Integrais Diferenciais

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A.2. – Integrais e Diferenciais 
 
 
Derivadas 
 
d (au) = a du 
d (u + v - w) = du + dv - du 
d (u . v) = u dv + v du 
d u
v
v du - u dv
v2
  = 
d u n u dun n - 1 ( ) = 
( )d u v u du + u ( log u ) dvv v-1 v e= 
d (e = a e duau au) 
d (a = a (log a ) duu u e) 
d (log u ) = u due
-1 
d (log u ) = u (log e ) dua
-1
a 
d sen u = cos u du 
d cos u = -sen u du 
d tg u = sec u du2 
d cotg u = - cosec u du2 
d sec u = tg u sec u du 
d sen u = (1- u ) du-1 2 -1/2 
d senh u = cosh u du 
d cosh u = senh u du 
 
 
 
 
Integrais 
 
 
a dx = a x∫ 
a f(x) dx = a f(x) dx ⋅ ∫∫ 
φ φ(y) dx = (y)
y
dy onde: y dy
dx′



 ′ =∫∫ 
( u + v ) dx = u dx + v dx onde: u = f(x) e v = (x)ϕ∫∫∫ 
 
u dv = u dv - v du = uv - v du∫∫∫∫ 
 
u dv
dx
 dx = uv - v du
dx
 dx∫ ∫ 
x dx = x
n + 1
 para n -1n
n+1∫ ≠ 
′
= ′∫ f (x) dxf(x) log f(x) onde d f(x) = f (x) dxe 
dx
x
 = log x ou log (-x) e e∫ 
e dx = ex x∫ 
f (sen x) dx = 2 f 2z
1+ z
 dz
1+ z
 onde z = tg x
22 2∫∫ 
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x log (ax) dx = x
p + 1
 log (ax) - x
(p + 1)
 para p -1p e
p+1
e
p+1
2∫ ≠ 
(log x) dx = x (log x) - n (log x) dx para n -1e
n
e
n
e
n-1∫∫ ≠ 
 
dx
log x
 = log (log x) + log x +
(log x)
2 2!
 + 
(log x)
3 3!
 +...................
e
e e e
e
2
e
3
⋅ ⋅
∫ 
dx
x log x
 = log (log x)
e
e e∫ 
x e dx = x e
a
 - m
a
x e dxm ax
m ax
m-1 ax∫ ∫ 
dx
1+ e
 x - log e = log e
1+ex e
x
e
x
x= +∫ ( )1 
senh x dx = cosh x∫ 
cosh x dx = senh x∫ 
tgh x dx = - log cosh xe∫ 
e dx = e
a
ax
ax∫ 
b dx = b
a log b
ax
ax
e
∫ 
log x dx = x log x - xe e∫ 
dx
a + x
 = 1
a
 tg ( x
a
)2 2
-1∫ 
(a + bx) dx = a + bx)
n +1)b
 para n -1n
n+1(
(
≠∫ 
 
dx
a + bx
 = 1
ab
 tg x ab
a2
-1∫ 
dx
a + bx + cx
 = 2
4ac - b
 tg 2cx + b
4ac - b2 2
-1
2∫ 
a + bx dx = 2
3b
 (a + bx)3∫ 
x a dx = 1
2
 [x x a a (x + x a ]2 2 2 2 2 e
2 2± ± ± ±∫ log ) 
 
dx
a - x
 = sen ( x
a2 2
-1∫ ) 
1
1
+
−
−∫ xx dx = sen x 1- x-1 2 
 
sen x dx = - cos x ∫ 
cos x dx = sen x ∫ 
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tg x dx = - log cos x e∫ 
 
sen x dx = - sen x cos x
n
 + n -1
n
sen x dx n
n-1
n-2⋅ ∫∫ 
 
dx
sen x
 = log tg x
2
 e∫ 
dx
1 sen x
 = tg (
4
 x
2±∫ m mπ ) 
 
sen mx sen nx dx = sen (m - n)x
2(m - n)
 - sen (m + n)x
(m + n)
 para m n2 2⋅ ≠∫ 2 
sen x cos x dx = sen x2∫ 12 
x sen x dx = sen x - x cos x∫ 
x sen x dx = - x cos x + m x x dxm m m-1∫ ∫ cos 
sen x dx = x sen x + 1- x-1 -1 2∫ 
cotg x dx = log sen x e∫