Lógica Aula em Slide 3

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Lógica Matemática 
INTRODUÇÃO À MATEMÁTICA - MATC 220 
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA 
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1 Aula 03 
Sumário 
1. Relação de Implicação 
2. Regras de Inferências 
3. Argumentos 
4. Validade de um argumento 
 
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Relação de Implicação 
Nesta relação vamos verificar quando uma proposição 
(seja ela simples ou composta) implica outra; isto 
acontece sempre que não ocorre a situação VF, ou seja, 
a primeira proposição ser verdadeira e a segunda falsa. 
 
 
 
 
 
 
 
Definição: 
Dizemos que uma proposição P implica logicamente (ou 
apenas implica) uma outra proposição Q quando Q é 
verdadeira sempre que P for verdadeira. Em outras 
palavras, nas suas tabelas-verdade não ocorre VF. 
Notação: P  Q (lê-se: P implica Q) 
Implicação Lógica 
 Exemplos: 
 a) 3 = 2 + 1  3² = (2 + 1)². 
 Podemos usar o símbolo , pois a proposição 
condicional: 3 = 2 + 1  3²= (2 + 1)² é verdadeira. 
 
 b) Não podemos escrever que 3 > 2  3 > 4, pois a 
proposição condicional: 3 > 2  3 > 4 é falsa. 
Os símbolos  e  são distintos: o primeiro é o 
símbolo da operação lógica condicional e o segundo, é 
o símbolo da relação que estabelece que a condicional 
P  Q é uma tautologia. 
 
Dizer que P  Q significa que a condicional P  Q é 
tautológica, ou seja, para verificarmos se vale a 
implicação P  Q, podemos utilizar as tabelas-
verdade. 
 
Se P  Q, então não ocorre V(P) = V e V(Q) = F. 
 
Relação de Implicação 
p q p  q p  q p  q  p  q 
V V V V V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F V 
Exemplo: Temos que p  q  p  q, pois a condicional 
p  q  p  q é uma tautologia, ou seja, sua tabela verdade 
só admite valores lógicos verdadeiros. 
 
Relação de Implicação 
Implicação Lógica 
(p ^ q)  p 
V 
V 
V 
V 
Exemplo: Mostrar que (p ^ q)  p 
p q p ^ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
Como (p ^ q)  p é uma tautologia, então 
(p ^ q)  p, isto é, ocorre a implicação 
lógica. 
Equivalência X Implicação 
Uma diferença importantíssima entre a implicação e 
equivalência reside no fato de que, na implicação, só 
há o caminho de ida, não existe o de volta. Ou 
melhor, toda equivalência é uma implicação lógica 
por natureza. Diferentemente, a implicação não se 
trata necessariamente de uma equivalência lógica. 
Podemos então dizer que toda equivalência é uma 
implicação lógica, mas nem toda implicação é uma 
equivalência lógica. 
Regras de Inferência 
Algumas implicações lógicas se destacam por terem papel 
importante nas demonstrações matemáticas. Tais implicações 
são chamadas de Regras de Inferência. Vejamos alguns 
exemplos: 
1) Regra da Adição (AD) 
 
 
2) Regra da Simplificação (SIMP) 
(p ∧ q) ⇒ p 
(p ∧ q) ⇒ q 
3) Regra do Modus Ponens (MP) (p →q)∧ p ⇒ q 
4) Regra do Modus Tollens (MT) (p →q)∧ ∼ q ⇒ ∼ p 
5) Regra do Silogismo Hipotético (SH) (p →q)∧(q → r ) ⇒ p → r 
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p (p  q) 
q (p  q) 
1. Considere as proposições: p, q, r, s dadas por: 
p: 7 + 2 = 9 q: ( 7 + 2 )2 = 81 r: 20= 1 s: 02= 2 
e diga se são verdadeiras ou falsas as relações abaixo: 
a) r ⇔ s b) r ⇔ q ∨ s c) ~ p ⇔ s ∨ r 
d) p ⇔ q e) ~ r ⇔ ( q ∧ ~s ) f) ~ r ⇔ ( s ∨ ~ q ) 
g) p ⇒ q h) ~ r ⇒ q ∨ s i) ~ r ⇒ s ∨ r 
j) ( p → p ) ⇒ ( q ∧ r ) k) ~ r ⇒ ( q ∧ ~s ) l) ~ r ⇒ ( s ∨ ~ q ) 
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2. Utilizando tabelas-verdade, verifique se existem as relações 
de implicação lógica seguintes: 
a) p  q  q  p 
b) ~( p  q )  ~p  ~q 
c) (p  q)  (r  ~q)  r  ~p 
d) ~p  ( ~q  p )  ~(p  ~q) 
 
 
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ARGUMENTAÇÃO LÓGICA 
A Lógica é o estudo de argumentos. 
 
Um argumento é uma sequência de 
proposições/enunciados na qual um dos 
enunciados é a conclusão e os demais são 
premissas. 
 
As premissas de um argumento servem para 
provar, ou fornecer evidências para a conclusão. 
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Argumentos 
 
• Todos os homens são mortais (Premissa) 
• Sócrates é um homem (Premissa) 
Sócrates é mortal (Conclusão) 
 
• Se eu fosse cantora então seria artista. (Premissa) 
• Não sou cantora. (Premissa) 
Não sou artista. (Conclusão) 
 
 
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Um argumento que contém duas premissas é 
chamado de silogismo. 
Um argumento que não é válido diz-se um 
sofisma. 
 
Validade de um Argumento 
A lógica se preocupa com o relacionamento entre as 
premissas e a conclusão, ou seja, com a estrutura e 
a forma do raciocínio. A verdade do conteúdo de 
cada premissa e da conclusão é estudo das demais 
ciências. 
 
A validade do argumento está diretamente ligada à 
forma pela qual ele se apresenta. 
 (Lógica Formal – estuda a forma dos argumentos). 
Argumento - Definição 
Chama-se de Argumento toda afirmação de 
uma dada sequência finita P1, P2, P3 … Pn 
(n  1) de proposições que tem como 
consequência uma proposição final Q. 
 As proposições P1, P2, P3 … Pn (n  1) dizem-
se as premissas do argumento, e a proposição 
final Q diz-se a conclusão do argumento. 
Argumento - Definição 
Um argumento de premissas P1, P2, P3 … Pn e de 
conclusão Q indica-se por: 
 P1, P2, P3 … Pn ׀─ Q 
E se lê de uma das seguintes maneiras: 
“P1, P2, P3 … Pn acarretam Q” 
“Q decorre de P1, P2, P3 … Pn” 
“Q se deduz de P1, P2, P3 … Pn” 
“Q se infere de P1, P2, P3 … Pn” 
Validade de um Argumento 
Um argumento é uma série de sentenças (premissas) que 
podem ser simbolizadas por P1, P2,..., Pn seguidas de uma 
conclusão Q. 
Notação: P1  P2 ...,  Pn  Q. 
 Um argumento P1  P2 ...,  Pn  Q diz-se um 
argumento válido se e somente se a conclusão Q é 
verdadeira todas as vezes que as premissas P1  P2 ...,  Pn 
são TODAS verdadeiras. 
As premissas dos argumentos são verdadeiras ou, pelo 
menos admitidas como tal. Portanto, a lógica só se preocupa 
com a validade dos argumentos e não com a verdade ou 
falsidade das premissas e das conclusões. 
 
 
Critérios de Validade de um Argumento 
Teorema – Um argumento P1, P2, …, Pn ׀─ Q é válido se, e somente 
se, a condicional: 
(P1 ^ P2 ^…^ Pn)  Q (1) 
 é tautológica. 
Métodos de Determinação da Validade de um Argumento: 
 
1. Tabela- Verdade 
2. Regras de Inferência 
3. Demonstração Indireta 
Argumentos Válidos Fundamentais 
 (g) Silogismo disjuntivo (SD) 
 (i) p ν q, ~p  q (ii) p ν q, ~q  p; 
 (h) Silogismo hipotético (SH) 
 p → q, q → r  p → r; 
 (i) Dilema construtivo (DC) 
 p → q, r → s, p ν r  q ν s; 
 (j) Dilema destrutivo (DD) 
 p → q, r → s, ~q ν ~s  ~p ν ~r; 
 
 Os argumentos válidos fundamentais acima 
são também chamados de “regras de inferência”. 
Argumentos Válidos Fundamentais 
Os argumentos válidos abaixo, são conhecidos como argumentos 
fundamentais: 
 (a) Adição (AD) 
 (i) p  p ν q (ii) p  q ν p; 
 (b) Simplificação (SIMP) 
 (i) p Λ q  p (ii) p Λ q  q; 
 (c) Conjunção (CONJ) 
 (i) p, q  p Λ q (ii) p, q  q Λ p; 
 (d) Absorção (ABS) 
 p → q  p → (p Λ q); 
 (e) Modus ponens (MP) 
 p → q , p  q;(f) Modus tollens (MT) 
 p → q , ~q  ~p; 
 Podemos mostrar a validade de um argumento através da 
Construção de tabelas-verdade ou utilizando as regras de 
inferência. 
 Mostre que os argumentos abaixo são válidos, utilizando tabela-verdade 
e as regras de inferência: 
Exemplo 01: 
Se o programa é eficiente, ele executará rapidamente. 
O programa é eficiente ou tem um erro. 
O programa não executa rapidamente. 
 Portanto o programa tem um erro; 
Inicialmente, vamos traduzir o argumento para linguagem simbólica. 
Consideremos as proposições simples p: O programa é eficiente, 
q: O programa executa rápido e r: O programa tem um erro. 
Temos então, na linguagem simbólica, as premissas p → q, p  r, ~q 
 e a conclusão r, ou seja, 
(p → q)  (p ν r)  (~q)  r 
Validade mediante tabela-verdade 
 (p → q)  (p ν r)  (~q)  r 
p q r p → q p  r ~q r 
V V V V V F V 
V V F V V F F 
V F V F V V V 
V F F F V V F 
F V V V V F V 
F V F V F F F 
F F V V V V V 
F F F V F V F 
Validade mediante regras de inferência 
As premissas são 
(1) p → q 
(2) p  r 
(3) ~q 
(4) ~p 1,3 (MT), ou seja, modus tollens nas premissas (1) e (3) 
(5) r 2,4 (SD), ou seja, silogismo disjuntivo nas premissas 
 (2) e (4); 
Portanto, podemos concluir a proposição “r” das premissas 
(1), (2) e (3), ou seja, o argumento é válido. 
Exemplo 02: 
Se Graham está no campo de golfe, então Harvey está de serviço no 
hospital e Ives deve ter mudado sua política. 
Harvey não está de serviço no hospital. 
 Portanto, Graham não está no campo de golfe; 
Inicialmente, vamos traduzir o argumento para linguagem simbólica. 
Consideremos as proposições simples 
p: Graham está no campo de golfe, 
q: Harvey está de serviço no hospital, e r: Ives mudou sua política. 
Temos então, na linguagem simbólica, as premissas p → (q Λ r), ~q e 
a conclusão ~p, ou seja, 
p → (q Λ r)  ~q  ~p 
Validade mediante tabela-verdade 
 p → (q Λ r)  ~q  ~p 
p q r q Λ r p → (q Λ r) ~q ~p 
V V V V V F F 
V V F F F F F 
V F V F F V F 
V F F F F V F 
F V V V V F V 
F V F F V F V 
F F V F V V V 
F F F F V V V 
Validade mediante regras de inferência 
As premissas são 
(1) p → q Λ R 
(2) ~q 
(3) ~q ν ~r 2 (AD), ou seja, adição na premissa (2); 
 
(4) ~( q Λ r) 3 (De Morgan), ou seja, lei de De Morgan da 
 disjunção na premissa (3); 
(5) ~p 1,4 (MT), ou seja, modus tollens nas premissas 
 (1) e (4) 
 
Portanto podemos concluir a proposição “~p” das premissas 
 (1) e (2), ou seja, o argumento é válido. 
Exemplo de Argumento Inválido 
p v q, p ├ ~q 
 
Ela toca piano ou violão. 
Ela toca piano. 
Logo, ela não toca violão. 
 
 
•p:Ela toca piano 
•q:Ela toca violão 
p q p v q ~q 
V V V F 
V F V V 
F V V F 
F F F V 
DEMONSTRAÇÃO INDIRETA 
 
Esse método se baseia na equivalência entre uma condicional 
e a sua contrapositiva, ou seja, p → q ⟺ ~q → ~p. 
Demonstrar por absurdo ou indiretamente a validade de um 
argumento é considerar a conclusão falsa e deduzir 
logicamente uma contradição, ou seja que uma das 
premissas é falsa. 
Se ao negar a conclusão de um argumento não chegarmos à 
negação de nenhuma das premissas, então o argumento não 
é válido. Logo é um sofisma. 
 
 
 
 
DEMONSTRAÇÃO INDIRETA 
Demonstrar, por absurdo, a validade do argumento 
Exemplo 01: p → ~q , r → q  ~ (p  r) 
 
1.p → ~ q premissa 
2. r → q premissa 
3. p  r premissa adicional 
4. p 3. Simplificação 
5. r 3. Simplificação 
6. ~q 1.4. Modus Ponens 
7. q 2.5. Modus Ponens 
8. ~q  q 6.7. Conjunção 
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Argumento Válido 
DEMONSTRAÇÃO INDIRETA 
Exemplo 02: 
 João vai ao cinema ou vai ao clube. 
Se vai ao clube, então telefona. 
João não telefonou. 
Logo, João foi ao cinema. 
Esquematizando: 
P: João vai ao cinema; Q: João vai ao clube; R: João telefona 
𝑝⋁𝑞 , 𝑞 ⟶ 𝑟, ~𝑟  p 
Vamos assumir que V(p)= F, logo V(q)= V, segue que V(r)= V, 
então V(~r) = F. Logo o argumento é válido. 
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DEMONSTRAÇÃO INDIRETA 
Demonstrar, por absurdo, a validade do argumento 
Exemplo 02: 𝑝 ν 𝑞 , 𝑞 ⟶ 𝑟, ~𝑟  p 
 
1. 𝑝 ν 𝑞 premissa 
2. 𝑞 ⟶ 𝑟 premissa 
3. ~ r premissa 
4. ~p Premissa Adicional 
5. q 1.4. Silogismo Disjuntivo 
6. r 2.5. Modus Ponens 
7. ~r  r 3.6. Conjunção 
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Argumento Válido 
Exercícios 
1. Passe os argumentos abaixo para a forma simbólica e teste 
sua validade perante tabela-verdade: 
 
Se trabalho, não posso estudar. 
Trabalho ou passo em física. 
Trabalhei. 
Logo, passei em física. 
 
Estudo. 
Trabalho. 
Se estudo e trabalho então não tiro férias. 
Logo, não tiro férias. 
 
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Exercícios 
2. Use as R. I. para mostrar a validade dos 
seguintes argumentos: 
a) r  p  q, r, ~p |— q 
b) p  q, p  r, ~r |— q  s 
c) t, t  ~q, ~q  ~s |— ~s 
d) p  q, p  r  s |— p  s 
 
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Exercícios 
3. Demonstrar, por absurdo, a validade dos 
argumentos: 
a)  q  r , p   r , q  ~p 
b) ~p  q , q  ~ r , r  s ~ s  p 
c) p  ~ q , r  q ~ (p  r) 
 
 
 
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Referências Bibliográficas 
ALENCAR FILHO, Edgard. Iniciação à Lógica 
Matemática. São Paulo: Editora Nobel. 
IEZZI, Gelson et al. Fundamentos de Matemática 
Elementar, vol 1. São Paulo: Editora Atual. 
 
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