IHAC-UFBa-AM-Aula21-MatematicaMusicaFinal

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Universidade 
Federal 
da Bahia 
 INSTITUTO DE HUMANIDADES, 
ARTES & CIÊNCIAS ‘MILTON 
SANTOS’ 
mlfn@ufba.br 
Marcio Luis Ferreira Nascimento 
HACA82: Arte & Matemática: 
Aula 21: Matemática & Música 
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Tópicos da Apresentação 
 Matematica & Musica 
 O que é Musica? 
 Capacidade Auditiva – Freqüência 
 Características dos Sons 
 Modos de Vibração 
 Comparação de Ondas Sonoras de alguns 
Instrumentos 
 Semelhanças entre Matemática & Música 
 Escala Pentatonica 
 Monocórdio 
 Escalas Musicais / Notas 
 Razão Áurea e Guitarra/Violão – Teclas Piano 
 Mozart, Bartok e a Série de Fibonacci 
 
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 Matemática & Música 
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O que é Música? 
 Música é normalmente definida como uma combinação 
de sons e silêncios 
 O som é resultado de oscilações muito rápidas do ar: 
compressão e rarefação, onde as moléculas do ar se 
comprimem ou rarefazem rapidamente, numa determinada 
freqüência. O ouvido capta estas mudanças 
Um diapasão, ao vibrar, 
desloca rapidamente o ar ao 
redor. A freqüência de 
vibração esta relacionada a 
nota produzida: se essa 
freqüência atinge 440 Hz ou 
seja, 440 pulsos por 
segundo, resulta na nota Lá. 
compressão rarefação rarefação 
No diagrama, a região mais comprimida indica onde as 
moléculas do ar encontram-se mais próximas entre si 
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Capacidade Auditiva & 
Freqüência 
 O ouvido humano capta vibrações do ar (sons) entre 
20 Hz e 20.000 Hz a partir de um complexo sistema 
de detecção: 
Hertz é uma unidade relacionada a freqüência de um 
evento periódico, oscilações, vibrações, ciclos por 
segundo ou ainda rotações por segundo (s−1 ou 1/s). Como 
exemplo, o coração de um humano saudável em repouso 
bate a aproximadamente 1 Hz (1 batida por segundo). 
f = 0,5 Hz 
T = 2,0s 
f = 1,0 Hz 
T = 1,0s 
f = 2,0 Hz 
T = 0,5s 
Três luzes indicando três 
diferente velocidades de 
ciclos: a luz inferior indica 
2 ciclos em 1 segundo, a 
do meio indica 1 ciclo em 
1 segundo e a superior, 1 
ciclo em 2 segundos. 
Heinrich Rudolf 
Hertz (1857-1894) 
– Físico alemão 
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Características 
dos Sons1 
 Altura: 
 Grave: som de baixa freqüência (< 300 Hz) 
 Médio: som de média freqüência (300 Hz e 5000 Hz) 
 Agudo: som de alta freqüência (> 5000 Hz) 
 Timbre: 
 É a característica que permite 
diferenciar dois sons de mesma 
altura e mesma intensidade, mas 
que são emitidos por instrumentos 
diferentes. Desta forma, uma 
música executada por um violino e 
um piano se diferencia pelo timbre. 
Ex
em
pl
o 
de
 al
tu
ra
s d
e s
on
s:
 
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Características dos Sons2 
 Intensidade: distingue som fraco de 
forte a partir da amplitude da onda 
Som agudo e forte Som agudo e fraco 
Som grave e forte Som grave e fraco 
Co
m
bi
na
çõ
es
 d
e 
In
te
ns
id
ad
e +
 A
ltu
ra
 
• Quanto maior for a amplitude da onda sonora, mais forte será o som; 
• Quanto menor for a amplitude da onda sonora, mais fraco será o som 
 
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Modos de Vibração 
Mo
do
s d
e v
ib
ra
çã
o 
nu
m
a 
m
em
br
an
a 
 Os primeiros sete modos 
de vibração possíveis 
numa corda fixa em ambas 
extremidades. O primeiro é 
denominado fundamental, 
e os demais de sobretons. 
Importante notar que não 
existem modos 
intermediários! 
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T = 2 ms 
Comparação de Ondas Sonoras 
de Alguns Instrumentos (440 Hz) 
violino 
trompete 
oboé 
flauta 
Período: corresponde ao intervalo de tempo onde o padrão 
da nota musica musical se repete (simetria translacional) 
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Musica Brasileira 
 Samba, no início do século XX, era o nome 
que se dava às festas que os negros 
realizavam no Rio de Janeiro. A escravidão 
tinha acabado há menos de 30 anos e 
assim como o candomblé - suas 
manifestações religiosas - a música samba 
também era proibida 
Madame diz que a raça não melhora 
que a vida piora 
por causa do samba 
Madame diz que o samba tem pecado 
que o samba, coitado, 
devia acabar… 
João Gilberto, ‘Pra que discutir com Madame’ 
Samba do Crioulo Doido - Heitor dos Prazeres 
Heitor dos 
Prazeres 
(1898-1966) – 
compositor, 
pintor e cantor 
brasileiro 
www.heitordosprazeres.com.br 
(Haroldo Barbosa e Janet de Almeida, 1956) 
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Semelhanças entre 
Matemática e Música 
 
 Objetos Primordiais: Número / Forma & Som 
 Uso da Imaginação em ambas áreas – 
Abstração! 
 Estética – Organização – Perfeição – Rigor 
 Harmonia – Equilíbrio - Simplicidade 
 Ambas são Linguagens! 
 Busca de Padrões 
Heitor dos 
Prazeres 
Wolfgang 
Amadeus 
Mozart: 
Michael 
Jackson, 
Thriller (1982) 
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Música & 
Simetria 
 Irmão Jorge, irmão Jorge, 
 dormes tu, dormes tu? 
 Já soam os sinos, Já soam os sinos, 
 Ding dang dong, ding dang dong 
No
 B
ra
sil
, e
st
a m
elo
di
a f
ez
 su
ce
ss
o c
om
 a 
ca
nç
ão
 “O
s D
ed
in
ho
s”
 d
e E
lia
na
 (1
99
3)
 
tempo 
altura 
Fré - re Jac - ques Fré - re Jac - ques 
dor - mez vous? dor - mez vous? 
son - nez les ma - ti - nes! son - nez les ma - ti - nes! 
din, dan, don din, dan, don 
 A canção tem partes simétricas e repetitivas. 
Juntando todas as partes da música nota-se 
também uma simetria musical 
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 Matemática & Escala 
Pentatônica 
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Escala Pentatônica 
 Grécia antiga (Pitágoras) 
 China / Japão 
 Escala Musical: 5 notas 
 Pentagrama: símbolo da seita religiosa criada 
por Pitágoras (580-500 a.C.) – um pentagrama 
contém uma estrela, que contém um 
pentagrama, que contém uma estrela... 
 Associado ao retângulo áureo... 
DÓ 
SOL 
RÉ 
LÁ MI 
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 Um tipo de samambaia 
bastante comum em países 
frios, chamado “fiddlehead” 
exibe uma espiral de 
Arquimedes, uma forma 
geométrica descrita pelo 
sábio de Siracusa em seu 
livro de 225 a.C. “Sobre as 
Espirais”, bem como em 
violinos... 
 C. Pickover, The Math Book, 
Sterling Ed. (2009). 
 Acima, uma 
reconstrução de um 
violino Stradivarius, 
mostrando algumas 
relações áureas... 
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Propriedades do Pentagrama1 
 O pentagrama tem divisões de acordo com o 
retângulo de ouro: 
 
‘Tudo no universo são formas e números’ (Pitágoras) 
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Propriedades do Pentagrama2 
 O pentagrama tem divisões de acordo com o 
retângulo de ouro: 
 Suas menores divisões servem de complemento à 
maior 
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Propriedades do Pentagrama3 
 O pentagrama tem divisões de acordo com o 
retângulo de ouro: 
 Suas menores divisões servem de complemento à 
maior 
 E assim por diante... 
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Propriedades do Pentagrama4 
 O retângulo de ouro também apresenta propriedades incríveis, 
que tanto fascinaram os pitagóricos: 
 A sucessão de retângulos leva à espiral... 
 Bem como à seqüência de Fibonacci... as razões (ou frações) entre 
números desta seqüência! 
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 Stradivari & Razão 
Áurea 
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Stradivari e a 
Razão Áurea 
 Estudos a partir de esquemas originais 
de Antonio Stradivari mostram que ele 
tinha um cuidado especial em dispor 
geometricamente os buracos f 
Antonio Stradivari (1644 – 1737), lutier italiano, ilustrado por Edgar Bundy em 1893 
 Violinos e cellos 
apresentam várias 
relações com o número 
áureo 
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Sugestões de Leitura1 
 
Super 152 (2000) 86 Super 7 (1988) 44 
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da Bahia  Mais Matemática 
& Música 
O Calígrafo e o Matemático: Johann I. 
Neudorfer e seu filho (1591) – pintura de 
Nicolas Neufchatel (Musee des Beaux-
Arts, Lille, France): www.pba-lille.fr 
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Matemática & Música
 Escala Musical: 7 notas 
DÓ RÉ MI FÁ SOL LÁ SI 
1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 
 Proporções especificas de 
comprimentos, pesos e 
volumes propiciam sons 
harmoniosos 
 Lições estas que Pitágoras 
já defendia aos seus 
pupilos séculos antes... 
(9/8)2 
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Theorica Musice, 1492 
– Franchino Gafurio 
 Escala Musical 
DÓ 1 
RÉ 9/8 
MI 81/64 
FÁ 4/3 
SOL 3/2 
LÁ 27/16 
SI 243/128 
Primeiro experimento cientifico? 
Monocórdio 
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 Mais Relações Áureas 
em Instrumentos 
Musicais 
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Razão Áurea e Guitarra 
 Relações entre a razão áurea e guitarras também existem... 
 Escala Musical 
Kertsopoulos defende que as melhores guitarras também 
guardam proporções áureas: www.guitarinternational.com 
a 
b 
fundamental (DO) 
quarta(SOL) 
quinta (FA) 
oitava (DO) 
DÓ 1 
RÉ 9/8 
MI 81/64 
FÁ 4/3 
SOL 3/2 
LÁ 27/16 
SI 243/128 
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Razão Áurea e Piano 
 Outro instrumento musical freqüentemente associado a 
seqüência de Fibonacci é o piano. A oitava do teclado 
consiste em 13 teclas, 8 brancas e 5 pretas. As cinco 
teclas pretas formam um grupo de 2 teclas e outro de 3 
teclas. Vale lembrar que os números 2, 3, 5, 8 e 13 são 
números de Fibonacci consecutivos. 
dó ré mi fá sol lá si 
dó# ré# fá# sol# lá# 
dó 
 
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 Músicos e a Razão 
Áurea 
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Mozart & Razão Áurea1 
 As obras musicais de Mozart são 
consideradas de um brilho incomum 
pela maioria da humanidade. 
Wolfgang Amadeus Mozart (1756 - 
1791) compositor austríaco. 
Pintura de Barbara Kraft em 1819 
b a 
desenvolvimento 
e recapitulação exposição 
 Ao total, Mozart compôs 19 sonatas, 
a primeira delas aos 18 anos e a 
maioria das outras nos quatro anos 
seguintes. A estrutura de 
composição de uma sonata do 
período clássico constava de, 
geralmente, três movimentos, que 
podiam ser incorporadas em duas 
partes: 
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Mozart & 
Razão Áurea2 
 Putz (1995) analisou todos os 
movimentos das sonatas de 
Mozart que eram divididos em 
duas partes. Dos 56 movimentos, 
29 eram construídos dessa 
maneira. 
 A primeira coluna identifica a 
sonata e o movimento, conforme 
catalogado pelo musicólogo 
Köchel. A segunda apresenta o 
número de compassos da primeira 
parte (a), a terceira o número de 
compassos da segunda parte (b) e 
a última o número total de 
compassos do movimento (a+b). 
b 
a 
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Mozart & 
Razão Áurea3 
 O resultado pode ser visto 
através do gráfico: 
 
J. F. Putz, Math. Mag. 68 (1995) 275 - 282 
0 50 100 150 200
0
50
100
150
200
250
300
a 
+ 
b
b
0 50 100 150 200
0
50
100
150
200
250
300
a 
+ 
b
b
 a+b = ϕb 
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Bartók e a Série de 
Fibonacci1 
 Lendvaï avaliou exaustivamente a música de 
Bartók, publicando muitos livros e artigos sobre 
o numero áureo: “... Das análises estilísticas da 
música de Bartók pude concluir que a 
característica principal de sua técnica cromática 
é a obediência as leis da seção áurea em cada 
movimento” 
Ernő Lendvaï (1925-
1993), musico húngaro 
Béla Viktor János Bartók 
(1881-1945), compositor e 
pianista húngaro 
 Segundo Lendvaï, a maneira de Bartók manejar o 
ritmo da composição fornece um excelente 
exemplo do uso da seção áurea. Analisando por 
exemplo um movimento da fuga “Música para 
cordas, Percussão e Celesta”, Lendvaï mostra 
que os 89 compassos do movimento são 
divididos em duas partes, uma com 55 
compassos e outra com 34 compassos. 
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 Outras divisões são marcadas pela colocação ou retirada de 
surdinas (diminuição do som dos instrumentos) bem como por 
mudanças de textura: 
leitmotiv 3+5=8 
89 compassos no total 
55 compassos 
34 compassos 
mais alto aqui 
34 compassos 
cordas removem surdinas 
21 compassos 
cordas substituem surdinas 
21 compassos 
13 compas-
sos 
21 compassos (tema) 13 compassos 8 com-
passos mudança de textura 
tema principal 5+8=13 
tema secundário 13 ou 21 
leitmotiv 
tema principal 
tema secundário 
Bartók e a Série 
de Fibonacci2 
 (s
on
at
a p
ar
a d
oi
s p
ian
os
 e 
pe
rc
us
sã
o)
 
 (m
ús
ica
 p
ar
a c
or
da
s, 
pe
rc
us
sã
o.
..)
 
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Escalas Povos Antigos 
 Árabes: 24 notas 
 Norte da Índia: 22 notas 
 Sul da Índia: 28 notas 
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Sugestões de Leitura2 
Super 56 (1992) 47 Super 119 (1997) 92 
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 ‘Ouvir música é 
um exercício 
secreto de 
aritmética’ 
Gottfried Wilhelm Leibniz 
(por Bernhard Christoph Francke, ca. 
1700) 
(1646 – 1716) 
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Referências 
 Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio – John 
Napier 
 Chilias Logarithmorum – Johannes Kepler 
 Arte & Matemática 6 & 7 – TV Cultura (2001) 
 Donald no País da Matemágica – Disney (1959) 
 Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio (1615) 
 Alex Bellos no Pais dos Números – Alex Bellos, 
Companhia das Letras (2010) 
 Tópicos de História da Matemática para uso em 
Sala de Aula: Cálculo – Carl B. Boyer 
 A History of Mathematics – Florian Cajori 
 A Source Book in Mathematics – David E. Smith 
 e: a História de um Número – Eli Maor 
	Slide Number 1
	Tópicos da Apresentação
	Slide Number 3
	O que é Música?
	Capacidade Auditiva & Freqüência
	Características dos Sons1
	Características dos Sons2
	Modos de Vibração
	Comparação de Ondas Sonoras de Alguns Instrumentos (440 Hz)
	Musica Brasileira
	Semelhanças entre Matemática e Música
	Música & Simetria
	Slide Number 13
	Escala Pentatônica
	Slide Number 15
	Slide Number 16
	Slide Number 17
	Slide Number 18
	Slide Number 19
	Slide Number 20
	Stradivari e a Razão Áurea
	Sugestões de Leitura1
	Slide Number 23
	Matemática & Música
	Slide Number 25
	Slide Number 26
	Razão Áurea e Guitarra
	Razão Áurea e Piano
	Slide Number 29
	Mozart & Razão Áurea1
	Mozart & Razão Áurea2
	Mozart & Razão Áurea3
	Bartók e a Série de Fibonacci1
	Bartók e a Série de Fibonacci2
	Escalas Povos Antigos
	Sugestões de Leitura2
	Slide Number 37
	Referências