ListaPR2Resolvida

Prévia do material em texto

Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Departamento de Estatística
Segunda Lista de Exercícios de Estatística I
1. Seja X v.a. representando o número de carros no estacionamento da Universidade em um dia.
A distribuição de probabilidade de X é dada abaixo:
x 2 3 4 5 6 total
f(x) 0.1 0.3 0.3 0.2 0.1 1
(a) Calcular P (X ≤ 3), P (X ≥ 4) e P (3 0 ∀ x ∈ [0,+∞).
∫ +∞
0
2e−2x dx = lim
t→+∞
∫ t
0
2e−2x dx = 2 lim
t→+∞
(
−1
2
e−2x
∣∣∣∣∣
t
0
)
= 1
(b) Calcule a probabilidade de X > 10.
P (X > 10) = 1− P (X ≤ 10) = 1− P (0 ≤ X ≤ 10) = 1−
∫ 10
0
e−2x dx =
1
e20
6. Considere uma v.a. X com f.d.p. dada por:
f(x) =
sen(x)
2
, 0 ≤ x ≤ π
Determine:
(a) A função de distribuição acumulada de X;
FX(x) =

0 para x 0 para todo x ∈ [−∞,+∞]. Além disso,
∫ +∞
0
1
3
e−
x
3 dx = lim
t→+∞
∫ t
0
1
3
e−
x
3 dx = 1
(b) Qual a probabilidade de a bateria durar no máximo um ano?
P (X ≤ 1) =
∫ 1
0
1
3
e−
x
3 dx = 1− e−
1
3
(c) Qual a probabilidade de o tempo de duração da bateria estar compreendido entre 1 e 3
anos?
P (1 ≤ X ≤ 3) =
∫ 3
1
1
3
e−
x
3 dx = e−
1
3 − e−1
(d) Qual a probabilidade de a bateria durar mais de 3 anos?
P (X ≥ 3) = 1− P (X 5.
∫ 5
0
kx(x− 5)dx = 1 ⇔ k = − 6
125
(d) f(x) =
k
1 + 4x2
para todo x real.
∫ +∞
−∞
f(x)dx = 1 ⇔
∫ 0
−∞
k
1 + 4x2
dx+
∫ +∞
0
k
1 + 4x2
dx = 1 ⇔ k =
2
π
(e) f(x) =
k
x3
para x ≥ 1 e f(x) = 0 para x 5.
FX(x) =

0 ; x 5
(b) f(x) =
1
2
e−
x
2 para x ≥ 0 e f(x) = 0 para xβ
e−
x
β , se x ≥ 0 (β > 0);
0, se x b.
E(X) =
∫ +∞
−∞
xf(x)dx =
∫ b
a
x
1
b− a
dx =
b+ a
2
E(X2) =
∫ +∞
−∞
x2f(x)dx =
∫ 0
−∞
x2 1
b− a
dx =
b2 + ab+ a2
3
V (X) = E(X2)− [E(X)]2 =
(b− a)2
12
(b) f(x) =
3
(x+ 1)4
para x ≥ 0 e f(x) = 0 para x 2
(b) Esboce o gráfico da função de distribuição acumulada.
(c) Calcule P (0, 55− P (0 ≤ Z ≤ 1, 5)
= 0, 5− 0, 4332 = 0, 0668
P (X ≥ 0, 504) = 0, 5− P (0, 499 ≤ X ≤ 0, 504)
= 0, 5− P
(
0, 499− 0, 499
0, 002
≤ Z ≤ 0, 504− 0, 499
0, 002
)
= 0, 5− P (0 ≤ Z ≤ 2, 5) = 0, 5− 0, 4938 = 0, 0062
Portanto,
P (X ≤ 0, 496) + P (X ≥ 0, 504) = 0, 0668 + 0, 0062 = 0, 073
Conclui-se que, em média, 7,3 rolamentos não estarão de acordo com o esperado.
25. Os serviços de remessas e entregas, como os dos Correios, cobram um preço relativo ao peso
do pacote a ser enviado. Contudo, o cálculo desse custo não é tão simples quanto possa
parecer. Quando o objeto a ser enviado tem grandes dimensões e pouco peso, existe outra
análise a ser feita. Obviamente, enviar um pacote somente pelo peso traria grandes distorções
de preço para a remessa de objetos muito leves. A solução que essas empresas empregam é
chamada de peso dimensional. O peso dimensional leva em conta a densidade do pacote, que
é a quantidade de espaço que ele ocupa em relação ao seu peso real. A fórmula mais utilizada
para esse cálculo é a divisão do volume em centímetros cúbicos por 5 cm3/kg, obtendo-se dessa
forma o resultado em quilos. É claro que esse novo peso em quilos é só um valor fictício. Desta
forma, cobra-se pelo maior dos pesos, entre o real e o dimensional. Considere uma empresa
que faça muitas remessas de produtos leves e queira elaborar um contrato especial com uma
empresa de remessas. Seus pacotes têm dimensão distribuída normalmente com média 60
cm3. O desvio-padrão, observado após as conversões devidas e diretamente utilizado, é de
3,5kg. Estabeleça um valor C de negociação entre as empresas, de forma que 99% dos pacotes
fiquem, no mínimo, 1 kg abaixo do peso esperado.
Primeiro vamos calcular o peso médio que será tarifado
Peso dimensional =
60cm3
5cm3/kg
= 12kg
Sabe-se:
P
(
XC ≤ X − 12
3, 5
)
= 0, 49
Agora, faremos o caminho inverso do habitual para a consulta da tabela de distribuição normal.
Consultando os valores internos da tabela vamos procurar a probabilidade que queremos e,
depois, voltamos às margens para verificar qual o valor que encontramos. Dessa forma, têm-se:
0, 49 = P (2, 33)
Então:
X − 12
3, 5
= 2, 33 =⇒ X = 20, 155
Portanto
C = X + 1 = 20, 155 + 1 = 21, 155kg
26. Uma empresa produz equipamentos de ar-condicionado. Existem equipamentos de dois tipos,
gama e delta. Esses equipamentos têm garantia de 6 meses contra defeitos de fabricação. O
tempo até a ocorrência de um defeito nos aparelhos segue uma distribuição normal, sendo
que para os aparelhos do tipo gama, a média para a ocorrência de um defeito é de 10 meses
e o desvio-padrão é de 2 meses. Para os aparelhos do tipo delta essa média é de 11 meses e
o desvio-padrão é de 3 meses. O lucro na venda dos aparelhos gama é de R$ 1200,00 e na
venda dos aparelhos delta é de R$ 2100,00. Se, por algum motivo, um aparelho quebrar antes
do prazo final de garantia, os custos de reparo serão de R$ 2500,00 para os aparelhos gama e
de R$ 7000,00 para os aparelhos delta. Qual equipamento é economicamente mais vantajoso
para a empresa incentivar a venda?
Em primeiro lugar, devemos calcular as chances de os equipamentos quebrarem durante o
tempo de garantia.
P (Tg 144) = P (X > 0, 1)
Como estamos lidando com a distribuição exponencial, que não tem memória, os momen-
tos que antecedem o rush não nos interessam, pois não alteram nossas probabilidades.
Procuramos então a probabilidade de que o tempo até o próximo mm de chuva cair não
seja superior a 144 minutos, considerando t = 0 o inicio do rush.
P (X ≤ 0, 1) =
∫ 0,1
0
25e−25·xdx
= − 1
25
· 25e−25x
∣∣∣∣0,1
0
= −e−25·0,1 + e−25·0 = 1− e−2,5 = 0, 918
(b) Se 1 mm de chuva cair no instante 0, qual é a probabilidade de que o tempo até o próximo
mm de chuva esteja entre 48 minutos e 1 hora e 12 minutos?
Em primeiro lugar, vamos colocar todos os dados na mesma unidade
0 · 60 + 48 = 48 minutos
1 · 60 + 12 = 72 minutos
48
1440
≈ 0, 033;
72
1440
= 0, 05
Queremos, portanto, calcular:
P (0, 033 ≤ X ≤ 0, 05) =
∫ 0,05
0,033
25e−25·xdx = − 1
25
· 25e−25x
∣∣∣∣0,05
0,033
= 0, 152
29. Quando falamos em tecnologia LCD, existem diversos aspectos que podem interessar ao usuá-
rio. Se o intuito for jogar videogame, por exemplo, uma característica que deve ser observada
é o tempo de resposta do aparelho. O tempo de resposta é aquele em que o monitor de LCD
muda completamente a imagem da tela. Este fator é importante pois, caso não seja rápido o
suficiente, teremos efeitos indesejados como “objetos fantasmas” ou sombra nos movimentos
do jogo. Supondo que esse tempo de resposta tenha distribuição exponencial com média igual
a 5 milissegundos, responda:
(a) Qual a probabilidadede o tempo de resposta ser de no máximo 10 milissegundos?
Em primeiro lugar, precisamos encontrar os parâmetros da distribuição em questão.
Lembre-se de que:
f(x) =
{
λ · e−λ·x para x ≥ 0
0 para x 6000|X > 4000 =
P (X > 6000 ∩X > 4000)
P (X > 4000)
=
1− P (X= 97.7%
45. As alturas de 10000 alunos de um colégio têm distribuição aproximadamente normal, com
média 170 cm e desvio padrão 5 cm. Pede-se:
(a) P (X > 165);
P (X > 165) = P
(
X − µ
σ
>
165− 170
5
)
= P (Z 3) = 1− P (X ≤ 3) = 1− [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)]
P (X > 3) = 1−
[
e−3 · 30
0!
+
e−3 · 31
1!
+
e−3 · 32
2!
+
e−3 · 33
3!
]
= 1− 0.498 = 0.502 = 50.2%
48. Se o tempo médio entre um pedido e o atendimento em um restaurante é uma variável aleatória
com distribuição exponencial com média 10 min, determine:
(a) Probabilidade da espera ser inferior a 10 min.
P (T 10) = 1− F (T = 10) = 1− (1− e−0,1·10) = 1− 1 + e−1 = 0.368