Equações da Eletrostática e Energia - Eletromagnetismo - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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Cap´ıtulo 5
Equac¸o˜es da Eletrosta´tica e
Energia
5.1 Introduc¸a˜o
Neste momento, ja´ foram vistas praticamente todas as equac¸o˜es e fo´rmulas
referentes a` eletrosta´tica. Dessa forma, nesse cap´ıtulo estudaremos algumas
das relac¸o˜es entre o poteˆncial eletrosta´tico, o campo ele´trico e as densidades
de carga dos corpos. Ale´m disso, sera˜o abordadas as equac¸o˜es de Laplace
e Poisson, que oferecem mais uma forma de efetuar ca´lculos, as condic¸o˜es
de contorno da eletrosta´tica e as equac¸o˜es que fornecem a energia potencial
eletrosta´tica de um configurac¸a˜o de cargas
5.2 Equac¸o˜es de Laplace e Poisson
Como ja´ vimos:
�∇× �E = 0 (5.1)
�∇· �E =
ρ
ε0
(5.2)
69
70 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Ale´m disso, vimos que:
�∇× �E = 0
Permite
→ �E = −�∇V (5.3)
Assim, substituindo 5.3 em 5.2, obtemos:
�∇·�∇V = −
ρ
ε0
�∇2V = −
ρ
ε0
(5.4)
A equac¸a˜o acima e´ chamada equac¸a˜o de Poisson e relaciona o potencial
eletrosta´tico com a densidade de carga pontual. Com ela e´ poss´ıvel calcular,
em cada ponto, o potencial eletrosta´tico, desde que se conhec¸am as condic¸o˜es
de contorno do problema, de forma a resolver as equac¸o˜es diferenciais que
sera˜o obtidas.
A equac¸a˜o de Laplace vem diretamente da equac¸a˜o de Poisson, quando
ρ = 0. Assim:
�∇2V = 0 (5.5)
5.3 Resumo das equac¸o˜es da eletrosta´tica
A partir de duas observac¸o˜es experimentais, notadamente o princ´ıpio da
superposic¸a˜o e a Lei de Coulomb, foi poss´ıvel depreender todas as outras
fo´rmulas da eletrosta´tica. Abaixo, segue um resumo de todas as equac¸o˜es
vistas ate´ aqui:
5.4 Condic¸o˜es de Contorno
Definidas as equac¸o˜es de Laplace e Poisson, devemos agora verificar de que
forma as grandezas involvidas se comportam. Vale ressaltar que algumas
5.4. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 71
Figura 5.1: Equac¸o˜es da eletrosta´tica
dessas formas ja´ foram comentadas.
5.4.1 Relac¸a˜o entre campos logo acima e abaixo de
uma superf´ıcie carregada
No´s notamos estudando alguns exemplos que o campo ele´trico apresenta em
alguns casos uma descontinuidade. Isto ocorre quando temos uma superf´ıcie
carregada. Imagine uma superf´ıcie arbitra´ria
Considere a gaussiana desenhada com a´rea A extremamente pequena e
espessura �. Assim, pela lei de Gauss temos:
�
S
�E·d�S =
qint
ε0
=
σA
ε0
Os lados na˜o contribuem para o fluxo, somente o topo e o fundo. De
forma que quando ε→ 0:
Em particular, quando na˜o ha´ uma superf´ıcie carregada E⊥ e´ cont´ınua,
72 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Figura 5.2: Esquema de uma superf´ıcie carregada com uma gaussiana
Figura 5.3: A componente normal de �E e´ descont´ınua
exemplo: esfera so´lida uniformemente carregada.
Consideremos agora a circulac¸a˜o de E na mesma superf´ıcie:
�
�E·d�l = 0
quando ε→ 0. Assim:
�E
�
acima·d
�l1 + �E
�
abaixo·d
�l2 = 0
5.4. CONDIC¸O˜ES DE CONTORNO 73
d�l1 = −d�l2 → �E
�
acima =
�E
�
abaixo
Logo a componente paralela do campo e´ cont´ınua, enta˜o:
�Eacima−
�Eabaixo =
σ
ε0
nˆ (5.6)
onde nˆ e´ o vetor unita´rio perpendicular a` superf´ıcie de cima para baixo.
5.4.2 Relac¸a˜o entre os potenciais
Ao contra´rio do que acontece com o campo, o potencial e´ cont´ınuo, pois:
∆V = −
b�
a
�E·d�l
Vb − Va = −
b�
a
�E·d�l
E quando ε→ 0 enta˜o
b�
a
�E·d�l → 0, Logo
Vb = Va → Vabaixo = Vacima (5.7)
5.4.3 Alguns outros comenta´rios
Ale´m das condic¸o˜es ja´ mencionadas, vale lembrar tambe´m de alguns pontos:
* Ja´ vimos que, na maioria dos casos V (∞) = 0 * Quando ha´ distribuic¸a˜o
de cargas na˜o pontual V �=∞
74 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
5.5 Exemplos de aplicac¸a˜o das Equac¸o˜es de
Poisson e Laplace
Com as condic¸o˜es de contorno em ma˜os, somos capazes de aplicar as equac¸o˜es
de Poisson e Laplace para alguns exemplos.
5.5.1 Exemplo 1
Considere duas placas infinitas paralelas, condutoras, uma colocada em x = 0
e outra em x = L. Seja o potencial em x > 0 igual a V0 e em x = L igual
a zero. Determinar o potencial e o campo entre as placas considerando duas
situac¸o˜es: Densidade de carga entre as placas igual a` zero; Densidade de
carga entre as placas e´ contante igual a` ρ.
Figura 5.4: Esquema
No primeiro caso temos ρ = 0 assim, pela equac¸a˜o de Laplace:
∇2V =
d2V
dx2
= 0
Logo:
V = ax+ b
Assim, pelas condic¸o˜es do problema, como para x = 0, V = V0, enta˜o:
5.5. EXEMPLOS DE APLICAC¸A˜O DAS EQUAC¸O˜ES DE POISSON E LAPLACE75
b = V
Ale´m disso, como para x = L, V = 0, enta˜o
a = −
V0
L
Logo:
V (x) = −
V0
L
+ V
Podemos calcular tambe´m o campo, assim:
�E = −
d
dx
�
−
V0
L
x+ V0
�
iˆ =
V0
L
iˆ
No segundo caso temos ρ = ρ0, assim, pela equac¸a˜o de Poisson:
∇2V = −
ρ0
ε0
→
d2V
dx2
= −
ρ0
ε0
Logo:
V = −
ρ0x
2
2ε0
+ ax+ b
Aplicando as condic¸o˜es de contorno:
�
V (0) = V0 → b = V0
V (L) = 0→ a = −V0
L
+ ρ0L
2ε0
Logo:
V (x) = −
ρ0x
2
2ε0
+
�
−
V0
L
+
ρ0L
2ε0
�
x+ V0
Tambe´m podemos calcular o potencial, assim:
76 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
�E = −
d
dx
�
−
ρ0x
2
2ε0
+
�
−
V0
L
+
ρ0L
2ε0
�
x+ V0
�
iˆ =
�
ρ0
2ε0
x+
V0
L
−
ρ0L
2ε0
�
iˆ
5.6 Energia Potencial Eletrosta´tica
No´s vimos que U = qV para uma carga q num ponto de um campo pre´-
estabelecido de potencial V. Mas e para uma distribuic¸a˜o qualquer de cargas?
5.6.1 Energia Potencial Eletrosta´tica de uma distri-
buic¸a˜o de cargas
Vamos imaginar um conjunto de cargas no infinito e vamos trazer as car-
gas uma a uma do infinito (considera-se V (∞) = 0 para as suas posic¸o˜es,
formando uma configurac¸a˜o escolhida, assim:
Para trazer a primeira carga q1, W = 0
Para trazer a segunda carga, como:
V = −
r�
∞
�E·d�l =
1
4πε0
q
r
temos; W = 1
4πε0
q1q2
r12
Para a terceira temos:W = q3
4πε0
�
q1
r13
+ q2
r23
�
Assim sucessivamente...
Logo, obtemos a energia potencial da configurac¸a˜o qualquer de cargas
pontuais:
U =
1
4πε0
�
i<j
qiqj
rij
=
1
4πε0
1
2
�
i
�
j �=i
qiqj
rij
(5.8)
Na qual o 1/2 surge para compensar o fato de que, no somato´rio duplo,
temos os termos qiqj e qjqi que sa˜o contados duas vezes.
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 77
Percebe-se pela fo´rmula 5.8 pore´m, que:
�
j �=i
1
4πε0
qj
rij
Representa o poteˆncial de todas as outras cargas na posic¸a˜o da carga i.
Assim:
U =
1
2
�
i
qiVi
representa a energia potencial eletrosta´tica na posic¸a˜o i. Logo, caso te-
nhamos uma distribuic¸a˜o cont´ınua, podemos extender o somato´rio para:
U =
1
2
�
ρV dv (5.9)
5.6.2 Exemplo
Uma esfera de raio R possui uma densidade de carga ρ(r) = kr (onde k e´
uma constante). Ache a energia da configurac¸a˜o.
Para calcular a energia, devemos inicialmente obter o potencial. Esse
pode ser obtido de duas formas, ou seja, utilizando V (r) = −
r�
∞
�E·d�l ou pelas
equac¸o˜es de Poisson e Laplace.
Resolvendo por V (r) = −
r�
∞
�E·d�l temos:
�
S
�E·d�S =
qint
ε0
E4πr2 =
1
ε0
R�
0
kr4πr2dr
Efora =
k
ε0
R4
4r2
rˆ
78 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Ale´m disso;
E =
k
ε0
r4
4r2
→ Edentro =
kr2
4ε0
rˆ
Precisamos de V para valores de r < R, assim:
V (r) = −
r�
∞
�E·d�l = −
R�
∞
�Efora·d�l −
r�
R
�Eentre·d�l
V (r) = −
R�
∞
kR4
4ε0r2
dr −
r�
R
kr2
4ε0
dr =
k
12ε0
(4R3 − r3)
Com o potencial em ma˜os, podemos aplicar a equac¸a˜o 5.9, assim:
U =
1
2
�
ρV dv
U =
1
2R�
0
2π�
0
π�
0
krV (r)r2 sin θdθdϕdr (5.10)
Logo:
U =
1
2
R�
0
4π
k2r3
12ε0
(4R3 − r3)dr =
πk2
7ε0
R7
Caso quisessemos calcular pelas equac¸o˜es de Laplace e Poisson, temos:
Para r < R:
∇2V = −
ρ
ε0
Para r > R:
∇2V = 0
Para o primeiro caso r < R temos:
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 79
V = V (r)→
∂V
∂θ
=
∂V
∂ϕ
= 0
Mas o termo em r do operador ∇2 em coordenadas esfe´ricas, com a con-
siderac¸a˜o acima, e´ dado por:
∇2V =
1
r2
∂
∂r
�
r2
∂V
∂r
�
Logo:
∇2V =
1
r2
d
dr
�
r2
dV
dr
�
= −
ρ
ε0
Assim, temos que:
1
r2
d
dr
�
r2
dV
dr
�
= −
kr
ε0
→
d
dr
�
r2
dV
dr
�
= −
kr3
ε0
r2
dV
dr
= −
kr4
4ε0
+ A→
dV
dr
= −
kr2
4ε0
+
A
r2
Logo:
Vdentro(r) = −
kr3
12ε0
−
A
r
+B
Para r > R, temos que:
∇2V = 0
1
r2
d
dr
�
r2
dV
dr
�
= 0→ r2
dV
dr
= C
Vfora(r) = −
C
r
+D
Aplicando as condic¸o˜es de contorno:
�
Vfora(∞) = 0
Vfora(R) = Vdentro(R)
80 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
Ale´m disso, como se trata de uma distribuic¸a˜o volume´tica:
�
Efora(R) = Edentro(R)⇒ V
�
fora(R) = V
�
dentro(R)
V (0) �=∞
Assim:
Vfora(∞) = 0→ D = 0
Vdentro(0) �=∞→ A = 0
Vdentro(R) = Vfora(R)→ −
kr2
4ε0
���
r=R
= C
r2
��
r=R
→ C = −kr
4
4ε0
Logo:
B =
kR4
4ε0R
+
kR3
12ε0
=
kR3
3ε0
Dessa forma:
Vdentro(r) = −
kr3
12ε0
+
kR3
3ε0
=
k
12ε0
(4R3 − r3)
Vfora(r) =
kR4
4ε0r
Para o ca´lculo de U procede-se da mesma forma que no caso 5.10, encontrando-
se o mesmo resultado
5.6.3 Relac¸a˜o entre Energia e Campo Ele´trico
Uma pergunta interessante de se fazer e´ onde esta´ localizada a energia ele-
trosta´tica?
Tambe´m poder´ıamos perguntar: e o que importa? Qual o significado
de uma pergunta como essa? Se temos um par de cargas interagindo, a
combinac¸a˜o tem certa energia. E´ necessa´rio dizermos que a energia esta´
localizada em uma das cargas ou na outra, ou em ambas, ou no meio? Pode
ser que estas perguntas na˜o fac¸am sentido, porque realmente so´ sabemos que a
energia se conserva. A ide´ia de que a energia esta´ localizada em alguma parte
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 81
na˜o e´ necessa´ria tambe´m pode aparecer. Mas sera´ mesmo que a pergunta
na˜o tem nenhuma utilidade?
Vamos supor que tenha sentido dizer, em geral, que a energia esta´ locali-
zada em certo lugar, como ocorre com a energia te´rmica. Enta˜o poder´ıamos
estender o princ´ıpio da conservac¸a˜o da energia com a ide´ia de que se a ener-
gia contida dentro de um volume dado varia, poder´ıamos explicar a variac¸a˜o
mediante o fluxo de energia que entra ou sai deste volume. Poder´ıamos cha-
mar de princ´ıpio de conservac¸a˜o local de energia. Esse princ´ıpio diria que a
energia dentro de qualquer volume varia unicamente da quantidade que flui
para fora ou para dentro deste volume. Ter´ıamos, portanto, uma lei muito
mais detalhada que o simples enunciado da conservac¸a˜o de energia total.
Tambe´m ha´ uma causa f¨´ısicap¨ara que possamos decidir onde esta´ locali-
zada a energia. De acordo com a teoria da gravitac¸a˜o, toda massa e´ uma fonte
de atrac¸a˜o gravitacional. Tambe´m sabemos que se E=mc2, enta˜o massa e
energia sa˜o equivalentes. Toda energia e´ uma fonte de forc¸a gravitacional. Se
na˜o pude´ssemos localizar todas as massas na˜o poder´ıamos dizer onde esta˜o
localizadas as fontes de campo gravitacional, a teoria da gravitac¸a˜o estaria
incompleta. Se nos restringimos a` eletrosta´tica, na˜o ha´ maneira de decidir
onde esta´ a energia se na carga ou no campo.
Pore´m, com o atual conhecimento, na˜o somos ainda capazes de responder
a esses questionamentos, as equac¸o˜es de Maxwell para a eletrodinaˆmica sa˜o
necessa´rias para nos dar mais informac¸o˜es. Por enquanto ficaremos somente
com esta resposta:
A energia esta´ localizada no espac¸o onde esta´ o campo ele´trico. O que
e´ razoa´vel, pois quando as cargas aceleram elas irradiam campos ele´tricos.
Quando a luz ou as ondas de ra´dio viajam de um ponto a outro, transpor-
tam sua energia com elas. Mas na˜o ha´ carga nas ondas. Desta forma, e´
interessante localizar a energia no campo eletromagne´tico e na˜o nas cargas.
Dessa forma, torna-se conveniente encontrar a energia eletrosta´tica em
func¸a˜o do campo ele´trico, assim, como:
82 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
∇2V = −
ρ
ε0
enta˜o:
U =
1
2
�
ρV dv = −
ε0
2
�
V∇2V dv
Mas, matematicamente temos:
V∇2V = V
�
∂2V
∂x2
+ ∂
2V
∂y2
+ ∂
2V
∂z2
�
=
= ∂
∂x
�
V ∂V
∂x
�
−
�
∂V
∂x
�2
+ ∂
∂y
�
V ∂V
∂y
�
−
�
∂V
∂y
�2
+ ∂
∂z
�
V ∂V
∂z
�
−
�
∂V
∂z
�2
=
= �∇·(V �∇V )− (�∇V )·(�∇V )
Logo;
U =
ε0
2
�
(�∇V )·(�∇V )dv −
ε0
2
�
�∇·(V �∇V )dv
Mas, pelo teorema da divergeˆncia, temos:
�
v
�∇·(V �∇V )dv =
�
s
(V �∇V )·d�s
Agora, devemos fazer uma ra´pida ana´lise. Para uma distribuic¸a˜o finita
de cargas, sabemos que: V ∝ 1/r na melhor das hipo´teses (Se a carga total
for zero, V ∝ 1/r2 ou mais...). Ale´m disso, ∇V ∝ 1/r2 e ds ∝ r2 portanto a
integral:
−
ε0
2
�
�∇·(V �∇V )dv
e´ proporcional a` 1/r, assim, caso integremos no espac¸o, teremos que essa
integral se anula e:
U =
ε0
2
�
R3
(�∇V )·(�∇V )dv
5.6. ENERGIA POTENCIAL ELETROSTA´TICA 83
Logo, como ∇V = �E, enta˜o:
U =
ε0
2
�
R3
�E· �Edv (5.11)
Nos da´ a energia potencial eletrosta´tica da configurac¸a˜o em func¸a˜o do
Campo ele´trico. Vale notar tambe´m que devemos integrar em todo o espac¸o,
e na˜o so´ na regia˜o que conte´m
5.6.4 Princ´ıpio da Superposic¸a˜o
Vimos que campo e potencial obedecem o chamado princ´ıpio da superposic¸a˜o,
pore´m, devido ao fato da energia ser quadra´tica nos campos, ela na˜o obe-
dece o princ´ıpio da superposic¸a˜o, temos, pois, que:
Wtotal =
ε0
2
�
E2dv =
ε0
2
�
( �E1 + �E2)
2dv (5.12)
Vejamos um exemplo:
Considere duas cascas esfe´ricas conceˆntricas de raio a e b. Suponha que a
interna possui uma carga q e a externa -q ambas uniformemente distribu´ıdas
na superf´ıcie. Calcule a energia desta configurac¸a˜o. Assim:
U =
ε0
2
�
R3
E2dv
Mas
E =


0, r < a
q
4πε0
1
r2
,a < r < b
0, r > b
Logo:
84 CAPI´TULO 5. EQUAC¸O˜ES DA ELETROSTA´TICA E ENERGIA
U =
ε0
2
b�
a
q2
16π2ε20
1
r4
r24πdr → U =
q2
8πε0
�
1
a
−
1
b
�
Percebe-se contudo que, se calcularmos: U1 =
ε0
2
�
R3
E21dv e U2 =
ε0
2
�
R3
E22dv
U �= U1 + U2
Como era de se esperar, o princ´ıpio da superposic¸a˜o na˜o foi va´lido.