Unidade_06

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� A análise de sensibilidade serve também para amenizar a hipótese de
certeza nos coeficientes e constantes.
ANÁLISE DE SENSIBILIDADE
� Em uma análise de sensibilidade queremos responder basicamente a
duas perguntas:
� Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função- objetivo?
Profª MsC. Andressa Azevedo1 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
Qual o efeito de uma mudança num coeficiente da função- objetivo?
� Qual o efeito de uma mudança numa constante de uma restrição?
INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA
PROBLEMA DUAL
� Cada variável yi do Dual está diretamente relacionada com a restrição i
do problema Primal;do problema Primal;
� O valor ótimo desta variável, yi* recebe diversas denominações, entre 
elas:
� Preço-Sombra (Shadow Price);
Profª MsC. Andressa Azevedo2 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
� Preço-Dual (Dual Price);
� Portanto, cada restrição i possui um preço-sombra yi*
PREÇO DE SOMBRA
INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA
O preço-sombra para o recurso i (y *) mede o valor marginal deste � O preço-sombra para o recurso i (yi*) mede o valor marginal deste 
recurso em relação ao lucro total;
� Isto é, a quantidade que o Lucro Total (Z) seria melhorado, caso a 
quantidade do recurso i (bi) fosse aumentado de uma quantidade igual 
Profª MsC. Andressa Azevedo3 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
quantidade do recurso i (bi) fosse aumentado de uma quantidade igual 
à unidade.
PREÇO DE SOMBRA 
SOLUÇÃO GRÁFICA
3040Max 21 += xxZ Solução Ótima
0,
21
5
20
s.r.
3040Max
210
3
15
3
25
1
22
1
15
2
21
≥
≤+
≤
≤+
xx
xx
x
xx
xxZ
(0;25) (18,75;25)
16003040 21 =+ xx
Solução Ótima
(25;20)
Profª MsC. Andressa Azevedo4 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
0, 21 ≥xx (0;0) (35;0)
� Vamos medir o efeito de aumentar essa constante em 3 unidades, até 24?
3040Max += xxZ +=
PREÇO DE SOMBRA 
SOLUÇÃO GRÁFICA
5
20
s.a.
3040Max
25
1
22
1
15
2
21
≤+
≤
≤+
+=
x
xx
xxZ
5
20
s.a.
3040Max
25
1
22
1
15
2
21
≤+
≤
≤+
+=
x
xx
xxZ
Profª MsC. Andressa Azevedo5 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
0,
21
21
210
3
15
3
≥
≤+
xx
xx
0,
24
21
210
3
15
3
≥
≤+
xx
xx
� O conjunto de soluções viáveis foi alterado
� A solução ótima também foi alterada
PREÇO DE SOMBRA 
SOLUÇÃO GRÁFICA
� A solução ótima também foi alterada
5
20
s.a.
3040Max
25
1
22
1
15
2
21
≤
≤+
+=
x
xx
xxZ
(0;25)
(18,75;25) ( )40100 ;
Solução Ótima
3
52003040 21 =+ xx
Profª MsC. Andressa Azevedo6 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
0,
24
5
21
210
3
15
3
25
≥
≤+
≤
xx
xx
x (0;25)
(0;0)
(35;0)
(25;20)
(40;0)
( )3403100 ;
� Na primeira situação tínhamos
1600=Z
PREÇO DE SOMBRA
SOLUÇÃO GRÁFICA
� Dado o acréscimo de 3 unidades na segunda restrição obtivemos:
� Portanto:
� Alteração da Função-objetivo:
40016005200 =−
1600=Z
3
5200
=Z
Profª MsC. Andressa Azevedo7 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
� Alteração da Função-objetivo:
� Logo, preço de sombra :
44,44
3
3
400
=
3
1600
3
=−
3040Max 21 += xxZ
s.a.
3040Max 21 += xxZ
PREÇO DE SOMBRA 
SOLUÇÃO GRÁFICA
21
6
20
s.a.
210
3
15
3
25
1
22
1
15
2
≤+
≤
≤+
xx
x
xx
21
5
20
s.a.
210
3
15
3
25
1
22
1
15
2
≤+
≤
≤+
xx
x
xx
Profª MsC. Andressa Azevedo8 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
0, 21
21
≥xx0,
21
21
21015
≥xx
xx
16003040 =+ xx
Solução Ótima
(0;30)s.a.
3040Max 21 += xxZ
PREÇO DE SOMBRA
SOLUÇÃO GRÁFICA
(0;25)
(0;0)
(18,75;25)
(35;0)
16003040 21 =+ xx
(25;20)
(0;30)
0,
21
6
20
s.a.
21
210
3
15
3
25
1
22
1
15
2
≥
≤+
≤
≤+
xx
xx
x
xx
Profª MsC. Andressa Azevedo9 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
� O conjunto de soluções viáveis foi alterado
� Essa restrição não limitava à solução ótima inicial, que não foi alterada.
� Qual é o preço de sombra desta restrição? ZERO
Solução Ótima
20003040 21 =+ xx16003040 21 =+ xx
Solução Ótima
PREÇO DE SOMBRA 
LIMITE
(0;0) (35;0) (50;0)
(0;25) (18,75;25)
(25;20)
21
(0;25)
(35;0)
(25;20)
(18,75;25)
Profª MsC. Andressa Azevedo10 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
Logo, preço 
de sombra : 44,449
400
=40016002000 =−
Alteração da 
Função-
Objetivo:
� O valor do preço de sombra permaneceu constante
� Cada variável de folga/excesso do Dual está diretamente relacionada a � Cada variável de folga/excesso do Dual está diretamente relacionada a 
CUSTO REDUZIDO 
INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA
uma determinada variável original do problema Primal;
� Esse valor é chamado de Custo Reduzido ou Reduced Cost;
� Portanto, cada variável do problema original possui um determinado 
custo reduzido.
uma determinada variável original do problema Primal;
� Esse valor é chamado de Custo Reduzido ou Reduced Cost;
� Portanto, cada variável do problema original possui um determinado 
custo reduzido.
Profª MsC. Andressa Azevedo11 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
� O custo reduzido de uma variável é:
CUSTO REDUZIDO
INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA
� O custo reduzido de uma variável é:
� o total que o seu coeficiente na função-objetivo deve melhorar 
para que ela deixe de ser zero na solução ótima;
� quanto a função-objetivo irá piorar para cada unidade que a 
variável aumente a partir de zero;
Profª MsC. Andressa Azevedo12 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
� O custo reduzido só se aplica a variáveis que, na solução ótima, 
assumem o valor zero.
� A tabela abaixo sintetiza o problema de um pecuarista: São três alimentos diferentes
que contribuem com alguns nutrientes para a alimentação do gado. Qual é o custo
EXEMPLO
INTERPRETAÇÃO ECONÔMICA
mínimo diário para estabelecer uma dieta com o requerimento mínimo?
Ingrediente
Nutritivo
Quilo
de
milho
Quilo
de
ração
Quilo
de
alfafa
Requerimento
mínimo
diário
carboidratos 90mg 20mg 40mg 200mg
Profª MsC. Andressa Azevedo13 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
proteínas 30mg 80mg 60mg 180mg
vitaminas 10mg 20mg 60mg 150mg
custo ($/kg) 21 18 15
MODELAGEM NO LINGO
Profª MsC. Andressa Azevedo14 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
A RESPOSTA
� A ração é muito cara!
Profª MsC. Andressa Azevedo15 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
� Estou fornecendo mais vitamina 
que o mínimo
Dualidade In: PASSOS, E. J. P. F. Programação Linear como Instrumento
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
Dualidade In: PASSOS, E. J. P. F. Programação Linear como Instrumento
da Pesquisa Operacional. São Paulo: Editora Atlas, 2008 - capítulo 6.
O Problema Dual e A Análise de Sensibilidade In: LACHTERMACHER, G.
Pesquisa Operacional na Tomada de Decisão. Rio de Janeiro: Editora
Profª MsC. Andressa Azevedo16 Unidade 6– Interpretação Econômica dos Resultados e Análise de Sensibilidade
Pesquisa Operacional na Tomada de Decisão. Rio de Janeiro: Editora
Elsevier, 2007 - capítulo 4.