Equações 1 e 2 graus

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Apresentação
Na matemática, a equação é uma igualdade que envolve uma ou mais incógnitas. O que determina o grau dessa equação é o expoente da incógnita. Uma equação é dita de primeiro grau quando tem incógnita com grau um.
A equação de primeiro grau, também denominada função afim, tem uma lei de formação matemática específica para representá-la e algumas outras particularidades bem interessantes.
Nesta Unidade de Aprendizagem, você vai estudar essa equação em profundidade, analisando exemplos, formas de resolução e aplicações práticas.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Definir uma equação do primeiro grau.
· Identificar os termos da equação do primeiro grau.
· Resolver problemas envolvendo equações do primeiro grau.
Desafio
Uma função da forma f(x)=ax+b é chamada de função linear porque o gráfico de uma função desse tipo é uma linha reta. Considere, por exemplo, um serviço de Uber que cobra um valor fixo de R$ 8,00 mais uma quantia variável conforme a distância percorrida. Esse problema pode ser expresso pela equação f(x)=2x+8 e representado por meio do gráfico a seguir:
As linhas retas desempenham um papel importante em muitas aplicações práticas. Você pode utilizá-las para resolver problemas nos quais deseja descobrir o valor a ser pago após receber determinado desconto sobre um valor x de uma mercadoria. Pode desejar calcular o tempo máximo de duração de uma festa dadas algumas informações prévias, entre outros.
Acompanhe a situação a seguir, em que você precisa utilizar os conhecimentos de função de primeiro grau para resolver uma situação prática envolvendo custos
Nesse contexto, você deverá:
a) apresentar uma expressão matemática geral que possa representar o custo total da empresa, fazendo a representação gráfica também;
Resposta: CT = 200 + 50x
X = quantidade unidade produzida.
b) verificar qual é o custo total da empresa para cinco unidades produzidas.
Resposta: 
Cálculo do custo total para cinco unidades produzidas: 5x
Substituindo na expressão: CT = 200 + 50x
CT = 200 + 50x ....... CT = 200 + 50 . 5 .......... CT = 200 + 250 ....... CT = 450
O custo total para cinco unidades produzidas é R$ 450,00.
Padrão de resposta esperado
Infográfico
Uma função de primeiro grau pode ser representada graficamente. Para isso deve-se ter pontos (pares ordenados) em quantidade suficiente que permita esboçar o gráfico. Uma forma de determinar esses pares é construir uma tabela de valores e representá-los no plano cartesiano por meio da lei que define a função. O gráfico de uma função de primeiro grau sempre será uma reta, que pode ter inclinação negativa ou positiva, a depender do sinal do seu coeficiente angular.
Neste Infográfico, você vai conhecer mais detalhes da função de primeiro grau e vai visualizar a sua representação gráfica
Conteúdo do Livro
A equação de primeiro grau pode ser aplicada em algumas situações do cotidiano por meio de problemas bem simples. Identificar uma equação de primeiro grau bem como seus elementos e suas variáveis, dominando o seu processo de resolução, é essencial para um bom entendimento dessas aplicações. O primeiro aspecto importante é compreender que uma equação do primeiro grau é toda expressão na forma ax+b=0, em que a tem que ser diferente de zero para que a equação seja de grau 1.
No capítulo Equação do primeiro grau, base teórica desta Unidade de Aprendizagem, você vai aprofundar os conhecimentos sobre as equações do primeiro grau, que são sentenças matemáticas que estabelecem relações de igualdade entre termos conhecidos e desconhecidos. Também, vai conhecer conceitos, fórmulas e diversos exemplos para ajudá-lo a resolver problemas aplicados.
Boa leitura.
Dica do Professor
O principal objetivo de uma função de primeiro grau é especificar o valor da variável desconhecida, ou seja, da incógnita. Elas podem ser representadas por qualquer letra do alfabeto; entretanto, as mais aplicadas são x, y e z. Uma função de primeiro grau é caracterizada nos gráficos por uma reta, essa reta pode ser crescente ou decrescente, dependendo dos valores do coeficiente angular e do ponto de intersecção com o eixo y do plano cartesiano.
Nesta Dica do Professor, você vai ver o que significa equação, como é formada uma equação do primeiro grau (em seus coeficientes), os passos para solucionar a equação do primeiro grau e um exemplo aplicado
https://www.youtube.com/results?search_query=passos+para+solucionar+equa%C3%A7%C3%B5es
EXERCICIOS
1- Algumas situações práticas podem ser resolvidas por meio de uma função de primeiro grau. Uma equação do primeiro grau é toda expressão na forma ax+b=0, em que x é a variável, a incógnita que desejamos descobrir. Carlos está fazendo a compra de material escolar para seu filho, comprou três cadernos e cinco livros. Ele pagou pela compra o valor total de R$ 380,00. Sabendo que cada caderno custa R$ 25,00, podemos afirmar que o valor de cada livro corresponde a:
( ) R$ 305,00. ( X ) R$ 61,00.	( ) R$ 75,00.	 ( ) R$ 76,00. ( ) R$ 91,00.
2- No nosso cotidiano é conveniente ter domínio sobre as equações do primeiro grau, pois elas nos permitem pensar sobre situações práticas que experimentamos todos os dias. Nesse contexto, considere que Paulo juntou o valor de que precisa para pagar a conta mensal da padaria. O saldo devedor é R$ 89,00, e ele separou cinco notas de R$ 10,00, sete notas de R$ 5,00 e ainda necessita de notas de R$ 2,00 para completar o pagamento. Sabendo disso, podemos afirmar que o número de notas de R$ 2,00 que Paulo precisará para saldar o valor a pagar é de:
( X )  2.		( ) 4.		( ) 8.		( ) 37.		( ) 87.
3- Em questões de concurso e em problemas de raciocínio lógico, podem surgir situações em que uma grandeza dependa da outra. Esse tipo de situação pode ser associado a uma função. Nesse contexto, pense no seguinte problema: se somarmos as idades de Antônio e de seu filho Mário, teremos 84 anos. Sabendo-se que a idade do pai é o dobro da idade do filho, podemos afirmar que a idade de cada um é:
( ) Mário e Antônio têm 42 anos.
( ) Mário tem 56 anos, e Antônio tem 28 anos.
( X ) Mário tem 28 anos, e Antônio tem 56 anos.
( ) Mário tem 21 anos, e Antônio tem 63 anos.
( ) Mário tem 14 anos, e Antônio tem 28 anos.
4- O objetivo de resolver uma equação do primeiro grau é descobrir o valor desconhecido, encontrar o valor da incógnita que torna a igualdade verdadeira. Sendo assim, considere que Marta e Ana ganharam de seus pais o valor de R$ 302,00. No entanto, Marta ficou com o triplo da importância que Ana ganhou. Portanto, podemos afirmar que Ana e Marta receberam cada uma:
( ) Ana ganhou R$ 100,67, e Marta ganhou R$ 201,33.
( ) Ana ganhou R$ 151,00, e Marta ganhou R$ 151,00.
( ) Ana ganhou R$ 201,33, e Marta ganhou R$ 100,67.
( X ) Ana ganhou R$ 75,50, e Marta ganhou R$ 226,50.
( ) Ana ganhou R$ 226,50, e Marta ganhou R$ 75,50.
5- As funções são utilizadas na representação cotidiana de situações que envolvam valores constantes e variáveis, sempre colocando um valor em função do outro. Por exemplo, quando abastecermos o carro no posto de gasolina, o preço a ser pago depende da quantidade de litros de combustível colocada no tanque. Considere que João comprou um carro novo, mas não dispunha do valor total à vista. Ele negociou o pagamento do valor total de R$ 23.500,00 em uma entrada de R$ 5.500,00, e o restante em 48 parcelas mensais iguais sem juros.
Sabendo disso, o valor de cada uma das prestações mensais que João terá que pagar corresponde a:
( X ) R$ 375,00. ( ) R$ 489,58. ( ) R$ 114,58.	( ) R$ 604,17. ( ) R$ 18.000,00.
Na prática
As equações são utilizadas para resolver problemas simples, como: um funcionário recebe um salário fixo, com possível acréscimo advindo de horas extras ou de produtividade; o modelo de cobrança do táxi, que tem um custo fixo adicionado a um valor que depende da quilometragem rodada;planos de saúde que cobram valores fixos acrescentados a custos que dependem do número de consultas e/ou exames; o lucro de uma empresa, que varia de acordo com as suas vendas.
Este Na Prática apresenta mais uma situação aplicada que faz uso das equações do primeiro grau.
Saiba mais
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor:
Pré-cálculo: https://biblioteca-a.read.garden/viewer/9788582603215/capa
Equações do 1º Grau: https://www.youtube.com/embed/ED4ylDr9dPY
Equações do 1º Grau: https://www.youtube.com/embed/EWkeIzhcjfc
Equações de 2º Grau
Apresentação
A equação do 2º grau, também conhecida como equação quadrática, é um método antigo e muito usado para resolução de problemas. Existem registros de uso desta equação pelos babilônicos, egípcios e gregos. Esse método pode ser utilizado, por exemplo, para a resolução de problemas das áreas de engenharia, física e administração.
Uma equação é uma composição matemática que possui em sua estrutura: incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Portanto, em uma equação de segundo grau, pelo menos uma das incógnitas deve possuir expoente 2.
Cada equação matemática possui uma forma de resolução. As equações de segundo grau incompletas podem ser resolvidas apenas utilizando a raiz quadrada, porém, para as equações de segundo grau completas, devemos utilizar o método de Bhaskara. A denominação Bhaskara refere-se ao nome do grande matemático indiano que a desenvolveu. Trata-se de uma fórmula utilizada para encontrar as raízes reais de uma equação do segundo grau fazendo uso apenas de seus coeficientes.
Nesta Unidade de Aprendizagem você vai estudar a importância e a resolução de equações de segundo grau.
Bons estudos.
Ao final desta Unidade de Aprendizagem, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
· Identificar os termos de uma equação de segundo grau.
· Reconhecer a fórmula para a resolução de uma equação de segundo grau.
· Resolver problemas envolvendo equações de segundo grau.
Desafio
As equações de segundo grau apresentam diversas aplicações em nosso cotidiano, como na física, na engenharia, na administração e também nos sistemas biológicos. Vamos imaginar que você trabalha em uma cozinha industrial que, para se adaptar às regras de higiene impostas pela legislação, este estabelecimento precisa estar cercado por telas, a fim de não permitir a entrada de insetos no interior da área de produção de alimentos.
Você possui 100 metros de tela e deseja cercar uma área retangular de 600m².
a) Como você calcularia as dimensões (x e y) desta área que deve ser cercada?
b) Quais são os valores, em metros, destas dimensões (x e y), enfatizando que a largura total da tela que você possui é de 100 metros e que a área da cozinha industrial que deve ser cercada apresenta 600m²?
Vamos resolver isso!
a) Para calcular as dimensões X e Y da área que deve ser cercada, usamos a 
fórmula da área do retângulo: Area (a) = X × Y (área do retangulo = base x altura)
Sabemos que a área da cozinha é 600 m²: Area (a) = X × Y ..... 600 = X × Y
b) A largura total da tela é de 100 metros, o que indica que o perímetro máximo (a soma dos quatro lados) é 100 metros. O perímetro de um retângulo é: 2X + 2Y = 100
Podemos resolver o sistema:
X × Y = 600 		2X + 2Y = 100 ( ÷2 ) ........... X + Y = 50
Isolando Y na segunda equação: Y = 50 − X
Substituímos na primeira equação: X (50 − X) = 600 
Isso se transforma em uma equação quadrática: 50X − X2 = 600 ..... 
X2 – 50X + 600 = 0
Resolução
1. Fórmula do Bhaskara:
A fórmula para resolver uma equação do tipo ax2 + bx + c = 0 é: 
2. Identificando os coeficientes:
A = 1		b = −50		c = 600
3. Calculando o discriminante (Delta Δ):
Δ = b2 − 4ac ...... Δ = (−50)2 – 4 (1)(600) ....... Δ = 100
4- Agora, usando a fórmula de Bhaskara: 
 
Infográfico
A fórmula de Bhaskara ajuda a resolver equações do segundo grau e, provavelmente, está entre as cinco principais fórmulas matemáticas. Você vai ver neste Infográfico a fórmula básica desenvolvida pelo grande matemático Bhaskara.
	
Conteúdo do Livro
Neste capítulo Equações de 2º grau, você vai estudar as equações de segundo grau, conhecer os coeficientes e incógnitas, bem como conhecer suas fórmulas. Você vai compreender as fórmulas que auxiliam na solução de problemas e também exemplos de aplicação destas fórmulas com seus respectivos cálculos. Por fim, poderá visualizar a representação gráfica destas equações e o comportamento diferenciado de cada equação em diferentes condições.
Boa leitura!!
https://uniube.grupoa.education/sagah/object/default/97361785
Dica do Professor
Neste vídeo você vai aprender outra forma de resolver equações de segundo grau através da técnica da soma e multiplicação de raízes.
https://uniube.grupoa.education/sagah/object/default/97361785
1. Qual das alternativas abaixo corresponde às letras a, b e c da equação de segundo grau – 2x2 + 5X – 3 = 0?
( ) a = 1, b = 5 e c = 0.
( X ) a = - 2, b = 5 e c = - 3.
( ) a = 0, b = - 3 e c = 2.
( ) a = - 3, b = 5 e c = - 2.
( ) a = - 1, b = 0 e c = 1.
2. Considerando que 2 é uma das raízes da equação x2 - 5x + c = 0, é possível afirmar que o valor do coeficiente c é:
( ) 1.		( ) 2.		( ) 5.		( X ) 6.		( ) 12.
Para encontrar o valor do coeficiente c, precisamos usar a informação de que 2 é uma das raízes da equação quadrática x2 − 5x + c = 0. Sabendo disso, podemos usar o fato de que as raízes de uma equação quadrática ax2 + bx + c = 0 satisfazem a equação.
Vamos substituir x = 2 na equação x2−5x+c=0: (2)2−5(2)+c=0 ...... 4−10 + c = 0 ...... −6 + c = 0
Assim, adicionando 6 a ambos os lados da equação, obtemos: c = 6
3. Quais são as raízes que satisfazem a equação de segundo grau definida por x2 + 3x - 4 = 0?
( ) 2 e 5.	( ) 3 e 0.	( X ) - 4 e 1.	( ) 0 e 2.	( ) 3 e 8.
4. Se você multiplicar um número real x por ele mesmo e, do resultado, subtrair 5, você vai obter o quádruplo do número x. Calcule qual é este número.
( X ) - 1 e 5.	( ) 0 e 3.	( ) 2 e 6	( ) - 2 e 4	( ) - 3 e 2
Vamos resolver a equação passo a passo. Sabemos que: x2 – 5 = 4 x
Para resolver isso, vamos primeiro reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de uma equação quadrática: x2 − 4x – 5 = 0
Agora podemos usar a fórmula de Bhaskara para encontrar as raízes da equação:
5. Para x = - 4, a expressão x2 – x é igual a 20.
Qual das alternativas abaixo corresponde a outro valor real de x, para o qual esta expressão também seja igual a 20?
( ) -3.		( ) -1.		( ) 0.		( ) 2.		( X ) 5.
Na prática
A cidade de Mafra (SC) recebeu uma verba do governo do Estado que deveria ser direcionada para reforçar a merenda escolar da escola do município que apresentasse o maior número de crianças com baixo peso na faixa etária de 4 a 6 anos.
Para selecionar a escola que seria beneficiada com esta verba, foi solicitado a cada escola que enviasse os dados de índice de massa corporal IMC e pesos médios das crianças das respectivas escolas.
Ao analisar os dados recebidos, a nutricionista Juliana selecionou a escola que receberia a verba. Quando Juliana foi preencher o relatório necessário para a liberação da verba, percebeu que o governo estava solicitando também a altura média das crianças. Veja como ela conseguiu este valor com os dados que já possuía.
Saiba mais
Para ampliar o seu conhecimento a respeito desse assunto, veja abaixo as sugestões do professor
1- Como resolver equação 2º grau: https://www.youtube.com/embed/8ogBhY5YYHw
2- Usando a formula quadrática: https://www.youtube.com/embed/sRI_SPrdQ7Y
3- Eq. 2º Grau: https://www.uel.br/projetos/matessencial/superior/matzoo/eq2g.pdf
AVALIAÇÃO
Questão 1
Considere três empresas, “A”, “B” e “C”. No mês passado a empresa “B” teve o dobro do faturamento da empresa “A” e a empresa “C” teve 3/2 do faturamento da empresa “A”. Sabendo que as três empresassomaram um faturamento de R$ 4.500.000,00 no mês passado, qual foi  o faturamento da empresa “A” naquele mês ?
( X ) R$  1.000.000,00	( ) R$  3.000.000,00	( ) R$  2.250.000,00
( ) R$  1.500.000,00	( ) R$  1.250.000,00
 
Resolução:
a. Vamos considerar o faturamento da empresa “A” como sendo X.
b. Faturamento da empresa “B” é o dobro do faturamento da empresa “A”, ou seja: B = 2X
c. Faturamento da empresa “C” é 3/2 do faturamento da empresa “A”, ou seja: C = 3/2X
Sabemos que a soma do faturamento das três empresas é de R$ 4.500.000,00. Portanto, podemos escrever a equação: X + 2X + 3/2X = 4.500.000
Somando os termos da equação: (1 + 2 + 3/2)X = 4.500.000
Simplificando a soma dos coeficientes:
 
Portanto, o faturamento da empresa “A” naquele mês foi: R$ 1.000.000,00
Questão 2
Um capital de R$ 700,00 é aplicado durante dois meses, resultando num montante de R$ 2800,00. Qual é a taxa mensal de juro composto?  S = C ( 1 + i  ) t
Lembrando que: 
O “S” é o montante ou saldo.              
O “C” é o capital investido.
O “i” é o valor da taxa expresso em porcentagem ( o valor calculado de i deve ser multiplicado por 100)
O “t” é o tempo transcorrido na transação
Dica : Utilize ( a + b ) ² = a ² + 2 a b + b ² 
 ( ) 400 %	( ) 500 %	( ) 200 %	( X ) 100 %	( ) 50 %
Para calcular a taxa mensal de juros composta, podemos usar a fórmula de juros compostos que você mencionou: S=C⋅(1+i)t.
Aqui está o que cada variável representa:
· S: Montante final (R$ 2800,00)
· C: Capital inicial (R$ 700,00)
· i: Taxa de juros mensal
· t: Tempo em meses (2 meses)
Vamos reorganizar a fórmula para resolver a taxa de juros i: 2800 = 700⋅(1 + i)2
Primeiro, vamos dividir ambos os lados pelo capital inicial: 
1 x 100% = 100%
Portanto, a taxa mensal de juros composta é de 100%.
Questão 3
Uma empresa de imóveis tem seu lucro dado pela expressão  - x ² + 6 x + 27 , onde x é a quantidade de imóveis produzidos. Quantos imóveis deverão serem produzidos para não se ter lucro e nem prejuízo?
Dados :
( ) 3		( ) 6		( ) 12		( ) 15		( X ) 9
Questão 4
No mês passado, gastei um terço do meu salário com alimentação, 40% com aluguel, R$ 500,00 com despesas eventuais e sobraram R$ 300,00. Qual foi o meu salário?
( ) R$  6.500,00		( ) R$  2.250,00		( ) R$  8.000,00
( X ) R$  3.000,00		( ) R$  4.500,00
Questão 5
Em uma academia de ginástica, o salário mensal de um professor é de R$ 1800,00. Além disso, ele ganha R$ 20,00 por mês, por cada aluno inscrito em suas aulas. Para receber R$ 2.400,00 por mês, quantos alunos devem estar matriculados em suas aulas?
 ( ) 20		( X ) 30		( ) 300	( ) 600	( ) 60
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