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Prof. MSc. Bruno Valente
UNIDADE II
Métodos Quantitativos
em Economia
Integral dupla
 Quando existe uma variável:
 Integral definida = área da região sob a curva de f.
 Quando existem duas variáveis:
 Integral dupla = volume da região sob a superfície de f.
b
a
f(x) dx = F(b) – F(a) 
f(x,y) dA
Integral dupla
 Integração parcial em relação a y (x é constante).
 Integração parcial em relação a x (y é constante).
d 
c
f(x,y) dy
b 
a
f(x,y) dx
Integral dupla
Integral iterada
f(x,y) dy . dx
a
b
c
d
ou f(x,y) dy . dx
a
b
c
d
c
d
a
b
f(x,y) dx dy
d
c
b
a
f(x,y) dxdy
Integral dupla
Exemplos:
 Calcule as integrais.
 Inicialmente deve-se calcular a integral em relação a y.
a) x y2 dy dx

0
3

1
2
x y2 dy
1
2
Integral dupla
Considera-se x constante:
= x . = x . - x . = y
3
3
y =2
y = 1
23
3
13
3
x y2 dy
1
2
y2+1
2+1
= x . = 
y =2
y = 1
7
3
= x
Integral dupla
Como se deseja obter:
Deve-se calcular a integral em relação a x.
x y2 dy dx

0
3

1
2
dx
0
3
7
3
x
Integral dupla
= . = -x
2
2
x = 3
x = 0
7
3
7
3
32
2
02
2
7
3
. .
7
3
x

3
0
dx = = x
1+1
1+1
x = 3
x = 0
7
3
.
21
2
=
Integral dupla
 Inicialmente, deve-se calcular a integral em relação a x. 
 Considera-se y constante:
b) x y2 dx dy
1
2

0
3
x y2 dx
0
3
x y2 dx
0
3
= y2 = x
1+1
1+1
x = 3
x = 0
Integral dupla
 Conforme é desejado:
 Deve-se calcular a integral em relação a x.
= y2 . = y2. - y2 . = x
2
2
x = 3
x = 0
32
2
02
2
9
2
y2
x y2 dy dx

0
3

1
2
dy
1
2
9
2
y2
9
2
y2

2
1
dy = = 
y2+1
2+1
y = 2
y = 1
9
2
y3
3
y = 2
y = 1
9
2
. .
-9
2
23
3
13
3
.=
9
2
. =
21
2
Interatividade
O valor da integral dupla é:
2x
3
d)
3x
2
c)
5x
2
e)
a) 3x 
b) 2x
x y dy
1
2
Resposta
O valor da integral dupla é:
 Integral parcial em relação a y: x é constante.2x
3
d)
3x
2
c)
5x
2
e)
a) 3x 
b) 2x
x y dy
1
2

2
1
x dy = x = 
y1+1
1+1
y = 2
y = 1
y
= x . = - = 
y2
2
y = 2
y = 1
22 x
2
12 x
2
3 x
2
Integral dupla
Teorema de Fubini:
f contínua no retângulo R = {(x,y) | a  x  b, c  y  d}, então:

R

f(x,y) dA = f(x,y) dy dx

a
3

c
d
= f(x,y) dx dy

c
d

a
b
Integral dupla
Exemplos:
1.Calcule a integral dupla 
com R = {(x,y) | 1  x  2, 0  y  2}
ou
(x + 2y) dA

R

(x + 2y) dx dy

0
2

1
2
(x + 2y) dA =

R

(x + 2y) dy dx

1
2

0
2
(x + 2y) dA =

R

Integral dupla
Calcular:
(x + 2y) dx dy

0
2

1
2
(x + 2y) dA =

R

Integral dupla
Consideremos y constante:
(x + 2y) dx
1
2
= + 2xy = x
1+1
1+1
x = 2
x = 1
= + 2xy = 
x2
2
x = 2
x = 1
3
2
= += + 2.2.y
22
2
- - 2.1.y
12
2
2y
Integral dupla
Como é desejado:
Deve-se calcular a integral em relação a y.
x + 2 y dx dy

0
2

1
2
dy
1
2
3
2
+ 2y

2
0
dy = = + y2
y = 2
y = 0
3
2
+ 2y
3y
2
= + 22 – 0 = 7 
3 .2
2
Integral dupla
2. Calcule a integral dupla 
com R = {(x,y) | 0  x  1, 0  y  / 2}
ou
(y cos(xy)) dA

R

(y cos(xy)) dx dy

0
/2

0
1
(y cos(xy)) dA = 

R

(y cos(xy)) dA =

R

(y cos(xy)) dy dx

0
/2

0
1
Integral dupla
Melhor ordem de integração
(integral simples)
(integral por partes)
(y cos(xy)) dx dy

0
/2

0
1
(y cos(xy)) dy dx
0
/2

0
1
Integral dupla
Calcular a seguinte integral dupla:
(y cos(xy)) dx dy

0
/2

0
1
(y cos(xy)) dA = 

R

Integral dupla
Considera-se y constante:
(y cos(xy)) dx dy = = 
0
1
= sen(xy) = sen y – sen 0 = sen y 
x = 1
x = 0
y
y . sen(xy)
x = 1
x = 0
Integral dupla
Como se deseja obter: 
Devemos, agora, calcular a integral em relação a y:
(y cos(xy)) dx dy

0
/2

0
1
dy

0
/2
(sen y)
Integral dupla
Assim,
= - cos(y) = - cos (/2) – (– cos 0) = 0 + 1 = 1 
y = /2
y = 0
dy
0
/2
(sen y)
Interatividade
O resultado da integral dupla
a) 1
b) 2
c) - ½ 
d) ½
e) 0
y cos x dx dy é:

0
/2

0
1
Resposta
O resultado da integral dupla
a) 1
b) 2
c) - ½ 
d) ½
e) 0
y cos x dx dy é:

0
/2

0
1

0
/2
y cos x dx = y senx = y (1-0) = y 
x = /2
x = 0
y dy
0
1
= = ½ y
2
2
y = 1
y = 0
Solução:
Integral dupla
Integral sobre regiões genéricas.
Região tipo 1
0 a b x
y
y = g2(x)
y = g1(x)
D
0 a b x
y
y = g2(x)
y = g1(x)
D
Integral dupla
Como calcular 
D região do tipo 1
D = {(x,y) | a  x  b, g1 (x)  y  g2 (x)}
f(x,y) dA

D

f(x,y)) dy dx

a
b

g1(x)
f(x,y) dA = 

D

g2(x)
Integral dupla
Região tipo 2
0 x
y
d
c
x = h2(y)
x= h1(y)
D
0 x 
y
d
c
x = h2(y)
x = h1(y)
D
Integral dupla
Como calcular 
D região do tipo 2
D = {(x,y) | c  y  d, h1 (x)  x  h2 (x)}
f(x,y)) dx dy

a
b

h1(x)
f(x,y) dA = 

D

h2(x)
f(x,y) dA

D

Integral dupla
Exemplos:
1.Sendo D a região limitada pelas funções g1 (x) = 2x e g2 (x) = x + 1, calcule a integral:
(2x + 2y) dA

D

Integral dupla
Esboçar o gráfico da região D e verificar se é do tipo 1 ou 2.
g1 (x) = 2x e g2 (x) = x + 1 são retas
0 1 x 
y
2
1
g2(x) = x + 1g1(x) = 2x
D
Tipo 1
Integral dupla
Assim:
isto é:
(2x +2y)dA =

D

f(x,y)dy dx

a
b

g1(x)
g2(x)
(2x + 2y) dy dx

0
1

2x
x+1
Integral dupla
Calculando a integral em relação a y:
(2x + 2y) dy dx

0
1

2x
x+1
(2x + 2y) dx
2x
x+1
= + y1+1 = 2xy
y = x+1
y = 2x
= 2x (x + 1) + (x + 1)2 – 2x . 2x – (2x)2 = 
= - 5 x2 + 4x + 1
Integral dupla
Queremos calcular:
Calculando a integral em relação a x:
(2x + 2y) dy dx

0
1

2x
x+1
(-5x2 + 4x + 1) dx = + 2 x2 + x = 
0
1
-5x3
3
y = 1
y = 0
4
3
Integral dupla
2.Sendo D a região limitada pelas funções h1 (y) = 0 e h2 (y) = , calcule a integral.√y
x + y dx dy

D

Integral dupla
Esboçar o gráfico da região D e verificar se é do tipo 1 ou 2.
0 1 x
y
1
h2(y) =
h1(y) = 0
D
√y
Tipo 2
Integral dupla
Assim:
isto é:
f(x,y)dA =

D

f(x,y)dx dy

a
b

h1(y)
h2(y)
(x + y) dx dy
0
1

0
√y
Integral dupla
Calculando a integral em relação a x:
(x + y) dx dy

0
1

0
√y
(x + y) dx
0
= + x y = 
x2
x =
x = 0
√y
2
√y
( ) 2
2
√y
√y+ . y = + y 3/2
y
2
Integral dupla
Queremos calcular:
Calculando a integral em relação a y:
(x + y) dx dy

0
1

0
√y
( + y3/2) dy = + = 

0
1
y2
4
y = 1
y = 0
13
20
y
2
y5/2
5/2
Interatividade
Sendo D a região limitada pelas funções g1 (x) = x e g2 (x) = -x
2 + 3x, a integral 
é igual a: 
a) 4/3
b) 2/3
c) 3/4
d) 1/2
e) - 4/3
x dy dx , 

0
2

x
-x2 + 3x
Resposta
Sendo D a região limitada pelas funções g1 (x) = x e g2 (x) = -x
2 + 3x, a integralé igual a: 
a) 4/3
b) 2/3
c) 3/4
d) 1/2
e) - 4/3
x dy dx , 

0
2

x
-x2 + 3x
Calculando em relação a x, temos:

-x2 + 3x
x
x dy = x y = - x3 + 2x2
y = -x2 + 3x
y = x
( - x3 + 2x2) dx = + = = 

0
1
- x4
4
x = 2
x = 0
16
12
2x3
3
4
3
Calculando a integral em relação a y, temos:
Solução:
Integral dupla
Aplicação em cálculo de áreas
f(x,y) contínua em R e f(x,y) = 1, então:
ou
1dx dy = AR (área da região R)

R

1dy dx = AR (área da região R)

R

Integral dupla
Exemplos:
1.Determine por integração dupla a área da região no plano xy, limitada pelas curvas:
y = x2 e y = - x2 + 8x
Integral dupla
Representação da região
Determinar os pontos de encontro das funções e fazer os gráficos.
Igualando as funções: y = x2 e y = - x2 + 8x
x2 = - x2 + 8x 
 2x2 - 8x = 0 
 x = 0 ou x = 4 
Integral dupla
Graficamente, tem-se:
y = x2
y = - x2 + 8x 
0 4 8 x
y
16
Integral dupla
Assim, tem-se que:
1dx dy =

R

1dy dx 

0
4

x2
-x2 + 8x

-x2+ 8x
x2
1 dy = y = - x2 + 8 x – x2 = - 2 x2 + 8x 
y =-x2 + 8x 
y = x2
Integral dupla
Deseja-se calcular:
Assim,
1dx dy =

R

1dy dx 

0
4

x2
-x2 + 8x
1dy dx = 

0
4

x2
-x2 + 8x
(-2x2 + 8x) dx = 

0
4
+ 4. 42 – 0 = 
x = 4
x = 0
-2x3
3
-2.43
3
+ 4 x2 =
= -2.4
3
3
+ 64 = 64
3
Portanto, a área da região é: u.a.64
3
Integral dupla
2) Determine por integração dupla a área da região no plano xy, limitada pelas curvas:
y = x2 e y = x 
Integral dupla
Representação da região
Determinar os pontos de encontro das funções e fazer os gráficos.
Igualando as funções: y = x2 e y = x
x2 = x 
 x2 - x = 0 
 x = 0 ou x = 1
Integral dupla
Graficamente, temos:
y = x2
y = x
0 1 x
y
Integral dupla
Assim, temos:
1dy dx =

R

1dy dx 

0
1

x2
x

x 
x2
1 dy = y = x – x2 = - x2 + x 
y = x
y = x2
Integral dupla
Queremos calcular:
Assim,
 Logo, a área da região é: u.a.
1dy dx =

R

1dy dx 

0
1

x2
x
1dy dx = 

0
1

x2
x
(- x2 + x) dx = 

0
1
= + = + – 0 = 
x = 1
x = 0
- x3
3
- 13
3
x2
2
12
2
1
6
1
6
Interatividade
Para calcular a área da região limitada pelas curvas y = x e y = - x2 + 4x, devemos utilizar:
a) 1dy dx 

0
1

x
- x2 + 4x
b) 1dy dx 

0
3

x
-x2 + 4x
c) 1dy dx 

0
1

-x2 + 4x
x
d) 1dy dx 

0
3

x
x2
e) 1dy dx 

0
3

-x2 + 4x
x
Resposta
Para calcular a área da região limitada pelas curvas y = x e y = - x2 + 4x, devemos utilizar:
a) 1dy dx 

0
1

x
- x2 + 4x
b) 1dy dx 

0
3

x
-x2 + 4x
c) 1dy dx 

0
1

-x2 + 4x
x
d) 1dy dx 

0
3

x
x2
e) 1dy dx 

0
3

-x2 + 4x
x
Fazendo o gráfico das funções e determinando os pontos 
comuns, tem-se:
Solução:
y = -x2 + 4x 
y = x
0 3 4 x
y
ATÉ A PRÓXIMA!