Lista de Exercicios de Portugues para concurso (138)

Prévia do material em texto

52
M
AT
EM
ÁT
IC
A
a) S={1,2,3,4,5…} : Esta seqüência é caracterizada por 
sempre somar o valor 1 no termo seguinte, ou seja, 
trata-se de uma PA com razão . Se , classificaremos 
com PA crescente.
b) S={13,11,9,7,5…} : Também podemos ter sequências 
onde ao invés de somar, estaremos subtraindo um 
valor fixo. Neste exemplo, o termo seguinte é o ter-
mo anterior subtraído 2, assim, trata-se de uma PA 
com razão . Se , classificaremos com PA decrescente.
c) S={4,4,4,4,4…} : Além disso, podemos ter uma sequ-
ência de valores constantes, nesse caso, é como se 
estivéssemos somando 0 ao termos. Assim, se , clas-
sificaremos com PA constante.
2. mTermo Geral
Dado esta lógica de formação das progressões aritmé-
ticas, pode-se definir o que chamamos de “expressão do 
termo geral”. Trata-se de uma fórmula matemática que re-
laciona dois termos de uma PA com a razão r:
an = ap + n− p � r , com n ∈ ℕ∗
Onde an e ap são termos quaisquer da PA. Essa ex-
pressão geral pode ser utilizada de 2 formas:
a) Sabemos um termo e a razão e queremos encontrar 
outro termo. 
Ex: O primeiro termo da PA igual a 7 e a razão é 3, qual 
é o quinto termo?
Temos então a1 = 7 e r = 3 e queremos achar a5. 
Substituindo na fórmula do termo geral, temos que p = 1 
e n = 5. Assim:
an = ap + n− p � r 
a5 = a1 + 5− 1 � r 
a5 = 7 + 4 � 3
a5 = 19
Ou seja, o quinto termo desta PA é 19.
b) Sabemos dois termos quaisquer e queremos obter a 
razão da PA. 
Ex: O terceiro termo da PA é 2 e o sexto é -1, qual será 
a razão da PA?
Temos então a3 = 2 e a6 = −1 e queremos achar r. 
Substituindo na fórmula do termo geral, temos que p = 3 
e n = 6. Assim:
an = ap + n − p � r 
a6 = a3 + 6− 3 � r 
−1 = 2 + 3 � r 
3r = −3
r = −1
Ou seja, a razão desta PA é -1.
3. Soma dos termos
Outro ponto importante de uma progressão aritmética é a 
soma dos termos. Considerando uma PA que queremos saber a 
soma dos 5 primeiros termos: S={2,4,6,8,10…}. Como são poucos 
termos e sabemos todos eles, podemos simplesmente somá-los: 
2+4+6+8+10 = 30. Agora, considere que você saiba apenas o 
primeiro e o quinto termo, ou seja: a1 = 2 e a5 = 10 e . 
Como você calcularia a soma dos 5 termos?
O jeito que você aprendeu até agora seria obter os ou-
tros termos e a razão a partir da expressão do termo geral, 
porém você teria que fazer muitas contas para chegar ao 
resultado, gastando tempo. Como a PA segue um padrão, 
foi possível deduzir uma expressão que dependa apenas 
do primeiro termo e do último:
Sn =
a1 + an � n
2
Assim, com , a1 = 2, a5 = 10 e n = 5 , podemos cal-
cular a soma:
Sn =
2 + 10 � 5
2 =
12 � 5
2 =
60
2 = 30
Ou seja, não precisamos saber nem a razão da PA para 
acharmos a soma.
4. Propriedades
As progressões aritméticas possuem algumas proprie-
dades interessantes que podem ser exploradas em provas 
de concursos:
P1: Para três termos consecutivos de uma PA, o ter-
mo médio é a média aritmética dos outros dois termos. 
Essa propriedade é fácil de verificar com o exemplo: Va-
mos considerar três termos consecutivos de uma PA sendo 
an−1, an
 e an+1 .Podemos afirmar a partir da fórmula do 
termo geral que:
a
n
 = an−1 + r
a
n
 = an+1 – r
Somando as duas expressões:
2an = an−1 + r + a
n 
+1 − r
2an = an−1 + an 
+ 1
O que leva a:
an =
an−1 + an + 1
2
P2: Termos equidistantes dos Extremos. Numa sequên-
cia finita, dizemos que dois termos são equidistantes dos 
extremos se a quantidade de termos que precederem o 
primeiro deles for igual à quantidade de termos que suce-
derem ao outro termo. Assim, na sucessão: