentro de 
cada um deles. O “x” e “y” são valores arbitrários que vão reger o problema. Para fazer a análise 
sensitiva dentro dessas variáveis é colocada a função RandNormal com um valor que será a média de 
diversos testes e o desvio padrão desejado. Ao “dx/dt” será atribuído o stock “Vx” e ao “dy/dt” será 
atribuído o stock “Vy”. Tanto “Vx” como “Vy” começam em 0. Os valores de massa, comprimento e 
as constantes elásticas também são arbitrários. 
 Em seguida, as equações 9 e 10 são atribuídas à “ax” e “ay”, e esse é o passo mais importante 
de toda a modelagem, pois é onde tem a maior possibilidade de gerar erros diversos. O cuidado ao 
digitar todos os termos e a aplicação de parênteses é essencial na construção, o posicionamento de 
parênteses errado ocasiona erros fisicamente absurdos como a posição das molas tenderem ao infinito. 
Porém, com tudo isso descrito de forma correta nas acelerações, é possível a criação do sistema 
caótico.https://insightmaker.com/insight/4hCLmRGSKyTSEOeB0LLPra/Sistema-ca-tico-de-duas-Molas
 
4 RESULTADOS 
 
 Primeiramente será mostrado uma imagem do corpo da simulação ilustrado na Figura 3. 
Figura 3 - Simulação montada no Insight Maker 
 
Com essa montagem, a simulação foi realizada. Agora, serão apresentados alguns gráficos e 
diagramas (Figuras 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 e 17) com valores diferentes de x e y 
iniciais. Para começar, será adotado o valor de 0,0256 para x e 0,0257 para y. 
Figura 4 – Gráfico de X por Y 
 
Figura 5 – Diagrama de Fase de X com a Velocidade em X 
 
Figura 6 – Análise Sensível com relação a y 
 
 
 
 
 
Figura 7 – Análise Sensível com relação a X 
 
 
Em seguida são utilizados valores arbitrários, diferentes para x e y, sendo eles: x = 0,363 e y 
= 0,325. Com esses valores se tem os seguintes comportamentos: 
Figura 8- Movimento em X e Y com as condições citadas 
 
Figura 9 – Diagrama de Fase em X da Segunda Situação 
 
 
Figura 10 – Diagrama de Fase em y com velocidade em y 
 
 
Figura 11 – Análise Sensível do Segundo caso em y 
 
Figura 12 – Análise sensível do Segundo caso em x 
 
 Os últimos valores apresentados são: para x = 0.65986 e y = 0.3269, valores um pouco mais 
altos e que geram caos também. 
Figura 13 – Gráfico de X por Y no último caso 
 
Figura 14 – Diagrama de Fase de X no Último Caso 
 
Figura 15 – Diagrama de Fase em y 
 
Figura 16 – Análise Sensível do eixo X no último caso 
 
Figura 17 – Análise Sensível em X no último caso 
 
 Em todas as simulações rodadas foi utilizado o valor de “k1” sendo 50, o valor de “k2” sendo 
100, o valor de “L” sendo 1 e o valor de “m” sendo 10 
 
5 CONCLUSÕES 
 
 Respondendo à questão levantada no primeiro tópico do relatório, é possível construir uma 
simulação caótica no InsightMaker. O problema em questão gera situações em que se tem a 
característica de um sistema não-linear. As exceções mais fáceis de achar são quando x ou y 
equivalem a 0. Nesses dois casos é possível visualizar que o corpo iria variar somente em uma das 
coordenadas não gerando nenhum comportamento caótico. Outros casos singulares também podem 
ser aferidos modificando as condições iniciais do sistema. 
 Nos casos citados acima é possível de identificar os atratores de cada problema e também é 
possível observar transientes. Quando uma velocidade inicial é adicionada ao sistema, a tendência é 
de não haver caos, diversas situações foram testadas e é mais difícil achar situações em que o Caos 
ocorre. 
 No geral, montar a simulação foi bem interessante, pois foi possível visualizar como o sistema 
não-linear, em questão, funciona. O caos geralmente é um tópico que gera dúvida e imprevisibilidade, 
porém nos estudos feitos é possível notar padrões em alguns regimes de grandezas, em outros casos, 
alterando o valor na quinta casa decimal já gera uma situação totalmente diferente. Concluindo, foi 
possível desenvolver sistemas caóticos no InsightMaker, e também analisar o comportamento não-
linear do problema em questão. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
HEIDEMANN, Leonardo Albuquerque. Mecânica Clássica para a Licenciatura. Porto Alegre. 29 jun. 
2023. Apresentação de Slides. 182 slides. Disponível em: 
https://moodle.ufrgs.br/pluginfile.php/6237553/mod_resource/content/1/A4_Caos_Din%C3%A2mi
ca_N%C3%A3o-Linear_v2023_1.pdf .Acesso em 24/08/2023 
PEREIRA, Rodrigo Weber. Molas Verticais. Disponível em: 
https://insightmaker.com/insight/6OkN1PWgdy8MZ2Biqh10WZ/Molas-verticais 
https://moodle.ufrgs.br/pluginfile.php/6237553/mod_resource/content/1/A4_Caos_Din%C3%A2mica_N%C3%A3o-Linear_v2023_1.pdf
https://moodle.ufrgs.br/pluginfile.php/6237553/mod_resource/content/1/A4_Caos_Din%C3%A2mica_N%C3%A3o-Linear_v2023_1.pdf
https://insightmaker.com/insight/6OkN1PWgdy8MZ2Biqh10WZ/Molas-verticais