Capitulo 4 - Função Polinomial do 2° Grau

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Profª Tania Elisa Seibert 
 CURSO DE NIVELAMENTO – PRÉ-CÁLCULO 
UNIDADE 2 – CAPÍTULO 4 
1 
4 FUNÇÃO POLINOMIAL DE 2º GRAU OU FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Inicia-se o estudo da função quadrática com conceitos que serão necessários para o seu 
desenvolvimento. 
 
4.1 EQUAÇÕES E INEQUAÇÕES DO 2º GRAU 
 
Lembre-se que a equação é caracterizada por igualdade (=) e a inequação pelos sinais 
de: <, >, ≤ ou ≥. 
 
4.1.1 Resolução de equações do 2º grau 
Denomina-se de equação do 2º grau toda equação na forma ax2 + bx + c = 0 para 
os coeficientes a, b, c ∈ ℝ com a ≠ 0. 
 
Exemplos 
Equação Coeficiente a Coeficiente b Coeficiente c Classificação 
x2 − 8x + 15 = 0 1 - 8 
 
15 Completa 
a, b e c ≠ 0 
x2 = 0 1 0 0 Incompleta 
−x² + x = 0 -1 1 0 Incompleta 
2x2 − 49 = 0 2 0 -49 Incompleta 
 
Para resolver uma equação completa do 2º grau usa-se a fórmula de Baskara: 
x =
−b±√b2−4ac
2a
 ou x =
−b±√∆
2a
 para ∆= b2 − 4ac 
 
Exemplos 
a) Considerando U = ℝ , resolva a equação x2 − 8x + 15 = 0. 
 x2 − 8x + 15 = 0 
a = 1; b = −8; c = 15 
x =
−b±√b2−4ac
2a
 
x =
−(−8)±√(−8)2−4.1.15
2.1
 
 
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2 
x =
9±√64−60
2
 
x =
9±√4
2
 
x = 
8 ±2
2
= {
x′ = 
8+2
2
= 5
x′′ = 
8−2
2
= 3
 
Logo, V = {3,5} 
 
b) Considerando U = ℝ, resolva a equação: x2 + 5x + 6 = 0. 
x2 + 5x + 6 = 0 
a = 1; b = 5; c = 6 
x =
−b±√b2−4ac
2a
 
x =
−5±√52−4.1.6
2.1
 
x =
−5±√25−24
2
 
x =
−5±√1
2
 
x = 
−5 ±1
2
= {
x′ = 
−5+1
2
=
−4
2
= −2
x′′ = 
−5−1
2
=
−6
2
= −3
 
Logo, V = {−3, −2} 
 
Para resolver equações incompletas não é necessário utilizar a fórmula de Baskara. 
Observe os exemplos (considerando U = ℝ). 
 
a) Equação do tipo 𝐚𝐱𝟐 = 𝟎 
Resolva a equação 9x2 = 0 
x² = 
0
9
 
x² = 0 
x = ±√0 
x = 0 
Logo, V = {0} 
 
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3 
Obs.: A resposta em ℝ que sempre anula a equação do tipo ax2 = 0 é x = 0, logo V = {0}. 
 
b) Equação do tipo 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 = 𝟎 
Fatorando-se a equação tem-se: 
x(ax + b) = 0 ⇒ {
x = 0
x = −
b
a
 
Resolva a equação 2x2 + 10 = 0 
2x2 + 10 = 0 
2x(x + 5) = 0 (Fator comum em evidência. Depois separe o produto em duas parcelas: 2x e 
(x + 5). Iguale as duas a zero e resolva-as separadamente). 
{
 2x = 0 ⇒ x = 0
x + 5 = 0 ⇒ x = −5
 
Logo, V = {−5,0} 
 
c) Equação do tipo 𝐚𝐱𝟐 + 𝐜 = 𝟎 
Isolando-se a incógnita temos: x = ±√
−c
a
 
Resolva a equação x2 − 25 = 0 
x2 − 25 = 0 
x = ±√25 
x = ±5 
Logo V = {−5,5} 
 
OBS: toda equação do 2º grau, cujo U= ℝ, tal que o discriminante é menor que zero 
(∆= b2 − 4ac < 0), não tem solução pertencente ao conjunto dos números Reais, como no 
seguinte exemplo. 
Considerando o U=ℝ, e resolvendo a equação x2 + 100 = 0, temos: 
x2 + 100 = 0 
x = ±√−100 
como √−100 não é definido no conjuntos dos números Reais, x ∉ ℝ, ou seja, V = { }. 
 
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ATIVIDADES 
 
1) Considere o U=ℝ, resolva as equações a seguir: 
a) −81x2 = 0 
b) x2 −
9
16
= 0 
c) x2 − 21x = 0 
d) x2 + 16x + 64 = 0 
e) x2 + 4x − 21 = 0 
f) 10x2 − 11x + 3 = 0 
 
RESPOSTAS 
a) V = {0} 
b) V = {−
3
4
,
3
4
} 
c) V = {0, 21} 
d) V = {−8} 
e) V = {−3, 7} 
f) V = {1,
6
5
} 
_________________________________________________________________________ 
4.1.2 Resolução de inequações do 2º grau 
São inequações as desigualdades envolvendo o trinômio do 2º grau escrito nas formas: 
ax2 + bx + c ≥ 0; x2 + bx + c > 0; ax2 + bx + c ≤ 0; ax2 + bx + c < 0. 
O sinal de ax2 + bx + c, depende do discriminante (∆= b2 − 4ac) e do sinal do 
coeficiente a. Analisa-se a seguir, todas estas situações. 
a) ∆> 𝟎 e a > 0 
Resolva a inequação x2 − 3x + 2 ≥ 0 
x2 − 3x + 2 ≥ 0 e a > 0. 
∆= b2 − 4ac 
∆= (−3)2 − 4.1.2 
∆= 9 − 8 = 1, log ∆ > 0 
Encontre as raízes de x2 − 3x + 2 = 0 (Aplique Baskara). 
x′ = 1 ou x′′ = 2. Represente o resultado: 
 
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V = {xϵℝ|x ≤ 1 ou x ≥ 2} (Intervalo no qual a função é ≥ 0) 
 
b) ∆= 𝟎 e a > 0 
Resolva a inequação x2 − 6x + 9 > 0 
x2 − 6x + 9 > 0 
∆= b2 − 4ac 
∆= (−6)2 − 4.1.9 
∆= 36 − 36, logo ∆= 0 
Encontre as raízes de x2 − 3x + 2 = 0 (Aplique Baskara) 
x1 = x2 = 3 Represente o resultado: 
 
V = {xϵℝ|x < 3 ou x > 3} (Sempre que x1 = x2 o gráfico da função tangencia o eixo x). 
 
c) ∆> 𝟎 e a < 0 
Resolva a inequação −2x2 − x + 1 ≤ 0 
−2x2 − x + 1 ≤ 0 e a < 0 
∆= b2 − 4ac 
∆= (−1)2 − 4. (−2).1 
∆= 1 + 8 
∆= 9, logo ∆> 0 
Encontre as raízes de −2x2 − x + 1 ≤ 0 (Aplique Baskara) 
x′ = 
1
2
 e x" = −1 Represente o resultado: 
 
 
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Lembre que agora estamos trabalhando com uma inequação do tipo ≤ 0, logo temos que 
encontrar os valores nos quais a função é negativa. 
V = {xϵℝ|x ≤ −1 ou x ≥
1
2
} 
 
d) ∆< 𝟎 e a > 0 
Resolva a inequação x2 + x + 7 < 0 
x2 + x + 7 < 0 
∆= b2 − 4ac 
∆= 12 − 4.1.7 
∆= 1 − 28 
∆= −27 
∆< 0. Como ∆< 0, não temos raízes reais. Represente o resultado 
 
Busca-se o intervalo de f(x) < 0, isto é, o intervalo no qual a função é negativa. Como 
nessa situação a função é toda positiva, conclui-se que: 𝑉 = ∅. Resumindo temos: 
 
Fonte: http://www.infoescola.com/matematica/inequacao-do-segundo-grau 
 
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ATIVIDADES 
 
1) Sendo U = ℝ, resolva as seguintes inequações. 
a) −x2 + 4 ≥ 0 
b) x² − 3x − 4 > 0 
c) −x2 + 5x − 6 ≥ 0 
d) −x2 + 2x − 4 > 0 
e) (3x − 1) (x + 1) ≥ 0 
 
RESPOSTAS 
 
1a) S = {x ∈ ℝ| − 2 ≤ x ≤ 2} b) S = {x ∈ ℝ|x < −1 ou x > 4} 
c) S = {2} d) S = { } 
e) S = {x ∈ ℝ| − 4 < x < 2} 
__________________________________________________________________________ 
 
4.2 FUNÇÃO QUADRÁTICA 
 
Para a função polinomial f: ℝ → ℝ, f(x) = anx
n + an−1x
n−1 + ⋯ + a2x
2 + a1x + a0, 
para n = 2 , a2, a1, a0 ∈ ℝ e a2 ≠ 0 temos que f(x) = a2x
2 + a1x + a0 é uma função 
polinomial do 2º grau. 
Por convenção adota-se a2 = a, a1 = b e a0 = c, então f(x) = ax
2 + bx + c, para 
a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0. 
Graficamente a função de 2º grau em ℝ é representada por uma curva denominada de 
parábola. 
a) Para a > 0 a concavidade de parábola é voltada para cima com vértice dado pelo ponto 
mínimo (xvértice, yvértice) temos que Im = {y ∈ ℝ|y ≥ yvértice} 
b) Para a < 0 a concavidade de parábola é voltada para baixo com vértice dado pelo ponto 
máximo (xvértice, yvértice) temos que Im = {y ∈ ℝ|y ≤ yvértice}. 
 
Analisam-se, a seguir, alguns exemplos: 
 
 
 
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a) f(x) = x2 (a = 1, b = 0, c = 0 temos f: ℝ → ℝ) 
1) O gráfico desta função é dado pela curva 
 
b) O domínio da função: D = ℝ (todos os valores que x pode assumir) 
c) (xv, yv) = (0, 𝟎) (Ponto do vértice, isto é, neste exemplo, ponto onde a função deixa de ser 
decrescente e passa a ser crescente). 
d) A imagem da função: Im = {y ∈ ℝ|y ≥ 0} (todos os valores que y pode assumir). 
 
2) f(x) = −2x2 + 2 (a = −2, b = 0, c = 2 temos f: ℝ → ℝ) 
a) O gráfico desta função é dado pela curva 
 
b) O domínio da função: D = ℝ (Todos os valores que x pode assumir) 
c) (xv, yv) = (0,2) (Ponto do vértice, isto é, neste exemplo, ponto onde a função deixa de ser 
crescente e passa a ser decrescente). 
d) A imagem da função: Im = {y ∈ ℝ|y ≤ 2} (Todos os valores que y pode assumir). 
 
4.2.1 Raízes ou zeros da função quadrática 
Dado f(x) = ax2 + bx + c, para a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0 temos que ∆= b2 − 4ac. Analisam-
se, a seguir, os diferentes casos: ∆ > 0, ∆ < 0 e ∆ = 0. 
         









x
y
 
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a) Se ∆> 𝟎, a função tem duas raízes reais e distintas. 
 
 
b) Se ∆= 𝟎, a função tem duas raízes reais e iguais. 
 
c) Se ∆< 𝟎, a função não tem raízes reais. 
 
As raízes da função quadrática são determinadas em ℝ para f(x) = 0 e quando ∆> 0 e 
∆= 0. Logo f(x) = 0 ⟺ ax2 + bx + c = 0. Exemplos: 
 
a) Determine as raízes da função f: ℝ → ℝ/ f(x) = x2 − 2x + 1. 
f(x) = 0 (a = 1, b = −2, c = 1) 
x2 − 2x + 1 = 0 
x =
−(−2)±√(−2)2−4(1)(1)
2(1)
 
x =
2±√4−4
2
 
 
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x =
2±0
2
 
x = 1 
V = {1} 
Logo a raiz da função é dada para 𝑥 = 1, isso significa que a parábola tangencia o eixo x no 
ponto (1,0). 
 
 
b) Determine as raízes da função f: ℝ → ℝ/f(x) = x2 − 2x − 3 
f(x) = 0 (a = 1, b = −2, c = 3) 
x2 − 2x − 3 = 0 
x =
−(−2)±√(−2)2−4(1)(−3)
2(1)
 
x =
2±√4+12
2
 
x =
2±4
2
⇒ {
x = 3
x = −1
 
V = {−1, 3} 
Logo as raízes da função são 𝑥 = 1 e 𝑥 = 3, isso significa que a parábola corta o eixo x nos 
pontos (-1,0) e (3,0). 
 
 
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4.2.2 Vértice da parábola 
Sendo o vértice representado pela intersecção do eixo de simetria com a própria 
parábola, temos: xvértice = −
b
2a
 e yvértice = −
Δ
4a
. Logo o vértice é dado pelo ponto: 
 (xv, yv) = (−
b
2a
, −
∆
4a
) 
Pelos gráficos identifica-se que no vértice da parábola há a mudança de comportamento 
da curva da função, entre decrescente e crescente, logo pela concavidade da parábola e o 
vértice da função temos que as características de crescente ou decrescente e da imagem. 
 
 Observe: 
a) Se a > 0 , a concavidade da função é voltada para cima, sendo o vértice o ponto de 
mínimo da função. Logo a função é decrescente para x < xv e crescente para x > xv, com 
Im = {y ∈ ℝ|y ≥ yv}. Exemplo: 
 
1) Analisando o gráfico, determine: 
 
a) Sobre o valor de a: como a concavidade da parábola é voltada para cima pode-se afirmar 
que a > 0. 
 
b) Domínio: D = ℝ 
 
c) Ponto do vértice: (xv, yv) = (1, −4) (Ponto de mínimo). 
 
d) Imagem: Im = [−4, +∞[ 
 
e) Intervalo no qual a função é crescente: ]−4, +∞[ 
 
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f) Intervalo no qual a função é decrescente: ]−∞, −4[ 
 
b) Se a < 0, a concavidade da função é voltada para baixo, sendo o vértice o ponto de 
máximo da função, logo a função é crescente para x < xv e decrescente para x > xv, 
com Im = {y ∈ ℝ|y ≤ yv}. Exemplo: 
1) Analisando o gráfico, determine: 
 
a) Sobre o valor de a: como a concavidade da parábola é voltada para baixo pode-se afirmar 
que a < 0. 
 
b) Domínio: D = ℝ. 
 
c) Ponto do vértice: (xv, yv) = (1, 4) (Ponto de máximo). 
 
d) Imagem: Im = ]−∞, 4]. 
 
e) Intervalo no qual a função é crescente: ]−∞, 4[. 
 
f) Intervalo no qual a função é decrescente: ]4, +∞[. 
 
4.2.3 Sinal da função 
Analisam-se, neste subcapítulo, os sinais da função quadrática, isto é os sinais em que a 
função é negativa ou positiva, ou o intervalo na qual f(x) > 0 ou f(x) < 0. Na resolução de 
inequações do 2º grau estas questões já foram abordadas, portanto, apresenta-se a seguir 
apenas um resumo das diferentes possibilidades. 
 
 
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a) Positivo ⇒ 𝐟(𝐱) > 𝟎 
1) se a > 0 e Δ > 0, então f(x) > 0 para x < x′ou x > x′′, para x′ e x′′as raízes da função; 
2) se a < 0 e Δ > 0, então f(x) > 0 para x′ < x < x′′, para x′ e x′′as raízes da função; 
3) se a > 0 e Δ < 0, então f(x) > 0 para todo x 
 
b) Negativo ⇒ 𝐟(𝐱) < 𝟎 
1) se a > 0 e Δ > 0, então f(x) < 0 para x′ < x < x′′, para x′ e x′′as raízes da função; 
2) se a < 0 e Δ > 0, então f(x) < 0 para x < x′ou x > x′′, para x′ e x′′as raízes da função; 
3) se a < 0 e Δ < 0, então f(x) < 0 para todo x 
 
4.2.4 Simetria da parábola 
O eixo de simetria da parábola é a reta paralela ao eixo y que passa pelo vértice, logo 
para todo ponto (x1, y1), tal que a variação da função (Δx = (xv − x1)), tem-se um ponto 
(x2, y2) tal que x2 = xv + Δx e y2 = y1, ou seja: 
 f: ℝ → ℝ, ∀(x1, y1) ∈ f(x), ∃(x2, y2)|(x2, y2) = (xv + Δx , y1) ∧ Δx = (xv − x1) 
 
Exemplos 
1) Analise o gráfico e responda as questões propostas: 
 
a) Ponto do vértice: (1, 0). 
 
b) Eixo de simetria: x = 1 
 
c) Pontos simétricos: 
c.1) Para (x1, y1) = (−1, 4) e (xv, yv) = (1, 0), temos: 
Δx = xv − x1 = 1 − (−1) = 2 
x2 = xv + Δx = 1 + 2 = 3, y2 = 4 
 
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(x2, y2) = (3, 4) 
O ponto (3,4) é simétrico ao ponto (-1,4) 
 
c.2) Para (x1, y1) = (2, 1) e (xv, yv) = (1, 0), temos: 
Δx = xv − x1 = 1 − 2 = −1 
x2 = xv + Δx = 1 − 1 = 0, y2 = 1 
(x2, y2) = (0, 1) 
O ponto (0,1) é simétrico ao ponto (2,1) 
 
2) Analise as características da função w(x) = −x2 + 2x + 3 para D = ℝ 
a) Construa o gráfico 
 
 
b) Vértice da parábola: 
−x2 + 2x + 3 = 0 , temos a = -1, b = 2 e c = 3 
Para Δ = b2 − 4ac ⇒ Δ = 22 − 4(−1)(3) = 16 
xv = −
b
2a
= −
2
2(−1)
= 1 
 yv = −
∆
4a
= −
16
4(−1)
= 4 
Logo, o ponto do vértice é (1, 4). 
 
c) Imagem (observe o gráfico). 
 yv = 4, a < 0, Im = {y ∈ ℝ|y ≤ 4}. 
 
d) Raízes: 
Para w(x) = 0, com w(x) = −x2 + 2x + 3, a = −1, b = 2, c = 3, temos: 
 
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x =
−b±√b2−4ac
2a
 
x =
−2±√22−4(−1)3
2(−1)
 
x =
−2±√4+12
−2
 
x =
−2±√16
−2
 
x =
−2±4
−2
 = {
x1 =
−2+4
−2
=
2
−2
= −1
x2 =
−2−4
−2
=
−6
−2
= 3
 
S = {−1, 3} (Observe as raízes no gráfico). 
 
e) Para Δ > 0, logo a função tem duas raízes (calculadas no item c). 
 
f) Intervalo no qual a função é crescente 
Para a < 0 , x < xv,logo temos que o intervalo para função crescente é dada por: 
 V = {x ∈ ℝ|x < 1} (Identifique no gráfico este intervalo). 
 
g) Intervalo no qual a função é decrescente 
Para a < 0 , x > xv, logo temos que o intervalo para função decrescente é dada por: 
 V = {x ∈ ℝ|x > 1} (Identifique no gráfico este intervalo). 
 
h) Intervalo no qual a função é positiva: 
Como Δ > 0 então f(x) > 0 para x′ < x < x′′, logo temos a solução para função é positiva é 
dada por V = {x ∈ ℝ| − 1 < x < 3} (Observe no gráfico). 
 
i) Intervalo no qual a função é negativa: 
Como Δ > 0 então f(x) < 0 para x < x′ou x > x′′, logo temos a solução para função negativa 
é dada por V = {x ∈ ℝ|x < −1 ou x > 3} (Observe no gráfico). 
 
3) Analise as características da função exemplo c(x) = x2 + 3x + 3 para D = ℝ 
a) Construa o gráfico 
 
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16 
 
 
b) Determine o vértice da parábola da função c(x) = x2 + 3x + 3 
Para Δ = b2 − 4ac ⇒ Δ = 32 − 4(1)(3) = −3 
xv = −
b
2a
= −
3
2(1)
= −
3
2
 
 yv = −
∆
4a
= −
(−3)
4(1)
=
3
4
 
 
c) Imagem: yv =
3
4
, a > 0, Im = {y ∈ ℝ|y ≥
3
4
} (Observe no gráfico). 
 
d) Raízes 
Parac(x) = 0, com c(x) = x2 + 3x + 3, a = 1, b = 3, c = 3 , temos que: 
Δ < 0, portanto a função não tem raízes em ℝ, logo temos que V = ∅. 
 
e) Intervalo no qual a função é crescente: 
Para a > 0 , x > xv, logo temos que o intervalo para função crescente é dada por V = {x ∈
ℝ|x > −1,5} e decrescente no intervalo x < xv, dado por V = {x ∈ ℝ|x < −1,5}. 
 
f) Intervalo no qual a função é decrescente: 
Para Δ < 0 e a > 0 então f(x) > 0 para todo x ∈ D, logo temos que o intervalo para função 
positiva é dada por V = ℝ e o intervalo para função negativa é dado por V = ∅. 
 
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ATIVIDADE 
Utilize um software qualquer e determine as características das funções quadráticas. O 
material complementar desta unidade é um tutorial sobre o software Graphmática que pode 
ser utilizado para resolver esta atividade. 
a) f: ℝ → ℝ , f(x) = x2 − 1 
b) f: ℝ → ℝ , f(x) = x2 + 3x + 2 
c) f: ℝ → ℝ , f(x) = −x2 + 2 
d) f: ℝ → ℝ , f(x) = (x + 3)2 
e) f: ℝ → ℝ , f(x) = −(x + 2)2 + 4 
____________________________________________________________________ 
RESUMO 
a) Quando temos uma função quadrática, ou seja, com y igual a um polinômio de 2º grau da 
forma ax² + bx + c, com a 

0, o gráfico é uma curva chamada parábola. 
b) A parábola é uma figura que apresenta simetria axial. 
c) No gráfico da função quadrática o eixo de simetria da parábola é sempre perpendicular ao 
eixo x. 
d) O encontro da parábola com seu eixo de simetria é seu vértice. 
e) A parábola corta o eixo x nas raízes do polinômio de 2º grau. 
f) Quando a > 0, a concavidade da parábola é voltada para cima; quando a < 0, a concavidade 
é voltada para baixo. 
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ATIVIDADES 
Observação: As atividades propostas estão resolvidas passo a passo no item “respostas”. 
Porém, é aconselhável que você tente resolvê-las antes de consultar as respostas. 
 
1) O número de diagonais (d) de um polígono convexo é dado em função do número de lados 
(n) desse polígono. A fórmula matemática que relacional o número de diagonais de um 
polígono convexo com o número de lados desse polígono é: d =
n(n−3)
2
 
a) Essa fórmula corresponde a uma função quadrática? Justifique. 
b) Calcule o número de diagonais em um decágono convexo. 
c) Calcule o número de lados de um polígono convexo que tem 20 diagonais. 
 
2) Determine a lei da função da área de um quadrado em relação à medida dos lados. 
 
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3) Observe o gráfico: 
 
a) Quais são os zeros dessa função? 
b) O gráfico corresponde a uma função linear? 
c) Para quais valores de x a função é crescente? E decrescente? 
 
4) Desprezando a resistência do ar, um corpo cai e percorre, nas proximidades da superfície 
terrestre, os valores aproximados de distância mostrados na tabela: 
Tempo (s) 0 1 2 3 
Distância (m) 0 5 20 45 
a) Determine a sentença matemática que relaciona a distância d ao tempo t. 
 
5) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: 
C = 2510 - 100n + n². Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? 
 
6) (FAAP) Uma indústria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender 
tudo o que produzir a um preço de R$ 100,00 a unidade. Se x unidades são produzidas a cada 
dia, o custo total, em reais, da produção diária é igual a x² + 20x + 700. Portanto, para que a 
indústria tenha lucro diário de R$ 900,00, qual deve ser o número de unidades produzidas e 
vendidas por dia? 
 
7) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação 
ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h = –25t² + 625. Após quantos 
segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 
 
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8) A trajetória de uma bala de canhão foi representada no plano cartesiano por y =
−x²
64
+
x
16
, 
com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura máxima que a bala 
atingiu. 
 
9) A trajetória de uma jato d’água descreve uma parábola. Sabendo que sua altura (h), em 
metros e tempo (t), em segundos, seja dada por h(t) = −t2 + t + 12, para um tempo de 2 
segundos a altura em metros equivale a: 
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RESPOSTAS 
1) O número de diagonais (d) de um polígono convexo é dado em função do número de lados 
(n) desse polígono. A fórmula matemática que relacional o número de diagonais de um 
polígono convexo com o número de lados desse polígono é: d =
n(n−3)
2
 
a) Essa fórmula indica função quadrática? Justifique. 
Operando na fórmula tem-se: 
d =
n²−3n
2
 . Como o maior expoente de n é 2, a fórmula indica uma função quadrática. 
 
b) Calcule o número de diagonais em um decágono convexo. 
Decágono é um polígono com 10 lados. Logo: 
d =
n²−3n
2
 
d =
10²−3.10
2
= 35 
Logo, um decágono tem 35 diagonais. 
 
c) Calcule o número de lados de um polígono convexo que tem 20 diagonais. 
d =
n²−3n
2
 
20 =
n²−3n
2
 
40 = n² − 3n 
n² − 3n − 40 = 0 (Aplicando Baskara e calculando as raízes). 
n1 = 8 e n2 = −5 (Como o número de lados de um polígono não pode ser um número 
negativo, a única resposta que responde este problema é n = 8). 
Logo, o polígono é um octógono. 
 
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2) Determine a lei da função da área de um quadrado em relação à medida dos lados. 
x (lado) 0 1 2 3 4 5 ... l 
y (área) 0 1 4 9 16 25 ... l² 
Logo: A(l) = l² 
 
3) Observe o gráfico: 
 
a) Quais são os zeros dessa função? 
x1 = −1 e x2 = 2 
b) O gráfico corresponde a uma função linear? 
Não, como o gráfico é uma parábola corresponde à uma função quadrática. 
c) Para quais valores de x a função é crescente? E decrescente? 
Crescente:]
1
2
, +∞[ 
Decrescente: ]−∞,
1
2
[ 
 
4) Desprezando a resistência do ar, um corpo cai e percorre, nas proximidades da superfície 
terrestre, os valores aproximados de distância mostrados na tabela: 
Tempo (s) 0 1 2 3 
Distância (m) 0 5 20 45 
Determine a sentença matemática que relaciona a distância d ao tempo t. 
d(t) = 5t² 
 
5) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: 
C = 2510 - 100n + n². Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? 
 
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Para encontrar o custo mínimo precisa-se determinar o ponto de mínimo, isto é o vértice da 
parábola: 
xv = −
b
2a
= −
(−100)
2(1)
= 50 
 yv = −
∆
4a
= −
10000−10040
4(1)
= 10 
Agora, na fórmula C = 2510 - 100n + n², identifique quem ocupa “o lugar” de y e de x 
(variável dependente e independente). O problema pede o número de unidades que devem 
ser produzidas para se obter o custo mínimo. O número de unidades (n) está ocupando “o 
lugar de x”, por isso a resposta, deste problema, é o x do vértice, ou seja 50 unidades. 
 
6) (FAAP) Uma indústria produz, por dia, x unidades de determinado produto, e pode vender 
tudo o que produzir a um preço de R$ 100,00 a unidade. Se x unidades são produzidas a cada 
dia, o custo total, em reais, da produção diária é igual a x² + 20x + 700. Portanto, para que a 
indústria tenha lucro diário de R$ 900,00, qual deve ser o número de unidades produzidas e 
vendidas por dia? 
Função receita: y = 100x 
Função custo: y = x² + 20x + 700 
Função lucro = função receita – função custo 
y = 100x − (x² + 20x + 700) 
y = 100x − x2 − 20x − 700 
y = −x2 + 80x − 700 
Lucro diário de R$ 900,00 
−x2 + 80x − 700 = 900 
−x2 + 80x − 1600 = 0 
Como o problema se refere à quantidade máxima produtos, que no nosso problema esta 
representado por x, devemos calcular o xv. 
xv = −
b
2a
= − 
80
2(−1)
= 40 
Logo, o número de unidades que deve ser produzida e vendida é 40. 
 
7) Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação 
ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h(t) = –25t² + 625. Após 
quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 
Quando a bola atingir o solo, sua posição será igual à zero, ou seja, h(t) = 0 
 
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h(t) = –25t² + 625 
0 = –25t² + 625 
25t² = 625 
t² = 
625
25
 
t² = 25 
t = ±√25 
t = ±5 (O tempo não pode ser negativo) 
Logo, a bola levará 5 segundos para atingir o solo. 
 
8) A trajetória de uma bala de canhão foi representada no plano cartesiano por y = −
x2
64
+
x
16
, 
com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura máxima que a bala 
atingiu. A altura, neste problema, é representado pela letra y. Como o problema pede a altura 
máxima, temos que determinar o yv. 
yv = −
∆
4a
= −
b²−4ac
4a
 
yv = −
(
1
16
)
2
−4.(−
1
64
).0
4(−
1
64
)
 
yv = −
1
256
−0
−(
4
64
)
 
yv = −
1
256
−(
4
64
)
 
yv =
1
256
 .
64
4
=
64
1024
= 0,0625 km = 62,5 m 
Logo, a altura máxima atingida pelo projétil foi de 62,5 m. 
 
9) A trajetória de uma jato d’água descreve uma parábola. Sabendo que sua altura (h), em 
metros e tempo (t), em segundos, seja dada por ℎ(𝑡) = −𝑡2 + 𝑡 + 12, para um tempo de 2 
segundos a altura em metros equivale a: 
h(t) = −t2 + t + 12 
h(2) = −(2)2 + 2 + 12 
h(2) = −4 + 2 + 12 
h(2) = 10 
Logo, a altura para um tempo de 2 s é de 10 m. 
 
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REFERÊNCIAS 
 
INEQUAÇÕES DO 2º GRAU. Disponível em: 
<http://www.brasilescola.com/matematica/inequacao-segundo-grau.htm>. Acesso em: 27 jul. 
2015. 
 
HOMA, A. I. Laboratório de Matemática. Canoas/RS: ULBRA, 2013. 
 
JACKSON, R. Matemática: ciência, linguagem e tecnologia. v. 1. São Paulo: Scipione, 
2010. 
 
LOGEN, A. Matemática: uma atividade humana. Ensino Médio. v.1. Curitiba: Base, 2003.