IHAC-UFBa-AM-Aula18-ContinuacaoNumeroOuroFinal

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da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 18 – Continuação: 
Número de Ouro 
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Tópicos da Apresentação 
 Número de Ouro & Ciência 
 Evidencias para uns, Falácias para outros... 
 Uma Equação Especial do 2o Grau 
 Um Critério Estético 
 Relações Insuspeitas! 
 Espirais! Estrelas do Mar! 
 Artes Plásticas – Arquitetura 
 Ângulo Áureo 
 Girassois e Fibonacci 
 Numero de Ouro e Modulor – um novo Padrão? 
 Número Áureo e Eneida (Virgilio) 
 Número de Ouro nos Dias de Hoje 
 Automóveis? Ipods? 
 
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 Número de Ouro 
& Ciência 
Escada em espiral no Museu do Vaticano – atribui-se seu projeto a Leonardo da Vinci 
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Curiosidade: DNA e ϕ 
 Cada volta da hélice do DNA é de 3,4 nm 
de comprimento por 2,1 nm de largura. 
Dividindo 2,1/3,4 resulta em 0,6176... 
SEÇÃO ÁUREA SÉRIE DE FIBONACCI 
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55... 
NÚMERO ÁUREO 
 A hélice forma dois sulcos entre 
as espirais, o menor de 1,3 nm, o 
maior de 2,1 nm. Dividindo um 
pelo outro resulta em 0,619... 
2,1 nm 1,3 nm 
 Uma seção (corte transversal) 
do DNA forma um decágono (dez 
lados), que é essencialmente 
formado de dois pentágonos, 
girados de 36o. De forma que a 
espiral, vista de cima, deve 
seguir este traçado... 
Seção do DNA 2 pentágonos 
Leonardo Pisano “Fibonacci”: (1127 – 1250), matemático italiano 
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 Pentagrama: símbolo da seita 
religiosa criada por Pitágoras (580-
500 a.C.) – um pentagrama contém 
uma estrela, que contém um 
pentagrama, que contém uma 
estrela... 
SEÇÃO ÁUREA 
SÉRIE DE FIBONACCI NÚMERO ÁUREO 
Leonardo Pisano (Fibonacci) 
Curiosidade: tomando os números da 
seqüência de Fibonacci e dividindo o 
maior pelo antecessor, o resultado é 
1,6180339887... 
Fazendo o contrario, i.e., dividindo 
um número da seqüência pelo 
sucessor, resulta em 0,6180339887... 
Maiores detalhes: série 
ARTE & MATEMÁTICA 6 
– o número de ouro 
DNA e ϕ 
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 Evidências 
para uns, 
Falácias 
para 
outros.... 
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 Tablete Ur-Nammu de Susa 
(2112-2095 a.C.), cidade do 
Irã, com informações sobre a 
razão áurea, alem de suas 
dimensões: British Museum 
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Túmulo de Petosiris (300 a.C.)1 
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Túmulo de Petosiris (300 
a.C.)2 
 
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 Neste antigo 
prédio, 
proporções 
relacionadas 
com ϕ 
também são 
visíveis 
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 Divisões 
áureas 
contidas no 
pentagrama 
são 
indicadas 
para 
determinar 
as 
proporções 
desta 
mascara de 
Hermes 
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quiabo 
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 Número de Ouro & a 
Equação do Segundo 
Grau 
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 As pirâmides de Gizé (2480 ± 5 a. C., sendo a maior de Quéops), na margem esquerda 
do rio Nilo, próximo à cidade do Cairo (25 km) foram construídas a partir da razão áurea 
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Verdade ou Mito: Grande 
Pirâmide 
 No interessante livro de Mario Livio é apresentada a idéia de que 
a grande pirâmide foi construída de forma que “o quadrado da 
altura da pirâmide h2 é igual a área de sua face lateral triangular 
s×a:” 
a é a metade do lado da base 
s é a altura da face triangular 
h é a altura 
hipótese: h2 = sa 
do teorema de Pitágoras: s2 = h2 + a2 
admitindo ser verdadeira a hipótese: s2 = sa + a2 
Dividindo por a2: (s/a)2 = s/a + 1 
Em outras palavras, 
assumindo a fração s/a igual a 
um número qualquer, como ϕ 
tem-se: ϕ2 = ϕ + 1 Dad
os
 d
a G
ra
nd
e P
irâ
m
id
e:
 s 
= 
18
6,
54
 m
 ; 
a 
=1
15
,1
8 
m
 ; 
s/a
 =
 1
,6
19
56
 
a 
2a 
s 
h 
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Uma Equação do 2º Grau = a b 
b 
a−b 
 Fazendo b = 1 (ou seja, o lado menor equivale a unidade), e a = 
ϕ, tem-se: 
= ϕ 1 
1 
ϕ−1 
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Um Resultado 
Surpreendente... 
 Vimos que: + ϕ = 1 1 
+ 1 1 
+ 1 1 
+ 1 
+ ϕ = 1 1 ϕ 
 Mas observe que: 
 Portanto pode-
se assumir que: 
 Calcule o valor de ϕ, a 
partir da expressão obtida: 
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 Número de Ouro, 
Brasil & Atualidades 
carpelos de uma maçã 
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Candido Portinari 
 No Brasil, Portinari e Tarsila do Amaral, 
por exemplo, tem em seus quadros um 
senso de proporção decorrente de um 
grande conhecimento da proporção 
áurea, embora não a utilizem de maneira 
rígida. 
Candido Portinari, Café (1935) 
Neste quadro, a figura 
maior, central encontra-
se deslocada, numa 
proporção próxima a da 
divisão do retângulo 
áureo. 
Cândido Torquato Portinari 
(1903-1962), artista plástico 
brasileiro: Autoretrato (1957) 
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Numero Áureo e Estética 
nas Artes Plásticas 
 Ainda hoje artistas e arquitetos intuitivamente sabem que 
objetos com esta proporção são mais agradáveis esteticamente. 
O número de ouro está presente em inúmeras obras de arte e 
monumentos arquitetônicos. 
 A disposição de objetos num quadro segue uma regra intuitiva, 
exaustivamente indicada em livros pintura, onde o melhor local 
não é exatamente o centro do quadro, e sim um pouco 
deslocado, mais ou menos na terça parte. O curioso é que esta 
regra obedece à mesma disposição do retângulo áureo... 
 Gustave Cailebotte. 
Uma rua 
de Paris, 
chuva 
(1877) 
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ϕ = Técnica de Arte 
 E a coisa não pára por aí… o número de ouro passou a ser 
ensinado como uma técnica de arte, e depois de Da Vinci, foi 
usada por vários artistas como Dürer… Seurat… Mondrian… 
Salvador Dali… E não foi utilizada somente na pintura, não... A 
fachada do prédio da Organização das Nações Unidas, 
projetada por Le Corbuisier, também é um retângulo áureo... 
 
Antonio Peticov "1.618“ (1983) Fachada do Prédio das Nações Unidas (1952) 
Salvador Dali – O Sacramento da 
Última Ceia (1955) – usos do 
pentágono e seção áurea 
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Espirais,Espirais, Espirais... 
 
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 Ângulo Áureo 
Cada gomo hexagonal na casca 
do abacaxi forma ao menos três 
espirais diferentes, como 
indicado ao lado. No geral, a 
maioria dos abacaxis tem cinco, 
oito, treze ou vinte e uma espirais 
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Definição de Ângulo 
Áureo 
 Corresponde a divisão de um ângulo 
inscrito num circulo de circunferência a+b, 
sendo as proporções a e b áureas. 
a 
b 
a 
= a b a 
a+b = ϕ = 1,61803399... α = 137,507764º... ≈ 137,5º 
a+b 
b 
 Nota: o ângulo que complementa α, isto é, 360º − α ≈ 222,5º, também é áureo... 
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Ângulos e Espirais 
 O ângulo áureo pode formar padrões interessantes. Por exemplo, num circulo, 
marque um ponto inicial em vermelho, e aproxime-o do centro. A partir desta 
marca inicial, em relação ao centro, considere um ângulo de 137,5º. Marque com 
uma cor verde esta segunda posição, e desenhe o ponto verde o mais próximo do 
centro. Continue com giros de 137,5º formando padrões (pontos) centrais. A partir 
de um numero razoavelmente grande, você devera obter gradualmente uma série 
de distribuições de pontos como segue: 
detalhe girassol 
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Girassóis e Fibonacci 
 Observando a configuração de sementes num 
girassol é possível compreender o surgimento de 
padrões espirais. Ao lado, três espirais destacadas. 
 Por exemplo, a partir do centro, destacadas em 
laranja, percebe-se que numa dada orientação, 
existem 21 espirais. E 34 espirais em ciano. 
 Há ainda 55 espirais em verde. Note que cada um esses números pertencem a 
seqüência de Fibonacci. 
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Arranjos de 
Sementes e Folhas 
 Os arranjos de
folhas em plantas (filotaxia) também 
segue o padrão angular áureo. A disposição das folhas 
segue um padrão em espiral que maximiza a luz do sol, 
evitando que folhas fiquem muito sobrepostas, 
facilitando assim a fotossíntese 
confira vídeo youtube: Nature by Numbers - http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA 
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 Número de Ouro & 
Modulor 
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Seqüência Semelhante Fibonacci 
 Entre 1942 e 1948, Le 
Corbusier desenvolveu um 
sistema de medição que 
ficou conhecido por 
Modulor. Baseado na razão 
de ouro e nos números de 
Fibonacci e usando também 
as dimensões médias 
humanas (dentro das quais 
considerou 183 cm como 
altura padrão), o Modulor é 
uma seqüência de medidas 
usadas para encontrar 
harmonia nas suas 
composições de arquitetura. 
Modulor 
Note o padrão similar: 6+9=1
9+15=25; 15+24=39... 
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da Bahia Novos Padrões? 
 Existe um teorema da matemática que diz: eleja 
dois números inteiros (e positivos). A seguir, crie 
com eles uma seqüência onde cada novo elemento 
é a soma dos dois que o antecedem. 
9 
6 
, 15 
9 
, 24 
15 
, 39 
24 
, 63 
39 
, 102 
63 
, ... 1,6180339887... = ϕ 
1,5 1,6 1,615... 
1,666... 1,625 1,619... 
6 9 15 24 39 63 102 165 267... 
Charles-Édouard Jeanneret-Gris “Le Corbusier” (1887–1965) 
 A razão (ou quociente) entre cada 
número desta seqüência e seu 
antecessor resultara no número de 
ouro 
6 9 
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 Para ler mais sobre a seqüência de 
números de Le Corbusier e outras 
seqüências que geram o numero áureo... 
Super 44 (1995) 81 
Super 136 (1999) 83 
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 Número de Ouro & 
Eneida 
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Número 
Áureo & 
Eneida 
 Podemos encontrar matemática até na poesia! Esses versos contam as 
andanças de um herói de Tróia chamado Enéias, e foram escritos por Virgílio, 
um poeta romano que viveu no século I antes de Cristo. 
Enéias fala Dido sobre a 
queda de Tróia - Pierre-
Narcisse Guéri (1815) 
 Um dos momentos mais belos da Eneida está no Canto VI (entre os versos 
456 e 476). Enéias desce aos Infernos para se encontrar com a sombra do 
falecido pai. Lá, no Campo das Lágrimas, encontra os que morreram de 
amor. De repente, o troiano avista Dido, a Rainha de Cartago e viúva de 
Siqueu, que havia se apaixonado por Enéias e se suicidara quando ele partira 
da cidade obedecendo a ordens divinas. 
 Enéias não sabia que ela estava morta e este é o último encontro entre os 
dois. Dido responde com silêncio absoluto às palavras comovidas do herói: 
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Eneida - Virgílio 
 "Infelix Dido, uerus mihi nuntius ergo 
 uenerat, exstinctam ferroque extrema secutam. 
 Funeris heu tibi causa fui? Per sidera iuro, 
 per superos et si qua fides tellure sub ima est, 
 inuitus, regina, tuo de litore cessi. 
 Sed me iussa deum, quae nunc has ire per umbras, 
 per loca senta sentu cogunt noctemque profundam, 
 mperiis egere suis; nec credere quiui 
 hunc tantum tibi me discessu ferre dolorem. 
 Siste gradum, teque aspectu ne subtrahe nostro. 
 Quem fugis? extremum fato quod te adloquor hoc est." 
 Talibus Aeneas ardentem et torua tuentem 
 lenibat dictis animum lacrimasque ciebat. 
 Illa solo fixos oculos auersa tenebat 
 nec magis incepto uoltum sermone mouetur 
 quam si dura silex aut stet Marpesia cautes. 
 Tandem corripuit sese atque inimica refugit 
 in nemus umbriferum, coniunx ubi pristinus illi 
 respondet curis aequatque Sychaeus amorem. 
 Nec minus Aeneas casu percussus iniquo 
 prosequitur lacrimis longe et miseratur euntem. 
Enéias foge de Tróia em 
Chamas - Federico 
Barocci (1598) 
Virgilio lendo a Eneida a 
Augustus e Octavia - Jean-
Joseph Taillasson (1787) 
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 “Infeliz Dido, então era verdadeira a notícia 
 de que te extinguiras pela espada em decisão extremada? 
 De tua morte, ai!, fui a causa? Pelos astros juro, 
 pelos deuses do alto e pela boa-fé, se há alguma nas profundezas da terra: 
 contra minha vontade, ó rainha, parti de teu litoral. 
 Mas ordens dos deuses, que agora me compelem a ir por entre estas sombras, 
 por lugares desolados e a noite profunda, 
 obrigaram-me com seu comando. Nem poderia crer 
 que minha partida te trouxesse tamanho sofrimento. 
 Detém o passo e não te subtraias ao nosso olhar! 
 De quem foges? Este é o derradeiro momento que o destino me concede para falar-te." 
 Com tais palavras aquela alma ardente e de olhar turvo tentava Enéias 
 abrandar e provocar-lhe as lágrimas. 
 Ela, hostil, mantinha os olhos fixos no chão 
 e seu rosto não se altera àquela tentativa de conversa 
 mais do que se fosse dura rocha ou mármore do Marpeso. 
 Por fim, precipitou-se e inimiga se refugiou 
 no bosque sombrio, onde seu antigo marido 
 Siqueu corresponde-lhe aos cuidados e iguala seu amor. 
 Não menos Enéias, abalado pela sorte iníqua, 
 segue-a ao longe com lágrimas e se compadece da que se vai. 
Parte maior (M) 
Parte menor (m) 
Tradução brasileira do Prof. Dr. Paulo Sergio Vasconcelos (IEL-UNICAMP) 
Enéias derrota Turno - Luca 
Giordano (circa 1682) 
Mercúrio surge a Enéias – 
Giovanni Battista Tiepolo (1757) 
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Número de Ouro e 
Eneida 
 Além do padrão rítmico dos versos (‘datilico’), estudiosos 
encontraram na estrutura da Eneida uma curiosa propriedade: há, 
em cada poema, uma mudança no assunto ou na forma que o poeta 
Virgílio utilizou, separando os poemas em partes. No exemplo, a 
parte maior corresponde às ações e atuações de Enéias, enquanto 
na outra parte corresponde apenas às ações e atitudes de Dido. 
 
M
mM +
=ϕ
 é possível encontrar números que estão muito próximos do Número 
de Ouro nesta obra. 
Venus surge para Enéias e Acates –
Giacinto Gimignani 
 Assim, em muitos dos poemas da Eneida é possível separar os 
versos em uma parte maior (M) e outra, menor (m). 
 Tomando o total de versos de um poema (M+m) e dividindo pelo 
número de versos da parte maior (M): 
 
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Número Áureo nos Dias 
de Hoje?1 
a+b 
b a 
a b 
b 
a 
 Será mesmo que empresas de alta 
tecnologia ainda se utilizam do 
número áureo? 
Fiat Uno Mille Ipod Classic 
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Número Áureo nos Dias 
de Hoje?2 
 A escolha de logomarcas 
também envolvem 
padrões e proporções 
relacionadas ao número 
áureo... 
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da Bahia Pensata 
 Somente pessoas superficiais não julgam 
pelas aparências. O mistério deste mundo é 
o visível, não o invisível – Oscar Wilde (1854-
1900) 
 Como é possível que a 
matemática, um produto do 
pensamento humano que é 
independente da experiência, se 
encaixe tão excepcionalmente 
aos objetos de realidade física? 
– Albert Einstein (1879-1955) 
Unindo as mãos pelos dedos formando grupos de seis e de quatro 
formam duas linhas com relação próxima à proporção áurea 
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Referências 
 A Razão Áurea: A Historia de Fi – Mario Lívio 
(2006) Record 
 Le Modulor - Le Corbusier: Éditions de 
l'Architecture d'Aujourd'hui (1949) 
 Uma Historia da Matematica – Florian Cajori 
(2010) Ed. Ciência Moderna 
 A Source Book in Mathematics – David E. Smith 
 A Matematica e a Mona Lisa – Bulent Atalay 
(2007) Ed. Mercurio 
 Sacred Geometry – Robert Lawlor (1982) 
Thames & Hudson 
 Eneida - Virgilio 
 
	Slide Number 1
	Tópicos da Apresentação
	Slide Number 3
	Slide Number 4
	Slide Number 5
	Slide Number 6
	Slide Number 7
	Túmulo de Petosiris (300 a.C.)1
	Túmulo de Petosiris (300 a.C.)2
	Slide Number 10
	Slide Number 11
	Slide Number 12
	Slide Number 13
	Slide Number 14
	Verdade ou Mito: Grande Pirâmide 
	Uma Equação do 2º Grau
	Um Resultado Surpreendente...
	Slide Number 18
	Candido Portinari
	Numero Áureo e Estética nas Artes Plásticas
	  Técnica de Arte
	Espirais,Espirais, Espirais...
	Slide Number 23
	Definição de Ângulo Áureo
	Ângulos e Espirais
Girassóis e Fibonacci
	Arranjos de Sementes e Folhas
	Slide Number 28
	Seqüência Semelhante Fibonacci
	Novos Padrões?
	Slide Number 31
	Slide Number 32
	Número Áureo & Eneida
	Eneida - Virgílio
	Slide Number 35
	Número de Ouro e Eneida
	Número Áureo nos Dias de Hoje?1
	Número Áureo nos Dias de Hoje?2
	Pensata
	Referências