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Aula 19
Curso Básico de Estatística p/ Concursos
da Área Fiscal - Com Videoaulas - 2020
Autor:
Guilherme Neves
Aula 19
13 de Fevereiro de 2020
02554504350 - Italo Pires
 
 
 
 
Matemática para BNB (Analista Bancário 1) 
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1.	 Números Índices .............................................................................................................................................. 2	
1.1.	 Números Relativos ........................................................................................................................................... 2	
1.2.	 Índice simples de preços agregados ................................................................................................................ 8	
1.3.	 Mudança de Base .......................................................................................................................................... 10	
2.	 Índice de Preços de Laspeyres e o Índice de Preços de Paasche ...................................................................... 13	
2.1.	 Índice de Laspeyres ........................................................................................................................................ 14	
2.2.	 Índice de Paasche .......................................................................................................................................... 15	
2.3.	 Índice de Fisher .............................................................................................................................................. 16	
3.	 Índice de Valor .............................................................................................................................................. 26	
4.	 Cálculo de valores reais ou deflacionados ...................................................................................................... 27	
5.	 Lista de Questões sem Comentários .............................................................................................................. 29	
6.	 Gabaritos ....................................................................................................................................................... 32	
7.	 Lista de Questões com Comentários .............................................................................................................. 33	
8.	 Considerações Finais ...................................................................................................................................... 40	
 
 
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1. NÚMEROS ÍNDICES 
Os números índices (também chamados, simplesmente, índices) são proporções estatísticas, 
geralmente expressas em porcentagem, idealizadas para comparar as situações de um conjunto de 
variáveis em épocas ou localidades diversas. 
 
A FGV publica mensalmente os valores de vários índices relativos à economia brasileira, como o 
índice geral de preços no atacado para vários setores, índices de custo de vida em várias cidades, 
etc. 
 
Para facilitar a apresentação dos métodos de obtenção de números índices, vamos considerar que 
se deseja analisar a evolução dos preços de um conjunto de produtos ao longo de vários anos. 
 
As etapas iniciais da construção de um índice são as seguintes: 
 
i) Escolha da amostra. No caso de um índice de preços, é necessário escolher os produtos que 
serão considerados. 
 
ii) Escolha do período base. Costuma-se dizer que, ao escolher a base para o cálculo de um índice, 
deve-se evitar os “anos anormais”. Como esse é um conceito bastante discutível, melhor seria 
dizer que se devem evitar os anos demasiadamente anormais. 
 
iii) Escolha do método de cálculo, feita tendo em vista a finalidade do índice. 
 
1.1. NÚMEROS RELATIVOS 
 
O preço relativo, índice relativo de preço ou número índice simples de preço, é a relação entre o 
preço de um produto em determinado período (ano ou mês, geralmente) e o preço no período 
escolhido como base. Esse índice se destina a acompanhar a evolução do preço de determinado 
produto. 
 
Vejamos um exemplo prático. 
 
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Suponha que se esteja fazendo um estudo das exportações da República Guilherminicana, medidas 
em moeda local, o guilhermio. As exportações da República Guilherminicana na última década são 
dadas na tabela abaixo. 
 
Exportações da República Guilherminicana 
Ano Valor das exportações em G$ 
2001 1.265.231 
2002 2.435.687 
2003 3.465.879 
2004 3.231.800 
2005 3.111.651 
2006 4.568.031 
2007 5.388.362 
2008 6.546.320 
2009 5.987.654 
2010 4.897.123 
 
O objetivo da apresentação dessa tabela é, evidentemente, mostrar a evolução das exportações 
daquele país ao longo da década, já que o leitor provavelmente não terá noção do que significa um 
milhão de guilhermios. 
 
Assim, a apresentação destes valores em si não é tão importante. 
 
É aí que entra o tal do número índice!! 
 
É uma sequência que apresenta a mesma evolução da sequência original (isto é, os números 
mantêm a mesma proporção entre si), mas, como o valor propriamente dito não é importante, 
seus números são mais “simpáticos” e, supostamente, de leitura mais fácil. 
 
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Para a construção do número índice, escolhemos, arbitrariamente, um valor qualquer da tabela. 
Digamos, o valor correspondente ao ano de 2005. 
 
Este é o nosso ano-base. Atribuímos a este ano o valor 100, o que, diga-se de passagem, é bem 
mais “simpático” do que 3.111.651. 
Partimos do valor de 2005 para encontrarmos os valores dos demais anos, o que pode ser feito por 
meio de uma regra de três simples (sim, o “teorema” com maior poder de ubiqüidade da 
matemática!). Por exemplo, para o ano de 2001, temos: 
 
3.111.651 100 
1.265.231 x 
Assim, o valor correspondente ao ano de 1991 será: 
 
𝑥 =
1.265.231 × 100
3.111.651 = 40,66 
 
E, dessa forma, podemos estabelecer uma regra prática para calcular os valores dos números 
índices para os demais anos: multiplicar por 100 e dividir pelo valor do ano base. 
 
2002:						
2.435.687 × 100
3.111.651 = 78,27 
 
2003:						
3.465.879 × 100
3.111.651 = 111,38 
 
2004:						
3.231.800 × 100
3.111.651 = 103,86 
 
2005:						
3.111.651 × 100
3.111.651 = 𝟏𝟎𝟎 
 
2006:						
4.568.031 × 100
3.111.651 = 146,80 
 
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2007:						
5.388.362 × 100
3.111.651 = 173,16 
 
2008:						
6.546.320 × 100
3.111.651 = 210,38 
 
2009:						
5.987.654 × 100
3.111.651 = 192,42 
 
2010:						
4.897.123 × 100
3.111.651 = 157,38 
 
Repare que a conta referente ao ano de 2005 é desnecessária, já que o valor de 2005 foi definido a 
priori como 100. 
 
Número-índicepara as exportações da República 
Guilherminicana 
Ano 
Índice de valor das exportações 
(base: 2005 = 100) 
2001 40,66 
2002 78,27 
2003 111,38 
2004 103,86 
2005 100 
2006 146,80 
2007 173,16 
2008 210,38 
2009 192,42 
2010 157,38 
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Com base na tabela com o número índice, podemos facilmente constatar que, entre os anos de 
2005 e 2007, houve um crescimento de 73,16% no valor das exportações. 
 
Uma variável que é uma candidata natural a ser representada por um número índice é o preço, em 
particular quando estamos nos referindo a nível geral de preços, em vez do preço de um bem 
específico. 
Quando se diz que a “taxa de inflação foi de 14%”, o que é algo perfeitamente compreensível para 
a maioria das pessoas, o que se quer dizer exatamente? 
Dizer que a inflação foi de 14% significa dizer que o nível de preços aumentou 14%, ou seja, o 
preço de uma cesta de bens, que representaria o consumo da sociedade, aumentou 14%. 
 
Como medir essa variação? 
 
Bom, como os preços não variam todos na mesma proporção ao mesmo tempo, essa resposta não 
é assim, digamos, tão simples. Há, como veremos, mais de uma resposta possível. 
 
Vamos agora formalizar o conceito de preço relativo. 
 
Se 𝑃5 é o preço da mercadoria no período-base e 𝑃6 é o preço em um período t, o preço relativo 
da mercadoria no ano t é dado por 
 
𝐼(𝑃6|𝑃5) =
𝑃6
𝑃5
∙ 100 
 
Vejamos outro exemplo com dados hipotéticos, sobre os preços e as quantidades vendidas de três 
produtos, em certa região, no período 2001-2005. 
 
 
 
 
 
 
 
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Ano 
Produto 1 Produto 2 Produto 3 
Preço 
 𝑃6 
Quantidade 
𝑄>6 
Preço 
 𝑃?6 
Quantidade 
𝑄?6 
2001 12 3 5 7 20 3 
2002 15 4 10 9 25 4 
2003 18 5 20 8 35 5 
2004 24 5 30 7 45 6 
2005 30 6 60 6 50 5 
 
Tomando como base o ano de 2002 (poderia ser qualquer outro!), o preço relativo do produto 1 
em 2004 é: 
𝐼(𝑃@|𝑃>) =
24
15 ∙ 100 = 160 
Assim, podemos obter os preços relativos apresentados na próxima tabela. 
 
Ano Produto 1 Produto 2 Produto 3 
2001 80 50 80 
2002 100 100 100 
2003 120 200 140 
2004 160 300 180 
2005 200 600 200 
 
 
O preço relativo mostra como está evoluindo o preço de cada um dos produtos. 
 
Entretanto, ao analisar um conjunto de mercadorias, interessa-nos, frequentemente, obter um 
único índice que nos mostre como está evoluindo o nível geral dos preços dessas mercadorias. 
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A necessidade de calcular este índice geral é mais evidente se for grande o número de mercadorias 
no conjunto. 
 
1.2. ÍNDICE SIMPLES DE PREÇOS AGREGADOS 
 
O índice simples de preços agregados ou índice agregativo de preços para um conjunto de 
mercadorias em um período t é a razão entre o somatório dos preços das mercadorias no preço t e 
o somatório dos preços das mercadorias no período escolhido como base. 
Voltemos à nossa tabela e calculemos o índice simples de preços agregados para os três produtos 
em 2004, tomando 2002 como ano-base. 
 
Ano 
Produto 1 Produto 2 Produto 3 
Preço 
 𝑃6 
Quantidade 
𝑄>6 
Preço 
 𝑃?6 
Quantidade 
𝑄?6 
2001 12 3 5 7 20 3 
2002 15 4 10 9 25 4 
2003 18 5 20 8 35 5 
2004 24 5 30 7 45 6 
2005 30 6 60 6 50 5 
 
Resumindo: para calcular o índice simples de preços agregados, devemos: 
i) Somar os preços de todos os produtos no ano desejado. 
ii) Somar os preços de todos os produtos no período base (no caso 2002) 
iii) Dividir e multiplicar por 100 (para deixar em porcentagem). 
 
No caso: 
 
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𝐼A(𝑝@|𝑝>) =
24 + 30 + 45
15 + 10 + 25 ∙ 100 = 198 
 
Analogamente, obtemos os demais índices apresentados na tabela a seguir. 
Ano 𝐼A(𝑝6|𝑝5) 
2001 74 
2002 100 
2003 146 
2004 198 
2005 280 
 
𝐼A(𝑝6|𝑝5) significa o índice simples de preços agregados para o conjunto de preços no período t 
quando comparado ao conjunto de preços do período base 0. 
 
𝐼A(𝑝6|𝑝5) =
∑𝑃E6
∑𝑃E5
∙ 100 
 
É necessário levar-se em conta o quanto cada bem é consumido. Não dá para fazer uma medida 
que represente a variação dos preços sem que consideremos também as quantidades consumidas. 
Assim, esses índices que vimos só devem ser utilizados se não for possível obter informações sobre 
as quantidades vendidas. Caso contrário, devem ser utilizados os índices ponderados de preços, 
que veremos a seguir. 
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1.3. MUDANÇA DE BASE 
A mudança de uma série de índices para um outro período base é feita da seguinte forma: 
i) Dividimos cada índice pelo índice correspondente à nova base e multiplicamos o resultado por 
100 (para transformar em porcentagem). 
Voltemos ao exemplo inicial: 
Número-índice para as exportações da República 
Guilherminicana 
Ano 
Índice de valor das exportações 
(base: 2005 = 100) 
2001 40,66 
2002 78,27 
2003 111,38 
2004 103,86 
2005 100 
2006 146,80 
2007 173,16 
2008 210,38 
2009 192,42 
2010 157,38 
Para se obter um novo índice, construído com base no ano 2008, por exemplo, devemos dividir 
cada um dos outros índices por 210,38 e multiplicar o resultado por 100. 
 
𝑁𝑜𝑣𝑜	í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒	𝑒𝑚	2001:
40,66
210,38 ∙ 100 = 19,33 
 
Teríamos a seguinte tabela: 
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Número-índice para as exportações da República 
Guilherminicana 
Ano 
Índice de valor das exportações 
(base: 2008 = 100) 
2001 19,33 
2002 37,20 
2003 52,94 
2004 49,37 
2005 47,53 
2006 69,78 
2007 82,31 
2008 100 
2009 91,46 
2010 74,81 
	
 
 
(ESAF 2002.2/AFRF) 
No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 30% maior do que em t0+1, 20% menor do que em t0 e 
40% maior do que em t0+3. Assinale a opção que dá o relativo de preços do bem em t0+3 com base 
em t0+1. 
a) 162,5% 
b) 130,0% 
c) 120,0% 
d) 092,9% 
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e) 156,0% 
 
Resolução 
 
Se queremos calcular o relativo de preços do bem em t0+3 com base em t0+1, então queremos 
calcular o seguinte quociente: 
 
𝑃5P?
𝑃5P = 1,30 ∙ 𝑃5Pde um bem é 20% menor do que em t0. 
 
𝑃5P> = 0,80 ∙ 𝑃5 
 
No tempo t0+2 o preço médio de um bem é 40% maior do que em t0+3. 
 
𝑃5P> = 1,40 ∙ 𝑃5P? 
 
Vamos comparar a primeira equação com a terceira. 
 
𝑃5P> = 1,30 ∙ 𝑃5P = 1,40 ∙ 𝑃5P? 
 
Portanto, 
 
1,40 ∙ 𝑃5P? = 1,30 ∙ 𝑃5PProf. Guilherme Neves 
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40 
𝑞X → quantidade na época dada 
𝑞5 → quantidade na época base 
O índice de Paasche é também chamado de Método do Ano Determinado. Tem-se uma 
ponderação dos produtos em função dos preços ou quantidades no ano dado. 
O índice de preço de Paasche é dado por: 
∑𝑝X ∙ 𝑞X
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞X
 
 
∑𝑝> ∙ 𝑞>
∑𝑝
=
40 ∙ 6 + 20 ∙ 12
30 ∙ 6 + 25 ∙ 12 =
240 + 240
180 + 300 =
480
480 = 1 
 
O índice de Laspeyres é também chamado de Método do Ano Base. Tem-se uma ponderação dos 
produtos em função dos preços ou quantidades no ano base. 
O índice de preço de Laspeyres é dado por: 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞5
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞5
 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞5
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞5
=
40 ∙ 10 + 20 ∙ 8
30 ∙ 10 + 25 ∙ 8 =
400 + 160
300 + 200 =
560
500 = 1,12 
 
Como o índice de Paasche é igual a 1 = 100% e o índice de Laspeyres é igual a 1,12 = 1 + 0,12 =
100% + 12%, concluímos que o índice de Paasche indica a manutenção e o índice de Laspeyres 
indica um aumento de 12% no nível de preços. 
Letra B 
 
(ESAF 1996/AFTN) 
Para efeito das duas questões seguintes, considere os seguintes dados: 
Artigos 
Quantidades (1000t) Preços (R$/t) 
1993 1994 1995 1993 1994 1995 
A1 12 13 14 58 81 109 
A2 20 25 27 84 120 164 
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I. Marque a opção que representa os índices de Laspeyres de preços, no período de 1993 a 1995, 
tomando por base o ano de 1993: 
A) 100,0; 141,2; 192,5 
B) 100,0; 141,4; 192,8 
C) 100,0; 141,9; 193,1 
D) 100,0; 142,3; 193,3 
E) 100,0; 142,8; 193,7 
Resolução 
O índice de preço de Laspeyres é dado por: 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞5
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞5
 
 
O índice de Laspeyres de 1993 em relação a 1993 é igual a: 
∑𝒑𝒏 ∙ 𝑞5
∑𝑝5 ∙ 𝑞5
=
∑𝒑𝟎 ∙ 𝑞5
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞5
= 1 = 100% 
Artigos 
Quantidades (1000t) Preços (R$/t) 
1993 1994 1995 1993 1994 1995 
A1 12 13 14 58 81 109 
A2 20 25 27 84 120 164 
 
1994:		
∑ 𝑝X ∙ 𝑞5
∑𝑝5 ∙ 𝑞5
=
81 ∙ 12 + 120 ∙ 20
58 ∙ 12 + 84 ∙ 20 =
972 + 2.400
696 + 1.680 =
3.372
2.376 = 1,419 = 141,9% 
 
Já poderíamos marcar a alternativa C. 
Artigos 
Quantidades (1000t) Preços (R$/t) 
1993 1994 1995 1993 1994 1995 
A1 12 13 14 58 81 109 
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A2 20 25 27 84 120 164 
 
Observe que o denominador não muda!! 
 
1995:		
∑ 𝑝X ∙ 𝑞5
∑𝑝5 ∙ 𝑞5
=
109 ∙ 12 + 164 ∙ 20
58 ∙ 12 + 84 ∙ 20 =
1.308 + 3.280
696 + 1.680 =
4.588
2.376 = 1,931 = 193,1% 
 
Gabarito: C 
 
 
II. Marque a opção que representa os índices de Paasche de preços, no período de 1993 a 1995, 
tomando por base o ano de 1993: 
A) 100,0; 141,3; 192,3 
B) 100,0; 141,6; 192,5 
C) 100,0; 141,8; 192,7 
D) 100,0; 142,0; 193,3 
E) 100,0; 142,4; 193,6 
Resolução 
O índice de preço de Paasche é dado por: 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞X
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞X
 
 
Agora devemos multiplicar os preços pelas quantidades do ano em referência (e não o ano base). 
Ou seja, os denominadores serão diferentes. 
 
O índice de Paasche de 1993 em relação a 1993 é igual a: 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞X
∑𝒑𝟎 ∙ 𝑞X
=
∑𝑝X ∙ 𝑞X
∑𝒑𝒏 ∙ 𝑞X
= 1 = 100% 
 
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Artigos 
Quantidades (1000t) Preços (R$/t) 
1993 1994 1995 1993 1994 1995 
A1 12 13 14 58 81 109 
A2 20 25 27 84 120 164 
 
O índice de Paasche de 1994 em relação a 1993 é igual a: 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞X
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞X
=
81 ∙ 13 + 120 ∙ 25
58 ∙ 13 + 84 ∙ 25 =
1.053 + 3.000
754 + 2.100 =
4.053
2.854 = 1,420 = 142% 
 
Já poderíamos marcar a alternativa D. 
 
Artigos 
Quantidades (1000t) Preços (R$/t) 
1993 1994 1995 1993 1994 1995 
A1 12 13 14 58 81 109 
A2 20 25 27 84 120 164 
 
O índice de Paasche de 1995 em relação a 1993 é igual a: 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞X
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞X
=
109 ∙ 14 + 164 ∙ 27
58 ∙ 14 + 84 ∙ 27 =
1.526 + 4.428
812 + 2.268 =
5.954
3.080 = 1,933 = 193,3% 
 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
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(ESAF 1998/AFTN) 
A tabela abaixo apresenta a evolução de preços e quantidades de cinco produtos. 
Ano 
1960 (ano base) 1970 1979 
Preço (P0) Quantidade 
(Q0) Preço (P1) Preço (P2) 
Produto A 6,5 53 11,2 29,3 
Produto B 12,2 169 15,3 47,2 
Produto C 7,9 27 22,7 42,6 
Produto D 4,0 55 4,9 21,0 
Produto E 15,7 393 26,2 64,7 
Totais \𝑃5 ∙ 𝑄5 = 9.009,7 \𝑃 ∙ 𝑄5 = 37.262,0 
 
Assinale a opção que corresponde aproximadamente ao índice de Laspeyres para 1979 com base 
em 1960. 
 
a) 415,1 
b) 413,6 
c) 398,6 
d) 414,4 
e) 416,6 
Resolução 
O índice de preço de Laspeyres é dado por: 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞5
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞5
 
Para o ano de 1979, n = 2. 
 
∑𝑝> ∙ 𝑞5
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞5
=
37.262,0
9.009,7
= 4,1357 = 413,57% 
Gabarito: B 
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(ESAF 2001/BACEN) 
A tabela abaixo dá os valores dos preços Pti e quantidades Qti de quatro itens de consumo A, B, C e 
D nos tempos t1 ∙ 𝑞>
∑𝑝
=
15 ∙ 4 + 11,5 ∙ 4 + 5 ∙ 2 + 6,5 ∙ 2
10 ∙ 4 + 9 ∙ 4 + 4 ∙ 2 + 5 ∙ 2 =
60 + 46 + 10 + 13
40 + 36 + 8 + 10 =
129
94 = 1,372 ≅ 137% 
 
Gabarito: B 
	
(CESGRANRIO 2009/BNDES) 
Ao calcular índices de preço entre dois anos, um pesquisador usa os Métodos de Laspeyres e de 
Paasche, equalizando, nos dois casos, o ano base a 100. Então, no segundo ano, o(s) 
(A) Índice de Laspeyres será sempre maior que o de Paasche. 
(B) Índice de Laspeyres refletirá mais fielmente o aumento de preços ocorrido. 
(C) Índice Ideal de Fisher será a média aritmética entre o de Laspeyres e o de Paasche. 
(D) Índice de Paasche será mais adequado para a construção de índices de quantidade. 
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(E) índices serão iguais se as pessoas consumirem exatamente as mesmas quantidades no ano base 
e no segundo ano. 
 
Resolução 
O índice de Fisher nada mais é do que a média geométrica entre os índices de Laspeyres e de 
Paasche. 
Tendo em vista as fórmulas para os cálculos dos índices de Laspeyres e Paasche, verificamos que os 
índices serão iguais se as pessoas consumirem exatamente as mesmas quantidades no ano base e 
no segundo ano. 
 
Gabarito: E 
 
(IBGE 2010/CESGRANRIO) 
A tabela abaixo apresenta as quantidades e os preços unitários de 4 produtos vendidos, em uma 
mercearia, durante o 1o trimestre de 2009. 
 
Para o conjunto dos 4 produtos apresentados, o índice de preços de Laspeyres referenteao mês de 
março, tendo como base o mês de janeiro, vale, aproximadamente, 
(A) 79 
(B) 81 
(C) 108 
(D) 123 
(E) 127 
 
Resolução 
O índice de preço de Laspeyres é dado por: 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞5
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞5
 
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O período base é o mês de janeiro e queremos calcular o índice referente ao mês de março. Vamos 
apagar o mês de fevereiro da tabela. 
 
 
2,5 ∙ 5 + 4 ∙ 4 + 2,75 ∙ 3 + 2 ∙ 2
2,5 ∙ 5 + 3 ∙ 4 + 2 ∙ 3 + 1,25 ∙ 2 =
40,75
33 = 123,48% 
Gabarito: D 
(CESGRANRIO 2006/EPE) 
Com os dados da tabela abaixo, quanto vale o índice de preços de Laspeyres de 2005 com base 
(igual a 100) em 2004? 
 
 
(A) 129 
(B) 127 
(C) 112 
(D) 107 
(E) 106 
 
Resolução 
O índice de preço de Laspeyres é dado por: 
 
∑𝑝X ∙ 𝑞5
∑𝑝5 ∙ 𝑞5
=
7 ∙ 10 + 10 ∙ 20
5 ∙ 10 + 8 ∙ 20 =
270
210 = 128,57% 
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Gabarito: A 
3. ÍNDICE DE VALOR 
O índice de valor é o quociente entre os valores de uma cesta de mercadorias em dois anos 
distintos. 
 2009 2010 
 Preços Quantidades Preços Quantidades 
Bem A $ 1 1.000 $ 2 500 
Bem B $ 3 1.500 $ 4 1.200 
Bem C $ 4 1.000 $ 3 1.200 
 
O valor total gasto com os bens A, B e C em 2010 foi: 
 
500 × 2 + 1.200 × 4 + 1.200 × 3 = 9.400 
 
O valor total gasto com os bens em 2009 foi: 
1.000 × 1 + 1.500 × 3 + 1.000 × 4 = 9.500 
 
Logo, o índice de valor de 2010 com base 2009 é: 
9.400
9.500 ≅ 0,989 
 
De uma forma geral, o índice de valor é dado por: 
𝐼] =
∑𝑞6 ∙ 𝑝6
∑𝑞5 ∙ 𝑝^
 
 
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4. CÁLCULO DE VALORES REAIS OU DEFLACIONADOS 
Se temos duas medidas de comprimento, uma em polegadas e a outra em decímetros, sabemos 
que é necessário uniformizar a unidade de medida antes de fazer qualquer comparação ou 
operação aritmética envolvendo essas medidas. 
Consideremos agora que temos dois valores monetários pagos ou recebidos em diferentes datas. 
Por exemplo, consideremos 𝑥 = 𝑅$	120,00 recebidos em setembro de 1997 e 𝑦 = 𝑅$	240,00 
recebidos em setembro de 2003. À primeira vista não há necessidade de modificar a unidade de 
medida de nenhum dos dois valores, já que ambos são medidos em reais. Entretanto, devido à 
inflação ou desvalorização da moeda, o real de setembro de 2003 é uma unidade de medida de 
valor de troca bastante diferente do real de setembro de 1997. 
Devemos, neste caso, “uniformizar” a medida. Isso será feito por meio de um índice de preços que 
possa ser utilizado como uma medida da desvalorização da moeda. Essa é uma das principais 
aplicações dos números índices em uma economia inflacionária. 
O índice de preços utilizado como medida da inflação ou desvalorização da moeda é denominado 
deflator. Os valores de x e y medidos em reais da data em que o pagamento é efetuado são 
denominados valores nominais ou valores em moeda corrente. Caso se trate de preços de um 
produto, são denominados preços correntes. 
Vimos que antes de fazer qualquer comparação ou operação envolvendo os valores em moeda 
corrente, é necessário uniformizar a unidade de medida, ou seja, é necessário calcular, utilizando o 
deflator, os valores reais ou valores deflacionados. 
 
Vejamos como são calculados os valores reais. Vamos considerar que Vt é o valor em moeda 
corrente (ou preço corrente) que desejamos obter o correspondente valor deflacionado. O 
subscrito t de Vt indica que a sua unidade de medida é a moeda corrente no período t. 
Queremos obter o valor deflacionado em moeda do período k. Sejam Ik e It os valores numéricos, 
nos períodos k e t, respectivamente, do índice de preços que será usado como deflator. O valor 
deflacionado ou valor real Vr, medido em moeda do período k, correspondente a Vt, é obtido pela 
seguinte regra de três simples e direta: 
 
Ik It 
Vr Vt 
 
De onde sai 
 
𝑉c =
𝐼d
𝐼6
∙ 𝑉6 
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Imagine que uma categoria profissional recebeu um aumento de 10%. O valor em moeda foi 10% 
maior. Isso significa que o trabalhador pertencente a essa categoria pode comprar 10% a mais em 
bens e serviços? A reposta é claramente não, bastando para isso uma rápida olhada na taxa de 
inflação. Se por exemplo, no período a inflação foi de 6%, então podemos calcular o aumento real 
pela fórmula: 
1 + 𝐴 = (1 + 𝐼)(1 + 𝑅) 
 
Em que A é a taxa aparente, I é a taxa de inflação e R é a taxa real. 
 
No nosso caso: 
 
1 + 0,10 = (1 + 0,06)(1 + 𝑅) 
 
1 + 𝑅 =
1,10
1,06 
 
𝑅 = 3,77% 
 
Assim, o aumento do poder aquisitivo foi de 3,77%. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. LISTA DE QUESTÕES SEM COMENTÁRIOS 
 
1. (FCC 2017/DPE-RS) 
Um produto tem na sua composição diferentes matérias-primas (X, Y e Z) e o quadro abaixo 
apresenta os seus respectivos preços (em unidades monetárias) e quantidades nas épocas 0 
(passado) e 1 (atual). 
 
Utilizando as informações deste quadro, tem-se que os correspondentes índice de preços de 
Laspeyres e o índice de quantidades de Paasche, considerando as épocas 0 e 1, são, 
respectivamente, 
a) 1,75 e 1,82 
b) 1,82 e 1,25 
c) 1,82 e 1,75 
d) 1,25 e 1,30 
e) 1,75 e 1,30 
2. (FCC 2013/DPE-RS) 
Uma economia produz apenas dois bens, X e Y. A tabela a seguir mostra as relações entre preço (P) 
e quantidade consumida (Q) para dois anos consecutivos: 
 
Tomando-se o ano 20×0 como base 100 e calculando-se os índices de Laspeyres e Paasche de 
preço e quantidade e o índice do valor do consumo para 20×1, o índice que é igual a 95 é o 
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a) Laspeyres de Quantidade. 
b) Laspeyres de Preço. 
c) Paasche de Quantidade. 
d) de valor do consumo. 
e) Paasche de Preço. 
3. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
O consumo de uma determinada mercadoria, num período de 11 anos consecutivos, está 
apresentado na tabela abaixo: 
 
Elaborando uma série de números índices, tomando como base 100 o ano-calendário de 2002, os 
números índices correspondente ao ano-calendário de maior e menor consumo serão, 
respectivamente, 
a) 125 e 92. 
b) 121 e 89. 
c) 126 e 92. 
d) 122 e 90. 
e) 129 e 89. 
 
 
 
 
 
 
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4. (VUNESP 2018/ARSESP) 
A gerência de uma loja faz registros de preços e quantidades dos artigos A, B e C que adquire 
anualmente. Com relação aos anos de 2016 e 2017, os dados constamda tabela seguinte: 
 
Aplicando o método dos agregados ponderados (índice de Laspeyres) para obter as variações de 
preço e de quantidade no período, tomando o ano de 2016 como base, verifica-se que houve 
a) aumento de 20% nos preços e queda de 20% nas quantidades. 
b) aumento de 20% nos preços e queda de 80% nas quantidades. 
c) queda de 20% nos preços e aumento de 80% nas quantidades. 
d) queda de 12% nos preços e aumento de 80% nas quantidades. 
e) aumento de 12% nos preços e queda de 20% nas quantidades. 
5. (ESAF 2014/MTUR) 
A tabela a seguir apresenta os preços (em reais) e quantidades (em quilos) de três produtos a 
saber: laranja, maçã e abacaxi, em anos consecutivos: 2010, 2011 e 2012. 
 
Considerando o ano 2010 como base, então o índice de quantidades de Laspeyres em 2011 e o 
índice de preço de Paasche em 2012 são, respectivamente, iguais a: 
a) 9/7 ; 9/13 
b) 5/8 ; 6/7 
c) 9/7 ; 9/8 
d) 9/13 ; 9/7 
e) 6/13 ; 8/7 
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6. GABARITOS 
 
 
01. E 
02. A 
03. C 
04. A 
05. D 
 
 
 
 
 
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7. LISTA DE QUESTÕES COM COMENTÁRIOS 
 
1. (FCC 2017/DPE-RS) 
Um produto tem na sua composição diferentes matérias-primas (X, Y e Z) e o quadro abaixo 
apresenta os seus respectivos preços (em unidades monetárias) e quantidades nas épocas 0 
(passado) e 1 (atual). 
 
Utilizando as informações deste quadro, tem-se que os correspondentes índice de preços de 
Laspeyres e o índice de quantidades de Paasche, considerando as épocas 0 e 1, são, 
respectivamente, 
a) 1,75 e 1,82 
b) 1,82 e 1,25 
c) 1,82 e 1,75 
d) 1,25 e 1,30 
e) 1,75 e 1,30 
Resolução 
O índice de preços de Laspeyres é dado por: 
𝐼R =
∑𝑝6 ∙ 𝑞5
∑𝑝5 ∙ 𝑞5
 
A questão não indicou qual é o período base. Entretanto, como as alternativas indicam índices 
maiores do que 1 e como houve aumento nos preços e nas quantidades da época 0 para a época 1, 
então concluímos que a base é a época 0. 
Vejamos o numerador: devemos multiplicar cada preço da época 1 pelas quantidades da época 0 e 
depois somar tudo. 
𝐼R =
5 × 10 + 9 × 20 + 10 × 12
 
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Vamos ao denominador: devemos multiplicar cada preço da época 0 pelas suas respectivas 
quantidades na época 0 e depois somar tudo. 
𝐼R =
5 × 10 + 9 × 20 + 10 × 12
2 × 10 + 6 × 20 + 5 × 12 =
350
200 
 
𝐼R = 1,75 
 
Vamos agora calcular o índice de quantidade de Paasche, que é dado por: 
𝐼U =
∑𝑞6 ∙ 𝑝6
∑ 𝑞5 ∙ 𝑝6
 
 
Numerador: devemos multiplicar cada quantidade pelos respectivos preços na época 1 e somar 
tudo. 
Denominador: devemos multiplicar a quantidade na data base 0 pelos respectivos preços na época 
1 e somar tudo. 
𝐼U =
15 × 5 + 20 × 9 + 20 × 10
10 × 5 + 20 × 9 + 12 × 10 
 
𝐼U =
455
350 = 1,30 
Gabarito: E 
 
2. (FCC 2013/DPE-RS) 
Uma economia produz apenas dois bens, X e Y. A tabela a seguir mostra as relações entre preço (P) 
e quantidade consumida (Q) para dois anos consecutivos: 
 
Tomando-se o ano 20×0 como base 100 e calculando-se os índices de Laspeyres e Paasche de 
preço e quantidade e o índice do valor do consumo para 20×1, o índice que é igual a 95 é o 
a) Laspeyres de Quantidade. 
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b) Laspeyres de Preço. 
c) Paasche de Quantidade. 
d) de valor do consumo. 
e) Paasche de Preço. 
Resolução 
Comecemos por Laspeyres. 
O índice de preços de Laspeyres é dado por: 
𝐼UR =
∑𝑝6 ∙ 𝑞5
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞5
 
 
𝐼UR =
60 × 20 + 70 × 10
50 × 20 + 80 × 10 =
1.900
1800 
Obviamente esse valor é maior do que 1 (não é igual a 95% = 0,95). 
 
O índice de quantidade de Laspeyres é dado por: 
𝐼fR =
∑𝑞6 ∙ 𝑝5
∑ 𝑞5 ∙ 𝑝5
 
 
𝐼fR =
15 × 50 + 12 × 80
20 × 50 + 10 × 80 =
1.710
1800 = 0,95 
A resposta é a alternativa A. 
Vamos calcular os outros índices para treinar. 
O índice de preços de Paasche é dado por 
𝐼UU =
∑𝑝6 ∙ 𝑞6
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞6
 
 
𝐼UU =
60 × 15 + 70 × 12
50 × 15 + 80 × 12 =
1.740
1.710 ≅ 1,017 
 
 
O índice de quantidade de Paasche é dado por: 
𝐼fU =
∑𝑞6 ∙ 𝑝6
∑ 𝑞5 ∙ 𝑝6
 
 
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𝐼fU =
15 × 60 + 12 × 70
20 × 60 + 10 × 70 =
1.740
1.900 ≅ 0,92 
 
Finalmente o índice de valor: 
𝐼] =
∑𝑞6 ∙ 𝑝6
∑𝑞5 ∙ 𝑝^
 
 
𝐼] =
15 × 60 + 12 × 70
20 × 50 + 10 × 80 =
1.740
1.800 ≅ 0,966 
Gabarito: A 
 
3. (FCC 2012/TRF 2ª Região) 
O consumo de uma determinada mercadoria, num período de 11 anos consecutivos, está 
apresentado na tabela abaixo: 
 
Elaborando uma série de números índices, tomando como base 100 o ano-calendário de 2002, os 
números índices correspondente ao ano-calendário de maior e menor consumo serão, 
respectivamente, 
a) 125 e 92. 
b) 121 e 89. 
c) 126 e 92. 
d) 122 e 90. 
e) 129 e 89. 
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Resolução 
O maior consumo corresponde ao ano de 2010 e o menor consumo ao ano de 2003. 
Para calcular os valores dos números índices para os demais anos: multiplicar por 100 e dividir 
pelo valor do ano base. 
𝐼>555? =
57.040 × 100
62.000 = 92 
Gabarito: C 
 
4. (VUNESP 2018/ARSESP) 
A gerência de uma loja faz registros de preços e quantidades dos artigos A, B e C que adquire 
anualmente. Com relação aos anos de 2016 e 2017, os dados constam da tabela seguinte: 
 
Aplicando o método dos agregados ponderados (índice de Laspeyres) para obter as variações de 
preço e de quantidade no período, tomando o ano de 2016 como base, verifica-se que houve 
a) aumento de 20% nos preços e queda de 20% nas quantidades. 
b) aumento de 20% nos preços e queda de 80% nas quantidades. 
c) queda de 20% nos preços e aumento de 80% nas quantidades. 
d) queda de 12% nos preços e aumento de 80% nas quantidades. 
e) aumento de 12% nos preços e queda de 20% nas quantidades. 
Resolução 
 
 
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O índice de preços de Laspeyres é dado por: 
𝐼UR =
∑𝑝6 ∙ 𝑞5
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞5
 
 
𝐼UR =
15 × 4 + 12 × 2 + 6 × 1
10 × 4 + 15 × 2 + 5 × 1 =
90
75 = 1,2 = 120% = 100% + 20% 
 
Assim, o índice indica que houve um aumento de 20% nos preços. 
 
O índice de quantidade de Laspeyres é dado por: 
𝐼fR =
∑𝑞6 ∙ 𝑝5
∑ 𝑞5 ∙ 𝑝5
 
 
𝐼fR =
2 × 10 + 2 × 15 + 2 × 5
4 × 10 + 2 × 15 + 1 × 5 =
60
75 = 0,80 = 80% = 100% − 20% 
O índice indica que houveuma queda de 20% nas quantidades. 
Gabarito: A 
 
5. (ESAF 2014/MTUR) 
A tabela a seguir apresenta os preços (em reais) e quantidades (em quilos) de três produtos a 
saber: laranja, maçã e abacaxi, em anos consecutivos: 2010, 2011 e 2012. 
 
Considerando o ano 2010 como base, então o índice de quantidades de Laspeyres em 2011 e o 
índice de preço de Paasche em 2012 são, respectivamente, iguais a: 
a) 9/7 ; 9/13 
b) 5/8 ; 6/7 
c) 9/7 ; 9/8 
d) 9/13 ; 9/7 
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e) 6/13 ; 8/7 
Resolução 
O índice de quantidade de Laspeyres é dado por (2011 em relação ao ano de 2010). 
𝐼fR =
∑𝑞6 ∙ 𝑝5
∑ 𝑞5 ∙ 𝑝5
 
 
𝐼fR =
2 × 1 + 2 × 2 + 1 × 3
1 × 1 + 3 × 2 + 2 × 3 =
9
13 
 
Com isso já podemos marcar a resposta na alternativa D. 
 
O índice de preços de Paasche é dado por (2012 em relação ao ano de 2010). 
𝐼UU =
∑𝑝6 ∙ 𝑞6
∑ 𝑝5 ∙ 𝑞6
 
 
𝐼UU =
3 × 4 + 1 × 2 + 2 × 2
1 × 4 + 2 × 2 + 3 × 2 =
18
14 =
9
7 
Gabarito: D 
 
 
 
 
 
 
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8. CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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