4_Vibrações Forçadas

Prévia do material em texto

Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
77 
Unidade 4 - Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
4.1 - Introdução 
 Na Unidade 3, foi estudada a vibração forçada de sistemas de um grau de liberdade sob a ação de forças 
harmônicas. Neste capítulo, este estudo será estendido para forças de qualquer natureza. Inicialmente será estudada a 
atuação de forças periódicas que são combinações de forças harmônicas associadas através das Séries de Fourier que, 
em sistemas lineares, podem ser consideradas como várias forças harmônicas atuando sobre o sistema e a resposta pode 
ser obtida utilizando o Princípio da Superposição dos Efeitos. Para a determinação da resposta a forças não periódicas, 
conhecida como resposta transiente, serão utilizadas ferramentas matemáticas como a Integral de Convolução (ou 
Integral de Duhamel) e a Transformada de Laplace. O conceito de espectro de resposta também será abordado nesta 
Unidade. Em todos os casos o sistema será de um grau de liberdade com amortecimento viscoso. 
4.2 - Resposta a Uma Força Periódica 
 Uma força periódica pode ser expressa em Séries de Fourier na forma 
( ) ∑∑
∞
=
∞
=
++=
11
0 sincos
2 j
j
j
j tjbtja
a
tF ωω (4.1) 
com 
( )
( )∫
∫
==
==
τ
τ
ω
τ
ω
τ
0
0
,2,1sin2
,2,1,0cos2
K
K
jdttjtFb
jdttjtFa
j
j
 (4.2) 
onde τ π
ω= 2 é o período da função periódica. 
 A equação do movimento do sistema que sofre a ação de uma força periódica é 
∑∑
∞
=
∞
=
++=++
11
0 sincos
2 j
j
j
j tjbtja
a
kxxcxm ωω&&& (4.3) 
 Utilizando-se o Princípio da Superposição dos Efeitos a eq. (4.3) pode ser decomposta nas equações 
∑
∑
∞
=
∞
=
=++
=++
=++
1
333
1
222
0
111
sin
cos
2
j
j
j
j
tjbkxxcxm
tjakxxcxm
a
kxxcxm
ω
ω
&&&
&&&
&&&
 (4.4) 
e sua solução particular ( ) ( ) ( ) ( )x t x t x t x tp p p p= + +1 2 3 , em que 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )
( )∑
∑
∞
=
∞
=
−
+−






=
−
+−






=
=
1 2222
3
1 2222
2
0
1
sin
21
cos
21
2
j
j
j
p
j
j
j
p
p
tj
rjrj
k
b
tx
tj
rjrj
k
a
tx
k
a
tx
φω
ζ
φω
ζ
 (4.5) 
com 
τ
πω
ω
ωζ
φ 2e,
1
2tan
22
1 ==





−
= −
n
j r
rj
rj (frequência fundamental) 
 A resposta de regime permanente do sistema (ou solução particular da equação diferencial) é 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
78 
 ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )∑∑
∞
=
∞
=
−
+−






+−
+−






+=
1 22221 2222
0 sin
21
cos
212 j
j
j
j
j
j
p tj
rjrj
k
b
tj
rjrj
k
a
k
a
tx φω
ζ
φω
ζ
 (4.6) 
 Os denominadores dos segundo e terceiro termos da eq. (4.6) se aproximam de zero quando o amortecimento é 
pequeno e jω = ωn o que implicará em grandes amplitudes de vibração. Isto descortina a possibilidade do fenômeno da 
ressonância acontecer não somente quando a frequência fundamental for igual à frequência natural do sistema mas, 
também, quando os múltiplos desta frequência fundamental (chamados de frequências harmônicas) forem também 
iguais à frequência natural do sistema de um grau de liberdade. 
Exemplo 4.1 - No estudo de vibração de válvulas usadas em sistemas de controle hidráulico, a válvula e a sua haste 
elástica são modelados como um sistema massa-mola como mostra a Fig. 4.1a. Além das forças de mola e 
amortecimento, há uma força da pressão fluida na válvula que varia com a abertura da mesma. Encontrar a resposta de 
regime permanente da válvula quando a pressão na câmara varia como indicado na Fig. 4.1b. Assumir que k = 2500 
N/m, c = 10 N.s/m e m = 0,25 kg. O diâmetro da tubulação é 50 mm. 
c
d
p(t)
m
k
x(t)
0 1 2 3 4
p(t)
 (N/m2)
t (seg)
50000
(a)
(b)
 
Figura 4.1 - Válvula sob pressão periódica. 
Solução: A força exercida sobre a válvula, resultante da pressão fluida é dada por 
 ( ) ( )F t A p t= 
em que A é a área da seção vazada da câmara, dada por 
 24
22
m 1025,6
4
05,0
4
πππ −×=
×
==
dA 
 Da Fig. 4.1b, τ = 2 s e rad/s 
2
22
ππ
τ
π
ω === 
 A força atuante na válvula é obtida pela representação da função em Séries de Fourier, na forma 
( ) tjbtja
a
tF
j
j
j
j ∑∑
∞
=
∞
=
++=
11
0 sincos
2
ωω 
Da Fig. 4.1b, a força externa pode ser dada como 
( )
( )
F t
At t
A t t
=
≤ ≤
− ≤ ≤






50000 0
2
50000 2
2
 para
para
τ
τ
τ
 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
79 
Os coeficientes aj são obtidos por 
( )a At dt A t dt A0
0
1
1
22
2
50000 50000 2 50000= + − =∫ ∫ 
( )∫∫ −+=
2
1
1
0
sin250000cos50000
2
2 dttjtAdttjAta j ππ 
onde as integrais são resolvidas por partes resultando em 
 a
A
j
j
j
j =
−
×




2 10
0
5
2 2π
para impar
para par
 
 A função mostrada na Fig. 4.1b é uma função par (f(t) = f(-t)), o que a caracteriza como uma função que é 
representada por uma série exclusivamente de cossenos. Desta forma os coeficientes bj são nulos. Uma função ímpar 
(f(t) = -f(-t)) é representada por uma série de senos e possui os coeficientes aj nulos. 
 A força é, então, dada por 
 ( ) ∑
∞
=
×
−=
1
22
5
imparparacos110225000
j
jtj
j
AAtF ω
π
 
 A resposta de regime permanente é 
 ( )
( ) ( )
( )∑
∞
=
−
+−
×
−=
1 2222
2
2
5
imparparacos
21
1
10225000
j
jp jtj
rjrj
j
k
A
k
Atx φω
ζπ
 
 Se a frequência natural é 
 rad/s 100
25,0
2500
===
m
k
nω 
 A frequência fundamental da força periódica é ω = π rad/seg, então 
 r
n
= = =
ω
ω
π
100
0 0314, 
 O fator de amortecimento é obtido a partir dos parâmetros do sistema por 
 ζ
ω
= =
× ×
=
c
m n2
10
2 0 25 100
0 2
,
, 
 Os ângulos de fase podem ser obtidos por 
 ( )φ
ζ
j
jr
j r
j
j
j
j
=
−





 =
× ×
−







 =
−





− − −tan tan
, ,
,
tan
,
,
1
2 2
1
2 2
1
2
2
1
2 0 2 0 0314
1 0 0314
0 0126
1 0 000987
 
e a resposta de regime permanente do sistema será dada por 
 ( ) ( )
( ) ( )
∑
∞
= +−
−
−=
1 2222
imparpara
000158,0000987,01
cos
0159,00196,0
j
j
p j
jjj
tj
tx
φπ
 
 
 
 
 
 
 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
80 
4.3 - Resposta a Uma Força Periódica Irregular 
F(t)
F1 F2
F3
FN-1
FN
tN-1 tNt1 t2 t3 t4
F4
∆t
τ = N∆t
2τ
t
 
Figura 4.2 - Força periódica de forma irregular. 
 Quando a força atuante não possuir uma forma tal que possa ser expressa por uma expressão analítica (quando 
resultado de uma medição, por exemplo), a determinação dos coeficientes da Série de Fourier deverá ser realizada 
numericamente. Neste caso a Série assume a forma 
 
∞=




=
∞=




=
=
∑
∑
∑
=
=
=
,...,2,1para22
,...,2,1para2cos2
2
1
1
1
0
jtjsenF
N
b
jtjF
N
a
F
N
a
N
i
ij
N
i
ij
N
i
i
τ
π
τ
π (4.7) 
Exemplo 4.2 - Encontrar a resposta de regime permanente da válvula do exemplo 4.1, se as flutuações de pressão na 
câmara são periódicas. Os valores da pressão são medidas com intervalos de 0,01 s (Tabela 4.1). 
 
tempo (s) 0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,10 0,11 0,12
p (kN/m2) 0 20 34 42 49 53 70 60 36 22 16 7 0 
Tabela 4.1 - Pressão em uma válvula hidráulica. 
Solução: Como as flutuações de pressão se repetem a cada 0,12 s, o período é τ = 0,12 s e a frequência fundamental da 
série de Fourier é ω = 2π/0,12 = 52,3599 rad/s. Como o número de valores observados em cada período é 12, da eq. 
(4.7) obtém-se os coeficientes 
∑∑
==
===
12
1
21
0 N/m68167
12
12
j
i
N
i
i pp
N
a 
∞=




=




=
∞=




=




=
∑∑
∑∑
==
==
,...,2,1para
12,0
2sin
12
22sin2
,...,2,1para
12,0
2cos
12
22cos2
12
11
12
11
jtjptjp
N
b
jtjptjp
N
a
i
i
N
i
ij
i
i
N
i
ij
π
τ
π
π
τ
π
 
 Introduzindo estes coeficientes na expressão (4.1), a Série de Fourier é montada até a 6ª harmônica. Em 
virtude de se tratar de uma função discretizada, a máxima freqüência harmônica presente deve ser a freqüência de 
Nycquist, dada por 
 Hz50
01,02
1
2
1
=
×
=
∆
=
t
f Nycquist 
O que, sendo a freqüência fundamental Hz33,8
12,0
11
===
τ
f , é atingido pela sexta harmônica 
 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
81 
( )
tt
tt
tt
tt
tt
tttp
667,166sin0159,314cos667,166
799,261sin131,641799,261cos30,2170
440,209sin06,2165440,209cos333,583
080,157sin33,2333080,157cos33,5833
104720sin44,3608720,104cos67,1416
3599,52sin80,83073599,52cos0,269963,34083
++
−−
+−
−−
++
+−=
 N/m2 
 Sendo ωn = 100 rad/seg, então r = 52,3599/100 = 0,523599, e ζ = 0,2, do exemplo 4.1. A área da câmara de 
pressão é também obtida do exemplo 4.1, como A = 0,000625 π m2. 
 Os ângulos de fase são dados por 
 





−
= −
22
1
1
2tan
rj
rj
j
ζ
φ 
φ1 = 0,280916 rad 
φ2 = -1,34409 rad 
φ3 = -0,404565 rad 
φ4 = -0,242513 rad 
φ5 = -0,177017 rad 
φ6 = -0,140762 rad 
 A resposta de regime permanente é 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )m 141,0314sin0141,0314cos0000146,0
177,0262sin0000847,0177,0262cos000287,0
243,0209sin000487,0243,0209cos000131,0
405,0157sin00115,0405,0157cos00287,0
34,1105sin00659,034,1105cos00259,0
281,04,52sin00864,0281,04,52cos0281,00268,0
++++
+−+−
+++−
+−+−
++++
−+−−=
tt
tt
tt
tt
tt
tttx p
 
4.4 - Resposta a Uma Força Não Periódica 
 Para a determinação da resposta de um sistema de um grau de liberdade sob a ação de uma força não 
periódica, os métodos utilizados são: 
1. Integral de Convolução. 
2. Transformada de Laplace. 
3. Integração Numérica. 
4.4.1 - Integral de Convolução 
 A Fig. 4.3b mostra uma força que tem uma determinada magnitude finita e é aplicada em um intervalo de 
tempo extremamente pequeno. Esta força é chamada de força impulsiva. 
 O Princípio do Impulso e Quantidade de Movimento estabelece que 
Impulso = F t mx mx∆ = −& &2 1 
Em um intervalo de tempo ∆t o impulso é dado por 
$F Fdt
t
t t
=
+
∫
∆
 (4.8) 
O impulso unitário é definido por 
$ limf Fdt Fdt
t t
t t
= = =
→
+
∫∆
∆
0
1 (4.9) 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
82 
m
k c
F(t)
(a)
F(t)
F
t
F∆t = 1
∆t
Ο
x(t) = g(t)
Ο t
2π
ωn(b)
(c) 
Figura 4.3 - Resposta ao impulso de sistemas de um grau de liberdade. 
4.4.1.1 - Resposta ao Impulso 
A equação que descreve o movimento do sistema mostrado na Fig. 4.3a é 
mx cx kx&& &+ + = 0 (4.10) 
cuja solução é 
 ( )x t e x t
v x
tnt
d
n
d
d= +
+




−ζω ω
ζω
ω
ω0
0 0cos sen (4.11) 
 ( ) ( )x t
F e
m t F g t
nt
d
d= =
−$
sen $
ζω
ω
ω (4.15) 
 Se, um instante antes do sistema sofrer a ação da força impulsiva, o mesmo estiver em repouso, pode-se dizer 
que em ( ) ( )t x t x t= → = = = =− − −0 0 0 0& , e o Princípio do Impulso e da Quantidade de Movimento permite dizer que, 
sob a aplicação de um impulso de magnitude unitária 
 ( ) ( )$ & &f mx t mx t= = = − =+ −1 0 0 (4.12) 
e como ( )&x t v= =+0 0 , então 
 $f mv v
m
= = → =1 1
0 0 (4.13) 
 Como o movimento começou no repouso x0 = 0 e a resposta do sistema se torna 
 ( ) ( )x t
e
m t g t
nt
d
d= =
−ζω
ω
ωsen (4.14) 
que é conhecida como função resposta ao impulso unitário. Como o sistema é linear, a resposta a um impulso de 
magnitude não unitária é obtida pela multiplicação da resposta ao impulso unitário pela magnitude do impulso, 
resultando 
 Se o impulso for aplicado em um tempo t=τ, a resposta também ficará defasada no tempo, na forma 
 ( ) ( )
( )
( )x t F g t
F e
m t
n t
d
d= − = −
− −
$
$
senτ
ω
ω τ
ζω τ
 (4.16) 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
83 
(a)
x(t)
Ο t
(b)
F(t)
F
t
F∆t = F
∆τ
Ο
τ
F g(t-τ)
τ
 
Figura 4.4 - Resposta a um impulso aplicado em t=τ. 
4.4.1.2 - Resposta a Uma Força Geral 
 Uma função geral pode ser considerada como uma superposição de impulsos, como mostra a Fig. 4.5. 
F(t)
t
∆τ
Ο
τ
F(τ)
τ + ∆τ
t
 
Figura 4.5 - Função geral, não periódica. 
A resposta de um sistema a uma força aplicada desta forma será a soma das respostas aos impulsos aplicados 
ao longo do tempo. Se a resposta ao impulso unitário aplicado no tempo t = τ é igual a ( )g t − τ , então, aplicando o 
Princípio da Superposição dos efeitos a resposta produzida pelo impulso F(τ)∆τ, aplicado em t = τ, é 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
84 
 ( ) ( ) ( )∆ ∆τx t F g t= −τ τ (4.17) 
 A resposta geral é obtida pela soma das respostas parciais como 
 ( ) ( ) ( ) ( )x t x t F g t= = −∑ ∑∆ ∆ττ τ (4.18) 
 Levando ao limite para ∆τ 0 chega-se a 
 ( ) ( ) ( )x t F g t d
t
= −∫ τ τ τ
0
 (4.19) 
que é conhecida como Integral de Convolução ou Integral de Duhamel. Para um sistema de um grau de liberdade com 
amortecimento viscoso, onde a resposta ao impulso unitário é dada na eq. (4.14), a equação (4.19) torna-se 
 ( ) ( ) ( ) ( )x t m F e t d
d
t
d
t
n= −− −∫
1
0ω
τ ω τ τζω τ sen (4.20) 
4.4.1.3 - Resposta à Excitação Impulsiva na Base 
 Em alguns casos (um carro passando por um buraco ou uma lombada, por exemplo), a excitação na base do 
sistema tem características gerais, e neste caso, a equação do movimento relativo (3.69) tem sua solução modificada 
para 
 ( ) ( ) ( ) ( )x t y e t d
d
t
d
t
n= − −− −∫
1
0ω
τ ω τ τζω τ&& sen (4.21) 
Exemplo 4.3 - Uma máquina de compactação, modelada como um sistema de um grau de liberdade, é mostrada na Fig. 
4.6a. A força atuante na massa m (que inclui as massas do pistão, da plataforma e do material que está sendo 
compactado) devido a uma aplicação súbita da pressão, pode ser idealizada como uma força degrau como mostra a Fig. 
4.6b. Determinar a resposta do sistema. 
Solução: De acordo com o mostrado na Fig. 4.6b, a força externa é igual a 
 ( )F Fτ = 0 
 Introduzindo na eq. (4.20) tem-se 
 ( ) ( ) ( )x t
m
F e t d
d
t
d
t
n= −− −∫
1
0
0ω
ω τ τζω τ senque é integrada por partes, resultando 
( ) ( )x t
F
k e tnt
d= −
−
−








−0
2
1
1
1 ζ
ω φζω cos 
onde φ
ζ
ζ
=
−








−tan 1
21
. O movimento produzido por esta expressão está mostrado na Fig. 4.6c e se caracteriza por 
ser um movimento harmônico com a posição de equilíbrio deslocada da sua posição original em F
k
0 . 
 Se o sistema não possuir amortecimento, com ζ ω ω= =0 e d n a resposta transforma-se em 
( ) [ ]x t
F
k tn= −0 1 cosω 
em que o deslocamento máximo ocorre quando cosω n t = −1 sendo 
 x F
kmax =
2 0 
o que pode ser claramente visto na Fig. 4.6d. O movimento é harmônico com amplitude F
k
0 e com a posição de 
equilíbrio deslocada da posição de equilíbrio original também F
k
0 , de forma que o deslocamento máximo em relação 
ao referencial adotado, que é a posição de equilíbrio original, é o dobro deste valor. 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
85 
F(t)
x(t)
k/2 k/2c
(a)
Plataforma
Material sendo
compactado
Cilindro
Pistão
m
F(t)
x(t)
x(t)
t
t
t
(b)
(c)
(d)
F0
O
O
O
2 0F
k
F
k
0
2 0F
k
F
k
0
 
Figura 4.6 - Força degrau em uma máquina de compactação. 
Exemplo 4.4 - Achar a resposta da máquina de compactação mostrada na Fig. 4.6 quando a mesma está submetida à 
força mostrada na Fig. 4.7. 
F(t)
tΟ
F0
t0 
Figura 4.7 - Força degrau com tempo de atraso. 
Solução: A solução é análoga à do exemplo 4.3, apenas substituindo t por t-t0 na eq. 4.20, resultando 
( ) ( ) ( )[ ]x t
F
k e t tn t t
d= −
−
− −








− −0
2 01
1
1
0
ζ
ω φζω cos 
e, quando o sistema for não amortecido (ζ ω ω= =0 e d n ) 
( ) ( )[ ]{ }x t
F
k t tn= − −0
01 cos ω 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
86 
Exemplo 4.5 - Se a máquina de compactação mostrada na Fig. 4.6a está submetida a uma força constante com tempo 
de duração limitado 0 0≤ ≤t t (Fig. 4.8a), determinar a resposta da máquina. 
F(t)
tΟ
F0
t0
x(t)
Ο
t0 > τn/2
t
t0 t0 será a superposição das 
respostas a cada uma das forças quando aplicadas isoladamente. Estas respostas foram determinadas nos exemplos 4.3 e 
4.4, resultando em 
( ) ( )[ ] ( ){ }x t
F e
k
e t t t
n
n
t
t
d d=
−
− − − −
−
0
2 0
1
0
ζω
ζω
ζ
ω φ ω φcos cos 
com φ ζ
ζ
=
−








−tan 1
21
 
 Para sistemas sem amortecimento a resposta é 
( ) ( )[ ]x t
F
k t t tn n= − −0
0cos cosω ω 
Exemplo 4.6 - Determinar a resposta da máquina de compactação mostrada na Fig. 4.9a quando for aplicada uma força 
que varia linearmente (Fig. 4.9b), devido ao movimento do came. 
Solução: A equação da força aplicada, mostrada na Fig. 4.9b é 
 ( )F Fτ δ τ= 
onde δF é a taxa de crescimento da força na unidade de tempo. A equação (4.20), neste caso, torna-se 
 ( ) ( ) ( )x t
F
m e t d
d
t
d
t
n= −− −∫δ
ω τ ω τ τζω τ sen
0
 
cuja integral é resolvida por partes, resultando 
( )x t F
k
t e t t
n
t
n
d
d n
n d
d
n= − + −
−





















−δ ζ
ω
ζ
ω
ω ω ζ ω
ω ω
ωζω2 2 2 2 2
2cos sen 
 Para sistemas sem amortecimento 
 ( ) ( )x t F
k
t t
n
n n= −
δ
ω
ω ωsen 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
87 
F(t)
x(t)
k/2 k/2c
(a)
Plataforma
Material sendo
compactadom
x(t)
t
(c)
δF/k
O
Came
Seguidor
Movimento do
came
1
F(t)
t
(b)
δF
O
1
2π
ωn
4π
ωn
 
Figura 4.9 - Máquina de compactação sob força variando linearmente. 
4.4.2 - Transformada de Laplace 
4.4.2.1 - Definição 
O método da Transformada de Laplace é aplicado para resolver equações diferenciais ordinárias, lineares, com 
coeficientes constantes. Apresenta como vantagens ser aplicável a qualquer tipo de função de excitação, desde que 
integráveis, tratar funções descontínuas sem dificuldades e levar em conta automaticamente as condições iniciais, o que 
é significativo quando se trata de resolver um problema do valor inicial. A definição da Transformada de Laplace é 
L ( ) ( ) ( )x t x s e x t dtst= = −
∞
∫0
 (4.22) 
onde s é chamada de variável subsidiária, complexa e e st− é o núcleo da transformação. 
4.4.2.2 - Transformação de Derivadas 
A transformada da derivada é obtida através de uma integração por partes, na forma 
L ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )dx t
dt e
dx t
dt dt e x t s e x t dt x s x sst st st= = − − = − +− − ∞
∞
−
∞
∫ ∫0
0 0
0 (4.23) 
onde x(0) é o valor inicial de x(t). 
 A segunda derivada é obtida seguindo o mesmo caminho. Chega-se a 
 L ( ) ( ) ( ) ( ) ( )d x t
dt
e
d x t
dt
dt x s x s x sst
2
2
2
2
0
20 0= = − − +−
∞
∫ & (4.24) 
onde ( )&x 0 é o valor inicial da derivada de x(t). 
4.4.2.3 - Transformação de Equações Diferenciais Ordinárias 
 A equação diferencial do movimento de um sistema de um grau de liberdade viscosamente amortecido é 
 ( ) ( ) ( ) ( )m
d x t
dt
c
dx t
dt
kx t F t
2
2 + + = (4.25) 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
88 
 Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação (4.25) e utilizando os resultados de 
(4.23) e (4.24) tem-se 
 ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )m s x s s x x c s x s x k x s F s2 0 0 0− − + − + =& (4.26) 
 Como c
m n= 2ζω , k
m n= ω 2 , a equação (4.26) pode ser resolvida para se calcular a transformada de Laplace 
da resposta ( )x s , na forma 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x s
m s s
F s s
s s
x
s s
x
n n
n
n n n n
=
+ +
+
+
+ +
+
+ +
1
2
2
2
0 1
2
0
2 2 2 2 2 2ζω ω
ζω
ζω ω ζω ω
& (4.27) 
que é chamada equação subsidiária da equação diferencial. Para obter a resposta do sistema x(t), se deve calcular a 
transformada inversa de Laplace do resultado da equação (4.27). 
4.4.2.4 - Transformação Inversa de Laplace 
 A transformação inversa envolve uma integral de linha no domínio complexo de difícil solução. Por este 
motivo se procura transformar a função obtida na eq. (4.27) em funções que tenham a sua transformada inversa 
conhecida. Esta é a essência do método das frações parciais, descrito a seguir. As funções resultantes serão comparadas 
com funções que possuem transformadas conhecidas, relacionadas na Tabela 4.2. 
 Consideremos o caso em que ( )x s pode ser escrita na forma 
 ( ) ( )x s
A s
B s
=
( )
 (4.28) 
onde tanto A(s) como B(s) são polinômios em s. Geralmente B(s) é um polinômio de maior ordem que A(s). Chamando 
de s = ak (k = 1, 2,..., n) as raízes de B(s), o polinômio pode ser escrito como 
 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )B s s a s a s a s a s ak n k
k
n
= − − − − = −
=
∏1 2
1
L L (4.29) 
onde Π é o símbolo do produto. As raízes s = ak são conhecidas como pólos simples de ( )x s . A expansão em frações 
parciais de (4.28) tem a forma 
 ( )x s
c
s a
c
s a
c
s a
c
s a
c
s a
k
k
n
n
k
kk
n
=
−
+
−
+ +
−
+ +
−
=
−=
∏1
1
2
2 1
L L (4.30) 
onde os coeficientes ck são dados pela fórmula 
 ( ) ( )[ ] ( )
( )
c s a x s
A s
B sk s a k
s a
k
k
= − =
′→
=
lim(4.31) 
onde ( )′B s é a derivada de B(s) em relação a s. 
 Como 
 L e
s a
a t
k
k =
−
1 (4.32) 
segue-se que 
 L-1 1
s a
e
k
a tk
−
= (4.33) 
onde (4.32) e (4.33) constituem um par de Laplace. Considerando as equações (4.31) e (4.33) a transformada inversa de 
( )x s , eq. (4.30), se torna 
 ( )
( )
( )
( )
( )x t
A s
B s e
A s
B s e
s a
a t
k
n
st
s ak
n
k
k
k
=
′
=
′
== ==
∑ ∑
1 1
 (4.34) 
 Freqüentemente, é mais simples considerar a eq. (4.30) e escrever A(s) na forma 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
89 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )A s c s a c s a c s a c s ai i
i
i
n
i
n
n i
i
n
n i
i
i k
n
k
n
= − + − + + − = −
=
≠
= =
−
=
≠
=
∏∏ ∏ ∏∑1 2
1
2
2 2
1
11
L (4.35) 
 Comparando os coeficientes de sj-1 (j = 1, 2, ... , n), em ambos os lados de (4.35), obtém-se um sistema de 
equações algébricas que podem ser resolvidas para a determinação dos coeficientes ck (k = 1, 2, ... , n). 
4.4.2.5 - Integral de Convolução. Teorema de Borel. 
 Considere-se duas funções f1(t) e f2(t), definidas para t > 0. Assuma-se, também, que f1(t) e f2(t) possuem 
transformadas de Laplace ( )f s1 e ( )f s2 , respectivamente, e considere-se a integral 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t f f t d f f t d
t
= − = −
∞
∫∫ 1 2 1 2
00
τ τ τ τ τ τ (4.36) 
 A função x(t), é chamada de convolução das funções f1 e f2 no intervalo 0 t, que é o mesmo que t - τ t. 
 A seguir, se introduz a transformação t - τ = λ na segunda integral, e observando que para t = τ tem-se 
λ = 0, escrevendo-se 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x s f d e f t dt f d e f d
e f d e f d f s f s
st s t
s s
= − =
= =
−
∞∞
− +
∞∞
−
∞
−
∞
∫∫ ∫∫
∫ ∫
1 2
0
1 2
00
1
0
2 1 2
0
τ τ τ τ τ λ λ
τ τ λ λ
τ
τ
τ λ
 (4.38) 
 Das equações (4.36) e (4.38), segue-se que 
 x(t) = L-1 ( )x s = L-1 ( ) ( )f s f s1 2 (4.39) 
então 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x t f f t d f t f d
tt
= − = −∫∫ 1 2 1 2
00
τ τ τ τ τ τ (4.40) 
 A segunda integral na eq. (4.40) é válida porque não importa de que maneira ocorre o acréscimo de tempo. 
Teorema de Borel 
 A transformação inversa de Laplace do produto de duas transformadas é igual à convolução das suas 
transformadas inversas. 
 
TRANSFORMADAS DE LAPLACE 
( ) ( )f s f t e dtst= −
∞
∫0
 f(t) 
1 ( ) ( )c f s c g s1 2+ ( ) ( )c f t c g t1 2+ 
2 
f s
a




 ( )f a t a⋅ 
3 ( ) ( )f s g s ( ) ( )f t g d
t
−∫ τ τ τ
0
 
4 
( ) ( )s f s s
d f t
dt
n n j
j
j
tj
n
− −
−
−
==
∑
1
1
01
 
( )d f t
dt
n
n 
5 ( )1
s
f s
n
 ( )L Lf d d
tt
τ τ τ
00 ∫∫ 
6 ( )f s a+ ( )e f tat− 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
90 
7 1 ( )δ t = degrau unitário aplicado em t = 0 
8 e
s
as−
 u(t) = impulso unitário aplicado em t=a 
9 1
sn
(n = 1,2, ...) 
( )
t
n
n−
−
1
1 !
 
10 1
s a+
 e at− 
11 
( )
1
2s a+
 te at− 
12 
( )
1
s a n
+
 (n = 1,2, ...) ( )
1
1
1
n
t en at
−
− −
!
 
13 
( )
1
s s a+
 ( )1 1
a
e at− − 
14 
( )
1
2s s a+
 ( )1 1
2a
e atat− + − 
15 1
2 2s a+
 1
a
atsen 
16 1
2 2s a−
 1
a
atsenh 
17 s
s a2 2+
 
cos at 
18 s
s a2 2−
 
cosh at 
19 
( )
1
2 2s s a+
 ( )1 1
2a
at− cos 
20 
( )
1
2 2 2s s a+
 ( )1
3a
at at− sen 
21 
( )
1
2 2 2
s a+
 ( )1
2 3a
at at atsen cos− 
22 
( )
s
s a2 2 2
+
 t
a
at
2
sen 
23 
( )
s a
s a
2 2
2 2 2
−
+
 
t atcos 
24 
( )
a
s s a+
 1− −e at 
25 s a
s
+
2
 
1+ at 
26 
( )
a
s s a
2
2 +
 ( )at e at− − −1 
27 
( )
s b
s s a
+
+
 b
a
a
b
e at1 1− −









− 
28 
( )
a
s s a
2
2 2+
 
1− cosat 
29 1
22 2s sn n+ +ζω ω
 
1
ω
ωζω
d
t
de tn− sen 
30 s
s sn n
2 22+ +ζω ω
 ( )− −−ω
ω
ω φζωn
d
t
de tn sen 1 
Mecânica das Vibrações - Unidade 4: Vibrações Forçadas sob Condições Gerais 
91 
31 s
s s
n
n n
+
+ +
2
22 2
ζω
ζω ω
 ( )ω
ω
ω φζωn
d
t
de tn− +sen 1 
32 
( )
ω
ζω ω
n
n ns s s
2
2 22+ +
 ( )1 1− +−ω
ω
ω φζωn
d
t
de tn sen 
33 
( )
s
s s s
n
n n
+
+ +
ζω
ζω ω2 22
 ( )e tnt
d
− +ζω ω φsen 1 
Tabela 4.2 - Transformadas de Laplace. 
Exemplo 4.7 - Achar a resposta da máquina de compactação do exemplo 4.5, assumindo ζ 



0 0
0
0
0
 
 A transformada de Laplace de F(t) é obtida como 
 ( ) ( ) [ ]F s e F t dt e F dt F e dt F
s
e e
s
Fst st
t
st st t
t s
= = = = − =
−



−
∞
− − −
∞ −
∫ ∫ ∫0
0
0
0
0
00
0
0 0
01 
 Utilizando (4.27), a transformada da resposta será 
 ( ) ( )
( ) ( ) ( )x s
F e
ms s s
s
s s
x
s s
x
t s
n n
n
n n n n
=
−
+ +
+
+
+ +
+
+ +
−
0
2 2 2 2 2 2
1
2
2
2
0 1
2
0
0
ζω ω
ζω
ζω ω ζω ω
& 
 A transformadas inversas do segundo e do terceiro termo da equação são obtidas utilizando diretamente os 
resultados 31 e 29 da Tabela 4.2. A transformada inversa do primeiro termo é obtida do resultado 32 da mesma Tabela 
4.2 considerando que a multiplicação da transformada de uma função por e-as implica no deslocamento a da função no 
domínio do tempo. Então a transformada inversa torna-se 
 
( )
( )
( )[ ]
( )
x t F
m
e t
F
m
e t t
x e t
x x e
n
t
n
n
t t
n
n
n
t
n
n n
n
n
n
n
n
( ) sen
sen
sen
&
= −
−
− +








− −
−
− − +








−
−
− −








+ +






−
−
− −
−
−
0
2 2
2
1
0
2 2
2
0 1
0
2
2
2
2
1
0 0
2 2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
0
ω ζ
ω ζ φ
ω ζ
ω ζ φ
ω
ω
ζ
ω ζ φ
ζ
ω ω
ω
ζ
ζω
ζω
ζω
ζω ( )t
n tsen ω ζ1 2−








 
onde ( )φ ζ1
1= −cos , e a resposta da máquina de compactação pode ser expressa na forma 
 
( ) ( ) ( )[ ]{ }
( ) ( ) ( )
x t F
m
e t e t t
x e t
x x
e t
n
t
n
t t
n
n
t
n
n
n
t
n
n n
n n
( ) sen sen
sen
&
sen
=
−
− − + + − − +
−
−
− −



+
+
−
−



− − −
− −
0
2 2
2
1
2
0 1
0
2 2
2
1
0 0
2
2
1
1 1
1
1
2
1
1
0
ω ζ
ω ζ φ ω ζ φ
ω ζ
ω ζ φ
ζω
ω ζ
ω ζ
ζω ζω
ζω ζω