CIRC_ELE_I_A09

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CIRCUITOS ELÉTRICOS I 
1 
Fasor 
Admitância 
Impedância 
Número Complexo 
 Prof. Dr. Edmarcio Antonio Belati 
edmarcio.belati@ufabc.edu.br 
Aula 9Aula 9 
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Considere a seguinte função co-senoidal. 
)tcos(A)t(f m 
Am = amplitude ou valor máximo ou valor de pico (real, > 0) 
 = freqüência ângular (real, rd/s) 
 = defasagem (real, o ou rd) 
f = freqüência (real , Hz ou ciclos/s) 
T = período (real, s) = 1 / f T
f


2
2
FASORES 
Em engenharia elétrica é muito utilizado o elemento fasor (ou 
representação fasorial) para representar uma função senoidal ou 
co-senoidal. 
O fasor que representa a função f(t) é dado por: 
  mjmm AeAAˆ
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O fasor Am é um número complexo cujo módulo é a amplitude da co-
senoide e cujo argumento é sua defasagem. 
 
O fasor contém informação de amplitude e defasagem da co-senóide. Note 
que o fasor não contém informação da frequência. Desta forma, quando 
trabalhamos com fasores temos uma análises no domínio da frequência. 
FASORES 
3 
  mjmm AeAAˆ
O método fasorial de análise de circuitos é creditado geralmente a Charles 
Proteus Steinmetz (1865-1923), um famoso engenheiro eletricista da 
General Electric Company. 
Para distinguir um fasor de um número complexo ou de outra variável, eles 
são impressos em negrito ou levam um identificação, que depende de cada 
livro ou autor. 
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Um número complexo (z) pode ser representado por um ponto em um plano 
referido a um sistema de eixos cartesianos. Os números complexos podem 
ser apresentados de várias formas. 
a) Forma retangular b) Forma polar 
c) Forma exponencial d) Forma trigonométrica 
Fórmula de Euler : 
NÚMERO COMPLEXO 
jrez  )jsen(cosrz  
 jsencose j 
jYXz 
 rz
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Exemplo: A tensão e = 20 sen(377t + 30°) V pode ser 
representada na forma fasorial como segue. 
3020 jeEˆ 
3020Eˆ
 30203020 senjcosEˆ 
ou 
obs. Será exigido o conhecimento de operações com números complexos para resolver 
exercícios com excitação senoidal ou co-senoidal. Estudar operaçoes com números 
complexos. 
10j32,17Eˆ 
NÚMERO COMPLEXO 
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A forma de onda pode ser seno ou coseno. Isto não importa, visto que: 
)
2
tcos()90tcos(tsen
  
)
2
t(sen)90t(sentcos
  
A única diferença entre o seno e o coseno é, então o ângulo de fase. 
A figura mostra o coseno adiantado em relação ao seno. 
FASORES 
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Exercício 1: Determine se v1 está adiantada ou atrasada em 
relação a v2 e de quanto. 
t4sen5v),30t4cos(3v 21 

t4sen12t4cos5v,t4cos10v 21 
a) 
 
b) 
Resposta: 
 a) v1 está adiantado em 60
º; 
 b) v1 está adiantado em 67,4º; 
 
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RELAÇÕES FASORIAIS: RESISTOR 
 
Os fasores correspondentes são: 
Dada a importância das tensões e correntes senoidais e de sua 
representação por fasores, convém destacarmos as relações entre 
corrente e tensão nos bipolos ideais. 
)t(senE)t(e m 
)t(sen
R
E
)t(i m 
Para o resistor tem-se no domínio do 
tempo que e/i=R e no domínio da 
frequência que: 
R
Ι
Εˆ



R
E
Iˆ
EΕˆ
m
m
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RELAÇÕES FASORIAIS: INDUTOR 
 
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)t(senI)t(i m 
Tem-se que: 
dt
di
L)t(e 
Portanto: 
)tcos(LI)t(e m 
Passando para seno tem-se: 
)t(senLI)t(e m
90
Os fasores correspondentes são: 



90
90
90






L
I
LI
Iˆ
Eˆ
LIEˆ
IIˆ
m
m
m
m
Passando para forma retangular 
tem-se: 
LXondejX
Iˆ
Eˆ
ouLj
Iˆ
Eˆ
LL 
XL = Reatância Indutiva () 
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RELAÇÕES FASORIAIS: CAPACITOR 
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)t(senE)t(e m 
Tem-se que: 
dt
de
C)t(i 
Portanto: 
)tcos(CE)t(i m 
Passando para seno tem-se: 
)t(senCE)t(i m
90
Os fasores correspondentes são: 



90
1
90
90







CCE
E
Iˆ
Eˆ
CEI
EEˆ
m
m
m
m
Passando para forma retangular 
tem-se: 
C
Xonde
jX
Iˆ
Eˆ
ou
C
j
CjIˆ
Eˆ
C
C







1
1
XC = Reatância Capacitiva () 
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Na forma retangular uma impedância é definida como sendo 
composta de uma parte real representada por um resistor e de 
uma parte imaginária representada por uma reatância (um 
indutor ou um capacitor). Tem-se então: Ż = R+jX , onde R é a 
parte real e X a parte imaginária. 
Esta impedância pode também ser representada na forma polar. 
Para tanto se deve determinar seu módulo e seu ângulo de 
fase. 
IMPEDÂNCIA 
 
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Como visto a reatância indutiva é dada por jXL ou XL90°. Neste 
caso tem-se uma indutância pura. Já a reatância capacitiva pura é 
dada por - jXC ou XC-90° . Fazendo uma analogia com θ pode-se 
dizer que quando este for positivo se tem um circuito que é indutivo 
e quando θ for negativo se tem um circuito que é capacitivo. 
IMPEDÂNCIA 
 
No diagrama de fasores, o resistor 
está sempre no eixo dos reais, a 
reatância indutiva no eixo 
imaginário positivo e a reatância 
capacitiva no eixo imaginário 
negativo. 
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ADMITÂNCIA 
A condutância já foi definida para circuitos CC como sendo 
equivalente a 1/R. Para circuitos em Corrente Alternada define-se a 
Admitância Y da seguinte maneira: Y=1/Z com unidade o Siemens 
(S). A admitância é uma medida de quanto um circuito “admite” a 
passagem de uma corrente. 
Ao se tomar a impedância Z= R + jX (onde R é uma resistência e 
X uma reatância), a admitância equivalente será dada por 
 Y = G + jB, onde G é denominado Condutância e B 
Susceptância. 
Emresumo temos que: 
)(
1
2222 XR
X
j
XR
R
Z
jBGY



 

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Exercício 2: Calcule a impedância vista pelos terminais da fonte na 
figura abaixo, nas formas retangular e polar. 
Resposta: 
R/LtanLR,LjR 1222  
Exercício 3: Calcule a condutância e a susceptância para z: 
(a) z= 3+j4; 
(b) z=0,4 +j0,3. 
Resposta: (a) 0,12, -0,16, (b) 1,6, -1,2 
EXERCÍCIOS 
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Exercício 4 – A corrente no indutor de 75 mH é de 4cos(40.000t - 38º 
) mA. Calcule: 
a) A reatância indutiva; 
b) A impedância do indutor; 
c) O fasor da tensão; 
d) A expressão para v(t). 
Exercício 5 – A tensão nos terminais do capacitor de 0,2 F é de 
40cos(105t- 50º). Calcule: 
a) A reatância capacitiva; 
b) A impedância do capacitor; 
c) O fasor da corrente; 
d) A expressão para i(t). 
EXERCÍCIOS 
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Exercício 6: Obter o fasor E e a tensão e correspondente do 
circuito série RLC com L = 1,6 mH, C = 20 μF e R = 3Ω mostrado 
abaixo. (trabalhar no domínio da frequência). Neste circuito têm-
se os seguinte valor de corrente: i(t)=3cos(5000t-60º) 
R
L
C
E
i(t)
DOMÍNIO DA FREQUENCIA 
Resposta: 
E=10,81-93,60º (V) 
e(t)=10,81cos(5000t- 93,60º) (V) 
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Exercícios (livro do Orsini, págia 38 e 39) – Números Complexos 
Verifique as seguintes conversões da forma polar a forma cartesiana 
ou vice-versa. 
NÚMEROS COMPLEXOS: EXERCÍCIOS 
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NÚMEROS COMPLEXOS: EXERCÍCIOS