P2_CalculoI_2010_2

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Universidade Federal do Esp´ırto Santo
Segunda prova de Ca´lculo I
Vito´ria, 28 de maio de 2010
Nome Leg´ıvel:
Assinatura:
Justifique todas as respostas!
1. (3 pontos) Calcule:
(a)
d
dx
(
1 +
1
x
)
x
(b)
d
dx
ln(x3 − sen(3x))
(c) lim
x→0
e2x − e3x
x
2. (3,5 pontos) Considere a func¸a˜o
f(x) =
x
(x− 1)2
.
(a) Determine os pontos cr´ıticos de f(x), se existirem;
(b) Determine os intervalos de crescimento e decrescimento de f(x), indicando, caso existam, seus pontos
de ma´ximo e de mı´nimo locais;
(c) Determine os intervalos em que f(x) tem concavidade para cima e em que f(x) tem concavidade
para baixo e determine os pontos de inflexa˜o de f(x), se existirem;
(d) Determine as ass´ıntotas verticais e horizontais, se existirem;
(e) Utilize as informac¸o˜es obtidas nos itens anteriores parar esboc¸ar o gra´fico de f(x).
3. (2 pontos) Determine o maior valor poss´ıvel para o volume de um cilindro circular reto inscrito em um
cone circular reto de altura 12 cm e raio da base 4 cm.
4. (1,5 pontos) Um ponto desloca-se sobre a hipe´rbole xy = 4, x > 0, de tal modo que a velocidade da
ordenada y do ponto e´ 10 m/s. Determine a acelerac¸a˜o da abcissa x desse ponto, quando x = 2m.
Boa prova!