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Anderson Douglas Pereira Rodrigues da Silva
MATEMÁTICA
INSTRUMENTAL
Matemática
Instrumental
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SILVA, Anderson Douglas Pereira Rodrigues da.
Matemática Instrumental:
Recife: Grupo Ser Educacional - 2023.
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1. Matemática 2. Números 3. Frações.
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Nota sobre uma
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PALAVRAS DO
PROFESSOR/AUTOR
Nota pessoal e particular
do autor.
PODCAST
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podcasts.
REFLITA
Convite a reflexão sobre
um determinado texto.
RESUMINDO
Um resumo sobre o que
foi visto no conteúdo.
SAIBA MAIS
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SINTETIZANDO
Uma síntese sobre o
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VOCÊ SABIA?
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ASSISTA
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que merecem maior
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CURIOSIDADES
Informações
interessantes e
relevantes.
CONTEXTUALIZANDO
Contextualização sobre o
tema abordado.
DEFINIÇÃO
Definição sobre o tema
abordado.
DICA
Dicas interessantes sobre
o tema abordado.
EXEMPLIFICANDO
Exemplos e explicações
para melhor absorção do
tema.
EXEMPLO
Exemplos sobre o tema
abordado.
FIQUE DE OLHO
Informações que
merecem relevância.
SUMÁRIO
Unidade 1
Os Números e seus Usos Sociais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 17
Um pouco da história dos números � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 20
Sistemas de Numeração � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �20
O Sistema de numeração Egípcio � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �21
O Sistema de Numeração Babilônico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 25
O Sistema de numeração Maia � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 27
O Sistema de numeração romano � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 30
Sistema de Numeração Indo-Arábico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 31
Evolução na Escrita dos Algarismos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 31
Classe e Ordem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 35
Noção Intuitiva De Conjunto E Conceitos Básicos � � � � � � � � � � � � � � � � 37
Os tipos de conjuntos e como representá-los � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 37
Antecessor e sucessor de um número natural e Diagrama de Venn � � 39
Pertinência e Igualdade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 42
Operações com conjuntos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 42
Adição de números naturais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 44
Propriedades da adição � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 45
Propriedades da multiplicação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 46
Conjunto dos Números Inteiros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �47
Subconjuntos de Z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 48
Outros subconjuntos de Z � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 49
Operações no conjunto dos número inteiros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 49
Conjunto dos Números Racionais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �50
Frações � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 52
Fração como parte-todo � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 52
Fração como número � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 53
Fração como operador � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 53
Fração como razão � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 53
Classificação das Frações � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 57
Adição e subtração de números fracionários � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 58
Multiplicação e divisão de fração � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 59
Decimais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 59
Operação com os decimais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 60
Dízimas periódicas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 64
Conjunto dos Números Reais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �65
A Reta real � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 66
Unidade 2
Operações fundamentais envolvendo os números reais � � � � � � � � � 71
Números mistos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 75
Divisores de um número natural � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �76
Critérios de divisibilidade � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 76
Vamos conhecer agora os critérios de divisibilidade! � � � � � � � � � � � � � � � 77
Multiplos de um número natural � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �80
Divisores de um número natural � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 81
Números Primos e compostos no conjunto dos naturais � � � � � � � � � � � �81
Decomposição em fatores primos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 83
Identificando os Divisores de um Número Natural � � � � � � � � � � � � � � � � � 86
Máximo divisor comum (mdc) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �92
Mínimo multiplo comum (mmc) � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 96
Com relação aos números inteiros � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 100
Equação linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 101
Solução de uma equação linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 102
Sentenças: verdadeiras e falsas; abertas e fechadas � � � � � � � � � � � � � � � 103
Inequações do 1º grau com uma variável � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 110
Sistema linear � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 112
Unidade 3
Potenciação � � � � � � � � � � � � � � �resolvê-las antes da soma e da subtração. Mas você pode estar se
perguntando: e se eu tiver uma divisão e uma multiplicação, ou
mesmo, uma adição e uma subtração, quais delas devo dar priori-
dade, ou seja, quais resolvo primeiro? A resposta é bem simples: a
que estiver mais à esquerda, isto é, por onde começamos a ler a ex-
pressão, mas sempre dando prioridades a multiplicação e divisão,
não esqueça.
Vamos retomar o caso da expressão que aparece na imagem do
whatsapp:
4+4-2x3+5=?
Levando em conta as regras apresentadas devemos, primeiramen-
te, resolver a multiplicação “-2x3= -6”, em seguida, repetimos os
números da expressão substituindo o que já resolvemos, nessa si-
tuação, o produto da multiplicação. A expressão então ficará: “4+4-
6+5”. Agora, como temos primeiro uma adição, conforme regra
apresentada, devemos resolvê-la, seguidamente a subtração e, logo
após, mais uma adição, conforme modelo abaixo:
4+4-2x3+5 ⇒ 4+4-6+5 ⇒ 8-6+5 ⇒ 2+5= 7
Existem, ainda, expressões numéricas que além das operações bási-
cas podem vir com parênteses ( ), colchetes [ ] e chaves { }, como no
caso da que aparece na imagem do instagram nas Palavras do Pro-
fessor. Quando isso acontecer, estimado(a) estudante, você deve
resolver primeiro o que está dentro dos parênteses (independente
de qual tipo de operação for, mas lembrando das regras apresenta-
das anteriormente para a multiplicação, divisão, adição e subtra-
ção), depois, o que está no colchete, por fim, o que está nas chaves.
Só quando eliminarmos todos os parênteses, colchetes e chaves é
68
que podemos continuar normalmente como aprendemos no pará-
grafo anterior.
Você agora vai acompanhar a resolução da expressão numérica que
está dentro da imagem do instagram apresentada anteriormente:
4 x 5 + {2 x 3 – [1+ (8÷2 – 2)]}=?
4x5+{2x3-[1+(4-2)]}=
4x5+{2x3-[1+2]}=
4x5+{2x3-3}=
4x5+3=23
Você precisa ainda lembrar das regras de sinais no seguinte caso:
- (2+6) - (-3-1) +7
Nessa expressão, temos um sinal de menos antes dos parênteses,
você deve ficar atento quando isso acontecer! Você deve resolver o
que está dentro dos parêneses e, logo em seguida, fazer o jogo dos
sinais da multiplicação/divisão de números inteiros que foi explo-
rado no objeto de aprendizagem 1. Observe a resolução a seguir:
- (2+6) - (-3-1) +7=
-(+8) - (-4) +7=
-8+4+7=3
Agora é sua vez de tentar! Usando o que você aprendeu anterior-
mente, resolva as expressões numéricas a seguir:
5 x (20+2 -15) – (7x8 –30)=
3 x [5 + (42 : 3 – 9 )] =
[16 + (2 +(5 x 3) – (21 :7 +10)]=
5 x 7+3 x 5 – 5x10=
PRATICANDO
69
120 : [3 x 15 +( 2 x 7 + 1)=
38 +{[7 x ( 6 + 3) – (17 x 3)]}=
Ainda existem expressões numéricas que envolvem potências e raí-
zes. Nesses casos você deve seguir as seguintes regras:
1º Resolve potências (e raízes);
2º Resolve multiplicação e divisão;
3º Resolve adição e subtração.
Caro(a) estudante, você sabia que há uma fórmula para calcular a
quantidade de algarismos em uma sucessão de 1 até n.
Qa = quantidade de algarismos;
n= último número;
Kn = quantidade de algarismos de n.
Vamos aplicar essa fórmula para resolver o seguinte problema
matemático:
Quantos algarismos utilizo para escrever de 1 até 354?
DICA
VOCÊ SABIA?
70
Aplicando a fórmula acima temos:
n= 354
Kn = 3
Qa= (354 + 1).3-111 = 355.3-111= 1494 algarismos.
Só uma observação, a quantidades de “uns” que você utilizará de-
pende da quantidade de algarismos do último número. Nesse exem-
plo utilizamos 111, porque o número 354 possui 3 algarismos.
Quem nunca recebeu um desafio matemático de um colega no grupo
do whatsapp ou já observou no feed do instagram as seguintes ex-
pressões numéricas?
Figura 1 – Desafios matemáticos em redes sociais
PALAVRAS DO PROFESSOR
71
Números mistos
Ainda com relação as operações que realizamos em ℝ vamos conhe-
cer os números mistos!
Os números mistos são compostos por uma parte inteira e
outra parte fracionária. Nós podemos também transformar uma
fração imprópria na forma mista, ou vice-versa, sem recorrer a de-
senhos ou figuras. Vamos agora verificar como podemos realizar
essa transformação:
E como isso acontece?
Devemos realizar a divisão de 27/7 que tem como quociente
3 e resto 6. O quociente será o inteiro, o numerador da fração será o
resto da divisão e, o denominador, o divisor. Vamos recordar os ele-
mentos de uma operação de divisão em Z (no conjunto dos números
inteiros).
Fonte: CABRAL (2013)
72
Voltando a situação dos números mistos…
Para realizar a operação de transformar a forma mista em
fração imprópria, devemos fazer o seguinte:
Multiplica-se o número inteiro pelo denominador da fração,
soma-se o numerador (o resultado será o numerador da fração im-
própria) e conserva-se o numerador do número misto conforme foi
realizado acima.
Divisores de um número natural
Critérios de divisibilidade
Os critérios de divisibilidade são constituídos por regras práticas
que nos possibilitam dizer se um determinado número natural é ou
não divisível por outro número natural, sem que seja preciso efetuar
essa divisão.
Antes de apresentar os critérios vamos recordar quando um
número é ou não divisível por outro.
Vejamos os exemplos das divisões abaixo:
Como o resto é zero, a divisão é exata. Falamos que 95 é divi-
sível por 5 ou, ainda, que 5 é divisor de 95.
73
Como o resto é três, a divisão não é exata. Entendemos que 38
não é divisível por 5 ou que 5 não é divisor de 38.
Dada a relação fundamental da divisão em N: Dividendo =
divisor x quociente + resto. Podemos concluir que: Resto = dividen-
do – divisor x quociente.
- Qualquer número natural, com exceção do zero, tem por divisores
o número 1 e ele mesmo;
- Quando você observar os símbolos (÷), (/), (:) significa uma ope-
ração de divisão;
- “0” dividido por qualquer número é sempre “0”. Exemplo: 0/8=0,
0÷23569 =0, mas não é possível dividir por “0”. Exemplo: 25/0 = ∄.
Vamos conhecer agora os critérios de
divisibilidade!
a. Um número natural é divisível por 2 quando é par, isto é,
quando termina em 0; 2; 4; 6; 8. Exemplos: 586, 89634,
100258000. Esses números são divisíveis por 2 porque termi-
nam em 6, 4 e 0, respectivamente;
b. Um número natural é divisível por 3 quando a soma de todos
os seus algarismos forma um número divisível por 3, ou seja,
um múltiplo de 3. Exemplo: 2541 = 2+5+4+1= 12, logo, 12 é di-
visível por 3, então 2541 é divisível por 3. Vale ressaltar que 12
é múltiplo de 3;
c. Um número natural é divisível por 4 quando seus dois últimos
algarismos são 00 ou formam outro número natural que é di-
visível por 4. Exemplos: 1423200 é divisível por 4 porque
GUARDE ESTA IDEIA!
74
a. termina em 00. 2524 é divisível por 4 porque termina em 24
que é divisível por 4 (24/4=6);
b. Um número natural é divisível por 5 quando termina em 0 ou
5. Exemplos: 50025, 24598000, todos esses números são di-
visíveis por 5;
c. Um número natural é divisível por 6 quando é divisível por
2 e por 3, simultaneamente. Exemplos: 450 é divisível por 2,
porque é par (termina em 0) e por 3, porque a soma dos seus
algarismos 4+5+0= 9 é divisível por 3. Logo, é divisível por 6;
52344 é divisível por 2, porque é par (termina em 4) e é por 3,
porque a soma dos algarismos 5+2+3+4+4=18 é divisível por 3
(18/3=6). Logo, 52344 é divisível por 6;
d. A divisibilidade por 7 tem umas regras que são um pouco mais
extensas que as anteriores, mas vamos analisar:
• Um número natural será divisível por 7 se o dobro do último alga-
rismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar em
um número divisível por 7.
• Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que
se possa verificar a divisão por 7.
Vejamos um exemplo utilizando as regras acima:
O número 16464 é divisível por 7?
16464 Número sem o último algarismo
8 (dobro do último algarismo 4)
1638 diferença
163 Número sem o último algarismo
16 (dobro do último algarismo 8)
147 diferença
147 é um número divisível por7 (147/7=21), logo, 16464 é divisível
por 7;
e. Um número natural será divisível por 8 quando terminar em
000 ou quando os três últimos algarismos forem divisíveis
75
por 8. Exemplos: 18520 é divisível por 8 (520 é divisível por 8).
32000 é divisível por 8 (termina em 000), já 351 não é divisível
por 8, pois não obedece às regras explicitadas;
f. Um número natural será divisível por 9 quando a soma dos
seus algarismos for um número divisível por 9. Exemplos:
96984 é divisível por 9, temos (9+6+9+8+4=36) e 36 é divisí-
vel por 9. 35641 não é divisível por 9, temos (3+5+6+4+1=19) e
19 não é divisível por 9;
g. Um número natural será divisível por 10 quando terminar em
zero (0). Exemplos: 25900, 589630, 785240;
h. Um número natural é divisível por 11 quando a diferença entre
as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ím-
par e a dos de ordem par é divisível por 11. Exemplos:
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem,
o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
1. 98516:
SI (soma das ordens ímpares) = 6+5+9 = 20
SP (soma das ordens pares) = 1+8 = 9
SI-SP = 20-9 = 11
Como 11 é divisível por 11, então o número 98516 é divisível
por 11.
Caro(a) estudante, você ainda pode continuar estudando outros cri-
térios de divisibilidade por meio do livro dos autores Luiz Cláudio
Cabral e Mauro César Nunes que tem como título: Matemática bási-
ca explicada passo a passo.
LEITURA
COMPLEMENTAR
76
Multiplos de um número natural
Consideremos “x” e “y” dois números Naturais, sendo “y” diferen-
te de zero. Podemos dizer que um número natural “x” é múltiplo de
um número natural “y”, quando “x” for divisível por “y” ou “y”
for divisor de “x”. Exemplo: o número 2585 é múltiplo de 5, porque
2585 é divisível por 5.
Agora, observe as seguintes sequências:
a. 0,8,16,24,32,40...
b. 0,10,20,30,40,50...
Algo lhe chamou atenção?
Pois bem, a primeira sequência que está organizada de 8 em 8
é formada pelos múltiplos de 8, já a segunda, os números que estão
dispostos são múltiplos de 10.
O conjunto dos múltiplos de um número pode ser repre-
sentado da seguinte maneira: M(8)= {0,8,16,24,32,40...}, M(10)=
{0,10,20,30,40,50,...}.
Mas você pode estar se perguntando: como obtemos um múl-
tiplo de um número?
Basta você multiplicar um número natural por outro número
natural qualquer, o produto dessa multiplicação será um múltiplo.
Veja agora os múltiplos de 3:
M(3)= {0,3,6,9,12,...}, os elementos desse conjunto foram
obtidos fazendo 3x0=0, 3x1=3, 3x2=6, 3x3=9, 3x4=12 e, assim,
sucessivamente.
• Todo número natural é múltiplo dele mesmo;
GUARDE ESTA IDEIA!
77
• Não existe o maior múltiplo de um número natural não nulo. A se-
quência dos múltiplos de um número natural, diferente de zero, é
infinita;
• Não esqueça, para verificar se um número é múltiplo de outro bas-
ta dividi-los, se a divisão tiver resto zero, esse número é múltiplo do
outro; Exemplo: 12 é múltiplo de 4? Sim, porque 12/4=3, resto “0”.
• O zero (0) é múltiplo de qualquer número;
• O zero (0) só tem um múltiplo que é o próprio zero.
Divisores de um número natural
Consideremos um número natural não nulo y é divisor do núme-
ro natural x quando x é divisível por y. O conjunto dos divisores do
número natural x é o conjunto D(x) formado por todos os números
naturais que são divisores de x.
Vamos aos exemplos:
Quais e quantos são os divisores de 12?
D(12)= {1,2,3,4,6,12} são os divisores. O conjunto formado
pelos divisores de 12 contém seis elementos.
Mas, e se o número tiver muitos algarismos, por exemplo, for
na classe dos milhares como proceder?
Temos uma regra bem prática para isso. Porém, precisamos
antes de lhe explicar essa regra falar de números que são bem espe-
ciais – os números primos e os números compostos.
Números Primos e compostos no conjunto dos
naturais
Um número é primo quando tem somente dois divisores naturais
distintos:
o número 1 e o próprio número.
78
Exemplo: D(5) = {1,5}, logo, o número 5 é primo porque tem
apenas dois divisores o 1 e o próprio 5.
Observe agora os divisores do número 10:
D(10)= {1,2,5,10}, logo o número 10 é composto, pois tem
mais de dois divisores, logo, ele é composto.
• O número 1 não é primo nem composto, pois tem apenas um divi-
sor natural: ele mesmo;
• O número 0 não é primo nem composto, pois tem infinitos
divisores;
• O 2 é o único número primo que é par;
• O significado da palavra primo é “primeiro”. Os números primos
são “os primeiros”, pois outros números podem ser escritos a partir
deles por meio de multiplicações.
Mas como reconhecer que um número é primo?
Para verificar se um número é primo, devemos dividi-lo pelos su-
cessivos números primos 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 …, até obter:
uma divisão exata; nesse caso, podemos afirmar que o número é
composto;
uma divisão não exata, com quociente menor ou igual ao divisor;
nesse caso, podemos afirmar que o número é primo.
VOCÊ SABIA?
79
Decomposição em fatores primos
Todo número natural composto pode ser representado por meio de
uma multiplicação de dois ou mais fatores. Veja: 30=3x10, 30=6x5;
30= 2x3x5.
Observe que, em 30=2x3x5, todos os fatores são primos. As-
sim, realizamos a fatoração completa do número 30.
Utilizando um procedimento prático, podemos decompor
números bem maiores. Vou lhe mostrar como fazer por meio de al-
guns exemplos a seguir.
Vamos, então, decompor o número 224 em fatores primos:
O primeiro número primo capaz de dividir 224 é o número 2, ou seja,
iniciamos dividindo o número 224 pelo seu menor divisor primo,
que é 2.
112 também é divisível por 2 (2 é o menor divisor primo de 210):
56 ainda é divisível por 2:
28 continua sendo divisível por 2, logo, dividimos novamente por 2:
80
14 também é divisível por 2:
7 é primo, portanto, o único número primo pelo qual ele é divisível
é ele mesmo.
Portanto, 224= 2x2x2x2x2x7 ou 25x7
Terminamos esse processo quando obtemos o quociente 1. A coluna
da direita apresenta os fatores primos de 224. Observe que utiliza-
mos os números primos em ordem crescente por opção, mas pode-
ríamos dispô-los em qualquer ordem.
Vamos a mais exemplos: decompor os números 5268 e 8562 em fa-
tores primos.
O primeiro número primo capaz de divider 5268 é o número 2:
2634 também é divisível por 2:
81
1317 não é divisível por 2 e o próximo número primo capaz de divi-
di-lo sem deixar resto é o número 3:
Portanto: 5268 = 22x3x439
Vamos agora decompor em fatores primos o número 8562:
O primeiro número primo capaz de dividir 8562 é o número 2:
4281 não é divisível por 2 e o próximo número primo capaz de divi-
di-lo sem deixar resto é o número 3:
1427 é primo, portanto, o único número primo pelo qual ele é divi-
sível é ele mesmo.
Portanto: 8562 = 2x3x1427
Estimado(a) aluno(a), você lembra que na seção anterior mencionei
que havia uma regra prática para saber quais e quantos são os divi-
sores de um número natural?
Vamos explorar essa regra que depende da decomposição de núme-
ros em fatores primos.
82
Identificando os Divisores de um Número Natural
Quantos divisores tem o número 300?
O primeiro passo é decompor o número 300 em fatores primos:
Logo: 300 = 22 . 3 . 52
Para calcularmos o número de divisores de 300, devemos
somar uma unidade a cada um dos expoentes dos seus fatores e
multiplicá-los:
(2+1) . (1+1) . (2+1)=18
Já sabemos que o número 300 possui 18 divisores, mas quais
são eles?
Para obtê-los, vamos traçar uma reta vertical à direita dos fa-
tores e, no topo, vamos colocar o número 1, já que ele é divisor de to-
dos os números naturais. Este será o primeiro divisor considerado:
Pegamos o 1º fator, que é 2, e o multiplicamos por cada um
dos divisores até então encontrados:
2.1=2
Iremos proceder da mesma forma com todos os divisores en-
contrados, colocando-os à direita da barra vertical, na mesma linha
do fator que estamos analisando.
83
Pegamos o 2º fator, que é 2, e o multiplicamos por cada um
dos divisores dalinha de cima, visto que se considerarmos todos os
divisores já obtidos, iremos obter valores repetidos, já que este fator
é igual ao fator da linha anterior:
2 . 2 = 4
Pegamos o 3º fator, que é 3, e o multiplicamos por cada um
dos divisores até então encontrados:
Pegamos o 4º fator, que é 5, e o multiplicamos por cada um
dos divisores que já descobrimos:
5 . 1 = 5
5 . 2 = 10
84
5 . 4 = 20
5 . 3 = 15
5 . 6 = 30
5 . 12 = 60
Pegamos o 5º fator, que é 5, e o multiplicamos por cada um
dos divisores da linha acima, já que este fator é igual ao fator da li-
nha anterior:
5 . 5 = 25
5 . 10 = 50
5 . 20 = 100
5 . 15 = 75
5 . 30 = 150
5 . 60 = 300
Logo, os 18 divisores de 300 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20,
25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300 ⇒ D(18) = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15,
20, 25, 30, 50, 60, 75, 100, 150, 300}.
85
Utilizando essa mesma regra vamos encontrar quantos e
quais são os divisores de 1236. O primeiro passo é decompor o nú-
mero 1236 em fatores primos:
Logo:
1236 = 22.3.103
Para calcularmos o número de divisores de 1236 devemos
somar uma unidade a cada um dos expoentes dos seus fatores e
multiplicá-los:
(2+1) . (1+1) . (1+1) = 12
Já sabemos que o número 1236 possui 12 divisores, mas quais
são eles?
Para obtê-los vamos traçar uma reta vertical à direita dos fa-
tores e no topo vamos colocar o número 1, já que ele é divisor de to-
dos os números naturais. Este será o primeiro divisor considerado:
Pegamos o 1º fator, que é 2, e o multiplicamos por cada um
dos divisores até então encontrados:
2 . 1 = 2
Iremos proceder da mesma forma com todos os divisores en-
contrados, colocando-os à direita da barra vertical, na mesma linha
do fator que estamos analisando.
86
Pegamos o 2º fator, que é 2, e o multiplicamos por cada um
dos divisores da linha de cima, visto que se considerarmos todos os
divisores descobertos, iremos obter valores repetidos, já que este
fator é igual ao fator da linha anterior: 2 . 2 = 4
Pegamos o 3º fator, que é 3, e o multiplicamos por cada um
dos divisores já obtidos:
3.1=3
3 . 2 = 6
3 . 4 = 12
Pegamos o 4º fator, que é 103, e o multiplicamos por cada um
dos divisores que já descobrimos:
103 . 1 = 103
103 . 2 = 206
87
103 . 4 = 412
103 . 3 = 309
103 . 6 = 618
103 . 12 = 1236
Portanto os 12 divisores de 1236 são: 1, 2, 3, 4, 6, 12, 103, 206,
309, 412, 618, 1236 ⇒ D(1236) = {1, 2, 3, 4, 6, 12, 103, 206, 309, 412,
618, 1236}
Agora que você já conhece os procedimentos para encontrar
quantos e quais são os divisores de um número natural, vamos fazer
de uma forma mais rápida:
Quais e quantos são os divisores de 360?
D(360) = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 8; 9; 10; 12; 15; 18; 20; 24; 30; 36; 40;
45; 60; 72; 90; 120; 180; 360}. Total de divisores de 360: 24 divisores.
88
Agora é sua vez de praticar! Quantos e quais são os divisores de 50,
2356, 45868, 254?
Para conferir se você acertou ou não, você pode depois de aplicar
o método anterior, conferir esses resultados utilizando uma calcu-
ladora dos divisores de um número natural disponível na internet.
Máximo divisor comum (mdc)
Dado dois ou mais números, denomina-se Máximo Divisor Comum
(MDC) desses números o maior desses divisores.
Vamos encontrar o MDC (12, 36, 18):
D(12)={1, 2, 3, 4, 6, 12}
D(36)= {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 }
D(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}
Divisores comuns= 1, 2, 3, 6
Maior divisor comum 12, 36 e 18
MDC(12, 36, 18) = 6
Vamos ver agora o Máximo Divisor Comum de 18 e 24.
MDC(18,24)=?
• D+(18) = {1,2,3,6,9,18}
• D+(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24}
• Então o MDC(18,24)= 6
Vamos conhecer mais um método: Qual o MDC(12,36,18)?
Primeiro escrevemos os números lado a lado separado por
vírgula.
PRATICANDO
89
Dividimos todos os números da primeira linha por um primo
que seja divisor de todos. Se a divisão for realizada, devemos conti-
nuar dividindo por um primo divisor de todos até não ser mais pos-
sível encontrar um primo que seja divisor de todos, ou seja, não há
um primo que seja divisor de 2, 6 e 3 ao mesmo tempo. Já temos o
MDC, basta fazer o produto dos primos que foram divisores de to-
dos: 2x3=6
Outro método é fatorar separadamente os números 12,36 e
18:
Em seguida, escolher os fatores comuns de menor expoente:
MDC(12,36,18)= 2.3 = 6
Observe agora o que acontece com o MDC dos números 10 e 11:
Não há primo divisor comum! Então o MDC(10, 11) = 1
Números que tenham como MDC= 1, são chamados de núme-
ros primos entre si!
90
Diz-se que dois números são primos entre si quando o seu único
divisor comum é a unidade. Para que 2 números sejam primos entre
si não é necessário que sejam primos Ex.: 27 e 25 são primos en-
tre si, mas nenhum deles é primo. No entanto, se dois números são
primos, também são primos entre si. Exemplo: 3 e 7 são primos e,
portanto, primos entre si. Dois números consecutivos são sempre
primos entre si já que, se tivessem um divisor comum diferente da
unidade, este divisor também deveria ser divisor da diferença en-
tre ambos os números. Mas, como a diferença entre dois números
consecutivos é 1, esse divisor comum deveria ser divisor de 1, o que
é impossível.
Vamos agora resolver alguns problemas matemáticos envolvendo
MDC.
1) João tem uma folha de cartolina retangular com 48 cm de largura
e 36 de altura. Ele pretende dividir a folha em quadrados iguais que
tenham o maior comprimento possível do lado. Quanto deve medir
o lado de cada um desses quadrados?
Para resolver essa questão precisamos aplicar a regra do MDC dos
números 48 e 36.
Vamos utilizar o método da decomposição
GUARDE ESTA IDEIA
EXEMPLO PRÁTICO
91
48 = 24.3 36= 22.32
Pela regra devemos escolher os fatores comuns de menor expoente,
neste caso, 22 . 3= 12, logo o MDC(48,36)= 12. O lado de cada qua-
drado deve ter 12 cm.
2) Todos os alunos do ensino fundamental anos finais de uma escola
pública da rede municipal de ensino participarão de uma gincana.
Para essa competição, cada equipe será formada por alunos de um
mesmo ano com o mesmo número de participantes. Veja na tabela a
distribuição de alunos por ano:
Ano Número de estudantes
6º 120
7º 100
8º 140
9º 200
Agora, responda às seguintes perguntas:
a. Qual é o número máximo de alunos por equipe?
b. Quantas equipes serão formadas ao todo?
Esse problema matemático pode ser respondido meu(minha) ca-
ro(a) aluno(a) utilizando o MDC dos números de estudantes de cada
turma.
Vamos lá decompor os números!
Pela regra devemos escolher os fatores comuns de menor expoente:
22. 5=20.
MDC(120,100,140,200)=20.
92
Resposta da letra a:
Então, o número máximo será de 20 estudantes por equipe, ou seja,
MDC(120,100,140,200)=20.
Resposta da letra b:
Serão formadas (120 ÷ 20) = 6 equipes dos 6º anos; (100 ÷ 20) = 5
equipes dos 7º anos, (140 ÷ 20) = 7 equipes dos 8º anos e (200 ÷ 20)
=10 equipes dos 9º anos.
Total: 6 + 5 + 7 + 10 = 28 equipes.
Você pode pesquisar sobre outro método para se calcular o MDC en-
tre dois números, esse método é chamado de divisões sucessivas.
Mínimo multiplo comum (mmc)
O menor dos múltiplos comuns (excluído o zero) de dois ou mais
números chama-se mínimo múltiplo comum (mmc).
Observe os conjuntos a seguir dos múltiplos de 2 e 4:
M(2)= {0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,...}
M(4)={0,4,8,12,16,20,24,...}
Obtemos os múltiplos comuns fazendo a interseção entre os
conjuntos:
M(2) ∩ M(4) = {0,4,8,12,16}.
Excluindo o zero, conforme enunciado, o menor múltiplo comum
é o 4. Então, o mínimo múltiplo comum de 2 e 4 é 4. Indicamos por
mmc (2,4) = 4.
Vamos agora observar um exemplo prático:
SAIBA MAIS
93
Em um trecho de 72 quilômetros de uma rodovia, a partir do quilô-
metro zero, foram colocados, a cada intervalo de 3 quilômetros, um
telefone de emergência e, a cada intervalo de 8 quilômetros, uma
torre com câmera de monitoração. Em que quilômetros dessa rodo-
via foram colocados, simultaneamente, telefone e câmera?
Os telefones foram colocados nos quilômetros 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18,
21,24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69 e 72.
Os números 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48,
51, 54, 57, 60, 63, 66, 69 e 72 são múltiplos de 3.
As câmeras serão colocadas nos quilômetros 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48,
56, 64 e 72.
Os números 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 e 72 são múltiplos de 8.
Observe que há telefone e também câmera nos quilômetros 0, 24,
48 e 72. Os números 0, 24, 48 e 72 são os múltiplos comuns de 3 e
de 8 menores ou iguais a 72. Logo, 24 é o menor número diferente
de zero que é múltiplo comum de 3 e de 8. Esse número é o mínimo
múltiplo comum (mmc) de 3 e de 8, que indicamos assim: mmc (3,
8) = 24.
Assim, nesse trecho da rodovia, a cada intervalo de 24 quilômetros
foram instalados, simultaneamente, um telefone de emergência e
uma câmera de monitoração.
Podemos obter o mmc de dois ou mais números naturais conhecen-
do seus múltiplos, como na situação acima.
O mmc é dado pelo produto dos fatores primos comuns e pelos fa-
tores primos não comuns de maior expoente: Logo, o mmc (80,36)
= 24.32.5 = 720
94
Outra forma de resolver o mmc de dois ou mais números pode ser da
seguinte maneira:
mmc(10,12,16):
Primeiro escrevemos os números um ao lado do outro separados por
vírgula, depois, traçamos uma linha vertical, em seguida, dividimos
os números pelo menor primo, não precisa, necessariamente, ser
um primo comum de todos como no mdc, seguidamente, vamos di-
vidindo até chegarmos ao resultado 1, conforme modelo abaixo:
Nesse caso, o mmc (10,12,16) = 240.
Problema matemático envolvendo o mmc
Maria comprou quatro luminárias a energia solar para o jardim de
sua casa que acendem ao mesmo tempo em um determinado mo-
mento. Sabendo que uma delas acende de 12 em 12 segundos, a outra
de 18 em 18 segundos, a terceira de 20 em 20 segundos e a quarta de
45 em 45 segundos, quanto tempo depois as 4 luminárias voltam
acender ao mesmo tempo?
Fatorando o número 12 temos:
EXEMPLO
95
Logo: 12 = 22.3
Fatorando o número 18 temos:
Logo: 18 = 2.32
Fatorando o número 20 temos:
Logo: 20 = 22.5
Fatorando o número 45 temos:
Logo: 45 = 32.5
Levando-se em conta os fatores comuns e não comuns, com
os maiores expoentes temos que:
MMC(12, 18, 20, 45) = 22.32.5 = 180. Portanto, as luminárias
voltam a acender ao mesmo tempo 180 segundos depois.
96
Com relação aos números inteiros
Caro(a) estudante, no conjunto dos números inteiros você precisa
levar em conta os números negativos quando verificar os múltiplos
e divisores de um número. Vamos observar algumas definições re-
lacionadas a esse conjunto:
Sejam a e b dois números inteiros. Dizemos que b é divisor de
a, (ou b divide a), se existe um número k inteiro, tal que:
◼ a = k.b;
◼ Dizemos que 5 é divisor (ou divide) 15 pois existe um k inteiro
tal que:
◼ 15 = k.5;
◼ Neste caso k = 3.
Indicaremos D(n), todos os divisores inteiros dos números
n, mas precisas prestar atenção no sinal, caso após o “D” que in-
dica divisores de um número, ou seja, conjunto de divisores de um
número vier um símbolo de +, apenas deverá ser levado em conta
os divisores positivos, caso vier o sinal -, deve ser levado em con-
ta apenas os valores negativos, mas quanto nenhum sinal vier logo
após a letra D, em Z, deve ser levado os divisores positivos e nega-
tivos de um número.
• D(6) = { -6,-3,-2,-1,1,2,3,6};
• D+(24) = {1,2,3,4,6,8,12,24};
• D-(8) = {-8, -4, -2, -1}.
Múltiplos de um número inteiro:
◼ Sejam a e b dois números inteiros. Dizemos que a é múltiplo de
b, se existe um número k inteiro, tal que:
◼ a = k.b;
◼ Dizemos que 15 é múltiplo de 3 pois existe um k inteiro tal que:
97
◼ 15 = k.3;
◼ Neste caso k = 5.
Indicaremos M(n), todos os múltiplos inteiros do número n.
◼ M(3) = { ...,-15,-12,-9,-6,-3,0,3,6,9,12,15,...};
◼ M+(2) = {0,2,4,6,8,10,12,14,16,...};
◼ M*+(2) = {2,4,6,8,10,12,14,16,...}.
No que diz respeito aos números primos em Z:
Um número p ∈ Z (conjunto dos números inteiros) é chamado nú-
mero primo se:
◼ I: p ≠ 0
◼ II: p ≠ ± 1
◼ II: os únicos divisores de p são 1,-1, p, -p.
◼ 13 é primo;
◼ Pois, D(13) = {-13,-1,1,13} , n[D(13)] = 4;
◼ “a” é composto, se e somente se, o número de divisores de a,
ou seja, n[D(a)], for maior que 4;
◼ 6 é composto;
◼ Pois, D(6) = {-6,-3,-2,-1,1,2,3,6}, n[D(6)] > 4 (número de di-
visores de 6 é maior que 4).
Equação linear
Chamamos de equações lineares as equações de 1º grau que apre-
sentam a forma:
a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn=b, onde:
a1,a2,a3, ..., an são coeficientes;
98
x1,x2,x3,...,xn são incógnitas ou variáveis;
b é o termo independente da equação.
Vamos aos exemplos:
x+2y = 4;
1 e 2 são coeficientes das incógnitas;
x e y, respectivamente;
4 é o termo independente;
Mais exemplos de equações lineares:
i) 4x+3y−2z=0
ii) 2x−3y+0z−w=-3
Caro(a) estudante,
Quando você verificar que uma equação linear apresenta
o termo independente igual a zero, alegamos que se trata de uma
equação linear homogênea, conforme exemplo i) acima.
Solução de uma equação linear
Dada uma equação linear com “n” incógnitas: a1x1+a2x2+a3x3+⋯+anxn=b,
temos que sua solução é a sequência de números reais (k1, k2, k3, k4, ..., kn)
que colocados correspondentemente no lugar de x1, x2, x3, x4, ..., xn, tornam
verdadeira a igualdade.
Quando a equação linear for homogênea, então ela admitirá
pelo menos a solução (0, 0, ..., 0), chamada de solução trivial.
Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação
2x+3y−2z=14?
Substituindo x=5, y=6, z=7 temos que:
2(5)+3(6)−2(7)=14, logo, a sequência (5,6,7) é uma solução
da equação acima.
99
Sentenças: verdadeiras e falsas; abertas e
fechadas
Uma sentença matemática pode ser verdadeira ou falsa:
20+10=30 3.10= 30 (são sentenças verdadeiras)
12+5= 19 2.6=13 (são sentenças falsas)
As sentenças também podem ser abertas e fechadas:
i) x+8=20 (a variável é x)
ii) x+y=12 (as variáveis são x e y)
As sentenças acima são chamadas de sentenças abertas por-
que possuem elementos desconhecidos. Sendo x e y variáveis ou in-
cógnitas, ou seja, elementos desconhecidos.
i) 32+5= 40
ii) 25+3=28
As sentenças acima são denominadas de fechadas são aque-
las que não possuem variáveis ou incógnitas. i) é uma sentença falsa
e ii) uma sentença verdadeira.
Precisamos ainda recordar o conjunto universo e o conjunto
verdade:
Observe a sentença aberta a seguir:
X é o conjunto dos meses do ano que começa com a letra A.
O conjunto universo será:
U= {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, junho, julho, agos-
to, setembro, outubro, novembro, dezembro}.
Já o conjunto verdade está relacionado ao que diz na sentença:
Conjunto verdade: V= {agosto}.
Agora vejamos mais um exemplo:
Observe a sentença aberta: w+12=36
Conjunto universo: U = N={0,1,2,3,4,5...}
100
O conjunto universo representado pela letra “U” indica em
uma sentença aberta o conjunto de todos os calores que a variável
pode assumir.
Agora vamos compreender o conjunto verdade da sentença
aberta w+12=36:
Conjunto Verdade: V = {24}. O conjunto dos valores da variá-
vel para os quais a sentença é verdadeira, é chamado de conjunto
verdade.
Em linhas gerais denominamos de equações as sentenças
matemáticas abertas que apresentam um sinal de igualdade.
Exemplos:
2z + 4= 0 é uma equação, e a incógnita é z;
5+3+2=5+5 não é uma equação, pois não possui incógnitas;
Agora, caro(a) aluna(a), observe a equação abaixo:
2z-1=z+7
A expressão a esquerda da igualdade é chamada de primeiro
membro, enquanto a da direita é denominada de segundo membro.
No caso da equação anterior, cada membro é formado por
uma soma de termos:
Os termos do primeiro membro são: 2z-1
Os termos do segundo membro são: z+7
Uma equação é de 1º grau se o maior expoente da incógnita
for igual a 1;
2y+10=36 é uma equação do primeiro grau pois o expoente da
incógnita y=1;
15x2+4=10x não é uma equação do primeiro grau porque o
maior expoente da incógnita x é diferente de1;
Quando falamos em resolver uma equação, nos referimos a
determinar seu conjunto verdade. A solução de uma equação é de-
nominada de raiz da equação.
h+5= 25
101
V={20}, então a raiz da equação é 20.
2x+4=18
V={7}, portanto, a raiz da equação é 7.
Caso a equação não possua uma raiz, dizemos que o conjunto
verdade é vazio, indicamos então V= Ø
Resolução de uma equação do 1º grau em Q (conjunto dos
números racionais)
O processo de resolução de uma equação é bem simples,
meu(minha) caro(a) estudante, está baseado nas propriedades da
igualdade como exemplificado a seguir:
Podemos somar ou subtrair um mesmo número aos dois
membros da igualdade, obtendo uma sequência equivalente:
Exemplo 1:
z - 8=16 ⇒
z – 8 + 8=16+8
z= 24
Então, V= {24}.
Nesse exemplo somamos 8 aos dois membros.
Para ficar mais fácil, existe um outro método que é baseado
nessa propriedade:
Para passar um termo de uma equação de um membro para o
outro, troca-se o sinal desse termo.
Exemplo 2:
y+12=54
y=54-12
y=42
Então, V= {42}.
Agora, estimado estudante, quando você verificar o seguinte
caso:
102
18 = z+6, você pode resolver utilizando a propriedade
simétrica:
Se 18 = z + 6 então z + 6 = 18, resolvendo temos:
z = 18-6
z= 12
Portanto: V= {12}.
A segunda propriedade: podemos multiplicar ou dividir am-
bos os membros da igualdade por um número que seja diferente de
zero, obtendo assim, uma sequência equivalente.
Exemplo 3:
Portanto, V = {12}.
Exemplo 4:
103
Quando você observar o seguinte caso:
- y = 8 (o que interessa nessa situação é o valor de y e não -y,
então, devemos multiplicar os dois membros da equação por -1.
Ficando então:
-y.(-1) = 8.(-1)
y= - 8
Outra situação que pode aparecer quando você se deparar
com equações são as formas:
i) 4x-8=3x+6 ii) 5x+9=2x+12
Nesse caso você deve isolar no primeiro membro os termos
em x, ou seja, os termos com as incógnitas e, no segundo membro,
os termos que não apresentam o x. Não esqueça de mudar os sinais
dos termos que mudam de um membro para o outro. Reduza os ter-
mos semelhantes e divida ambos os membros pelo coeficiente de x.
i) 4x-8=3x+6 4x-3x=6+8 ⇒ x=14, então V= {14};
ii) 3x+9=2x+12⇒ 3x-2x=12-9 ⇒ x=3, então, V= {3}.
Equações que apresentam denominadores:
Primeiramente, devemos reduzir ao mesmo denominador,
para isso, será preciso fazer o mmc (4,8) = 8. Tendo encontrado o
valor do mmc basta dividi-lo pelo denominador da fração (cada ter-
mo) e, seguidamente, multiplicar pelo numerador.
GUARDE ESTA IDEIA
104
Então, a equação ficará:
Em seguida, deve-se eliminar os denominadores e continuar
a resolução da equação: 2x+x=96 ⇒ 3x=96 ⇒x=96/3= 32. Então, V=
{32}.
Vamos agora resolver algumas situações-problema que en-
volvem equações do 1º grau, mas antes, para ajudá-lo(a) a resolver
tais situações, será preciso relembrar você meu(minha) cara(o) alu-
no(a) de algumas expressões:
Um número x
O dobro de um número 2x
O triplo de um número 3x
O quadruplo de um número di-
minuído de 12
4x-12
Um número somado com seu
dobro
x+2x
O dobro de um número ao
quadrado
2x2
O dobro da terça parte de um
número
2x/3
A soma de três números iguais x+x+x
O produto de três números
iguais
x.x.x
Agora, vamos resolver as situações problemas utilizando al-
gumas dessas expressões.
i) Um número somado com seu triplo é igual 36. Qual é esse
número?
Um número: x
Somado com seu triplo: x+3x
É igual a 36: x+3x=36
Resolução da equação:
105
x+3x=36
4x=36
x=36/4
x=9
ii) A idade de um avô é o quádruplo da idade do seu neto. Calcule
essa idade sabendo que juntos eles têm 80 anos.
Resolução:
x+4x=80
5x=80
x=80/5
x= 16
A idade do avô é 64 anos e a do neto é 16 anos.
Você ainda pode encontrar a seguinte situação:
A soma de dois números consecutivos é 65. Quais são esses
números?
Resposta:
Um número: x
Número consecutivos: x+1
Equação: a soma de dois números consecutivos é 65:
x+(x+1)=65
Resolvendo a equação temos:
x+(x+1)=65
x+x+1=65
x+x=65-1
2x=64
x=64/2
x=32
106
Inequações do 1º grau com uma variável
Inequação é toda sentença aberta expressa por uma desigualdade.
As inequações x + 8 > 64 e 3x – 12 ≤ x + 72 são do 1º grau, isto
é, aquelas em que a variável x aparece com expoente 1.
A expressão à esquerda do sinal de desigualdade é chamada
de primeiro membro da inequação. Já a expressão à direita do sinal
de desigualdade chama-se segundo membro da inequação.
Na inequação x + 8 > 64 temos:
x é a variável;
x+8 é o primeiro membro;
64 é o segundo membro.
Na inequação 3x – 12 ≤ x + 72 temos:
x é a variável;
3x-12 é o primeiro membro;
x + 72 é o segundo membro.
Resolver uma inequação, meu(minha) caro(a) estudante, é
determinar os valores que tornam o seu conjunto verdade num dado
conjunto universo(U).
Vamos resolver as inequações abaixo para você compreender
melhor!
Sendo U=Z, a solução de
i) x 9 é {10,11,12,13,14,15, ...}
Exemplo utilizando a reta numérica:
107
iii) Resolver a inequação x e > têm mesmo sentido
Os sinais > e têm sentidos opostos
Vamos conhecer a diferença entre uma equação e uma ine-
quação por meio dos exemplos a seguir:
Meu(minha) caro(a) estudante, vamos resolver uma inequa-
ção sendo U=Q:
4x + 5 > 6x +12
4x-6x > 12-5
-2x > 7 . (-1) Multiplicando ambos os membros por -1, que
é negativo, o sentido da desigualdade de inverte, conforme orien-
tamos você anteriormente.
2xao final de mais um objeto de aprendizagem.
Nele, exploramos vários conteúdos matemáticos da educação básica
que são pertinentes para sua formação profissional.
Agora é com você!
Faça revisão de tudo que foi discutido, reserve um tempinho do seu
dia para buscar mais materiais relacionados aos conteúdos deste
objeto de aprendizagem. Recomendo que você assista aos vídeos in-
dicados nas seções, realize as leituras complementares que foram
selecionadas pelo autor deste material. Não esqueça que matemática
se aprende praticando! Você pode realizar essa prática respondendo
as atividades que constam no seu ambiente virtual de aprendizagem
na unidade 2.
Não esqueça de assistir as aulas das webconferências para com-
plementar o que está descrito neste objeto de aprendizagem 2. O
momento das aulas ao vivo oferece condições a você, meu(minha)
estimado(a) estudante, entrar em contato diretamente com o pro-
fessor para tirar as dúvidas que vão surgindo ao passo que você vai
estudando este material.
Na próxima unidade vamos rever mais conteúdos matemáticos
como potenciação, radiciação, proporcionalidade (razão, propor-
ção, regra de três simples e composta), porcentagem, juros simples
e composto, a ideia intuitiva de função, função afim e quadrática,
sequências, progressão aritmética e geométrica.
Nos encontraremos em breve. Foco, força e fé. Até lá!
SINTETIZANDO
UN
ID
AD
E
3
Objetivos
1. Resolver e elaborar problemas usando a relação entre poten-
ciação e radiciação.
2. Compreender e resolver situações do cotidiano que envolvam
proporcionalidade (razão, proporção, regra de três simples e
composta).
3. Compreender e resolver situações problema envolvendo por-
centagem, juros simples e composto incluindo o uso de tec-
nologias digitais.
4. Aplicar as ferramentas básicas de matemática para solução
de problemas envolvendo a noção intuitiva de função, função
afim e quadrática.
5. Compreender, elaborar e resolver situações problemas que
envolvam sequências, progressão aritmética e geométrica.
112
Introdução
Olá, estudante! Seja bem-vindo(a) a mais uma unidade da discipli-
na de Matemática Instrumental. Neste Objeto de Aprendizagem 3
você vai estudar os seguintes conteúdos matemáticos: potenciação,
radiciação, proporcionalidade (razão, proporção, regra de três
simples e composta), porcentagem, juros simples e composto,
ideia intuitiva de função, função afim e quadrática, sequências,
progressão aritmética e geométrica. Grande parte dos conteúdos
desta unidade são utilizados no cotidiano nas mais diversas áreas de
atuação profissional sendo relevantes para resolver diferentes tipos
de problemas matemáticos.
O mundo que conhecemos atualmente é um mundo digital,
da realidade virtual e aumentada, acessível, disponível e domina-
do pelo poder do toque, conectado na palma da mão por meio de
smartphones, tablets e laptops. Cada vez que apertamos um botão
ou estabelecemos uma conexão, cada vez que realizamos uma tran-
sação on-line, como por exemplo, quando efetuamos um pagamento
de um boleto via celular utilizando aplicativos de bancos digitais ou
mesmo enviamos um “Pix”, um universo de números e equações
se combinam para trazer todas as facilidades ao alcance das nossas
mãos. Na maioria das vezes as pessoas não percebem que tudo isso
é possível por conta da matemática. A Matemática é de extrema re-
levância para a vida de todos. Suas descobertas foram muito impor-
tantes para o crescimento e desenvolvimento da humanidade.
113
Potenciação
Podemos dizer que a matemática possui seis operações básicas,
são elas: a adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação
e radiciação.
A potenciação, foco deste objeto de aprendizagem 3, repre-
senta uma multiplicação de fatores iguais. A exponenciação, ou po-
tenciação, é uma operação matemática, escrita como an, que envolve
dois números: a base “a” e o expoente n. Vamos conhecer agora uma
definição para essa operação matemática.
Utilizando números para exemplificar os elementos dessa
operação temos:
Seja a um número real e n um número natural, n ≠ 0. A expressão an,
denominada potência, representa o produto de n fatores iguais ao
número a.
an= a . a . a . a ... a (n fatores iguais a “a”)
6³
6 é a BASE (indica o fator que se repete)
3 é o EXPOENTE (indica o número de vezes que o fato se
repete)
No caso acima lemos da seguinte maneira: seis elevado a ter-
ceira potência ou ainda seis elevado ao cubo. Resolvendo temos:
63= 6.6.6 = 216 (resultado do produto).
Exemplo 1:
Expoente
Potência
Base
EXEMPLO
114
Nesse caso temos “um quinto elevado ao cubo” cujo resultado é
e será denominado “potência”.
Alguns expoentes têm nomes específicos: a2 costuma ser lido como
“a” elevado ao quadrado, a3 como “a” elevado ao cubo, a4 como
“a” elevado à quarta potência, a5 como “a” elevado a quinta po-
tência e assim por diante.
Exemplo 2:
5² = 5∙5 = 25
4³ = 4∙4∙4 = 64
(-4)⁴ = (-4)∙(-4)∙(-4)∙(-4) = + 256
Nessa última potência, você deve atentar para os jogos dos sinais.
Para ficar mais fácil basta lembrar que quando um número não po-
sitivo estiver dentro de parênteses e elevado ao expoente par, o re-
sultado será um número positivo, mas quando o expoente for ímpar
o resultado será sempre negativo.
Exemplo 3:
(-5)2 = (-5)∙(-5)= +25
(-5)3 = (-5)∙(-5)∙(-5) = -25
Perceba caro estudante, que esta notação facilita a escrita, simplifica
a comunicação e a representação numérica.
Vamos verificar agora algumas observações sobre potenciação:
A potência de expoente 1 é igual à base:
451 = 45
5689361 = 568936
DICA
115
100000000001 = 10000000000
Toda potência de 1 é igual ao próprio 1:
123 = 1
120000000000 = 1
Potência de expoente inteiro
Se a é um número real não nulo (a ≠ 0) e n um número inteiro, po-
demos ter expoentes negativos. Nestes casos usamos as seguintes
propriedades para calcular a potência:
Propriedades da potência
Produto de potência de mesma base
am∙an = am+n
* Conservamos a base e somamos
os expoentes
Exemplos:
5²∙5³=5²+³=55
45∙48=45+8=4¹³
Divisão de potência de mesma base
am : an = am-n
(a ≠ 0)
Conservamos a base e subtraímos
os expoentes
47:45=47-5=4²; 11³:11=113-1=11²
116
Potência de potência
(am)n = am∙n
Conservamos a base e multiplica-
mos os expoentes
(35)7 = 35∙7 = 335; (102)3 = 10 2∙3 = 106
Potência de um produto
(a∙b)n=an∙bn
Eleva-se cada fator a um expoente
dado.
(8∙4)7 = 87∙47
Potência de um quociente
Elevam-se o numerador e o deno-
minador ao expoente dado
Todo número elevado a zero é igual a 1:
12350 = 1
10 = 1
Atenção! Essa regra não é válida para todos os números! É válida
apenas para números diferentes de 0, já que 00 ocasiona uma inde-
terminação (o resultado não pode ser determinado), ou seja, zero
elevado a zero não possui um valor que se imponha naturalmente,
o que nos leva a considerá-lo como uma expressão indeterminada.
Para saber um pouco mais sobre isso você pode ler a dissertação de
mestrado do autor Carlos Silva (2020): A expressão zero elevado a
zero.
DICA
117
Potência com expoente racional
Sendo a um número real positivo e um número racional, com n
inteiro positivo, podemos definir:
Vale ressaltar que as potências com expoente racional pos-
suem as mesmas propriedades operatórias que as potências com
expoente inteiro.
Veja um exemplo de como podemos fazer para calcular 54/3
Radiciação
A radiciação é a operação inversa da potenciação em que, dado o va-
lor da potência e do expoente, deseja-se conhecer a base.
Qual é o número que elevado ao quadrado resulta em 100?
Simbolicamente temos:
a2 = 100
Por meio de cálculos simples chegamos à conclusão de que a nesse
caso é o número 10.
Para responder cálculos similares a esse, foi criada a operação radi-
ciação e o operador raiz.
EXEMPLO
118
Vamos agora conhecer então uma definição:
Seja a um número real e n um número natural não nulo. Então: se a≥0, a
raiz n-enésima de a é o número real positivo que elevado a n resulta em a.
Para representaressa operação, usa-se a notação:
Podemos ler então a notação acima como: raiz n-ésima de a,
em que a é denominado radicando e n, índice.
Vamos relembrar como são denominados os seguintes
elementos:
• n → Índice do radical
• √ → Sinal do radical
• a → Radicando
• b → raiz
Quando o índice é o numeral 2, usualmente, não se escreve.
Veja os exemplos a seguir:
Os exemplos a seguir apresentam mais alguns índices
diferentes:
119
Vale ressaltar meu(minha) caro(a) estudante que quando o
índice do radical for par, ou seja quando n for par, todo número real
positivo tem duas raízes. Observe o exemplo a seguir:
(-8)2 = 64
(8)2 = 64
Como resultado de uma operação deve ser único, convencio-
nou-se que a raiz de índice par sempre retorna o valor não negativo.
Se n for ímpar cada número real tem apenas uma única raiz.
Exemplo:
Não existe raiz real de um número negativo se o índice do radical
for par.
Exemplo:
= nenhum número real, pois não há nenhum número real que
elevado ao quadrado (?)2 resulte -49.
Destacamos ainda que essa operação não está definida para índices
que não sejam naturais. Por exemplo: não está definida.
Vamos agora estudar as propriedades da radiciação. Você
deve observar meu caro(a) estudante que, como toda raiz pode ser
escrita na forma de potência, as propriedades a seguir são equiva-
lentes às da potenciação.
DICA
120
1. Para multiplicarmos (ou dividirmos) radicais de mesmo
índice, devemos multiplicar (dividir) os radicandos e man-
ter o índice.
Exemplo:
2. Para efetuarmos a radiciação de radicais, multiplicam-se os
índices e mantém-se o radicando.
Exemplo:
3. A potência de um radical é obtida elevando-se o radicando
ao expoente indicado e conservando-se o índice.
Exemplo:
(
ou
Fonte: Adaptado de Pereira (2016) pelo Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
121
Racionalização
É a operação que transforma uma fração com raiz no denominador
em sua equivalente sem raiz no denominador (PEREIRA, 2016).
Exemplo:
Como podemos escrever essa fração de forma que não tenha
mais raiz no denominador?
A resposta é bem simples e está baseada na aplicação das pro-
priedades já explicitadas. Vamos escrever então a fração sem o de-
nominador na forma de raiz:
Caro estudante, observe que, quando multiplicamos o nume-
rador e o denominador da fração original por √3 obtemos uma fra-
ção equivalente à original, isto é, não alteramos o número.
Você pode estar se perguntando, mas porque o fator √3 foi
escolhido?
Essa escolha é justificativa pelo fato de a operação permitir
que o expoente do radicando fique igual ao índice e, portanto, possa
ser simplificado.
Razão e proporção
A palavra razão vem do latim ratio e significa “divisão”. Podemos
representar uma razão por meio de uma fração: .
Definição:
Dados dois números a e b, com b ≠ 0, a razão entre a e b re-
presenta-se por:
ou a:b e lê-se razão de a para b.
122
Vamos conhecer agora os termos de uma razão:
Um coral de certa igreja matriz é formado por 42 componentes, di-
vididos em 18 rapazes e 24 moças. A razão entre o número de ra-
pazes e o número de moças é , o que significa que para “cada
3 rapazes há 4 moças”. Por outro lado, a razão entre o número de
rapazes e o total de componentes é dada por , o que equivale a
dizer que “de cada 7 componentes do coral, 3 são rapazes”.
Valer ressaltar que em uma razão é muito importante verifi-
car a ordem pela qual estão referidas as duas grandezas.
Proporção
Definição:
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Vamos
estudar agora os termos de uma proporção:
lê-se "a está para b assim como c está para d"...
... onde a, b, c e d são os termos da proporção:
a e d são extremos e b e c são os meios.
Termos
Antecedente Consequente
Termos
Antecedente
Consequente
EXEMPLO
123
A ilustração a seguir vai ajudá-lo a identificar melhor os ter-
mos da proporção:
Vamos agora verificar um exemplo envolvendo números:
Na proporção (lê-se: “5 está para 2 assim como 25
está para 10”), os números 5 e 10 são chamados extremos, e os nú-
meros 2 e 25 são chamados meios. Você pode observar caro(a) es-
tudante que o produto 5×10=50 é igual ao produto 2×25=50, o que
caracteriza a propriedade fundamental das proporções:“Numa pro-
porção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos”.
Essa propriedade possibilita reconhecer quando duas razões
formam ou não uma proporção.
Vamos aos exemplos:
É proporção
Não é proporção
Situação problema envolvendo a propriedade supracitada:
Uma grande empresa do ramo de energia tem atualmente 28.000 funcio-
nários. Se a relação entre o número de efetivos e de terceirizados é de 5
por 2, qual é o total de funcionários terceirizados?
Nesse exemplo, temos, a princípio, duas variáveis: o número de funcio-
nários efetivos e o número de terceirizados, e sabe-se que estes totalizam
28000.
Extremo
ExtremoMeio
Meio
Extremo
ExtremoMeio
Meio
124
Nº de efetivos: x
Nº de terceirizados: 28000 – x
Além disso, o enunciado informa que a razão entre o número de efetivos e
de terceirizados é de 5 por 2, isto é,
Aplicando a propriedade 1, obtemos:
Devemos ter atenção neste momento. Foi perguntado o total de terceiri-
zados que, na nossa representação, não corresponde a x, mas a 28000 – x.
Assim,
Total de terceirizados: 28000 – 20000 = 8000
Fonte: Pereira (2016, p. 1540)
A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o pri-
meiro termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está
para o terceiro termo, isto é:
A soma (diferença) dos dois primeiros termos está para o se-
gundo termo, assim como a soma (diferença) dos dois últimos está
para o quarto termo, isto é:
A soma (diferença) dos antecedentes está para a soma (dife-
rença) dos consequentes, assim como cada antecedente está para o
seu consequente, isto é:
125
Grandezas Diretamente Proporcionais
Duas grandezas são diretamente proporcionais quando, aumen-
tando uma delas, a outra também aumenta na mesma proporção,
ou, diminuindo uma delas, a outra também diminui na mesma pro-
porção. Se duas grandezas A e B são diretamente proporcionais, os
números que expressam essas grandezas variam na mesma razão,
isto é, existe uma constante K tal que (SODRÉ, 2010):
:
Vamos fazer um exemplo para você compreender melhor o
que é uma grandeza diretamente proporcional.
Em média, um automóvel percorre 80 km em 1 hora, 160 km em 2
horas e 240 km em 3 horas. (km=quilômetro, h=hora). Construímos
uma tabela da situação:
Distância Tempo
80Km 1h
160 Km 2h
240 Km 3h
Quando duplica o tempo, duplica, a distância percorrida também é
duplicada, e quando o tempo é triplicado, a distância também é tri-
plicada, ou seja, quando o tempo aumenta, a distância percorrida
também aumenta na mesma proporção.
Observações: Usando razões e proporções, podemos descrever essa
situação de outro modo.
EXEMPLO
126
1. Se o tempo aumenta de 1 h para 2 h, a distância percorrida varia de
80 km para 160 km, ou seja, o tempo varia na razão de enquanto a
distância percorrida varia na razão . Assim temos que tais razões
são iguais:
2. Se o tempo varia de 2 h para 3 h, a distância percorrida varia de
160 km para 240 km. Nesse caso, o tempo varia na razão e a dis-
tância percorrida na razão e observamos que essas razões são
iguais, isto é:
Fonte: SODRÉ (2010, p. 4)
Grandezas Inversamente Proporcionais
Duas grandezas são inversamente proporcionais se, aumentando
uma delas, a outra diminui na mesma proporção, ou, diminuindo
uma delas, a outra aumenta na mesma proporção. Se duas grande-
zas A e B são inversamente proporcionais, os números que expres-
sam essas grandezas variam na razão inversa, isto é, existe uma
constante K tal que: A.B = K ou ainda A=K/Y
Para encher um tanque são necessários 30 baldes de 6 litros
cada um. Se forem usados baldes de 3 litros cada, quantos baldes de
água serão necessários para encher o tanque?
Vamos analisar como resolver essa situação!
Quantidade
de Baldes
Quantidadede Litros
×2
30 6
÷2
60 3
127
De acordo com a tabela, a quantidade de baldes necessários
e a quantidade de litros, são grandezas que variam sendo que uma
depende da outra e estas se relacionam da seguinte forma:
Se o número de baldes dobra, o número de litros cai pela
metade, ou seja, utilizaremos 60 baldes, pois se a capacidade de
baldes diminui, o número de baldes aumenta no intuito de encher
o tanque.
Sob estas condições, as duas grandezas envolvidas (quanti-
dade de baldes e quantidade de litros) são grandezas inversamente
proporcionais.
Regra de Três Simples Direta
Para você compreender como resolver problemas por meio de uma
regra de três, é necessário rever a seção anterior, que diz respeito às
grandezas inversa e diretamente proporcionais. Uma regra de três
simples direta é uma forma de relacionar grandezas diretamente
proporcionais.
De acordo com Sodré (2010), para resolver problemas, to-
maremos duas grandezas diretamente proporcionais X e Y e outras
duas grandezas W e Z também diretamente proporcionais, de forma
que tenham a mesma constante de proporcionalidade K.
Ou ainda:
128
Renata trabalhou 30 horas extras e recebeu 1.500 reais. Quantas
horas extras teria de trabalhar para receber 3.000 reais?
Essa situação-problema envolve duas grandezas: o valor, em reais,
recebido pelas horas adicionais, e o tempo trabalhado em regime de
hora extra.
Essas grandezas são diretamente proporcionais: aumentando o
tempo trabalhado, aumenta-se o valor recebido.
Montando a regra de três, temos:
Reais Horas Extras
1500 30
3000 X
Para resolver, basta realizar a multiplicação de forma cruzada, con-
forme a primeira propriedade da proporcionalidade.
1500 ∙ x = 3000 ∙ 30
1500x = 90000
X = 90000/1500
X = 60
Portanto, Renata teria que trabalhar 60 horas extras para receber
R$ 3.000,00
Regra de Três Simples Indireta
Uma regra de três simples inversa é uma forma de relacionar gran-
dezas inversamente proporcionais para obter uma proporção. Na re-
solução de problemas, consideremos duas grandezas inversamente
proporcionais A e B e outras duas grandezas também inversamente
EXEMPLO
129
proporcionais C e D de forma que tenham a mesma constante de
proporcionalidade K (SODRÉ, 2010).
A∙B = C∙D
Então:
Com a proximidade das férias escolares de verão, Mônica resolveu
comprar uma pequena piscina portátil plástica com capacidade para
600l. Uma mangueira enche a piscina em 40 minutos, com uma va-
zão de 15 l/min. Se a torneira diminuir a vazão para 5 l/min., quantos
minutos serão necessários para encher a piscina?
Fonte: PEREIRA (2016).
Você deve observar que nessa situação-problema há duas
grandezas envolvidas: o tempo total necessário para encher a pis-
cina (em minutos) e a vazão da torneira (em l/min.). Note que, à
medida que a vazão diminuir, o tempo irá aumentar na mesma pro-
porção. Logo, essas grandezas são inversamente proporcionais.
Para resolver essa situação vamos utilizar um raciocínio aná-
logo ao anterior.
Tempo em minutos Vazão (1/min)
40 15
x 5
Para resolver esse exemplo, devemos inverter uma das razões
da proporção. Assim:
EXEMPLO
130
Depois disso, aplicaremos a 1ª propriedade das proporções:
5 ∙ x = 40 ∙ 15
x= 120
Portanto, o tempo total será de 120 minutos ou 2h.¹
Regra de Três Composta
Regra de três composta é um processo de relacionamento de gran-
dezas diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou
uma mistura destas grandezas. O método funcional para resolver
um problema dessa ordem é montar uma tabela com duas linhas,
sendo que a primeira linha indica as grandezas relativas à primeira
situação enquanto a segunda linha indica os valores conhecidos da
segunda situação (SODRÉ, 2010).
Com base no material desenvolvido por Cabral (2013, p.333),
podemos elencar quatro passos importantes para a resolução de
uma regra de três composta, são eles:
1. organizar as grandezas semelhantes em colunas, denotando o
significado de cada uma delas.
2. verificar se as demais grandezas, em relação à grandeza em
que se encontra a variável “x”, são diretamente ou inversa-
mente proporcionais às mesmas.
3. simplificar, se possível, os valores das grandezas que se en-
contram em uma mesma coluna, ambos por um mesmo valor.
4. utilizar qualquer método resolutivo.
1Este exemplo, caro estudante, foi extraído do livro Matemática para Con-
tabilidade I - Volume Único, desenvolvido por Pereira; Chaves (2016)� Nele
você encontrará outros exemplos e listas de atividades sobre regra de três
envolvendo grandezas inversamente proporcionais
131
Um operário, trabalhando 2h por dia consegue produzir 50 chinelos
em 3 dias. Quantas horas deveria trabalhar para produzir 100 chine-
los em 4 dias?
1. Vamos organizar as grandezas em colunas denotando cada
uma delas:
Horas Chinelos Dias
2h 50 3
x 100 4
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3
Caro(a) estudante, é preciso:
• organizar as grandezas colocando um “x” ou outra letra para
a grandeza que está sendo solicitada na situação problema.
• verificar se as demais grandezas, em relação à grandeza em
que se encontra a variável “x”, são direta ou inversamente
proporcionais às mesmas.
2. Comparando o grupo 1 com o grupo 2 do quadro acima temos
que:
Se em 2h um operário produz 50 chinelos
X → 100
chinelos
Portanto, se em 2h um operário produz 50 chinelos, para produzir
mais chinelos, serão necessárias mais horas. Nesse caso as grande-
zas serão diretamente proporcionais.
3. Comparando o grupo 1 com o grupo 3
2 h — 3 dias
X — 4 dias
EXEMPLO
132
Ora, se trabalhando 2 horas um operário leva 3 dias. Trabalhando
mais dias, menos horas o operário vai precisar. Nesse sentido, as
grandezas serão inversamente proporcionais e será preciso inverter
a posição dos dias, assim, teremos a seguinte resolução:
Logo, o operário deveria trabalhar três horas para produzir 100 chi-
nelos em 4 dias.
Porcentagem
Leia o seguinte texto:
Comportamento dos preços dos produtos da cesta em 2022
Entre dezembro de 2021 e 2022, o leite integral variou entre 22,11%,
em Porto Alegre, e 40,66%, em Recife. O volume de leite no campo
foi menor por causa dos altos custos de produção e do clima desfa-
vorável, que provocou seca intensa no segundo trimestre e início do
terceiro, atrapalhando as pastagens. Em contrapartida, as indústrias de
laticínios tiveram que pagar mais pela matéria-prima, o que elevou
os preços no varejo. A manteiga também teve alta em todas as ci-
dades, com destaque para João Pessoa (35,47%), Goiânia (30,85%),
Brasília (29,15%) e Recife (29,06%). Além dos motivos internos,
redução da oferta e clima desfavorável, o fato de parte da manteiga
consumida no Brasil ser importada também influenciou a alta de
preços do produto, por causa do real desvalorizado em relação ao
dólar.
Fonte: https://www.dieese.org.br/analisecestabasica/2022/202212cestabasica.pdf
133
É muito comum observarmos em várias matérias de jornais,
revistas, telejornais, entre outros meios de comunicação, expres-
sões matemáticas relacionadas à porcentagem. No texto acima, que
trata sobre o aumento dos preços dos produtos da cesta em 2022,
podemos identificar os seguintes percentuais: (22,11%), (40,66%),
(35,47%), (30,85%), (29,15%) (29,06%). Todos esses números po-
dem ser expressos por meio de uma razão denominada de porcenta-
gem, ou seja, toda razão centesimal a/b, na qual b=100, é uma taxa
de porcentagem, porcentagem ou ainda, percentagem.
O termo por cento provém do Latim per centum e significa
por cem.
1. Relatos históricos datam que o surgimento dos cálculos per-
centuais aconteceu por volta do século I a.C., na cidade de
Roma.
2. A intensificação do comércio por volta do século XV criou si-
tuações de grande movimentação comercial.
3. A crescente utilização da porcentagem no comércio e as suas
inúmeras formas de escrita representacional originaram o
símbolo que conhecemos hoje, %.
Vamos compreender melhor o que isso significa!
A sapataria CALCE BEM SEUS PÉS valoriza bem seus funcionários,ela
tem a prática de premiar todo mês seus melhores funcionários, dis-
tribuindo prêmios de 20% (lê-se vinte por cento) a mais no salário
dos melhores funcionários.
Você sabe o que significa meu(minha) caro(a) estudante um au-
mento de 20% no salário?
Receber esse prêmio de 20% a mais significa dizer que para cada
R$100,00 do salário do melhor funcionário receberá R$20,00 a mais.
EXEMPLO
134
Poderíamos dizer ainda que esse prêmio está numa razão de 20 por
100, ou simplesmente , que é igual a 0,20.
Como você pôde observar no exemplo anterior, a taxa que
representa o prêmio oferecido pela empresa foi expressa de três
formas diferentes:
1. Percentual, 20% (vinte por cento), como o próprio nome já
diz;
2. Fracionária, temos que 20% correspondem a ;
3. E, na forma decimal, temos que 30% equivalem a 0,30.
Suponhamos que você foi contratado pela sapataria CALCE
BEM SEUS PÉS com um salário inicial de R$ 2.000,00 como você cal-
cularia o prêmio que irá receber no próximo mês?
Vejamos o seguinte: para cada R$ 100,00 do seu salário você
receberá R$ 20,00 a mais, certo? Como R$ 2.000,00 é igual a R$
100,00 multiplicados por 20, basta agora multiplicar os R$ 20,00
por 20. Assim, 20% de R$ 2.000,00 (lê-se vinte por cento de R$
2.000,00) é igual a R$ 400,00. Portanto, você receberá um prêmio
de R$ 400,00 por ter sido o melhor funcionário do mês.
De outra forma mais direta você poderia ainda realizar o se-
guinte procedimento:
Para obter 20% de R$ 2000,00 basta aplicar a seguinte
fórmula:
20% de 2000 = 2000 ∙ = 400, logo, o funcionário
receberá 400,00 reais a mais no salário, ficando com 2400,00 reais.
Assim, podemos concluir que: porcentagem é o valor obtido
quando aplicamos uma fração de denominador 100 (fração cen-
tesimal) a um determinado valor, ou seja, multiplicamos a fração
centesimal por esse valor.
135
Há algumas situações-problema que envolvem porcentagens
com aumento e desconto. Há uma forma de calcular esses proble-
mas utilizando a seguinte expressão: (Vi ∙ i = Vf), sendo:
Vi = VALOR INICIAL
Vf = VALOR FINAL
i = Taxa Percentual (%)
Vf = Vi.(1+i) se for aumento ou Vf = Vi.(1-i) se for desconto
Uma camisa de malha custa R$ 30,00. Se ela sofre um aumento de
20%, quanto custará?
Aplicando a fórmula, temos:
Solução: Vf = Vi.(1+i) ⇒ Vf = 30 . (1+ 0,2) ⇒ 30.(1,2) = 36. Logo, a
camisa passará a custar 36,00 reais.
Problemas com desconto
Vf = Vi.(1-i) ⇒ se for desconto
Vf: Valor final;
Vi:Valor inicial;
I:Taxa Percentual.
Certo boné custa R$ 50,00. A loja anunciou um desconto de 30%
para pagamento à vista. Quanto passará a custar esse boné com o
desconto?
Solução: O preço da mercadoria antes do desconto é de R$ 50,00
(valor inicial); a taxa de desconto é de 30%. Aplicando a fórmula
temos:
Solução: Vf = Vi.(1-i) ⇒ Vf = 50 . ( 1- 0,3) ⇒ 50.(0,7) = 35
A mercadoria passará a custar R$ 35,00
EXEMPLO
136
Juros simples
Quando um banco empresta um capital a uma pessoa (física ou ju-
rídica), essa pessoa deve pagar de volta a quantia emprestada mais
uma quantia que é denominada de juros.
Chamamos de juros simples a remuneração de um capital
(C) aplicado a uma taxa (i), por um período determinado (t). O total
pago no final do empréstimo, que corresponde ao capital mais os
juros, é denominado montante.
Para calcular os juros simples j de um capital C, durante t pe-
ríodos com a taxa de i% ao período, basta usar a fórmula:
Vale ressaltar que a taxa de juros indica o valor dos juros a ser
pago em uma unidade de tempo, e será expresso em porcentagem
do capital.
A taxa de juros de 2% a.d. significa que o valor dos juros é
igual a 2% do capital por dia;
A taxa de juros de 40% a.m. significa que o valor dos juros é
igual a 40% do capital, por mês.
Para ampliar sua fazenda certo fazendeiro tomou emprestado do
Banco “Receba Mais” um capital de R$ 35000,00 colocado a taxa
de 1% a.m. durante 1 ano e 2 meses. Qual valor o fazendeiro deverá
pagar de volta ao banco ao final desse período?
Dados:
Juros (j): ?
Capital(C):3500,00
Taxa (i): (1%) a.m.
Tempo (t) =1 ano 2 meses=14 meses.
EXEMPLO
137
Aplicando a fórmula temos:
J= 35000.0,01.14
J=4900
Basta agora somar:
35000+4900= 39900
O fazendeiro ao final dos 14 meses terá pagado R$39900,00 ao
banco.
No caso acima, conforme explicado, o que o fazendeiro terá que
pagar ao banco é chamado de montante, a fórmula para calcular o
montante é: M= C+j.
M= montante
C= capital
J= juros
Vamos conhecer agora os juros compostos!
Juros Compostos
Na seção anterior apresentamos a você caro(a) estudante o que são
juros e como funciona a capitalização simples. Nela os juros são
calculados somente em cima do capital inicial, certo? E, no final do
período, somam-se todos os rendimentos ao capital, obtendo-se
apenas um montante. Já na capitalização composta, essa história
vai ficar um pouco diferente.
Nos juros compostos, a base de cálculo será sempre o mon-
tante e não mais apenas o capital sozinho, isto é, a cada nova ca-
pitalização (geração do juro) a taxa de juros será multiplicada pelo
somatório do capital com o juro anterior (montante).²
2 Esse trecho foi adaptado do material E-tec Brasil, disponível em:
138
Um capital de R$ 2000,00 foi aplicado a uma taxa de 1% a.m. duran-
te 5 meses. Calcular o montante:
Período Capital Taxa Juros Montante
1 2000,00 0,01 20 2.020,00
2 2020,00 0,01 20,20 2040,20
3 2040,20 0,01 20,40 2060,20
4 2060,20 0,01 20,60 2080,80
5 2080,80 0,01 20,80 2101,60
1º período: M1=C+Ci=C(1+i)
2º período: M2=M1+M1∙i
Logo: C(1+i)+C(1+i)∙i
C(1+i)∙(1+i)=C(1+i)²
3º período: M3=M2+M2∙i=C(1+i)³
4º período: M4=M3+M3∙i=C(1+i)⁴
5º período: M5=M4+M4∙i=C(1+i)5
Nesse caso o montante no final de n períodos pode ser calculado por
meio da fórmula:
M= C(1+i)n
Onde M = montante, C = capital inicial, i = taxa de juros e n = número
de períodos (pode também ser representado pela letra “t”).
E os juros obtidos no final de “n” períodos serão dados por:
J= M-C
J= C(1+i)n - C
J= C[(1+i)n -1]
EXEMPLO
139
Observem que agora o número de períodos que representamos
por (n) é um expoente (nos juros simples só havia multiplicações),
mostrando que os juros sobre juros terão uma forma exponencial no
longo prazo. Na fórmula de juros (simples ou compostos), as uni-
dades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem
de ser necessariamente iguais. Este é um detalhe importantíssimo,
que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao
mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 36
meses (3×12 = 36 meses). (JÚNIOR MEDEIROS, 2012, p. 66)
Carlos, dono do Armazém de Construção Compre e Reforme,
para realizar o sonho de comprar um carro que pudesse levar os
produtos do seu estabelecimento até as casas dos clientes, solicitou
um empréstimo de R$ 30000,00, que serão pagos em 36 meses, a
uma taxa de 2% ao mês de juros compostos. Qual será o montante
pago por Carlos ao final do prazo de financiamento?
Resolução:
Estudante, primeiramente você deve identificar os dados de que
precisa para calcular o montante:
C = R$ 30.000,00
i = 2% = 2/100 = 0,02 ao mês
t (n)= 36 meses
M = ?
Depois de identificar os dados, basta aplicar a fórmula:
M = C∙ (1+i)n
M = 30.000 (1 + 0,02) ³6
M = 30.000 (1,02) ³6
M = 30.000 ∙ (2,039)
M = 61170
EXEMPLO
140
Portanto, o montante que será pago por Carlos é de R$ 61.170,00
Agora, vamos calcular os juros compostos de um capital de R$
6000,00 aplicado por 5 meses, a uma taxa 6% a.a.
Para isso, precisamos usar a fórmula: J= C[(1+i)n -1]
Solução:
Dados:
J=?
C= R$ 6000,00
N=5 meses
i=6% a.a=0.06/12=0,005 a.m.
Aplicando a fórmula temos:
J= C[(1+i)n -1]
J= 6000∙[(1+0,005)5 -1]
J= 6000∙[(1,005)5 -1]
J=6000[1,025-1]
J=6000∙0,025
J= 151,50
A ideia intuitiva de Função
A ideia de função está presente quando relacionamos duas grande-
zas variáveis:
O valor a pagar da conta de luz estárelacionado ao consu-
mo da energia elétrica (em função do consumo), o mesmo acontece
com a conta de água, de telefone e até mesmo com o gás de cozinha
encanado. O valor do pão que compramos em algumas padarias de-
pende do peso (massa) do pão. Até mesmo quando pedimos 1kg de
carne ou 500g no balcão de determinado açougue, o valor a pagar
vai depender do peso (massa) da carne.
141
Podemos dizer então que Funções são objetos matemáticos
que nos permitem obter informações de como a variação de uma
grandeza influencia na variação de outra. Por isso, elas são ferra-
mentas essenciais para a análise e tomada de decisão em diversas
situações do nosso dia a dia. São úteis para o estudo do crescimento
populacional, disseminação de doenças, lançamento de fogue-
tes e satélites, interpretação de exames médicos, etc. (ANTUNES;
CAMBRAINHA, 2022). Para você compreender melhor como as
grandezas se relacionam em determinadas situações, observe o
exemplo a seguir.
Número de litros de gasolina e preço a pagar:
Número de Litros (l) Preço a pagar (R$)
1 6,00
2 12,00
3 18,00
4 24,00
Fonte: adaptado de Folha de Pernambuco (2023) pelo Editorial Grupo Ser Educacional
(2023)
O preço a pagar vai depender do número de litros comprados, ou
seja, “Preço a pagar= R$ 6,00 vezes o número de litros comprados”.
EXEMPLO
142
A máquina de função:
Observe o que está acontecendo com a máquina de função a
seguir.
Figura 1 – Representação de uma máquina de função
Fonte: desenvolvido pelo autor (2023) na MACHINES, adaptado pelo Editorial Grupo
Ser Educacional (2023).
143
Você descobriu o que a máquina está fazendo? Pois bem, cada
vez que digitamos um valor na opção INPUT e clicamos em ACTIVA-
TE um determinado valor sai da máquina. Acredito que você perce-
beu que essa máquina está somando 3 a cada valor que entra nela
e dando como resultado o valor dessa soma. Em outras, palavras
podemos dizer que os números que saem são dados em função dos
números que entram na máquina, ou seja, os números que saem de-
pendem dos números que entram. Assim, a variável dependente é o
número de saída e a variável independente é o número de entrada.
Neste caso, temos:
O número de saída (n) é igual a 3 mais o número de entrada
(x) ou ainda n= x+3 → regra da função ou lei da função ou, ainda,
fórmula matemática da função.
Vamos agora organizar as duas relações apresentadas usando
a nomenclatura de conjuntos:
Número de litros de gasolina e preço a pagar:
Observe, caro (a) estudante que:
• Todos os elementos de A têm um correspondente em B;
• Cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.
Neste caso, temos uma função de A em B, expressa pela fór-
mula y=6x, ou seja, “Preço a pagar= R$ 6,00 vezes o número de li-
tros comprados”.
1
2
3
4
6,00
12,00
18,00
24,00
A B
144
A máquina de função:
Agora, observe a seguinte representação:
• Todos os elementos de A têm correspondente em B;
• Cada elemento de A corresponde a um único elemento de B.
Neste caso, temos uma função de A em B, expressa pela
fórmula y=x+3.
Nas duas relações apresentadas, cada elemento de um con-
junto A está associado a um único elemento de um conjunto B. Uma
relação com essas propriedades é chamada função.
Vamos conhecer a definição
Dizemos que uma relação f entre os elementos de dois conjuntos não
vazios, A e B, é uma função de A em B se cada elemento do conjunto
A estiver relacionado a um único elemento do conjunto B.
Assim, para cada x ∈ A deve existir um único elemento y ∈ B
que está associado a x pela função f. Esse elemento y, chamado ima-
gem de x, é também denotado por f(x) (lê-se f de x). Assim, simbo-
licamente, escrevemos:
1
2
3
4
5
6
4
5
6
7
8
9
A B
DEFINIÇÃO
145
Fonte: adaptado de Antunes e Cambrainha (2022) pelo Editorial Grupo Ser
Educacional (2023)
No diagrama de Venn, que apresenta as relações que você
meu(minha) caro(a) estudante, pode acompanhar anteriormente,
temos que: o conjunto A é chamado domínio da função f, o conjunto
B é chamado contradomínio de f e o subconjunto de B formado pelas
imagens de todos os elementos de A é chamado conjunto imagem
da função f.
Em uma função f de A em B, a dependência estabelecida entre as va-
riáveis x ∈ A e y ∈ B permite que y seja identificada como “variável
dependente” e x como “variável independente”, uma vez que os va-
lores assumidos por y são determinados em função da variação de x
no domínio.A definição de uma função f de A em B exige que a cada
elemento x ∈ A corresponda uma imagem y = f(x) ∈ B e que não haja
ambiguidade na determinação dessa imagem, ou seja, que ela seja
única. Assim, nem toda relação de A em B é uma função. Por exem-
plo, a relação que associa a cada pessoa o número de seu telefone não
é função, pois a imagem pode não ser única, ou seja, há ambiguida-
de: algumas pessoas têm mais de um número de telefone, mas nem
todas as pessoas têm telefone.
Fonte: Antunes e Cambrainha (2022, p. 6)
Gráfico da função
Você sabia que podemos representar as duas relações apresentadas
no início desta seção por meio de um gráfico?
A representação gráfica é dada a partir de pares ordenados,
por meio de uma relação representada em um sistema de plano car-
tesiano ortogonal conforme. O conjunto A é o conjunto de partida e
Nome da função
Elemento do domínioImagem de x
146
seus elementos são denominados de abscissas. Já o conjun-
to B é o conjunto de chegada e os elementos são conhecidos como
ordenada. O par ordenado é formado por um elemento do conjunto
A que se relaciona nas situações apresentadas com um elemento do
conjunto B.
Podemos dizer ainda que x é o eixo das abscissas e y o eixo
das ordenadas conforme ilustração a seguir:
Com relação às representações por meio de gráficos, a rela-
ção do número de litros de gasolina e preço a pagar fica da seguinte
forma: pares ordenados:
A×B={(1, 6), (2, 12), (3, 18), (4, 24)}
1
-1-2-3-4 1 2 3 4
-4
2
-3
3
-2
4
y
x
-1 Abscissas
Ordenadas
147
Gráfico 1 - Relação do número de litros de gasolina e preço a pagar
No que diz respeito à máquina de função temos o seguinte
gráfico:
pares ordenados: A×B={(1,4), (2,5), (3,6), (4,7), (5,8), (6,9)}
Gráfico 2 – Os pares da Máquina de função presentes no diagrama
Fonte: Adaptado do Plotador Matemático MAFA pelo autor (2023)
Essa função também pode ser representada por meio de uma
tabela conforme imagem a seguir: f(x) = x+3
x F(x)
1 4
2 5
3 6
4 7
5 8
6 9
148
Função Afim
Você sabia meu(minha) caro(a) estudante que a Função Afim tam-
bém chamada de Função do 1º Grau está presente em diversas
situações do nosso cotidiano.
Vejamos um exemplo:
Uma loja de celulares contrata vendedores com as seguintes
condições: um valor fixo mensal de R$ 1 500,00 mais 5% sobre as
vendas efetuadas.
Com esses dados lhe apresentarei uma fórmula que forne-
ça o salário no final de cada mês. Lembre-se que 5%=0,05. Vamos
chamar o total do salário de y. Se o vendedor conseguir vender
R$ 5000,00 em um mês receberá:
y= 1500+0,05∙5000= 1500+250=1750,00 reais.
Vamos construir uma tabela para compreender melhor essa
situação:
Salário fixo (y) venda % Total
1500 5000 5 1750
1500 7000 5 1850
1500 10000 5 2000
1500 20000 5 2500
1500 25000 5 2750
1500 28000 5 2900
De maneira geral, se o vendedor vender x, temos que:
y=1500+0,05x
A referida fórmula expressa uma função do 1º grau. A repre-
sentação gráfica de uma função desse tipo será sempre uma reta:
149
Gráfico 3 – Representação de uma função afim
Fonte: Adaptado do site Geogebra pelo autor (2023)
Agora, vamos conhecer a definição.
Chama-se função do 1º grau, a função f: R → R definida por y=ax + b,
sendo a e b números reais e a ≠ 0.
“a” é o coeficiente angular da reta que determina sua inclinação e
“b” é o coeficiente linear da reta e determina a interseção da reta
com o eixo Oy.
Caro estudante, a função do 1º grau pode ser classificada de
acordo com sua representação gráfica. Considere sempre a forma
genérica: y=ax + b.
1. Função� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 117
Potência de expoente inteiro � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �119
Propriedades da potência � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �119
Potência com expoente racional � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 121
Radiciação � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 121
Racionalização � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 125
Razão e proporção � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 125
Proporção � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 126
Grandezas Diretamente Proporcionais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 129
Grandezas Inversamente Proporcionais � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 130
Regra de Três Simples Direta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 131
Regra de Três Simples Indireta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 132
Regra de Três Composta � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 134
Porcentagem � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 136
Juros simples � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 140
Juros Compostos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 141
A ideia intuitiva de Função� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 144
Gráfico da função � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 149
Função Afim � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 152
Raiz ou Zero da Função do 1º Grau � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �154
Função Quadrática � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 155
Gráfico da função quadrática � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 156
Raízes ou zeros da função quadrática � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 159
Vértice da parábola � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 160
Domínio e imagem da função quadrática � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �161
Variação do sinal da função quadrática � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 164
Sequências � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �166
Lei de formação de uma sequência � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 167
Progressão aritmética � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 168
Progressão geométrica � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 170
Unidade 4
O que é Estatística? � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �176
Conceitos fundamentais e definições � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 177
Variáveis Estatísticas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �180
Fases do Método Estatístico � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 181
Tabelas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 183
Distribuição de Frequência � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 187
Tabela Primitiva � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 187
Frequência Simples ou Absoluta e Frequência Relativa � � � � � � � � �189
Gráficos Estatísticos � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 190
Gráfico de Colunas � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �191
Histograma de frequência � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 196
Gráficos de linha poligonal� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 197
Gráficos de barras � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 200
Medidas de Tendência Central � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �201
Apresentação
Estimado(a) estudante, seja bem-vindo(a) a mais uma importan-
te disciplina que será de grande aprendizado para seu desenvolvi-
mento intelectual e acadêmico. Nela, buscamos explorar diferentes
conceitos matemáticos que serão relevantes para sua formação en-
quanto futuro(a) professor(a). Você terá a oportunidade também de
rever vários conteúdos da matemática básica que lhes darão alicer-
ces para o seu desenvolvimento profissional.
Além disso, você terá um novo desafio, mas estamos juntos
e sempre à disposição para ajudá-lo(a) na construção do conheci-
mento matemático. Os tutores também estão sempre disponíveis
para tirar as dúvidas de conteúdos em parceria com o(a) profes-
sor(a) desta disciplina. Por isso, sempre que tiver alguma dúvida,
não hesite em perguntar.
Agora, vou me apresentar para nos conhecermos melhor!
Autoria
Anderson Douglas Pereira Rodrigues da Silva.
Me chamo Anderson Rodrigues, sou formado em licenciatura em
Matemática e Pedagogia. Tenho especialização em Ensino de Ma-
temática, Metodologias em EAD e Libras. Realizei meu Mestrado e
Doutorado na área de Educação Matemática e Tecnológica na Uni-
versidade Federal de Pernambuco. Atuo há mais de 12 anos no ensi-
no superior nas modalidades presencial e EAD. Sou pesquisador na
área de Grandezas e Medidas, Geometria, Tecnologias no Ensino da
Matemática, Ensino de Matemática para alunos com surdez, além
de possuir práticas com o uso de recursos para o ensino e aprendi-
zagem da matemática.
Currículo Lattes
UN
ID
AD
E
1
Objetivos
1. Construir significados para os números naturais.
2. Conhecer e compreender o conjunto dos números naturais,
inteiros, racionais, irracionais e reais.
3. Analisar situações-problema envolvendo os números natu-
rais, inteiros, racionais, irracionais, sabendo validar estra-
tégias e resultados, desenvolvendo formas de raciocínio e
processos utilizando conceitos e procedimentos matemáti-
cos, bem como instrumentos tecnológicos disponíveis.
4. Conceber as ideias e significados das operações matemáticas
como aspectos essenciais para o desenvolvimento de seus al-
goritmos e para a resolução de situações-problema;
12
Introdução
A matemática faz parte da nossa vida, sem ela seria impossível so-
lucionar diversas situações que surgem em nosso cotidiano, como,
por exemplo, passar um troco após vender um certo produto, saber
quanto custou os itens comprados no supermercado, comparar qual
loja está vendendo o produto mais barato, realizar leituras de nu-
merais que estão em nossa volta, localizar um estabelecimento ou
uma rua que está à esquerda ou à direita (lateralidade) a partir de
um ponto de referência, ler gráficos e tabelas em jornais, revistas
ou em telejornais e entender o que está sendo veiculado por esses
meios não seria possível sem os conceitos básicos da matemática.
Embora as situações descritas anteriormente pareçam simples para
alguns indivíduos, elas requerem o domínio de conceitos matemá-
ticos que se não forem explorados durante o processo de escolarida-
de poderão acarretar várias consequências na formação do cidadão
crítico e reflexivo que atuará nos mais diversos setores da sociedade.
Por isso, pretendemos, com este objeto de aprendizagem,
ajudá-lo(a) a construir conhecimentosconstante: se a =0, então y=b, b ∈ R. dessa maneira,
y=5 é uma função constante, porque, para qualquer valor de x,
o valor de y ou f(x) será sempre 5.
DEFINIÇÃO
150
1. Função identidade: se a=1 e b=0, então y=x. Nessa função x e
y têm sempre os mesmos valores.
A reta y=x é denominada bissetriz dos quadrantes ímpares.
Todavia, se a=-1 e b=0, então temos que y= -x.
A reta determinada por essa função é a bissetriz dos qua-
drantes pares.
x e y têm valores iguais em módulo, porém com sinais
contrários.
2. Função linear: é a função do 1º grau quando b=0, a≠0 e a≠1,
sendo a e b∈R.
3. Função afim: é a função do 1º grau quando a≠0, b≠0, a e b∈R.
Mais exemplos:
y= 5x+3
Raiz ou Zero da Função do 1º Grau
Dada a função do 1º grau y = ax + b, chama-se raiz ou zero da
função, o valor de x para o qual ax+ b = 0, ou seja, o valor de x que
anula a função. Então, para determinarmos a raiz ou o zero da
função, fazemos y = 0 e resolvemos a equação.
y= 4x-8 ⇒ 4x-8=0 ⇒ 4x=8 ⇒ x=8/4 ⇒ x=2
Observe que:
Em y = 4x – 8, y = 0 e x = 2, o ponto (2, 0) é a intersecção da reta com
o eixo x.
Veja o gráfico a seguir:
EXEMPLO
151
Gráfico 4 – Raiz ou zero da função do 1º grau
Fonte: Adaptado do Plotador Matemático MAFA pelo autor (2023)
Função Quadrática
Se você gosta de esportes, provavelmente deve se lembrar do saque
“Jornada nas Estrelas”, neste saque, o jogador dá um impulso de
baixo para cima, fazendo com que a bola atinja uma altura de cerca
de 15 metros, caindo diretamente no campo adversário. A trajetória
percorrida pela bola é uma curva denominada parábola. Algebrica-
mente essa curva representa uma função do segundo 2º grau que
também é denominada de função quadrática (VIVEIRO; CORRÊA,
1996).
152
Denomina-se função do 2º grau ou função polinomial do 2º grau ou
ainda função quadrática de domínio R e contradomínio R, a função
f(x) = ax2+bx+c, onde a, b e c são números reais e a≠0.
1. a é o coeficiente de x2
2. b é o coeficiente de x
3. e c é o termo independente.
Gráfico da função quadrática
O gráfico de uma função polinomial do 2º grau, f(x)=ax2+bx+c, com
a ≠0 é uma curva chamada parábola. Essa parábola tem o eixo de si-
metria perpendicular ao eixo Ox e sua concavidade é definida pelo
sinal do termo dominante a: se a>0, ela é voltada para o sentido po-
sitivo do eixo Oy; e se a0 → concavidade da parábola voltada para cima
a0) ⇒ a parábola "corta" o eixo x em dois pontos.
Fonte: Silva e Fernandes (2007, p. 53-54)
Observação: a letra grega Δ (delta) é chamada de discrimi-
nante da equação. Ela terá um valor numérico que será necessário
para extrair a raiz quadrada. Neste caso, precisamos considerar três
situações:
1. Se Δ (delta) for um número negativo (Δ0) teremos duas raízes reais distintas:
Vértice da parábola
Caro estudante, observe os gráficos a seguir que representam a
função quadrática y=ax²+bx+c.
Notamos que a parábola é simétrica em relação à reta r, chamada eixo
de simetria da parábola. A intersecção do eixo de simetria e a parábola (o
ponto V) chama-se vértice da parábola.
As coordenadas do vértice são:
Então:
Fonte: Silva e Fernandes (2007, p. 53-54)
157
Calcule as coordenadas do vértice das parábolas que representam as
seguintes funções:
a) y=x2-6x+5 a=1, b=-6 e c=5, então ∆=(-6)2-4∙1∙5=16
b) y=-x2+2x-2 a=-1, b=2 e c=-2, então ∆=(2)2-4∙(-1)∙(-2)=-4
Fonte: Silva e Fernandes (2007, p. 55)
Domínio e imagem da função quadrática
O domínio da função quadrática é dado por R, já que, para quaisquer
valores reais, sempre será possível encontrar um correspondente
em R.
Para definir o conjunto imagem, será necessário observar,
mais uma vez, o esboço dos gráficos da função quadrática ax²+bx+
c, (a≠0). Você pode notar que:
1. se a>0, a função assume um valor mínimo em seu vértice V,
cuja ordenada é dada por .
Que pode ser representado da seguinte
forma:
EXEMPLO
Fonte: adaptado de Pereira (2016, p. 267) pelo Editorial
Grupo Ser Educacional (2023)
158
1. se a 0)
(se a0), negativa (f(x)podemos esboçar o gráfico de
uma função quadrática e fazer o estudo de sinais, como verificado a
seguir (BONJORNO; GIOVANNI JÚNIOR; SOUSA, 2020):
Figura 3 – Variação dos sinais na função quadrática
∆
Zero da
Função
a>0
(Concavidade para
cima)
a0
2 zeros (a
função corta
o eixo Ox em
dois pontos)
xx2 → f(x) tem
sinal de a
x10, e Δ>0, temos dois zeros e concavidade para cima.
Logo, podemos representar da seguinte maneira:
f(x)=0→x=-½ ou x=1
f(x)>0→(-∞, -½[∪]1, ∞)
f(x)para
sua formação profissional. A maioria deles, como porcentagens e
juros e funções fazem parte do nosso cotidiano, isto é, nós utiliza-
mos esses conhecimentos para solucionar problemas matemáticos
práticos do dia a dia.
Na próxima aula vamos estudar uma importante área da matemática
que é a estatística.
Aguardo você no objeto de aprendizagem 4!
SINTETIZANDO
UN
ID
AD
E
4
Objetivos
1. Definir estatística e seus tipos;
2. Reconhecer os processos relacionados ao estudo da população
na estatística;
3. Diferenciar e determinar as variáveis quantitativas e
qualitativas;
4. Compreender as fazes do método estatístico;
5. Conhecer a diferença entre quadro e tabela e entender os ele-
mentos constituintes de uma tabela;
6. Conhecer os tipos de frequência absoluta e relativa;
7. Conhecer e identificar os tipos de gráficos mais comuns;
8. Interpretar e comparar os valores colocados nos gráficos;
9. Conhecer as medidas de tendência central mais usuais na área
da educação.
Introdução
Olá, estudante!
Seja bem-vindo(a) a mais uma unidade da disciplina de Ma-
temática Instrumental. Nela, você vai estudar uma ramificação da
matemática que se intensificou nas últimas décadas, sendo foco de
muitos estudiosos e especialistas nas mais diversas áreas do conhe-
cimento, como por exemplo, na economia, educação, cultura, saúde,
meio ambiente, política, entre outras. Ela tem como objetivo central
o estudo dos processos de obtenção, coleta, organização, apresen-
tação, descrição, análise e interpretação de dados numéricos variá-
veis, referentes a qualquer fenômeno, tanto sobre uma população
ou coleção, quanto sobre um conjunto de seres para a utilização dos
mesmos na tomada de decisões.
Você já descobriu que ramo da matemática é esse?
Tenho certeza que sim!
Este ramo da matemática é a estatística que está presente,
explícita ou implicitamente, em vários aspectos da nossa vida, im-
pactando nossa tomada de decisão.
Caro estudante, você sabia que nosso país é um dos países
mais populosos do mundo? Ele possui mais de 210 milhões de ha-
bitantes. Em 2021, a população foi estimada em 212,7 milhões de
pessoas! Para se ter uma ideia, somos quatro vezes maiores que a
população da Argentina e três vezes maiores que a população da
França.
E que em 2021, 48,9% dos brasileiros eram homens e 51,1%
eram mulheres. Entre as pessoas com até 24 anos de idade, os ho-
mens são a maioria. No grupo de 25 a 29 anos, a proporção de ho-
mens e mulheres era similar. A partir dos 30 anos, as mulheres são
mais numerosas do que eles. Acima dos 60 anos, essa diferença
cresce ainda mais.
Sabia também que, no Brasil, existem mais de 45 milhões de
pessoas com alguma dificuldade para ver, ouvir, se movimentar ou
171
algum tipo de deficiência intelectual? Muitas dessas pessoas (12,5
milhões) possuem grande ou total dificuldade com essas habilida-
des, e são consideradas pessoas com deficiência.
Mas como chegamos a esses dados?
A resposta é: pela estatística, a qual tornou-se uma podero-
sa ferramenta para a compreensão, análise e previsão de inúmeras
situações da vida. Mas nem sempre os dados virão da forma apre-
sentada aqui na introdução, será necessário que você saiba como ler
tabelas, gráficos e interpretar as informações veiculadas por esses
meios, pois, constantemente, somos surpreendidos nos telejornais,
nas revistas, nas propagandas de tv com diferentes tipos de gráfi-
cos que, na maioria das vezes, apresetam resultados de pesquisas
estatísticas, trazendo respostas aos vários questiomanentos que
permeiam a sociedade, bem como, é pertinente, saber como inter-
pretá-los para uma tomada de decisão coerente.
Neste objeto de aprendizagem 4, vamos ajudá-lo a com-
preender o que é uma pesquisa estatística, as fases do método
estatístico, explicaremos a diferença entre quadro e tabela, expli-
citaremos os elementos que devem constar na tabela, além disso,
apresentaremos a você, caro(a) estudante, os diferentes tipos de
gráficos e como podem ser interpretados, por fim, traremos algu-
mas definições importante voltadas à área da estatística.
Vamos conhecer agora os objetivos desta unidade 4!
172
O que é Estatística?
Caro(a) estudante, conforme explicitamos na introdução deste ma-
terial, o significado da palavra Estatística, enquanto ciência, re-
fere-se ao conjunto de ferramentas para obter, resumir e extrair
informações relevantes de dados; encontrar e avaliar padrões mos-
trados pelos mesmos; planejar levantamentos de dados ou delinear
experimentos e comunicar resultados de pesquisas quantitativas.
Sua importância reside no auxílio ao processo de pesquisa, a qual
permeia todas as áreas do conhecimento que lidam com observa-
ções empíricas. Assim, podemos dizer que a Estatística é a ciência do
significado e uso dos dados (CAZORLA, et al., 2017).
A etimologia da palavra estatística, do latim status (estado),
usada aqui para designar a coleta e a apresentação de dados quanti-
tativos de interesse do Estado, bem reflete essa origem.
A Estatística subdivide-se em duas grandes áreas: descritiva
e inferencial.
A estatística descritiva, se preocupa em descrever os dados.
A estatística inferencial, fundamentada na teoria das probabilida-
des, se preocupa com a análise destes dados e sua interpretação, ou
seja, refere-se ao processo de generalização a partir de resultados
particulares.
A palavra estatística tem mais de um sentido. No singular se
refere à teoria estatística e ao método pelo qual os dados são ana-
lisados enquanto que, no plural, se refere às estatísticas descritivas
que são medidas obtidas de dados selecionados.
Podemos dizer que o objetivo central da estatística descritiva
é o de sintetizar uma série de valores de mesma natureza, permi-
tindo dessa forma que se tenha uma visão global da variação desses
valores. A estatística descritiva organiza e descreve os dados de três
maneiras: por meio de tabelas, de gráficos e de
medidas descritivas, que serão estudados mais adiantes neste
material (GUEDES, et al.,2015).
DICA
DEFINIÇÃO
173
Para complementar seus estudos sugerimos a leitura de Breve His-
tória da Estatística, do autor José Maria Pompeu Memória.
Conceitos fundamentais e definições
Para que você compreenda melhor a estatística é pertinente conhe-
cer alguns conceitos que serão trabalhados nesta seção.
Você sabia que os dados estatísticos podem ser obtidos por
meio de uma população ou de uma amostra? Mas o que é uma popu-
lação? E uma amostra?
Já vamos lhe responder:
População: conjunto de elementos que tem pelo menos uma carac-
terística em comum. Esta característica deve delimitar corretamen-
te quais são os elementos da população que podem ser animados ou
inanimados.
Amostra: subconjunto de elementos de uma população. Este sub-
conjunto deve ter dimensão menor que o da população e seus ele-
mentos devem ser representativos da população.
Fonte: GUEDES, et al. (2015).
Uma população pode ser finita (isto é, possuir fim) ou infi-
nita (não possuir fim). Por exemplo, a população dos alunos de sua
faculdade é finita e a população constituída de todos os resultados
(cara ou coroa) em sucessivos lances de uma moeda é infinita.
REFLITA
174
Estimado(a) estudante, a seleção dos elementos que compo-
rão a amostra pode ser realizada de várias formas e dependerá do
conhecimento que se tem da população e da quantidade de recursos
disponíveis.
Se uma amostra é representativa de uma população, podemos
obter conclusões importantes sobre a população. Todavia, também,
podemos analisar e descrever um certo grupo sem tirar conclusões
ou inferências sobre um grupo maior, nesse caso, a parte da Esta-
tística que se preocupa com isso é a chamada estatística descritiva
ou estatística dedutiva, conforme explicamos anteriormente (ME-
DEIROS, 2007).
Outro conceito importante que você precisa conhecer meu(-
minha) caro(a) estudante é o de Amostragem:
Que diz respeito a coleta das informações de parte da popu-
lação, chamada amostra,mediante métodos adequados de seleção
dessas unidades. A Amostragem é considerada uma técnica especial
de escolher amostras, de forma a garantir o acaso na escolha. Assim,
cada elemento da população tem a mesma chance de ser escolhido,
o que garante à amostra um caráter de representatividade da popu-
lação (COSTA, 2011).
Você já ouviu falar no IBGE, meu(minha) caro(a) estudante?
O IBGE é o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Nele, pes-
soas de várias profissões trabalham com a mesma missão: retratar
o Brasil com informações necessárias ao conhecimento de sua reali-
dade e ao exercício da cidadania. O IBGE trabalha produzindo infor-
mações sobre o Brasil, sua sociedade e seu território. Com o trabalho
do IBGE, podemos conhecer melhor a realidade física, humana, so-
cial e econômica do País. E um país que se conhece só tem a ganhar!
VOCÊ SABIA?
175
De acordo com o último Censo de 2010, foram contados no Brasil
896,9 mil indígenas, com 305 etnias e 274 línguas indígenas. Veja,
na imagem a seguir, algumas informações sobre os povos indígenas
do censo de 2010:
Figura 1 – Povos indígenas no censo de 2010
Fonte: adaptado do site Educa IBGE pelo Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
Mas, você sabe o que é censo, estimado(a) estudante?
O Censo Demográfico é a maior e mais abrangente pesquisa realizada
pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística, o IBGE. Com as
informações coletadas pelo Censo, medidas de políticas públicas e
privadas podem ser tomadas, a fim de atender as possíveis deman-
das da população brasileira.
A partir de agosto de 2022, os recenseadores do IBGE iniciaram a co-
leta que produzirão informações de todos os domicílios do Brasil, ou
seja, as informações sobre a população indígena e outras populações
serão atualizadas. Essas informações, trarão novos conhecimentos
DICA
176
para que o governo possa desenvolver políticas públicas de qualida-
de para todos os brasileiros.
Vale ressaltar, que os povos indígenas têm uma grande diversidade,
com diferentes características e modos de vida, línguas e uma enor-
me riqueza cultural! Retratar a situação atual desses povos, quantos
são, onde habitam e como vivem será um dos grandes desafios do
Censo 2022.
Você sabia que o IBGE tem um site específico para crianças, jovens e
professores? Esse site é o IBGEeduca. Nele, você vai encontrar ma-
pas, mural, brincadeiras, jogos, pesquisas estatísticas de uma forma
lúdica que lhe ajudará a compreender melhor a importância do IBGE
que nos traz o retrato da realidade brasileira por meio de dados a
partir da realização de pesquisas.
Variáveis Estatísticas
Vamos conhecer agora as variáveis qualitativas e quantitativas que
representam o atributo ou característica que se pretende estudar em
uma população ou amostra.
Tabela 1 - Variáveis Qualitativas
VARIÁVEIS QUALITATIVAS: variável que assume como possíveis valores qualidade ou
atributos. Dividem-se em:
1. Variáveis nominais – quan-
do não existe ordenação nos
atributos.
Exemplos: A cor dos olhos, cor da pele, estado
civil, cidade natal, marcas de carro, sexo, etc.
177
2. Variáveis ordinais – quando os
códigos numéricos podem agir
como categorias ou ordena-
ções. Como sugere o nome, elas
envolvem variáveis que repre-
sentam algum elemento de
ordem. Uma classificação em
anos pode ser um bom exem-
plo, assim como a faixa etária
dos indivíduos.
Exemplos:
Grau de satisfação da população brasileira com
relação ao trabalho de seu presidente (valores de
0 a 5, com 0 indicando totalmente insatisfeito e
5 totalmente satisfeito).
Escolaridade (ensino fundamental, médio e
superior), mês de observação (janeiro, fevereiro
e março...), grau de satisfação (escala de 0 a 5).
Observação: a resposta é dada por meio de
palavras.
VARIÁVEIS QUANTITATIVAS: São características que podem ser medidas em escala
quantitativa, ou seja, apresentam valores numéricos que fazem sentido.
Variáveis contínuas – são aquelas
que podem assumir qualquer valor
num certo intervalo (contínuo)
da reta real. Essas variáveis,
geralmente, provêm de medições.
Exemplos:
A altura dos alunos é uma variável contínua, pois
teoricamente, um aluno poderá possuir altura
igual a 1,70m, 1,71m, 1,711m, 1,712m
(medições: peso, estatura, etc.)
Variáveis discretas – são aquelas
que podem assumir apenas valores
inteiros em pontos de uma reta. É
possível enumerar todos os possíveis
valores da variável.
Exemplos:
Número de alunos de uma escola, número de
mensagens em um e-mail, etc.
Observação: A resposta é expressa em “valores
numéricos”.
Fonte: Adaptado de Costa (2011, p. 27-28)
Agora, vamos conhecer as fases do método estatístico! Estas
fases lhe ajudarão a compreender um estudo estatístico completo.
Fases do Método Estatístico
Caro(a) estudante, para o desenvolvimento de um trabalho estatís-
tico é importante seguir uma sequência de procedimentos e tratá-
-los de forma correta para se chegar a resultados satisfatórios.
As principais fases do método estatístico são (COSTA, 2011):
DICA
178
Para se chegar a resultados satisfatórios em um trabalho estatís-
tico é importante seguir todas as fases apresentadas anteriormen-
te. Para se aprofundar ainda mais nessas fases você pode pesquisar
pelo material “Estatística” de Paulo Roberto da Costa.
DEFINIÇÃO
179
Tabelas
Você sabia que há diferentes formas de mostrar informações que fo-
ram coletadas em uma pesquisa? Uma dessas formas é por meio de
uma tabela!
Muitas pessoas se confundem quando o assunto é a diferença
entre quadro e tabela, você sabe essa diferença?
Vamos conhecer agora de uma maneira bem objetiva essa
diferença:
Os quadros apresentam dados qualitativos, são formados por linhas
horizontais e verticais, devendo manter todas as suas extremidades
fechadas.
As tabelas apresentam dados quantitativos, são formadas por li-
nhas verticais e suas bordas laterais são abertas.
180
Agora que você já sabe a diferença, vamos conhecer os ele-
mentos constituintes de uma tabela com base no material do livro
Normas de Apresentação Tabular disponível pelo IBGE.
Esse material foi desenvolvido pelo Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE), trata-se de uma norma para a cons-
trução de tabelas que irão apresentar dados estatísticos.
Figura 2 - Elementos Constituintes de uma Tabela
Fonte: Costa (2011, p. 36)
181
Figura 3 - Elementos Constituintes de uma Tabela
Fonte: Costa (2011, p. 36)
Caro(a) estudante, de acordo com a Resolução 886 da Fun-
dação IBGE, nas casas ou células de uma tabela, devemos colocar:
I. Um traço horizontal (—) quando o valor for zero, não só
quanto à natureza das coisas, como quanto ao resultado do
inquérito;
II. Três pontos (…) quando não temos os dados;
III. Um ponto de interrogação (?) quando temos dúvida quanto à
exatidão de determinado valor;
IV. Zero (0) quando o valor é muito pequeno para ser expresso
pela unidade utilizada. Se os valores são expressos em nume-
rais decimais, precisamos acrescentar à parte decimal um nú-
mero correspondente de zeros (0,0; 0,00; 0,000;...).
Veja mais alguns exemplos de tabela nas imagens a seguir:
EXEMPLO
182
Tabela 1 – Pessoas residentes em domicílios particulares, por sexo e situação do
domicílio no país das Maravilhas em 1980.
Zona Total Mulheres Homens
Urbana 500846 300443 200403
Rural 200632 120630 80002
Fonte: O autor (2023).
Tabela 2- Produção de soja no Brasil de 1978 a 1983.
Anos Quantidade (1000 ton)
1978 2535
1979 2666
1980 2122
1981 3760
1982 2007
1983 2500
Fonte: O autor (2023).
Tabela 3- Produção Brasileira de café em alguns estados Brasileiros -2000.
Estados Brasileiros Quantidade (1000 ton)
São Paulo 970
Santa Catarina 551
Paraná 150
Goiás 220
Rio de Janeiro 408
Rio Grande do Sul 590
Fonte: O autor (2023)
IMPORTANTE
183
Lembre-se que os lados direito e esquerdo de uma tabela oficial de-
vem ser sempre abertos! Não esqueça, também, de sempre inserir o
título databela e a fonte de onde você extraiu os dados.
Distribuição de Frequência
Tabela Primitiva
Estimado(a) estudante, considere a seguir, o exemplo que demons-
tra o levantamento de dados das médias referentes ao 1º bimestre
em matemática de 36 alunos da Escola Mundo Feliz (variável x),
cujos resultados, estão expostos na tabela a seguir, colocados na se-
quência como foram obtidos.
Médias do 1º ano de 36 alunos na disciplina matemática da Escola Mundo Feliz
4,0 8,0 10,0 8,5 7,5 6,5 8,5 9,0 3,0
8,0 6,0 10,0 6,5 8,5 6,5 3,0 6,5 4,0
6,5 4,5 8,5 5,5 3,5 2,0 3,5 8,5 3,5
3,5 8,5 6,5 8,5 8,5 2,5 4,5 8,5 2,5
Observe que, nessa tabela, as notas não estão numericamente
organizadas. Esse tipo de tabela denomina-se tabela primitiva. Par-
tindo dessa tabela, é difícil identificar o comportamento das notas,
isto é: onde se concentram? Qual a maior? Qual a menor? Quantos
alunos estão abaixo ou acima de uma determinada nota? Se a média
para aprovação no bimestre é 7,0 quantos alunos foram aprovados?
Quantos estão acima da média e quantos estão abaixo?
184
Agora, observe esses valores organizados na ordem crescente:
Médias do 1º ano de 36 alunos na disciplina matemática da Escola Mundo Feliz
2,0 2,5 2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 3,5 3,5
4,0 4,0 4,5 4,5 5,5 6,0 6,5 6,5 4,0
6,5 6,5 6,5 7,5 8,0 8,0 8,5 8,5 8,5
8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 8,5 9,0 10,0 10,0
A simples organização dos dados em ordem crescente já per-
mite determinar diretamente o menor valor (x = 2), o maior valor (x
= 10), o valor que mais ocorre (x = 6,5) e a amplitude da variação (a
distância entre o maior e o menor, ∆x = 10 - 2 = 8). Após a ordenação
dos dados em ordem crescente ou decrescente, a tabela recebe um
nome especial, é chamada de rol. Uma forma mais objetiva de mos-
trar os dados do rol, é apresentar cada um seguido pelo número de
vezes que ocorre, ao invés de repeti-los. O número de ocorrências de
um determinado valor recebe o nome de frequência. Por exemplo, a
média 6,5 ocorre 6 vezes que se escreve f(6,5) = 4; a média 2 ocorre 1
vez ou f(2) = 1 (CRESPO, 2009). A tabela que contém todos os valores
com a sua frequência recebe o nome de distribuição de frequência.
Veja a seguir, uma distribuição de frequência construída a partir do
rol anterior:
Médias do 1º de 36 alunos na disciplina matemática da Escola Mundo Feliz
MÉDIAS Frequência
2,0 1
2,5 2
3,0 2
3,5 4
4,0 2
4,5 2
5,5 1
6,0 1
6,5 6
7,5 1
8,0 2
EXEMPLO
185
8,5 9
9,0 1
10,0 2
TOTAL 36
Fonte: o autor (2023)
Procedendo desta forma, perde-se a informação detalhada
das médias, mas ganha-se em simplicidade, pois a análise dos da-
dos fica simplificada. Examinando a tabela acima, podemos facil-
mente verificar que a maior média no bimestre em matemática foi
10,0, e que a média mais baixa é 2,0. Frequentemente procedemos
desta forma numa análise estatística, pois o objetivo da estatística
é justamente fazer o apanhado geral das características de um con-
junto de dados (FERRARI, 2004).
Frequência Simples ou Absoluta e
Frequência Relativa
A frequência simples ou frequência absoluta, ou de um valor indi-
vidual, é o número de vezes que o valor ocorre numa amostra.
As frequências relativas são as razões entre as frequências
simples e a frequência total.
Médias do 1º de 36 alunos na disciplina matemática da Escola Mundo Feliz
MÉDIAS Frequência Frequência Relativa
2,0 1 1/36 OU 2,7 %
2,5 2 2/36 OU 5,5 %
3,0 2 2/36 OU 5,5 %
3,5 4 4/36 OU 11,1 %
4,0 2 2/36 OU 5,5 %
IMPORTANTE
186
4,5 2 2/36 OU 5,5 %
5,5 1 1/36 OU 2,7 %
6,0 1 1/36 OU 2,7 %
6,5 6 6/36 OU 16,6 %
7,5 1 1/36 OU 2,7 %
8,0 2 2/36 OU 5,5 %
8,5 9 9/36 OU 25 %
9,0 1 1/36 OU 2,7 %
10,0 2 2/36 OU 5,5 %
TOTAL 36 -
Fonte: o autor (2023)
Para se aprofundar mais sobre as distribuições das frequências e co-
nhecer todos os Elementos de uma Distribuição de Frequência, como
por exemplo, classe, intervalo de classe, limite de classe, amplitu-
de total da distribuição, amplitude amostral, ponto médio de uma
classe, determinação de intervalos de classes e número de classes,
você pode pesquisar pelo material “Estatística Básica” de Fabricio
Ferrari. Por meio desse material você também vai aprender a cons-
truir uma tabela de frequência com intervalos de classe.
Gráficos Estatísticos
O gráfico estatístico é uma forma de apresentação dos dados estatís-
ticos, cujo objetivo é o de produzir uma impressão mais rápida e viva
do fenômeno em estudo (CRESPO, 2009). Os gráficos permitem a re-
presentação de uma relação entre variáveis e facilitam a compreen-
são de dados. Além disso, os gráficos devem ser correspondentes às
187
tabelas estatísticas, mas não devem substituí-las. Desse modo, a
representação gráfica é um complemento importante da apresenta-
ção tabular (COSTA, 2011). Ainda para esse autor a vantagem de um
gráfico sobre a tabela está na possibilidade de uma rápida impressão
visual da distribuição dos valores ou das frequências observadas. A
representação gráfica de um fenômeno deve obedecer a certos re-
quisitos fundamentais para ser realmente útil, tais como:
• Simplicidade – deve ser destituído de detalhes e traços
desnecessários.
• Clareza – deve possuir uma correta interpretação dos valores
representativos do fenômeno em estudo.
• Veracidade – deve expressar a verdade sobre o fenômeno em
estudo.
A seguir serão apresentados alguns tipos de gráficos mais
usuais em estatística.
Gráfico de Colunas
Todo gráfico de coluna deve conter um sistema de eixos perpendi-
culares e é preciso definir uma escala para cada eixo. Neste tipo de
gráfico colocamos no eixo horizontal os valores que a variável pes-
quisada assume (as possíveis respostas à questão da pesquisa). No
eixo vertical é preciso colocar valores numéricos que serão associa-
dos ao número de vezes que encontramos cada uma das possíveis
respostas à nossa questão (MANDARINO, 2010).
EXEMPLO
188
Gráfico 1 – Pontuação final de 4 times no Campeonato Brasileiro de 2016
Fonte: adaptado do site da CBF pelo autor (2023).
Esse gráfico apresenta a pontuação final de 4 times no campeonato
brasileiro de 2016. Observe que o time que fez mais pontos foi o Pal-
meiras, um total de 80 pontos, já o time que fez menos pontos foi o
Vitória, um total de 45 pontos. Pode-se analisar ainda que o Corin-
thians ficou com 55 pontos e que o Fluminense fez mais pontos do
que o Vitória.
No eixo vertical, a frequência também pode vir com os valores em
porcentagens, algumas pesquisas para facilitar a compreensão co-
locam ainda os percentuais acima das colunas.
189
Gráfico 2- Percentual de Pessoas por Escolaridade da Região da Lameda dos Anjos
Fonte: o autor (2023)
Note que todas as colunas (retângulos) devem ter a mesma largu-
ra, suas alturas é que variam, para nos informar sobre o número de
ocorrências de cada valor da variável que está no eixo horizontal.
Observe também que nesse tipo de gráfico é preciso deixar espaços
entre as colunas (MANDARINO, 2010).
190
Agora, caro(a) estudante, observe o gráfico a seguir:
Gráfico 3- Quantidade de material escolar vendido de 2019 a 2020 pela Livraria Aqui é
Bom
Fonte: o autor (2023)
O gráfico que diz respeito a pontuação final de 4 times no campeo-
nato brasileiro de 2016 e o que apresenta o percentual de escolari-
dade das pessoas da região da Lameda dos Anjos são categorizados
como gráficos de colunas simples, observem que eles não precisa-
ram de legendas. Já o gráfico que mostra a quantidade de materiais
escolares vendidos pela livraria Aqui é Bom é um gráfico de colunas
duplas. Esse tipo de gráfico envolve duas variáveis e, por isso, pre-
cisam de legenda.
191
Agora, observe o gráfico a seguir:
Gráfico 4- Quantidade de brinquedos por tipo de brinquedos vendidos de 2019 a 2021
pela Loja Mania de Vender Barato
Fonte: o autor (2023)
Conforme Mandarino (2010), esse gráfico de colunas múltiplas
envolvetrês variáveis e, por isso, também precisam de legenda. A
variável numérica, que resulta da contagem, dos resultados encon-
trados no levantamento de dados, continua associada ao eixo verti-
cal. Uma das duas outras (no caso do gráfico de nosso exemplo, tipo
de brinquedos vendidos) fica registrada no eixo horizontal e a ter-
ceira (no exemplo, os anos) precisa ser registrada em uma legenda.
Caro(a) estudante, ainda segundo essa autora, a imprensa tem re-
corrido bastante a variações de gráficos de colunas, usando efeitos
nas colunas ou transformando-as em paralelepípedos, ou seja, re-
correndo a um efeito de tridimensionalidade, que não pode dificul-
tar sua leitura e interpretação. Algumas inadequações podem ser
identificadas em gráficos encontrados na imprensa ou em livros di-
dáticos. Fique atento aos gráficos que são veiculados por diferentes
IMPORTANTE
192
meios de comunicação, às vezes, eles não retratam corretamente os
dados de pesquisas estatísticas ou apresentam algumas falhas em
sua estrutura.
Todo gráfico, independentemente do tipo, deve apresentar o título
(que informa do que se trata a pesquisa) e a fonte dos dados!
Histograma de frequência
Os histogramas são construídos como os gráficos de colunas. A dife-
rença é que não precisamos deixar espaços entre tais colunas.
Mas, como saber quando usá-los?
Histogramas só devem ser usados quando a variável pes-
quisada é numérica e os números de um intervalo podem
ser um dado da pesquisa.
Fonte: Mandarino (2010)
193
Para que você compreenda melhor esse tipo de gráfico lhe
apresento a seguir um modelo de histograma:
Gráfico 5- Distribuição das notas dos alunos do 6º ano A em Matemática da Escola Ser
Criança
Fonte: adaptado de Mandarino (2010)
Gráficos de linha poligonal
Esse tipo de gráfico utiliza-se da linha poligonal para representar a
série estatística. O gráfico em linha constitui uma aplicação do pro-
cesso de representação das funções num sistema de coordenadas
cartesianas.
Nesse sistema fazemos uso de duas retas perpendiculares; as
retas são os eixos coordenados e o ponto de intersecção, a origem. O
eixo horizontal é o das abscissas (eixo dos x) e o vertical, das orde-
nadas (ou eixo dos y). Esse tipo de gráfico é mais adequado quando
desejamos registrar variações de uma variável ao longo do tempo.
Para gráficos de linha poligonal, o eixo horizontal sempre deve estar
associado à variável pesquisada e o eixo vertical à contagem das
ocorrências – frequência. Não é possível inverter o que se relaciona
com cada eixo (MANDARINO, 2010).
194
EXEMPLO:
Gráfico 6-Número de Celulares Vendidos pela empresa Megabyte em Função do Preço
da Marca X em 2021
Fonte: o autor (2023)
Observe que a quantidade de celulares vendidos diminui
quando o preço dos celulares da Marca x aumenta.
Ainda de acordo com o IBGE Educa, esse tipo de gráfico é uti-
lizado quando se deseja trabalhar com duas ou mais informações
provenientes de dados numéricos. O gráfico de linhas é composto
por dois eixos; um vertical e outro horizontal (Plano Cartesiano –
primeiro quadrante), e por uma ou mais linhas que mostram a va-
riação (medidas ou quantidades numéricas) dos dados na pesquisa
realizada, isto é, a movimentação dos dados no decorrer do tempo.
É indicado quando uma das variáveis representa o tempo e se pre-
tende revelar o movimento dos dados ao longo do tempo, conforme
explicamos anteriormente
Gráfico de setor (ou circulares)
O gráfico de setores é um círculo subdividido em partes (se-
tores circulares) para apresentar os dados, sendo que este círculo
195
todo deve corresponder a 100% dos resultados. Outro aspecto a ser
levado em conta na escolha de um gráfico de setores para apresen-
tação dos dados da pesquisa é considerar a quantidade de valores
que a variável pesquisada pode assumir. Se tivermos muitos valores,
o círculo ficará subdividido em uma quantidade de setores que di-
ficulta sua construção, leitura e interpretação (MANDARINO, 2010,
p. 228).
Figura 4 - Elementos de um Gráfico de Setor
Fonte: adaptado do site Educa IBGE pelo autor (2023)
EXEMPLO
196
Foi realizada uma pesquisa pela nutricionista da Escola Ser Crian-
ça no que diz respeito às frutas preferidas delas para o lanche da
manhã. O gráfico a seguir apresenta a porcentagem com relação a
escolha dos 300 alunos dessa escola.
Gráfico 7-Preferência das Frutas para o lanche da manhã dos alunos da Escola Ser
Criança
Fonte: o autor (2023)
Gráficos de barras
O gráfico de barras também é construído sobre o Plano Cartesiano
(primeiro quadrante). No eixo vertical, são construídas as barras
que representam a variação (medidas ou quantidades numéricas)
dos dados na pesquisa realizada. O fluxo de informações, represen-
tado por um valor numérico, é indicado pelo eixo horizontal. As bar-
ras devem sempre possuir a mesma largura, e a distância entre elas
deve ser constante. Podemos representar duas ou mais categorias
de informações (IBGE, 2023).
197
Recomenda-se o uso de gráficos de barras quando a variável
para a qual fizemos alguma contagem precisa ser representada por
palavras ou expressões. Dessa forma, os valores desta variável fi-
cam escritos na horizontal, facilitando a leitura. Observe o exemplo
a seguir:
Quantitativos de alunos matriculados nas escolas do Município Águas Cristalinas
Fonte: o autor (2023)
Medidas de Tendência Central
Na utilização de dados numéricos, observa-se uma tendência destes
em se agruparem em torno de um valor central, indicando que este
é característica dos dados e que o mesmo pode ser usado para des-
crevê-los e representá-los. As medidas de tendência central mais
comuns são: média aritmética, moda e mediana. Outras promédias
menos utilizadas são as médias: geométrica, cúbica, quadrática, bi-
quadrática e harmônica.
Nesta unidade 4, vamos estudar apenas as medidas de ten-
dências central mais usuais: média aritmética (Ma), média aritmé-
tica ponderada, Moda (Mo) e mediana.
EXEMPLO
198
I. Média aritmética (Ma)
Essa é uma das medidas de tendência central que é mais co-
nhecida, pois, durante toda a escolaridade para saber se fomos ou
não aprovados em uma disciplina escolar precisávamos utilizá-la.
Ela consiste no quociente entre a soma de n valores e o número n de
valores desse conjunto.
Observe a tabela a seguir com as notas de matemática de um aluno
do 5º ano A durante o ano letivo:
Tabela 01: Nota de um aluno do 5º ano
Bimestre Notas
1º Bimestre 7,0
2º Bimestre 7,5
3º Bimestre 9,5
4º Bimestre 10
Fonte: o autor (2023)
Para saber a nota que representará o aproveitamento desse aluno ao
final do ano letivo na disciplina de matemática, calculamos a média
aritmética (Ma) de suas respectivas notas:
Ma = (7,0+7,5+9,5+10)/4 = 34/4 = 8,5. Logo, esse aluno teve apro-
vação na displina com média de 8,5.
II. Média Aritmética para dados tabelados ou Ponderada
É o somatório do produto de cada elemento pelo seu respec-
tivo peso, dividido pela soma dos pesos totais.
EXEMPLO
199
Maria Joana, professora de Matemática do 7º ano do ensino fun-
damental, atribuiu pesos às provas de Matemática dos 4 bimestres
durante o ano letivo:
• 1º bimestre: Peso 1
• 2º bimestre: Peso 2
• 3º bimestre: peso 3
• 4º bimestre: peso 4
Veja as notas que um dos alunos do 7º ano tirou em cada
bimestre:
Tabela 02: Notas de Matemática-aluno do 9º ano
Bimestre Notas Pesos
1º Bimestre 4 1
2º Bimestre 7,5 2
3º Bimestre 9 3
4º Bimestre 8 4
Fonte: o autor (2023)
Levando em consideração os pesos atribuídos às notas de
cada bimestre, qual a média desse aluno ao final do ano letivo?
Nesse caso, para calcular a média ponderada, temos:
EXEMPLO
200
De maneira geral, podemos dizer que a Média Aritmética Pondera-
da, ou Média Ponderada, é usada quando alguns aspectos são mais
importantes que outros. Esses elementos são ponderados pelos seus
pesos. A Média Ponderada (MP) considera os valores que devem in-
fluenciar mais no valor final, os que têm maior peso. Para isso, cadaelemento do conjunto é multiplicado por um valor atribuído.
III. Moda (Mo)
A moda de um conjunto de n números é o valor que ocorre
com maior frequência, isto é, o valor mais comum, ou seja, a moda
de uma coleção de dados amostrais ou populacionais é simplesmen-
te o valor que aparece o maior número de vezes, isto é, aquele que
apresenta a maior frequência observada na tabela de distribuição de
frequências.
Certa escola preocupada com a obesidade dos seus alunos contratou
uma nutricionista para orientá-los a uma alimentação saudável. Ela
também ficou responsável em fazer o cardápio da merenda escolar
de forma a contribuir com o combate à obesidade infantil. Para con-
firmar o que a escola estava alegando, a nutricionista resolveu saber
o Índice de Massa Corpórea dos alunos (IMC). Assim, ficaria mais
fácil de montar o cardápio alimentar dos alunos. Para saber esse ín-
dice, ela mediu a massa dos estudantes e suas respectivas alturas.
Veja a tabela a seguir com a massa dos alunos de uma turma do 5º
ano dessa escola.
Tabela 03 - Obesidade dos alunos
Quantidade de alunos Massa corporal
3 60 kg
4 45kg
2 55kg
201
7 65kg
5 40kg
4 35kg
2 67kg
Fonte: o autor (2023)
Observe que 65kg é o valor que mais aparece na tabela e que sua
frequência é 7.
Nesse caso, dizemos 65kg é a moda dessa amostra de dados
estatísticos.
Estimado(a) estudante, é preciso também compreender que em
amostras grandes ou com valores muito repetidos, há casos os quais
a moda não é a única situação em que dois ou mais valores amos-
trais tenham ocorrido com a mesma frequência e essa quantidade
de ocorrências seja máxima. Assim, dependendo de cada caso, po-
demos ter distribuições unimodal, conforme exemplo acima, em
que temos apenas uma só moda. Essa distribuição também recebe
o nome de modais.
Além dessas, podem ocorrer distribuições bimodais ou plurimodal,
pode acontecer ainda o caso em que todos os valores amostrais te-
nham apresentado o mesmo número de ocorrências, significando
que, neste caso, não há moda, pois nenhum valor se destacou, con-
figurando assim uma distribuição amodal.
Distribuição bimodal:
Considere os seguintes valores em reais gastos por um taxista em
algumas semanas para realizar viagens longas: V = {100, 90, 110,
100, 150, 200 e 300}. Nessa situação, temos dois valores modais Mo
= 100
Distribuição Plurimodal:
Considere os seguintes valores em reais gastos em passagens aéreas
por um determinado empresário: P = {500, 600, 700, 500, 582, 693,
500, 800, 500}. Nessa situação, temos quatro valores modais Mo =
500
EXEMPLO
202
Distribuição amodal:
Observe as alturas de alguns dos alunos do 5º ano em metros:
Al = {1,20; 1,30; 1,22; 1,25; 1,33; 1,10}. Nesse caso, não existe Moda.
IV. Mediana
Depois de ordenados os valores de um conjunto por ordem
crescente ou decrescente, a mediana é:
– o valor que ocupa a posição central, se a quantidade
desses valores for ímpar;
– a média dos dois valores centrais, se a quantidade des-
ses valores for par.
Nos dados: 150, 158, 135, 120, 125, 130, 140, temos sete elementos
que, colocados em ordem crescente, nos fornecerão a mediana:
120,125,130,135,140,150,158. Como a mediana é o termo central da
sequência numérica, temos: Mediana = 135.
Todavia, se o número de elementos for par, a mediana, confor-
me explicado anteriormente, será a média aritmética dos valores
centrais.
Nos dados: 48,26,34,58,64, 68, os termos centrais são 35 e 58, as-
sim, a mediana será a média aritmética entre 35 e 58, portanto, te-
mos: Md = (34+58)/2=92/2=46.
Quando usar a média, a moda ou a mediana?
Caro(a) estudante, em um dado momento, podem surgir dúvidas
sobre que medida de tendência central utilizar. Veja abaixo uma
explicação:
SINTETIZANDO
203
A escolha da medida de tendência central depende das hipóteses ou
objetivos do pesquisador. Utilizará a moda se pretender uma medida
descritiva, rápida e simples, ainda que grosseira, e se a distribuição
for unimodal. Se a pretensão for uma medida exata, ele poderá optar
entre a média e a mediana. Se a distribuição for aproximadamente
simétrica, a média aritmética é a mais indicada, mesmo porque esta
poderá ser utilizada em estatística mais avançada e é uma medida
mais estável. Feijoo (2010, p. 21-22).
Chegamos ao término de mais uma unidade. Nela, você estudou um
pouco da Estatística Básica que também está inclusa nos currículos
do ensino básico e vem se tornando uma realidade nas escolas e re-
des escolares preocupadas com um ensino de qualidade, tendo em
vista as necessidades dos conhecimentos de Estatística em nosso
cotidiano. Por isso, você deve ter uma noção dessa parte importante
da matemática que também é uma das unidades temáticas da BNCC
(Probabilidade e Estatística).
Atualmente, quase todos os meios de comunicação como telejor-
nais, revistas, redes sociais, propagandas na televisão lançam mão
de modelos estatísticos como gráficos, diagramas, tabelas e pesqui-
sas para integrar e enriquecer seus conjuntos de informações a se-
rem divulgadas para a população. Grande parte das pessoas acabam
não decifrando essa nova linguagem porque não tiveram acesso aos
conhecimentos na área de estatística. Daí a importância de você,
meu(minha) caro(a) estudante, aprofundar ainda mais seus conhe-
cimentos acessando as dicas de vídeo e leitura que estão contidas
ao longo das seções deste objeto de aprendizagem. Vale ressaltar
também que, no âmbito da mídia impressa ou digital, os gráficos
estão imersos na estruturação intencional das notícias, podendo
enfatizar, mascarar ou omitir aspectos qualitativos e quantitativos
das informações tratadas. Você deve ficar atento para a fonte das in-
formações e saber se a empresa que coletou os dados é de confiança.
204
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GUEDES, Terezinha Aparecida et al. Projeto de ensino aprender
fazendo estatística. 2015. Disponível em: . Acesso em
10 mar.2023.
LARSON, Ron. Estatística aplicada. Tradução José Fernando Pereira
Gonçalves. -- São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2015.
MANDARINO, Mônica C. F. Tratamento da Informação. In: CAR-
VALHO, João B. F. P. (org.). Coleção Explorando o Ensino da Ma-
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Brasília: Universidade de Brasília, 2007. Disponível em: http://por-
tal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/profunc/estatistica.pdf Acesso em
14 abr. 2023.
MEMÓRIA, José Maria Pompeu. Breve história da estatística. Bra-
sília, DF: Embrapa Informação Tecnológica, 2004. Disponível em:
. Acesso em 10 mar. 2023.que possibilitem a com-
preensão de conteúdos da matemática instrumental (matemática
básica), visando o desenvolvimento de competências e habilidades
voltadas a resolução de problemas, a lidar com informações numé-
ricas para a tomada de decisões, fazer inferências, opinar sobre te-
mas diversos, sempre de forma crítica e independente.
13
Os Números e seus Usos Sociais
Você já parou para pensar quais os significados que os números
podem ter? E para que eles servem? Será que os numerais que re-
presentam as quantidades sempre foram da forma que conhecemos
hoje?
Antes de iniciarmos essas discussões, é pertinente que você
compreenda a diferença entre número e numeral. Número é asso-
ciado à ideia de quantidade, já o numeral é a sua representação grá-
fica (palavra ou símbolo). Por exemplo, a quantidade vinte pode ser
representada pelo numeral 20.
Para que você compreenda melhor, reflita sobre a seguinte
situação: “Mariana tem 34 anos de idade” - o número é a ideia da
quantidade de anos que Mariana já viveu. O numeral 34 ou trinta e
quatro (escrita de como se lê o numeral), ou ainda XXXIV no Sistema
de Numeração Romano, ou em Libras (Língua Brasileira
de Sinais) é o modo como representamos essa ideia.
Então, em linhas gerais, número é um conceito abstrato que
utilizamos quando contamos uma coleção de objetos ou mesmo o
resultado que obtemos na medição dos comprimentos de um certo
móvel para verificarmos se ele cabe ou não em determinado cômodo
da nossa casa. O numeral, por sua vez, é a forma que utilizamos para
representar o número. Os números estão por toda parte e presente
de forma enfática em diferentes situações do nosso dia a dia desem-
penhando importantes papéis na prática social. Eles são utilizados
com as mais diferentes finalidades. Podem indicar quantidades, or-
dem, medida, codificar, identificar ou rotular algo.
Observem as seguintes situações presentes nos HQs (Histó-
rias em Quadrinhos):
14
Figura 1 – O uso dos números e numerais
Fonte: desenvolvido pelo autor no site Pixton
15
Na primeira HQ, que trata do aumento dos preços dos produ-
tos no supermercado, o número tem a função de atribuir a medida
da grandeza, valor monetário ao produto. Já na situação do empla-
camento do carro, a função é de identificar/codificar o automóvel.
Na conversa entre as duas colegas na praia sobre o aumento da
quantidade dos seguidores no Instagram, a função do número é de
quantificar. Na HQ que apresenta três competidores de fórmula 1 no
pódio, o número nessa situação tem a função de ordenar e, por fim,
a que traz um diálogo entre mãe e filha relacionado à impossibilida-
de de brincar na montanha russa, o número tem a função de medida.
Você também pode pensar em outras situações nas quais os
números são utilizados e verificar se eles se enquadram em uma
dessas classificações.
O processo de construção do conceito de número envol-
ve simultaneamente a identificação dos seus usos sociais, a com-
preensão da ideia de número e a apropriação do sistema de escrita
numérica (TELES, BELLEMAIN, GITIRANA, 2013, p. 189). Ainda
para essas autoras, a ideia de número natural é um conhecimen-
to de natureza lógico-matemática, pois é fruto de um processo de
abstração reflexiva sobre as quantidades. Para dar sentido à ideia
abstrata de “quatro”, por exemplo, a criança precisa compreender
que há uma propriedade comum a uma coleção de quatro carrinhos
e outra de quatro bonecas; que a quantidade não se altera quando
eu organizo os objetos de maneiras diferentes; que três bolinhas de
gude estão contidas em uma coleção de quatro bolinhas de gude;
que se eu tenho quatro carrinhos e uma bola, possuo mais brinque-
dos do que carrinhos etc. Teles, Bellemain e Gitirana (2013) seguem
explicando que os nomes dos números (um, dois, três, cinquenta,
trezentos, etc.) e os símbolos usados para representá-los (0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9, no nosso sistema de numeração) são conhecimentos
de natureza social. Em outras línguas, por exemplo, os nomes são
diferentes (one, two, three, four, five, six, seven, eigth, nine e ten, em
inglês; un, deux, trois, cinquante, trois cents, em francês; uno, dos,
tres, cuatro, em espanhol) e em outros sistemas de numeração, os
símbolos utilizados também são diferentes (os símbolos I, V, D, L, C,
M, no sistema de numeração romano, por exemplo).
VOCÊ SABIA?
16
Um pouco da história dos números
A forma que representamos os números na atualidade nem sem-
pre foi como conhecemos hoje 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9... os chamados
indo-arábicos, criados e desenvolvidos pelos povos Hindus e pro-
pagados pelos Árabes. Vamos retornar ao passado para conhecer as
formas de contar das civilizações antigas e, com isso, compreender
melhor a importância do uso dos números na sociedade.
A ORIGEM DOS NÚMEROS
O ser humano nem sempre precisou contar. Nos primórdios da hu-
manidade, a natureza oferecia o sustento necessário. As primeiras
concepções de número, grandeza e forma datam do começo da Ida-
de da Pedra (Paleolítico), através de entalhes marcados em ossos e
pinturas em cavernas. Além disso, o homem do Neolítico revelou
um agudo sentido para a geometria através da pintura, entrelaça-
mento de juncos, fabrico de metais e outros. Com o fim da Pré-His-
tória e o começo da História, podemos observar grandes progressos
da matemática na civilização do Antigo Egito. A descoberta de textos
escritos em papiro (Papiro de Rhind, Papiro de Moscou, Papiro de
Berlim, Papiro de Kahun, dentre outros) mostravam que eles já do-
minavam de um modo particular, conceitos de aritmética, frações,
geometria, equações e progressões.
Fonte: Adaptado de Barasuol (2006).
Sistemas de Numeração
Um sistema de numeração é composto por símbolos e regras
para escrever os números. Cada civilização, para representar as
17
quantidades, desenvolveu seus próprios símbolos. A diferença en-
tre as variadas formas de representar o número ocorreu, em grande
parte, conforme a necessidade e a cultura das diferentes civilizações.
Ressalta-se a importância da perspectiva histórica no ensino
da Matemática, ou seja, a importância de serem vivenciadas expe-
riências que contribuam e proporcionem a compreensão da evolu-
ção científica e histórica da Matemática, pois, assim, vocês poderão
compreender o papel da disciplina em questão no desenvolvimen-
to da sociedade contemporânea (MIYASCHITA, 2002). Veremos, a
seguir, alguns sistemas de numeração desenvolvidos ao longo da
história.
O Sistema de numeração Egípcio
Figura 2 – Sistema de numeração Egípcio
Fonte: Editorial Grupo Ser Educacional (2023).
O sistema de numeração egípcio era decimal, pois os agrupa-
mentos eram feitos de dez em dez, ou seja, no processo de contagem
os objetos eram agrupados de 10 em 10. Cada um desses agrupa-
mentos era representado por um símbolo. Vejamos um exemplo das
combinações do Sistema de Numeração Egípcio.
18
Figura 3 – Combinações do Sistema de Numeração Egípcio
Fonte: (MATSUBARA, 2002, p. 43).
Destacamos ainda que no referido sistema a posição dos sím-
bolos não alterava o valor representado.
Tabela 1 – O sistema Egípcio
Sistema Egípcio
O valor de um símbolo não depende de sua
posição.
Exemplo: há várias formas de representar o
número 123, tais como:
e
VOCÊ SABIA?
19
O número é a soma dos valores de cada símbolo
(princípio aditivo).
Exemplo:
= 100 + 10 + 10 + 1 + 1 = 123
Não tem um síbolo para o zero.
Cada dez símbolos de um mesmo tipo são
trocados por outro.
Exemplo:
dez são trocados por
dez são trocados por
e assim por diante
Dependendo do número que se quer representar,
é necessário repetir uma grande uqantidade de
símbolos.
Exemplo:
999 é o mesmo que
Fonte: Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
Os egípcios também tinham outra forma de representar os núme-
ros, os chamados hieráticos. Essa forma de números era posicional,
pois a ordem em que os símbolos aparecem na escritaé considerada.
Há também uma quantidade maior de símbolos para representar as
quantidades. Existe um símbolo para cada número de um a nove,
para cada dezena, centena e milhar, por exemplo:
SAIBA MAIS
20
Figura 5 – Números hieráticos egípcios
Fonte: Adaptado de Rafael Asht no site Toda Matéria pelo Grupo Ser Educacional
(2023)
Para ampliar mais seus conhecimentos com relação a essa escrita
numérica, meu (minha) caro(a) estudante, você pode acessar o tex-
to Sistemas de Numeração Antigos, da autora Patricia Aires Pedro-
za, que está disponível no site da bienal da sociedade brasileira de
matemática em 2010 ocorrida na UFPB.
21
O Sistema de Numeração Babilônico
Figura 4 – Sistema Numérico Babilônico
Fonte: Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
O sistema de numeração usado pelos babilônicos era um sis-
tema de base 60,
apesar de conter também uma sub-base 10, o que o caracte-
riza como um sistema misto. Observe abaixo como eles representa-
vam alguns números.
Figura 5 – Os números na Babilônia
Fonte: Wikimedia Commons (2023)
22
Os números de 1 a 59 eram representados por justaposição,
repetindo cada um desses dois signos (cravo e asna) tantas vezes
fosse necessário.
De acordo com Silva (2016) no texto “História da Matemáti-
ca – Sistema de Numeração Antigos na Formação de Professores”,
para os números de 1 a 9 é usada uma cunha vertical para cada uni-
dade, ao chegar a 10, em vez de dez cunhas verticais, é usada uma
cunha horizontal, o que está de acordo com a ideia de agrupamen-
to. Podemos dizer então que temos uma base de dimensão 10. Ainda
com relação a leitura do quadro acima, vemos representados os nú-
meros 11 a 19, segundo regras já conhecidas. O 20, assim como o 30,
40 e 50, não nos deve causar surpresa com os agrupamentos de suas
cunhas horizontais. O último número representado no quadro é 59
com cinco cunhas (asna) horizontais e nove cunhas (cravo) verti-
cais. Ainda para Silva (2016), o número seguinte, o 60, era repre-
sentado por uma única cunha vertical. Aqui, há outra vez a ideia de
agrupamento. No entanto, nesse caso, não se agrupa sob um novo
símbolo, como na situação do 10, mas sob o mesmo símbolo
usado para a unidade (o cravo). A base do sistema de numeração fica
então 60, com uma sub-base 10. Vamos observar agora um exemplo
para 132 e 3.672.
Figura 6 – Exemplos de números babilônicos
Fonte: (PEDROSA, 2010)
VOCÊ SABIA?VOCÊ SABIA?
23
A civilização mesopotâmica durou cerca de 3000 anos e sua escri-
ta e numeração desapareceram junto com ela. Entretanto, alguns
vestígios do sistema de base 60 ficaram, por exemplo, na nossa
contagem de tempo. Hoje, aceitamos que 60 segundos formam um
minuto e que 60 minutos formam 1 hora. Ou seja, agrupamos de 60
em 60 nossas horas. Percebe a semelhança? Você acha que há ves-
tígios da numeração mesopotâmica também em outras contagens?
(COLONESE e SILVA, 2010).
O Sistema de numeração Maia
Figura 7 – Sistema de numeração Maia
Fonte: Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
Caro(a) estudante, falaremos agora acerca do sistema de nu-
meração maia. Essa civilização utilizava o sistema de numeração
de base 20, ou seja, vigesimal. Esse sistema também era posicional.
Provavelmente, a origem desse sistema é a soma dos dedos das mãos
e dos pés, que é vinte. É interessante observar que os maias usa-
vam, entre os símbolos que representavam os números, um símbolo
equivalente ao nosso zero, que tinha aparência de uma concha. Para
a população referida, esse símbolo representava o vazio. Além disso,
IMPORTANTE
24
utilizavam um ponto para representar o número 1 (um) e um traço
para representar o número cinco. Podia-se repetir o ponto até qua-
tro vezes e o traço até três vezes. Portanto, até o número dezenove, o
sistema é de base cinco. Porém, a partir daí, os símbolos se repetem
e tomam a configuração do sistema vigesimal (MYASCHITA, 2002).
Estimado(a) estudante, o sistema de numeração maia é bem
engenhoso. A partir do número 20, a numeração segue um processo
no qual o número é dividido em duas partes: uma de cima e uma de
baixo. A primeira é um número que deve ser multiplicado por vinte,
que é a base numérica. A parte de baixo, no entanto, é um número
que deve ser somado ao número representado pela primeira par-
te do número. Pode-se dizer, então, que essas partes são as ordens
do nosso sistema de numeração decimal posicional (MYASCHITA,
2002).
Caro (a) estudante, para você compreender melhor o que foi apre-
sentado no parágrafo anterior, destaco que os maias escreviam na
vertical de baixo para cima, na ordem crescente das potências de 20,
sendo que a potência de segunda ordem não era 20², mas 18 x 20 =
360, possuíam um signo para o zero. Ressalto ainda que a numera-
ção maia também não foi concebida para atender as necessidades do
cálculo, ela foi elaborada apenas para satisfazer as necessidades do
tempo e das observações astronômicas, por este motivo, os maias
mantiveram essa imperfeição na sua segunda ordem. Para as posi-
ções seguintes, voltava o uso da base 20. (PEDROZA, 2010)
EXEMPLO
SAIBA MAIS
25
Figura 8 – Exemplos de números Maias
Fonte: PEDROZA, 2010
Para se aprofundar ainda mais no sistema de numeração maia, meu
(minha) caro(a) estudante, você pode acessar o texto Sistemas de
Numeração Antigos, da autora Patricia Aires Pedroza, que está dis-
ponível no site da bienal da sociedade brasileira de matemática em
2010 ocorrida na UFPB.
DICA
26
O Sistema de numeração romano
Figura 9 – Sistema de numeração romano
Fonte: Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
Conforme apresentado na imagem anterior, o sistema de numera-
ção romano é composto por sete numerais, representados por letra
do alfabeto. Além disso, possui algumas similaridades com o siste-
ma egípcio. Os agrupamentos também eram realizados de 10 em 10,
todavia, haviam símbolos específicos para representar o 5, 50, 500,
o que, na maioria das vezes, facilitava a escrita de alguns números.
Regras do sistema de numeração romano
Para saber mais sobre o sistema de numeração romano, indicamos
que pesquise no site Clubes de matemática da OBMEP no artigo inti-
tulado “Sala de Estudos: Sistema de numeração romano”. Este con-
teúdo também pode ser acessado através do seu material didático
virtual.
FIQUE DE OLHO
27
Ainda existem outras regras, como por exemplo, um traço horizon-
tal acima de uma letra ou de um grupo de letras, que torna seu valor
mil vezes maior. Dois traços fazem a letra ou grupo de letras 1 mi-
lhão de vezes maior. Vamos aos exemplos:
X = 10 x 1 000 = 1 0000
X = 10x 1 000 000 = 10 000 000
É importante frisar que, dos sistemas de numeração apresentados
anteriormente, o de numeração romano ainda é utilizado conforme
explicitado na imagem que aparece no início desta seção.
Até agora, estudamos os sistemas de numeração egípcio, babi-
lônico, maia e romano. Vamos então conhecer o nosso sistema de
numeração!
Sistema de Numeração Indo-Arábico
O sistema de numeração que utilizamos hoje é o indo-arábico. Este
foi criado pelos povos hindus e divulgado pelos árabes. Esses povos
tomaram conhecimento do sistema de numeração hindu a partir das
relações comerciais, adotando e disseminando em suas conquistas
territoriais.
O sistema de numeração hindu era composto apenas por nove
símbolos (1,2,3,4,5,6,7,8,9), isto é, eles não tinham um símbolo
para representar o vazio, ou seja, um símbolo para o zero, pois isso
ocorre muito tempo depois.
Evolução na Escrita dos Algarismos
Antes da invenção da imprensa, no século XV, os livros eram co-
piados manualmente, um a um. Como cada copista tinha a sua
VOCÊ SABIA?
28
caligrafia, as letras e os símbolos para representar números foram
sofrendo muitas modificações durante todos esses séculos de co-
piagem manual. Além disso, como o sistema de numeração criado
na Índia foi adotado pelos árabes e passado aos europeus, é natural
que a forma de escrever os dez algarismos fosse sofrendo alterações
(IMENES, 1999).
A imagema seguir apresenta a evolução do sistema de nume-
ração indo-arábico.
Figura 10 - Evolução do sistema de numeração indo-arábico
Fonte: IMENES (1999)
Quando a numeração indiana, trazida pelos árabes, alcançou a Euro-
pa, ali se empregava o sistema de numeração romano. Este mante-
ve-se em uso na Europa durante muitos séculos, devido, sobretudo,
ao grande poder da Igreja Católica durante toda a Idade Média (do
FIQUE DE OLHO
29
século V ao século XV, aproximadamente). Para nós, caros(a) estu-
dantes, que conhecemos os dois sistemas, é fácil perceber as enor-
mes vantagens do nosso sistema com relação ao romano. Isso pode
nos fazer supor que a numeração indo-arábica foi prontamente
aceita pelos europeus. Na verdade, não foi bem assim. Foram ne-
cessários alguns séculos para que as novas ideias triunfassem defi-
nitivamente, o que só ocorreu no século XVI. Durante muito tempo,
uma verdadeira batalha foi travada entre os adeptos da nova nume-
ração e os defensores do sistema romano. Os numerais indo-ará-
bicos chegaram a ser proibidos nos documentos oficiais, mas eram
usados clandestinamente. A perseguição, contudo, não conseguiu
impedir a disseminação do novo sistema, que acabou se impondo
pelas suas qualidades (IMENES, 1995).
O nosso sistema de numeração, o indo-arábico, é utilizado pratica-
mente em todo mundo, pois permite escrever os números e efetuar
cálculos de maneira mais simples e prática.
O sistema de numeração indo-arábico é decimal, isso significa dizer
que juntamos dez unidades para formar uma dezena, dez dezenas
para formar uma centena, dez centenas para formar um milhar, e
assim por diante. Esse sistema é chamado de decimal exatamente
pela escolha de agrupar de dez em dez.
Muitas vezes, costumamos ouvir que o sistema de numeração de-
cimal é de base 10 por ter apenas 10 algarismos para representar
qualquer número. De fato, por ser posicional e por trabalhar com
agrupamentos de 10 em 10, precisam-se apenas dos algarismos 0,
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 para representar qualquer valor que se tenha
em cada ordem. Ao chegar a 10, agrupa em um da ordem superior
(TELES, BELLEMAIN, GITIRANA, 2013, p. 3).
VOCÊ SABIA?
30
Esse sistema também se distingue dos demais pelo fato de a posição
em que um símbolo (algarismo) ocupa determinar o valor assumido
por ele, ou seja, nosso sistema de numeração decimal é posicional,
porque o mesmo algarismo pode assumir valores diferentes, de-
pendendo da posição que ocupa na representação do número. Com
os algarismos 5, 6 e 8, podemos formar vários números: 865, 658,
568 etc. Nesses três numerais, é possível perceber que os algarismos
têm valores diferentes de acordo com a posição que ocupam.
No primeiro numeral, por exemplo, o algarismo 5 tem valor posi-
cional de 5 unidades; no segundo, o algarismo 5 tem valor de 50, ou
seja, 5 dezenas. Já no terceiro, o algarismo 5 tem valor posicional
500, isto é, 5 centenas.
O valor absoluto de um número não depende da posição que ele ocu-
pa. No numeral 77, os dois algarismos 7 têm valor absoluto 7. Já o
valor relativo de um número depende da ordem em que o algarismo
se posiciona. No numeral 88, o primeiro 8 tem valor relativo de 80 (8
dezenas), e o segundo tem valor relativo de 8 (8 unidades).
Vale destacar também que o sistema de numeração indo-arábico
se difere do egípico, por exemplo, pelo fato de ter um símbolo para
representar as posições vazias, como mantenedor da ordem, este
símbolo é o “0” (Zero).
Por que chamamos os símbolos criados pelos Hindus de
Algarismos?
A palavra Algarismo vem da expressão árabe
al-Khwarizmi, “o nascido em Khwarizm”, ci-
dade que fica onde hoje é o Uzbequistão, então
pertencente ao Império Persa. Ali nasceu Abu
Jaafar Mohammed ibn Musa, que se mudaria
para Bagdá cedo com a sua família e se tornaria
DICA
31
um grande matemático e astrônomo. Atra-
vés de sua obra, conhecimentos matemáticos
orientais muito sofisticados entrariam no Oci-
dente. (ORIGEM DA PALAVRA, 2007)
O numeral é composto por algarismos. Assim, 537 é composto pelos
algarismos 5,3 e 7. Agora, muito cuidado! Não devemos chamar os
numerais romanos L, V, X de algarismo romano. Isso pelo fato dessa
palavra estar relacionada a um matemático árabe.
Para você ampliar seus conhecimentos sobre os sistemas de nume-
ração antigos e entender melhor o que significa a mudança de base,
você pode consultar os seguintes materiais:
O livro “Os números na história da civilização” do autor, Luiz Már-
cio Imenes, Coleção Vivendo a Matemática. São Paulo: Editora Sci-
pione, 1989;
Ou pode consultar o livro Introdução à história da matemática de
Howard Eves; tradução Hygino H. Domingues. 5a ed. – Campinas,
SP: Unicamp, 2011.
Classe e Ordem
No sistema de numeração decimal posicional, nosso sistema de nu-
meração, os algarismos são escritos em ordens, começando sempre
da direita para a esquerda. Cada algarismo corresponde a uma or-
dem e cada uma dessas ordens possui um nome específico. A cada
três ordens, temos uma classe, mas isso não significa que precisa-
mos de exatamente três algarismos para ter uma classe.
Vejamos o quadro abaixo.
32
Quadro 1 – As classes dos números
Fonte: Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
Agora, pelo quadro das ordens, vamos escrever o numeral: 45
678.
Quadro 2 – Exemplo de distribuição de número na classe dos milhares e unidades
Fonte: o autor (2023)
Isso significa dizer que temos no numeral 45 678:
quatro dezenas de milhar, cinco unidades de milhar, seis
centenas, sete dezenas, além de oito unidades ou ainda:
45 678 = 40 000 + 5000 + 600+70+8
45 678= 4x10 000 + 5x 1000+6x100+7x10+8
A partir da organização do número em ordens e classes, fica
bem mais fácil fazer a leitura: quarenta e cinco mil, seiscentos e se-
tenta e oito unidades.
Caro(a) estudante, se perguntassem a você quantas ordens e
quantas classes tem o numeral 45 678? Quantas você responderia?
SAIBA MAIS
33
Noção Intuitiva De Conjunto E Conceitos
Básicos
Conjunto é um conceito primitivo, por isso não possui definição
formal. Todavia, meu (minha) caro(a) estudante, podemos dar uma
definição formal baseada nos estudos de Georg Cantor: chama-se
conjunto todo agrupamento de objetos bem definidos e discerní-
veis, de nossa compreensão e percepção, chamados de elementos
do conjunto (SILVA, 2008).
George Cantor nasceu em S. Petersburgo, Rússia, tendo ficado co-
nhecido por ter criado a moderna teoria dos conjuntos. Foi a par-
tir desse estudo que chegou ao conceito de número transfinito,
incluindo as classes numéricas dos cardinais e ordinais, estabe-
lecendo a diferença entre estes dois conceitos que colocam novos
problemas quando se referem a conjuntos infinitos. Cantor também
ficou conhecido pelo seu trabalho sobre as representações originais
de funções por meio de séries trigonométricas (uma versão genera-
lizada de uma série de Fourier).
Fonte: Universidade de Coimbra.
Os tipos de conjuntos e como representá-los
Existem vários tipos de conjuntos e variadas formas de os represen-
tar matematicamente.
Conjunto dos dias da semana, meses do ano, vogais, estados
do Brasil, capitais do Brasil, entre outros.
Esses conjuntos podem ser representados da seguinte
maneira:
34
Dias da semana: D = {domingo, segunda, terça, quarta, quin-
ta, sexta, sábado}
Meses do ano: M = {janeiro, fevereiro, março, abril, maio, ju-
nho, julho, agosto, setembro, outubro, novembro e dezembro}
Vogais: V = {a,e,i,o,u}
Caro(a) estudante, conforme apresentamos acima, os con-
juntos são designados ou identificados por letras maiúsculas do
nosso alfabeto e, na maioria das vezes, representados entre chaves.
Destaco ainda que um conjunto pode ser composto por ele-
mentos e geralmente são separados por vírgulas. No caso do con-
junto D, observe que domingo é o primeiro elemento desse conjunto
e está separado dos demais por uma vírgula.
Todos os conjuntos que foram apresentados são finitos e não
vazio. Quando você observar que em um conjunto não tem asre-
ticências (...) nem pela direita, tampouco pela esquerda, possivel-
mente ele será finito, caso contrário, será infinito. Um exemplo de
conjunto infinito é o dos números naturais que representamos com
um N. Esse conjunto possui infinitos elementos.
N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}
Ele também pode ser representado da seguinte maneira (N*):
significa o conjunto dos números naturais sem o “0”.
O conjunto dos números pares: P = {0,2,4,6,8,10...} e o con-
junto dos números ímpares: I = {1,3,5,7,9,11...} também são infinitos.
Mas você pode encontrar a seguinte situação: A {x/x são os
cinco primeiros números naturais}. Nesse caso, o conjunto A é fi-
nito porque ele é formado apenas pelos cinco primeiros números
do conjunto dos números naturais. Isto é, ele possui apenas cinco
elementos.
Quando você encontrar essa forma de simbologia solicitando
os elementos de um conjunto, isso significa dizer que você lerá da
seguinte maneira:
“x tal que x”, que possui o significado “o elemento x deste
conjunto deve satisfazer a condição...”
35
Um conjunto pode ser também unitário, ou seja, possuir um
só elemento, ou ele pode ser um conjunto vazio:
Conjunto unitário T= {a}
Conjunto vazio H = { }
Você também pode encontrar a representação do conjunto
vazio da seguinte forma: Ø
Antecessor e sucessor de um número natural e
Diagrama de Venn
Todo número natural tem um antecessor e um sucessor. “Zero” é o
único número natural que não tem antecessor. Exemplo: o anteces-
sor do numeral 3 é o 2 e o sucessor de 4 é o 5. Na sucessão dos núme-
ros naturais, dois ou mais números em sequência são denominados
consecutivos:
13 e 14 são consecutivos;
100 e 101 são consecutivos;
999 e 1000 são consecutivos.
Um conjunto também pode ser representado por meio do
diagrama de Venn, conforme exemplo:
VOCÊ SABIA?
36
O diagrama de Venn é basicamente uma listagem em que os
elementos ficam dentro de uma linha fechada. Essa forma é muito
utilizada por causa da facilidade de raciocínio e interpretação.
John Venn foi um matemático e lógico inglês que nasceu em 4 de
agosto de 1834, em Hull-Inglaterra, e morreu em 4 de abril de 1923,
em Cambridge-Inglaterra. Mais conhecido pelos diagramas que le-
vam seu nome e podem ser usados para ilustrar operações elemen-
tares e relações de inclusão e exclusão entre conjuntos. Venn fez
contribuições importantes para as áreas da Lógica Matemática, da
Teoria da Probabilidade e da Filosofia da Ciência.
Agora, meu(minha) caro(a) estudante, observe os seguintes
conjuntos representados nos diagramas de Venn a seguir:
Dessa forma, a organização dos conjuntos nos ajuda a visua-
lizar, de forma clara, os conjuntos e estabelecer as relações entre
eles. Assim, no exemplo acima temos:
O conjunto G com parte de F, nesse caso dizemos que G é um
subconjunto de F. Essa relação pode ser representada da seguinte
forma:
ATENÇÃO
37
G ⊂ F e lemos da seguinte maneira: G está contido em F.
Ou ainda F ⊃ G (devemos ler: F contém G).
Todavia, o conjunto E não mantém nenhuma ligação com os
conjuntos F e G, nesse caso, dizemos que: E ⊄ F (E não está contido
em F). ou ainda F⊅ E (F não contém E).
Agora, observe o seguinte diagrama:
Na situação do esquema acima, o conjunto N é chamado de
universo porque ele contém todos os outros conjuntos. Observe que
todos os números que estão contidos nos conjuntos E, F e G fazem
parte do conjunto dos números naturais.
Portanto, o conjunto dos números naturais (N) é o conjunto
universo.
O conjunto vazio está contido em qualquer conjunto, não esqueça!
38
Pertinência e Igualdade
Voltemos aos exemplos dos conjuntos E e G.
O conjunto E é formado pelos números: 2,4,6 e 8 e o conjunto
G pelos números: 1,3,5 e 7. Observe que 2 é um elemento de E. Essa
afirmação é representada em matemática da seguinte forma: 2 ∈ E
(lê-se: 2 pertence a E), contudo o número 1 não é elemento de E,
nesse caso, devemos escrever com símbolos:
1 ∉ E (lê-se 1 não pertence a E).
Agora, observe os conjuntos a seguir:
O = {k,w,y}
H = {k,w,y}
Nessa situação, dizemos que os dois conjuntos são iguais,
pois eles têm os mesmos elementos, ou ainda, O = H.
Já no caso dos conjuntos E e G, apresentados anteriormente,
dizemos que
E ≠ G.
Operações com conjuntos
Vamos considerar os seguintes conjuntos:
X = {10,20,30,40,50,60} e Y = {50,60,70,80,90}
39
I. Interseção: é o conjunto formado pelos elementos comuns aos
dois conjuntos e podemos representar da seguinte maneira:
X ∩ Y = {50,60}, lemos então assim: X interseção Y. Também
podemos representar no diagrama de Venn.
II. União: é o conjunto formado por todos os elementos comuns e
não comuns de X e de Y:
X ∪ Y = {10,20,30,40,50,60,70,80,90} (lê-se: X união Y).
III. Diferença ou complementar
C_ (lê-se: complementar de Y em X) = X- (X ∩ Y)
Na diferença de dois conjuntos x-y, fixamos o primeiro con-
junto (X) e retiramos dele os elementos da interseção com Y:
X = {10,20,30,40,50,60}
X ∩ Y = {50,60}
C_= X - Y= X - (X ∩ Y)= {10,20,30,40}, portanto, X - Y =
{10,20,30,40}.
Segue abaixo uma tabela com os principais símbolos que uti-
lizamos na matemática.
40
Figura 11 – Principais símbolos na Matemática
Fonte: Wiktionary (2023)
Adição de números naturais
A operação de adição, dependendo da situação, pode ser associada a
duas ideias principais: acrescentar uma quantidade à outra ou jun-
tar quantidades.
Vamos analisar o quadro abaixo que diz respeito aos pontos
adquiridos em algumas rodadas por três participantes em um de-
terminado jogo:
41
Quadro 3 – Pontos dos jogadores
Fonte: o autor (2023)
Quantos pontos fez cada particpante nesse jogo? Quem ven-
ceu o jogo?
Para responder essas duas perguntas, precisamos juntar as
quantidades de pontos de cada participante e, em seguida, compa-
rar o total de pontos.
Vamos organizar, então, os pontos da seguinte forma:
Jéssica: 1500 + 923 = 2 423
Alberto: 1700 + 562 = 2 262
Janete: 1800 + 852 = 2 652
O primeiro termo da adição, assim como o segundo, chama-
mos de parcela e o resultado da adição é chamado de soma ou total.
Nesse caso, quem fez mais pontos foi Janete e, consequentemente,
foi ela quem venceu o jogo.
Para conferir se os resultados estão corretos, você pode apli-
car a prova real, ou seja, realizar a operação inversa. Pegamos o re-
sultado e subtraímos uma das parcelas, nesse caso, o resultado tem
que ser a outra parcela que não foi escolhida para a realização da
operação.
Exemplo: Jéssica 2 423 – 1500 = 923.
Propriedades da adição
• Fechamento: a adição no conjunto dos números naturais é fe-
chada, pois a soma de dois números naturais é ainda um nú-
mero natural.
42
• Comutatividade: a ordem das parcelas não altera o resultado
da operação.
Assim, se 10 + 12 = 22, logo 12 + 10 = 22;
• Associatividade: o agrupamento das parcelas não altera o re-
sultado. Assim, se (5 + 4) + 2 = 11, logo (2 + 5) + 4 = 11;
• Elemento neutro: o 0 é chamado de “elemento neutro” da
adição. Logo, 2+0 = 2, ou seja, qualquer número somado a zero
será igual ao próprio número;
Caro(a) estudante, existe ainda o “elemento oposto”, mas
essa propriedade está relacionada à adição no próximo conjunto que
vamos estudar, que é o dos números inteiros.
Elemento oposto – o valor oposto de um número a é −a, o va-
lor oposto de 7 é −7. Assim, a soma de qualquer número e seu oposto
é 0. Exemplos: 4 + (−4) = 0 (−19) + 19 = 0. Veremos um pouco mais
sobre essa situação na próxima seção deste objeto de estudo.
Propriedades da multiplicação
• Fechamento: a multiplicação é fechada no conjunto N dos
números naturais, pois realizando o produto de dois ou mais
números naturais, o resultado estará em N. Exemplo: 3 x 4 =
12. O multiplicador 3 e o multiplicador 4 são naturais, conse-
quentemente, 12 (produto) é também natural.
• Associativa: na multiplicação, podemos associar 3 ou mais fa-
tores de modos diferentes, pois se multiplicarmos o primeiro
fator com o segundo e depois multiplicarmos por umterceiro
número natural, teremos o mesmo resultado que multiplicar
o terceiro pelo primeiro fator e, depois, pelo segundo. Exem-
plo: (2 x 4) x 3 = 24 ⇔ (3 x 2) x 4 = 24.
• Elemento Neutro: No conjunto dos números naturais, o ele-
mento neutro para a multiplicação é o 1. Qualquer que seja o
número natural m, tem-se que: 1 . m = n . m = n → 1 . 8 = 8 . 1 = 8
43
• Comutativa: Quando multiplicamos dois números naturais
quaisquer, a ordem dos fatores não altera o produto, isto é,
multiplicando o primeiro elemento pelo segundo, teremos o
mesmo resultado que multiplicando o segundo elemento pelo
primeiro. 5 x 6= 6 x 5 = 30.
• Propriedade Distributiva: Multiplicando um número natural
pela soma de dois números naturais, é o mesmo que multipli-
car o fator, por cada uma das parcelas e a seguir adicionar os
resultados obtidos. Exemplo:
k . (x + r) = k . x + k . r → 3 x (2 + 1) = 3 x 2 + 3 x 1 = 6 + 3 = 9
Conjunto dos Números Inteiros
Vamos iniciar esta seção com alguns questionamentos:
Você já ouviu falar em números menores que 0 (zero)?
Você já viu uma medida de temperatura aferida pelo termô-
metro? E o painel de um elevador, que indicam os andares, subsolo
e garagem? Você já observou um saldo bancário? E já ouviu alguém
dizer que está com saldo negativo na conta?
Pois bem, sem os números que compõem o conjunto que
vamos estudar agora ficaria complicado realizar algumas das re-
presentações que podem contribuir para responder às indagações
acima. Estamos nos referindo aos números negativos e, mais espe-
cificamente, ao conjunto dos números inteiros representado pela
letra Z. Esse conjunto infinito pela esquerda e pela direita contém
os números positivos, o zero e os negativos.
Z = { ..., -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...}
Para cada número natural ou número positivo, temos um
correspondente negativo. Dizemos que são números opostos, o
oposto de 8 é -8; o oposto de 12 563 é –12 563.
IMPORTANTE
44
Subconjuntos de Z
Caro(a) estudante, quando você observar a seguinte simbologia Z*
significa o conjunto dos números inteiros sem o zero.
Z*= {..., -6, -5, -4, -3, -2 ,-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Os números inteiros estão presentes no dia a dia , por exem-
plo, quando ouvimos as afirmações:
Dona Maria Antônia está com a conta negativa no Banco de
R$1 256,00.
A cidade de Campus do Jordão atingiu a temperatura de 3ºC
abaixo de zero.
Isso quer dizer que Dona Maria Antônia deve ao Banco R$1
256,00, ou seja, ela tem -1 256,00. No caso da temperatura, inter-
pretamos que está - 3ºC.
Vale ressaltar que cada vez que o número se aproxima do zero pela
esquerda, ele vai ficando cada vez maior: -5razão
Razão é considerada como uma relação entre duas quantidades de
uma mesma grandeza, ou seja, indica um índice comparativo entre
essas duas quantidades da mesma grandeza.
Exemplo: Uma indústria fabrica 50 copos plásticos por minu-
to. Dois em cada cinco copos fabricados saem com defeitos. Qual a
fração indica a razão de copos com defeitos? (FERNANDES, BELLE-
MAIN E TELES, 2008).
IMPORTANTE
50
Estimado(a) estudante, você também precisa ficar atento(a) quanto
aos significados do número racional. Segundo o pesquisador Melo
(2018), há uma variedade de sentidos que lhes são atribuídos: Entre
eles, chamados sub-construtos, podemos encontrar os sentidos de
número, medida, quociente, operador multiplicativo, taxa, razão,
coordenadas lineares, parte-todo e interpretação parâmetro/parâ-
metro. Vamos aos exemplos baseados nos estudos de Melo (2018, p.
3):
Número – refere-se à compreensão do número racional, em sua
representação fracionária ou decimal, como integrante de uma se-
quência numérica. Ao pedir, por exemplo, que o aluno localize o nú-
mero 1/2 ou 0,5 na reta numérica, estamos trabalhando o sentido de
número deste racional.
Parte-todo – neste sentido, o número racional representa a fra-
ção do todo que foi dividido num dado número de partes equiva-
lentes. Na representação fracionária, estabelece-se a relação direta
do denominador e numerador com, respectivamente, a quantida-
de de partes iguais em que o todo foi dividido e o número de partes
consideradas.
Quociente – refere-se à representação fracionária a/b como uma
divisão em que b é diferente de zero.
Operador – refere-se à ideia do racional como uma função que atua
sobre um determinado número, modificando-o. Ao calcularmos,
por exemplo, 1/6 de 90 a partir da operação 1/6 . 90 = 15, estamos
mobilizando esse significado.
Quanto às representações, os números racionais também ad-
mitem variados tipos de registros que podem envolver expressões
da linguagem natural falada ou escrita, formas figurativas e regis-
tros numéricos. Em vista disso, Melo (2018) defende que:
51
As representações chamadas figurativas po-
dem ser de quantidades contínuas ou discretas,
enquanto que as representações numéricas
podem ser fracionárias, decimais ou percen-
tuais. Por quantidades contínuas, entende-se
aquelas as quais podemos dividir o todo em um
número infinito de partes iguais sem que haja
qualquer prejuízo de suas propriedades, como
por exemplo, a área de uma figura plana. Por
sua vez, ao falarmos de quantidades discretas,
estamos nos referindo àquelas situações onde
não podemos dividir infinitamente o total em
questão, sob pena de prejuízo a suas proprie-
dades, como por exemplo, uma turma de alu-
nos (MELO, 2018, p. 4)
Estimado(a) estudante, você sabia que existem vários sub-
conjuntos de Q? Vamos conhecer alguns deles!
• Q* (lê-se: conjunto dos números racionais não nulos.)
• Q+ (lê-se: conjunto dos números racionais positivos.)
• Q- (lê-se: conjunto dos números racionais negativos.)
• Q*+ (lê-se: conjunto dos números racionais positivos e não
nulos.)
• Q*- (lê-se: conjunto dos números racionais negativos e não
nulos.)
Vamos continuar estudando as frações...
Como se lê uma fração?
As frações recebem alguns nomes especiais, vamos conferir
no quadro a seguir:
ATENÇÃO
52
Quadro 4 – Nomenclatura de frações
Fonte: Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
Em geral, os números fracionários com denominadores de 10 para
cima são lidos da mesma forma que os números cardinais, seguidos
da palavra “avos”.
53
Classificação das Frações
Denominamos de:
Fração própria: o numerador é menor que o denominador
Exemplo: 4/6 , 10/25 , 1000/2000
Fração imprópria: quando o numerador é maior ou igual ao
denominador
Exemplo: 10/6 , 25/4 , 100/100
Fração aparente: quando o numerador é multiplo do denominador
Exemplo: 15/5 , 9/3, , 10/2,
Frações equivalentes: representam a mesma parte do todo.
Exemplos:
Figura 14 – Exemplo ilustrado de fração equivalente
Fonte: Adaptado do site Geogebra pelo Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
Nessa situação, a fração 5/10 equivale à fração ½. Para en-
contrar uma fração equivalente, devemos multiplicar o denomi-
nador e o numerador por um mesmo número natural diferente de
zero, ou mesmo, simplificar a fração, dividindo o numerador e o de-
nominador pelo mesmo número quando a fração não estiver na sua
forma irredutível, isto é, aquela que não se pode simplificar mais.
Ao simplificar uma fração, você encontra também uma equivalente
a ela, como no caso da imagem acima, dividindo 5/10 (chegamos ao
numerador e denominador por 5) na fração ½, e, se multiplicarmos
54
numerador e denominador dessa fração por 5, chegamos na fração
5/10.
Para ampliar ainda mais seus conhecimentos, observe a
ilustração a seguir:
Figura 15 – Exemplo ilustrado de fração
Fonte: o autor (2023)
Adição e subtração de números fracionários
Precisamos, caro(o) estudante, analisar dois casos:
I. demonimadores iguais:
Quando os demominadores forem iguais, somam-se/subi-
traem-se os numeradores e repete-se os denominadores.
Exemplos :
5/10 + 6/10 = 11/10 5/10-2/10 = 3/10
II. denominadores diferentes
Para somar duas frações com denominadores diferentes, deve-
mos calcular o m.m.c, reduzindo-as ao mesmo denominador.
Exemplo:
2/3 - 1/5 = (10-3)/15 (-3)/4+ 7/2 = (-3+14)/4= 11/4
55
Multiplicação e divisão de fração
Na multiplicação de fração, basta multiplicar os numeradores e,
logo após, os denominadores. Sempre que possível, devemos sim-
plificar as frações antes de efetuar o produto.
(-6/3) · (-4/2)= +24/6
Lembre-se dos jogos dos sinais que aprendemos no conjunto
dos números inteiros!
Na divisão, conserva-se a primeira fração, inverte-se a se-
gunda e multiplicam-se as duas.
Exemplo:
(10/15) ÷ (2/3)= 10/15 . 3/2 = 30/30
Decimais
Os números decimais também podem ser escritos na forma de fra-
ções, nas quais os denominadores são multiplos de 10.
Exemplos:
3,5= 35/10 4,23 = 423/100 32,123= 32123/1000
Vamos aprender agora como podemos ler os números
decimais:
A leitura dos números decimais deve ser realizada pela união
da parte inteira do número (explicitada antes da vírgula) e a quan-
tidade de casas decimais (depois da vírgula) que corresponde a par-
te fracionária: décimo, centésimo, milésimo, décimo de milésimo,
centésimo de milésimo, milionésimo etc.
56
Exemplos:
0,2 – dois décimos
0,02 – dois centézimos
0,002- dois milésimos
3,2- três inteiros e dois décimos
A ilustração a seguir trata de uma “régua dos decimais” e
vai ajudá-lo meu(minha) caro(a) aluno(a) na leitura dos números
decimais:
Figura 16 – A régua dos decimais
Fonte: Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
Operação com os decimais
Adição e Subtração
Nas operações, os números decimais e os números naturais
são escritos, todos eles, no sistema posicional. Por isso, os cálculos
realizados com os números decimais são parecidos com os que você
conhece para os naturais.
57
Figura 17 – A adição de números decimais
Fonte: o autor (2023)
Nas operações de adição, somamos milésimos com milési-
mos, centésimos com centésimos, décimos com décimos e assim
por diante.
Agora, vamos observar o próximo exemplo que envolve uma
subtração:
8 – 4,25 =
Multiplicação
A multiplicação entre dois números decimais deve ser rea-
lizada da mesma forma da multiplicação entre dois números na-
turais, o número decimal deve multiplicar todos os algarismos do
outro número decimal, devendo manter a posição da vírgula, ou
seja, considerando a mesma quantidade de casas decimais.
8,00
- 4,25
3,75
Acrescentamos “zero” na casa dos décimos e
“zero” na casa dos centésimos, que não muda o
número, mas é necessário para se efetuar a sub-
tração. Observe que usamos as mesmas ideias da
subtração de números naturais.
58
Figura 18 – A multiplicação de números decimais
Fonte: o autor (2023)
Divisão
Para você compreendercom deve ser realizada a divisão de
números decimais, estimado(a) aluno (a), apresentamos o seguinte
exemplo:
Figura 19 – A divisão de números decimais
Fonte: o autor (2023).
Na prática, procedemos assim:
› Igualamos o número de casas decimais do dividendo e do
divisor, acrescentando 0.
› Eliminamos a vírgula.
› Efetuamos a divisão entre os números naturais obtidos.
59
Multiplicação e Divisão de números decimais por 10, 100 e
1000
Meu(minha) caro(a) estudante, na multiplicação de um nú-
mero decimal por 10, o resultado é o próprio número com a vírgu-
la deslocada uma posição para a direita; multiplicando um número
decimal por 100, o resultado é o próprio número e a vírgula deve ser
deslocada duas posições para a direita, multiplicando um número
decimal por 1000, o resultado é o próprio número com a vírgula des-
locada três posições para a direita e assim por diante.
I. 9,4 x 10= 94
II. 9,4 x 100 = 940
III. 9,4 x 1000 = 9400
IV. 0,94 x 10 = 9,4
V. 0,94 x 1000 = 940
De modo geral, de uma forma mais clara, quando multipli-
camos um número decimal por 10, 100, 1.000, etc... deslocamos a
vírgula para a DIREITA tantas casas quantos forem os zeros da po-
tência de 10.
Para dividir um número por 10, 100, 1000, etc., basta deslocar
a vírgula a quantidade de vezes igual ao número de zeros para a ES-
QUERDA. Se o número for inteiro, considera-se que a vírgula está a
seguir ao último algarismo da direita.
I. 362,5 ÷ 10= 36,25
II. 362,5 ÷ 100 = 3,625
III. 362,5 ÷ 1000 = 0,3625
IV. 362÷ 10 = 36,2
V. 362 ÷ 100 = 3,62
VI. 362÷1000= 0,362
60
Dízimas periódicas
Toda dízima periódica pode ser representada por uma fração, cha-
mada fração geratriz. Para determinar uma fração geratriz de uma
dízima, você pode seguir o exemplo abaixo:
I. Seja x = 2,3333...
Multiplicando x por 10, temos que 10x = 23,3333...
Agora veja a subtração 10x-x:
II. Seja x = 35,2121
Devemos multiplicar x por 100, portanto 100x = 3521,2121
Subtraímos x de 100x:
Assim, devemos procurar um múltiplo de 10 de tal forma
que, ao efetuarmos o produto, e, a seguir a diferença (conforme
os exemplos), tenhamos um número inteiro. No caso do número
4,58123123123..., observe que o período da dízima aparece a partir da
61
segunda casa decimal. Nessa situação, multiplicamos, inicialmente,
por 100 para isolar o período:
100x = 458,123123123...
Devemos proceder como nos exemplos anteriores, como o
período contém três algarismos, multiplicamos 458,123123123...por
1000:
Conjunto dos Números Reais
Veja agora, meu(minha) caro(a) estudante, os números a seguir:
0,1100001010000000111111111100000000111000000
√2 = 1.4142135623730951...
√3 = 1.7320508075688772...
Pi (π) = 3,14159265358979323846…
φ = (1 + V5)/2 ≈ 1,618033989...
Os números apresentados anteriormente não possuem um
período, portanto não podem ser expressos sob forma de fração. Es-
ses números são chamados de irracionais e são elementos do con-
junto dos Números Reais assim como os números naturais, inteiros
e racionais.
62
O conjunto dos Números Reais (R) pode ser representado da
seguinte forma:
Figura 20 – O conjunto dos números Reais
Fonte: Editorial Grupo Ser Educacional (2023)
O conjunto dos Números Reais nada mais é do que a união en-
tre o conjunto dos números racionais (Q) e o conjunto dos números
irracionais (I).
Temos então que R = Q ∪ I (lê-se conjunto dos números ra-
cionais união com o conjunto dos números irracionais).
Vale recordar também que nenhum número pode ser racional
e irracional ao mesmo tempo. Daí: Q ∩ I = Ø
A Reta real
Segundo Pereira; Chaves (2016) os números reais são representa-
dos graficamente considerando a correspondência existente entre
os pontos de uma reta e os números reais. Assim, a cada ponto da
reta, corresponde um e um só número real, e cada número real é
correspondente de um único ponto. Por outro lado, assim como en-
tre dois pontos de uma reta, há infinitos pontos, também entre dois
números reais quaisquer existem infinitos números reais.
SINTETIZANDO
63
Palavras Finais
Estamos chegando ao final deste objeto de estudo. Nele, tratamos
de vários conteúdos matemáticos importantes para a sua formação.
Recomendamos que você assista aos vídeos indicados, realize as
leituras complementares que foram selecionadas com muita aten-
ção pelo autor deste material.
Não esqueça de assistir às aulas das webconferências para comple-
mentar o que está descrito neste material. O momento das aulas ao
vivo oferece condições para você, meu(minha) estimado(a) estu-
dante, entrar em contato diretamente com o professor desta dis-
ciplina para tirar as dúvidas que vão surgindo ao passo que você vai
lendo este material.
Na próxima unidade, você vai estudar: Operações fundamentais en-
volvendo os números reais, Divisores e Múltiplos de números na-
turais, Máximo Divisor Comum (MDC), e Mínimo Múltiplo Comum
(MMC), Sistemas de Equações e Resolução de equações e inequações.
Nos veremos em breve. Até lá!
Objetivos
1. Compreender e aplicar em diferentes contextos os conceitos
básicos da matemática;
2. Resolver e elaborar problemas com números naturais e intei-
ros, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo
incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum,
por meio de estratégias diversas;
3. Solucionar e elaborar problemas relacionados ao seu contex-
to próximo, que possam ser representados por sistemas de
equações de 1º grau com duas incógnitas e interpretá-los;
4. Resolver problemas envolvendo equações e inequações do 1º
grau.
UN
ID
AD
E
2
Introdução
Estimado(a) estudante, seja bem-vindo(a) a Unidade 2 da disciplina
de Matemática Instrumental. Nesta unidade vamos estudar algu-
mas operações fundamentais envolvendo números reais, divisores e
múltiplos de números naturais e inteiros, divisibilidade de números
naturais e inteiros, máximo divisor comum (mdc) e mínimo múlti-
plo comum (mmc), números primos e compostos em N e Z, vamos
resolver algumas equações e inequações de forma bem clara e ob-
jetiva e finalizaremos com sistemas de equações do 1º grau. Nosso
intuito é que você possa revisar vários conteúdos matemáticos que
já foram estudados na educação básica, mas de uma maneira sim-
ples e com objetividade.
Muitas pessoas percebem a matemática como algo para quem
tem vocação, ou ainda para quem pode ser considerado gênio ou
superinteligente ou mesmo com QI elevado, mas isso é apenas um
mito, todos são capazes de aprender matemática, todavia, para isso
acontecer, é necessário dedicação e prática. Deves sempre reservar,
caro(a) estudante, um momento para estudá-la, assim como to-
das as outras áreas do conhecimento. A matemática deve ser vista
por todos não como um problema, mas como uma solução. Sem a
existência dela o desenvolvimento, por exemplo, das tecnologias da
informação e comunicação não seria possível, as belíssimas cons-
truções com arquiteturas sofisticadas que podemos contemplar são
frutos de conhecimentos matemáticos.
Por isso, escutamos alguns estudiosos da matemática dizer
que tudo a nossa volta pode ser compreendido por meio da mate-
mática, outros relatam ainda que a matemática está em tudo. Não
temos como fugir dessa realidade. As situações que serão apre-
sentadas neste objeto de aprendizagem 2 buscam contribuir com o
desenvolvimento da sua formação profissional. Em cada seção estu-
dada você perceberá que a matemática é uma importante ferramen-
ta para resolver problemas que podem surgir no dia a dia. Aproveite
cada dica de leitura, os vídeos que serão apresentados nas seções e
os sites indicados para enriquecer seus conhecimentos.
67
Operações fundamentais envolvendo os
números reais
Embora você já saiba como resolver operações do tipo 3+5=8; 7-12=
-5; -9.(-6)=+56; 8÷2=4; Quando se trata de expressões
numéricas existem algumas regras que precisam ser levadas em
conta para chegar corretamente ao resultado.
1º - a multiplicação e a divisão têm prioridades. Sempre devemosMais conteúdos dessa disciplina
Mapa Mental - Probabilidade- Apanhado de estatística
- Revisar envio do teste_ QUESTIONÁRIO UNIDADE I _
- Captura de tela 2025-11-22 140716
- Questões de Matemática ENEM
- 8-A-MEDIDAS-DE-TENDENCIA-CENTRAL-MATEMATICA
- Captura de tela 2025-09-07 112641
- Análise Instrumental Estatística
- Análise Estatística de Potenciais
- ESTATISTICA UNIARAXA PEDAGOGIA - Resumo
- Mapa Mental - Estatística
- Teste 3_ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
- Questão Discursiva_ ESTATÍSTICA APLICADA À EDUCAÇÃO
- A distribuição normal é a principal ferramenta estatística em casos... podemos afirmar que: R= O intervalo de confiança de 68% pode ser obtido pelo cá
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