Prova 01 Cálculo A 2015/1

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Instituto de Matemática - UFRGS - Mat01199 - Cálculo A
Primeira Verificação 2015/1
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Instruções: (1) Essa prova tem duração de 1h40min. (2) Calculadoras não podem ser usadas; você pode escrever
à lapis. (3) A correta interpretação dos enunciados faz parte da verificação. Leia atentamente. (4) Nesta prova: e
= número de Euler.
Questão 1.(2.0pt) No instante t (em s), a posição (em m) de um corpo que se desloca ao longo do
eixo s é s = t3 − 6t2 + 9t. Determine:
(a) a aceleração do corpo toda vez que a velocidade for nula.
(b) o módulo da velocidade do corpo toda vez que a aceleração for nula.
(c) a distância total percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 e t = 2.
(d) Se o movimento troca de sentido em algum momento. Caso afirmativo, quando e onde ?
Questão 2.(2.0pt) Lançando um foguete. Quando um foguete em miniatura é lançado, seus pro-
pulsores queimam combustível durante alguns segundos, acelerando-o para cima. Terminada a
combustão, o foguete ainda sobe um pouco e logo depois começa a cair. Em seguida, uma pe-
quena carga de explosivos abre um pára-quedas, o que diminui sua velocidade, impedindo que se
danifique ao atingir o solo. Supomos que sua velocidade (no eixo vertical, em m/s) seja
v =


45t2 , 0 ≤ t ≤ 2
240− 30t , 2 < t ≤ 11
−80e−2(t−11) − 10 , 11 < t
(a) Faça um esboço do gráfico de v(t) no intervalo [0, 13].
(b) Mostre, algebricamente, que a expressão acima define uma velocidade contínua.
(c) Qual a aceleração do foguete imediatamente após a parada dos propulsores ?
(d) Quando o foguete atingiu sua altura máxima ? Qual era sua velocidade naquele momento ?
(e) Quando o pára-quedas se abriu ? Qual era a velocidade do foguete naquele momento ?
Questão 3. Considerando o Folio de Descartes, descrito pela curva x3 + y3 − 9xy = 0, encontre:
(a)(1.0pt) as retas tangente e normal à curva no ponto P (4, 2).
(b)(1.5pt) as tangentes não-nulas horizontais e verticais dessa curva.
Questão 4.(1.5pt) Um balão e uma bicicleta. Um balão está subindo verticalmente acima de uma
estrada a uma velocidade constante de 1m/s. Quando ele está a 35 metros acima do solo, uma
bicicleta que se desloca (na estrada) a uma velocidade constante de 6m/s passa por baixo dele. A
que taxa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará 5s depois ?
Questão 5. (a)(1.0pt) Crescimento exponencial. A população de Knoxville é de 500 mil e cresce
numa taxa de 3.75% ao ano. Quando a população atingirá 1 milhão ?
(b)(1.0pt) Trajetória paralela. Determine a equação da reta que é tangente à curva paramétrica
(x, y), descrita por x = 9t2 , y = 3t, t ≥ 0, e que é paralela à reta x− 4y = 0.
A interpretação faz parte das questões. Você não pode fazer perguntas. Escreva abaixo observações que achar
pertinentes.
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