Exercicios Calculo (151)

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𝐶𝑜𝑚𝑝𝑎𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑑𝑜𝑠 𝑛𝑎𝑠 𝑒𝑡𝑎𝑝𝑎𝑠 1 𝑒 2,𝑐𝑜𝑛𝑐𝑙𝑢𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 (1 −
𝜋
2
) 
é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑒 (4 − 2 arctg4) é 𝑜 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 𝑑𝑒 
𝑓 𝑒𝑚 [0,4]. 
 
𝑏) 𝐷𝑜𝑖𝑠 𝑟𝑎𝑑𝑎𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 à 1𝑘𝑚 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑠𝑡â𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑢𝑚 𝑑𝑜 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜, 𝑎𝑜 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑎 
𝑎𝑣𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑐𝑡𝑎𝑚 𝑜 ℎ𝑜𝑟á𝑟𝑖𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜𝑠 𝑎𝑡𝑟𝑎𝑣𝑒𝑠𝑠𝑎𝑚 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑟𝑎𝑑𝑎𝑟.𝐶𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 
𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑎 𝑎𝑣𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 é 𝑑𝑒 60𝑘𝑚 ℎ⁄ , 
𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑒 𝑞𝑢𝑎𝑙 𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 
𝑟𝑎𝑑𝑎𝑟𝑒𝑠, 𝑠𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑙𝑡𝑟𝑎𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑎. 
 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑆(𝑡) 𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒 𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑙𝑜𝑐𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑎𝑟𝑟𝑜 𝑒𝑚 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜 
𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡, 𝑐𝑜𝑚 𝑠 𝑒𝑚 𝑘𝑚 𝑒 𝑡 𝑒𝑚 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠. 𝐴 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 𝑣 𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑆′(𝑡) 
é 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑆(𝑡) ≤ 60𝑘𝑚 ℎ⁄ . 
 
𝑆 é 𝑢𝑚𝑎 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑎𝑡𝑖𝑠𝑓𝑎𝑧 𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑖𝑛𝑡𝑒𝑠 ℎ𝑖𝑝ó𝑡𝑒𝑠𝑒𝑠: 
1. 𝑠 é 𝑐𝑜𝑛𝑡í𝑛𝑢𝑎 𝑒𝑚 [0,𝑡]; 
2. 𝑠 é 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣á𝑣𝑒𝑙 𝑒𝑚 (0,𝑡); 
 
𝐸𝑛𝑡ã𝑜, 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑇𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎 𝑑𝑜 𝑉𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑀é𝑑𝑖𝑜,𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑐 ∈ (0, 𝑡) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 
 
𝑆 ′(𝑐) =
𝑆(𝑡) − 𝑆(0)
𝑡 − 0
 
 
𝐶𝑜𝑚𝑜 𝑆′(𝑐) é 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 𝑣 𝑒, 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑆(0) 𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑚 
𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑜 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑜 𝑟𝑎𝑑𝑎𝑟 𝑒 𝑆(𝑡) 𝑜 𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑠𝑡á 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜 𝑜 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 
𝑟𝑎𝑑𝑎𝑟, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑆(𝑡) − 𝑆(0) = 1𝑘𝑚. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 
 
𝑆 ′(𝑐) = 𝑣 ≤ 60⟹
1
𝑡
≤ 60 ∴ 𝑡 ≥
1
60
ℎ = 1𝑚𝑖𝑛. 
 
𝑃𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜, 𝑜 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑢𝑡𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 
𝑟𝑎𝑑𝑎𝑟𝑒𝑠, 𝑠𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡â𝑛𝑒𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑚𝑖𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑗𝑎 𝑢𝑙𝑡𝑟𝑎𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑑𝑎 
é 1𝑚𝑖𝑛. 
 
𝑸𝒖𝒆𝒔𝒕ã𝒐 𝟓. 
 
𝑎) 𝑀𝑜𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒arcsen(
𝑥 − 1
𝑥 + 1
) = 2arctg √𝑥 −
𝜋
2
. 
 
𝑆𝑒𝑗𝑎 𝑓(𝑥) = arcsen(
𝑥 − 1
𝑥 + 1
) − 2arctg √𝑥 , 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝐷(𝑓) = {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 0}. 
 
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑓: 
 
𝑓 ′(𝑥) =
1
√1− (
𝑥 − 1
𝑥 + 1
)
2
.
𝑥 + 1 − (𝑥 − 1)
(𝑥 + 1)2
−2.
1
1 + (√𝑥)
2
.
1
2√𝑥