CIRC_ELE_I_A07

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 I 
 
CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
1 
Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati 
edmarcio.belati@ufabc.edu.br 
Aula 07Aula 07 
11/03/2015 
 Circuitos com Dois Elementos 
Armazenadores de Energia 
 Resposta Natural 
 Exercícios 
 
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Vamos considerar o circuito com dois indutores da figura 1 abaixo. 
Vg
8ohm 2H
4ohm
1H
1 2 3
4
i1 i2 
I II 
Por análise de malha temos: 
Qual é a equação que satisfaz a corrente de malha i2? 
MALHA I: 
gv
dt
di
ii  121 2412
Eq.1 
MALHA II: 
0144 221 
dt
di
ii
Eq.2 
Figura 1- Circuito de Segunda Ordem 
CIRCUITOS COM DOIS ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
2 
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Da Eq. 2, temos: 
0144 221 
dt
di
ii
Eq.2 
)4(
4
1
2
2
1 i
dt
di
i 
)4(
4
1 2
2
2
2
1`
1
dt
di
dt
id
dt
di
i 
Substituindo i1 e i1
´ na Eq.1 
temos: 
gv
dt
di
ii  121 2412
Eq.1 
gvi
dt
di
dt
id
21610 2
2
2
2
2

Resulta em: 
A equação representativa da saída i2 
(Eq.3) é uma equação diferencial de 
segunda ordem, pois a mais alta 
deriva é de segunda ordem. Por 
esta razão o circuito da figura 1 é 
considerado um circuito de segunda 
ordem. 
 
Normalmente circuitos de segunda 
ordem contêm dois elementos 
armazenadores de energia. 
Eq.3 
CIRCUITOS COM DOIS ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
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Exercício 1 – Calcule a equação que satisfaz a corrente de malha i2 
para o circuito da figura abaixo.. 
Vg 1H
2ohm
1H
3ohm
4 
dt
dv
i
dt
di
dt
id g
 2
2
2
2
2
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Resposta: 
CIRCUITOS COM DOIS ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
i2 
i1 
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Vg 1H
2ohm
1H
3ohm
SOLUÇÕES DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
Uma equação diferencial de segunda ordem, pode ser 
representada genericamente por: 
Em que: 
a´s  constantes reais; 
x  pode ser uma tensão ou corrente; 
f(t)  função conhecida da(s) fonte(s) independente(s). 
)(012
2
tfxa
dt
dx
a
dt
dx

Eq. 4 
Como vimos a solução para o 
exercício ao lado é dada pela 
equação de segunda ordem: 
5 
dt
dv
i
dt
di
dt
id g
 2
2
2
2
2
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i2 
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A resposta completa que satisfaz a equação anterior é dada por: 
Em que: 
x  resposta completa; 
xn  resposta natural; 
xf  resposta forçada. 
fn xxx 
xn é obtido quando f(t)=0 e deve satisfazer a equação: 
0012
2
 n
nn xa
dt
dx
a
dt
dx
Neste caso: x da Eq. 4 é igual a xn 
Eq. 5 
Resposta Natural: 
RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO DE 
SEGUNDA ORDEM 
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xn deve ser uma função que não muda de forma quando 
diferenciada, caso contrário a combinação do lado esquerdo da 
equação não pode ser zero para todo t. Portanto: 
st
n Aex 
Substituindo a Eq.6 para xn na Eq. 5 tem-se: 
Eq. 6 
0012
2
 st
stst
Aea
dt
dAe
a
dt
Aed
A função exponencial é a única 
função que mantém sua forma 
quando é repetidamente 
diferenciada. 
Eq. 7 
RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO DE 
SEGUNDA ORDEM 
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Diferenciando a Eq.7 e trocando as derivadas por potências de s 
resulta em: 
001
2  ststst eAaeAsaeAs
ou: 
0)( 01
2  asasAest
Como Aest não pode ser zero, temos: 
001
2  asas
Esta equação, Eq. 9, é chamada de equação característica e é o 
resultado da troca das derivadas por potências de s. 
Eq. 8 
Eq. 9 
RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO DE 
SEGUNDA ORDEM 
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Como é uma equação quadrática têm-se duas soluções. 
Portanto temos duas componentes naturais: 
2
4
,
0
2
1
121
aa
as


ts
n eAx
1
11

ts
n eAx
2
22

e 
Obs: A1 e A2 são arbitrários, seus valores dependem das 
condições iniciais. 
a
acbb
,x
2
42
21


02  cbxax
Bhaskara 
RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO DE 
SEGUNDA ORDEM 
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10 
tsts
n eAeAx
21
21 
Solução geral se s1 e s2 forem raízes 
distintas: 
Raízes Reais e Distintas: Caso Superamortecido. Neste caso a 
resposta decai, ou é amortecida com o passar do tempo. 
e 
Exemplo de uma cura do 
caso superamortecido. 
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Raízes Complexas: Caso Subamortecido. Se as freqüências 
naturais são complexas, em geral tem-se: 
 js 1
A resposta natural no caso geral é: 
tjtj
n eAeAx
)(
2
)(
1
  
OUTROS CASOS: 
 js 2
Para por a resposta natural 
em uma forma mais 
adequada, vamos considerar 
a forma de Euler, dada por: 
 jsene j  cos
 jsene j  cos
ou 
Fazendo 
)( 21
tjtjt
n eAeAex
 
))(cos)(cos( 21 tjsentAtjsentAex
t
n  
]tsen)jAjA(tcos)AA[(ex 2121
t
n  
RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO DE 
SEGUNDA ORDEM 
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Visto que A1 e A2 são arbitrárias, 
vamos renomear as constantes 
como: 
121 BAA 
221 BjAjA 
)cos( 21 tsenBtBex
t
n  
Tem-se, portanto: 
Exemplo de uma curva do 
caso subamartecido. 
RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO DE 
SEGUNDA ORDEM 
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Raízes Iguais e Reais: Caso de amortecimento crítico. Neste caso a 
resposta decai, ou é amortecida com o passar do tempo. Como 
apresenta anteriormente tem-se: 
Para expressar as freqüências naturais, a equação característica 
deve ser: 
0)( 2  ks 02
22  kkss
Portanto a equação característica dever ser: 
02 2
2
2
 n
nn xk
dt
dx
k
dt
dx
Resolvendo chegamos a solução: 
kt
n etAAx )( 21 
Que pode ser verificado 
substituindo na equação acima. 
RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO DE 
SEGUNDA ORDEM 
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Exemplo de uma cura do caso de amortecimento crítico. 
RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO DE 
SEGUNDA ORDEM 
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FREQUÊNCIAS: ANGULAR E DE NEPTER 
Detalhes: 
0xa
dt
dx
a
dt
dx
n0
n
12
2
n 
0x
dt
dx
2
dt
dx
n
2
0
n
2
2
n  
 - Frequência de Nepter (rad/s) ou coeficiente 
de amortecimento exponencial.; 
ω0 - Frequência angular de ressonância (rad/s). 
 > ω0 – Caso superamortecido; 
= ω0 – Caso criticamente amortecido; 
 < ω0 – Caso Sub-amortecido. 
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• A frequência de ressonância (utilizada excitar o circuito) ocore 
quando as reatâncias do capacitor (XC) e do indutor (XL) possuem 
módulos iguais. Tendo elas sinais opostos em um circuito série 
RLC, irão anular-se e a impedância do circuito será puramente 
resistiva. 
• Sendo , temos: 
 
 
16 
FREQUÊNCIA ANGULAR DE 
RESSONÂNCIA 
CL XX 
LC
1
LC
1
C
1
L
C
1
X;LX
2
CL





• Quando a frequência está acima de w0, a reatância do circuito 
tem caráter indutivo. Quando a frequência está abaixo de w0, a 
reatância do circuito tem caráter capacitivo. 
onde w é a frequência de 
ressonância (usualmente 
denotada por w0). 
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Exercício 2: Calcule a resposta natural para a corrente de malha 
i2 do circuito abaixo. 
17 
Vg
8ohm 2H
4ohm
1H
1 2 3
4
Exercício 3: Mostre que A1 e A2 do exercício anterior pode ser 
arbitrário. (atribua valores para A1 e A2 ). 
II 
i2 
I 
RESPOSTA NATURAL DE UM CIRCUITO DE 
SEGUNDA ORDEM – EXERCÍCIOS 
gvi
dt
di
dt
id
21610 2
2
2
2
2

Equação resultante: 
tt eAeAi 82
2
12
 
Resposta: 
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Exercício 4 – Encontre a resposta natural vn da tensão v do circuito da 
abaixo e determine a frequência de ressonância ω0 e a frequência de 
Nepter . 
Vf
R1
1kΩ
R2
1Ω
L
1mH
C
1mF
v
i 
CIRCUITOS COM DOIS ELEMENTOS 
ARMAZENADORES DE ENERGIA 
18 
Resposta: 
)V(),senB,cosB(ev t,n 3186631866 21
5500  
)s/rad(,);s/rad(, 510005500 0 
f
f
v
dt
dv
v
dt
dv
dt
vd
10001010011001 3
2
2
