Algebra linear ESPAÇOS VETORIAIS -

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ESPAÇOS VETORIAIS
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Definição 1: Um espaço vetorial V (sobre um corpo K ) é uma estrutura algébrica na qual estão definidas duas operações: 
 uma adição de vetores de V 
 ( u, v  V, u + v  V) 
 uma multiplicacão de escalares de K 
 por vetores de V 
 ( a  K,  u  V, au  V),
 as quais devem satisfazer os seguintes 
 axiomas:
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  u, v, w  V,  a, b  K:
A1) u + v = v + u (comutatividade da adição)
A2) (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade 
 da adição)
A3)  0  V; u + 0 = 0 + u = u, (existência de 
 elemento neutro relativamente à adição)
A4)  (-u)  V; u + (-u) = (-u) + u = 0 (existência 
 de elemento oposto relativamente à 
 adição)
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  u, v  V,  a, b  K:
M1) (a + b)v = av + bv 
M2) (ab)u = a(bu) 
M3) a(u + v) = au + bv 
M4) 1u = u 
Quando K = R dizemos que V é um espaço vetorial REAL. 
Quando K = C dizemos que V é um espaço vetorial COMPLEXO.
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Definição 2: 
Se V é um espaço vetorial sobre K, v1, v2,...,vn  V e a1, ..., an  K, então o vetor 
 v = a1v1 + a2v2 + ... anvn  V
é chamado de combinação linear de v1, ..., vn. 
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Definição 3: 
Dado um espaço vetorial V sobre K e um subconjunto W  V diremos que W é subespaço vetorial de V quando o próprio W constituir-se como espaço vetorial sobre K, sob as mesmas operações de V sobre K.
 
Se W  V, mas W  V, dizemos que W é um subespaço próprio de V.
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EXEMPLOS DE ESPAÇOS VETORIAIS REAIS
Munidos das operações usuais respectivas de adição e de multiplicação por escalar, os conjuntos:
 R, R2, ..., Rn, R
 Mm x n(R) (matrizes m x n sobre R ),
 Pn(R) (polinômios de grau ≤ n sobre R), 
F(R) (conjunto de funções de R em R) 
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Teorema 1
Dado um espaço vetorial V sobre K, um subconjunto W  V será um subespaço vetorial de V se ambas as condições abaixo forem satisfeitas:
(i) 0  W 
(ii) u, v  W, u + v  W e
 a  K, u  W, au  W
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Teorema 2:
Seja V um espaço vetorial sobre K e A = {v1, v2, ..., vn}  V, com A  . O conjunto S de todas as combinações lineares dos vetores de A é um subespaço vetorial de V. Este subespaço diz-se finitamente gerado por A = {v1, v2, ..., vn} e é representado por S = [v1, v2, ..., vn]. 
Os vetores v1, ..., vn são chamados de geradores de S e A é chamado de conjunto gerador de S.
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INDEPENDÊNCIA LINEAR
Definição 4: Um conjunto {v1, v2, … , vk} de vetores de V diz-se linearmente independente (LI) se a única combinação linear nula possível destes vetores é a trivial, isto é
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Definição 5: Um conjunto {v1, v2, … , vk} de vetores de V diz-se linearmente dependente(LD) quando não é LI, isto é, quando é possível obter-se a combinação linear nula de v1, v2, … , vk sem que todos os coeficientes a1, a2, … , ak sejam nulos.
DEPENDÊNCIA LINEAR
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Teorema 3: Se [v1, v2, … , vn] = V, isto é, se {v1, v2, … , vn} gera V, então podemos extrair de {v1, v2, … , vn} uma base de V. 
Teorema 4: Se [v1, v2, … , vn] = V então qualquer subconjunto de V com mais de n elementos é necessariamente LD.
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Base e Dimensão
Definição 6: Uma BASE de um espaço vetorial V sobre K é um conjunto (ordenado) LI gerador de V, isto é,
{v1, v2, … , vn} é LI e [v1, v2, … , vn] = V 
Definição 7: O número de elementos de uma base de V chama-se DIMENSÃO de V (Todas as bases de V têm o mesmo número de elementos).
 
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Teorema 5: Qualquer conjunto LI de vetores de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado até formar uma de V.
Corolário: Se dim V = n então qualquer subconjunto LI de V com n vetores é uma base de V.
 
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OPERAÇÕES COM SUBESPAÇOS
 Teorema 6
		Se W1 e W2 são subespaços de V então:
(a) W1  W2 é um subespaço W de V 
 chamado de INTERSEÇÃO DE W1 e W2 
 Obs: Em geral, a união W1  W2 NÃO é 
 um subespaço de V. 
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 (b) W1 + W2 = {v  V; v = w1+w2 onde w1W1 e w2  W2} é um subespaço W de V chamado de SOMA DE W1 e W2 
		Se W = W1 + W2 e W1W2 =  dizemos que W é SOMA DIRETA de W1 e W2 (representada por W = W1  W2 ) 
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Teorema 7:
Se W1 e W2 são subespaços de V então dim W1  dim V e dim W2  dim V. Além disso, se V tem dimensão finita então:
dim(W1+W2) = dimW1 + dimW2 – dim(W1W2 )
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Coordenadas de um vetor v em relação à uma base dada
Definição 8: Sejam B = {v1, v2, … , vn} uma base de V e v  V tal que v = a1v1 + a2v2 + … anvn . Os números a1, a2, … an são chamados de coordenadas de v na base B e denotadas por
 
 
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Matriz de Mudança de Base
duas bases ordenadas de um mesmo espaço vetorial V Se v  V então:
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