Particula Confinada em um Poço de Potencial

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Part́ıcula Confinada em um Poço de Potencial ?
Barbosa T. A. S. ∗
∗ Faculdade de F́ısica, Universidade Federal do Sul e Sudeste do Pará,
Marabá-PA, (e-mail: tonyandersonsacramento@yahoo.com).
Abstract: A particle in a 1-dimensional box is a fundamental quantum mechanical approximation
describing the translational motion of a single particle confined inside an infinitely deep well
from which it cannot escape.
Resumo: Uma part́ıcula em uma caixa unidimensional é uma aproximação mecânica quântica
fundamental que descreve o movimento de translação de um part́ıcula única confinada dentro
de um poço infinitamente profundo do qual não pode escapar.
Keywords: function; Wave; Energy; Particle; States; Potential; Solution.
Palavras-chaves: Função; Onda; Energia; Part́ıcula; Estados; Potencial; Solução.
1. INTRODUÇÃO
O problema da part́ıcula em uma caixa é uma aplicação
comum de um modelo de mecânica quântica a um sistema
simplificado que consiste em um part́ıcula movendo-se ho-
rizontalmente dentro de um poço infinitamente profundo
do qual não pode escapar. As soluções para o problema
dão posśıveis valores de E e Ψ que a part́ıcula pode
possuir. E representa os valores de energia permitidos e
Ψ(x) é uma função de onda, que quando ao quadrado,
nos dá a probabilidade de localizar a part́ıcula em uma
certa posição dentro da caixa em um determinado ńıvel de
energia.
Para resolver o problema de uma part́ıcula em uma caixa
unidimensional, devemos seguir nossa grande, grande ”re-
ceita de bolo”para Mecânica Quântica: Defina a energia
potencial, V 2. Resolva a Equação de Schrödinger 3. Defina
a função de onda 4. Defina as energias permitidas
• Definir a energia potencial, V
• Resolver a Equação de Schrödinger
• Definir a função de onda
• Definir as energias permitidas
2. ENERGIA POTENCIAL V(X)
Figura 1. Poço de Potencial Infinito
? Tony Anderson Sacramento Barbosa.
A energia potencial é 0 dentro da caixa (V = 0 para 0 <
x < L) e vai ao infinito nas paredes da caixa (V = ∞
para x <0 ou x> L). Suponha que as paredes tenham
energia potencial infinita para garantir que a part́ıcula
tenha probabilidade zero de estar nas paredes ou fora
da Caixa. Fazer isso simplifica significativamente nossos
cálculos matemáticos posteriores, pois empregamos essas
condições de contorno quando resolvemos a equação de
Schrödinger.
3. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
A equação de Schrödinger independente do tempo para
uma part́ıcula de massa m movendo-se em uma direção
com energia E é
−h̄2
2m
d2Ψ(x)
dx2
+ VΨ(x) = EΨ(x) (1)
Onde
• h̄ é a constante de plank dividida por 2π
• m é a massa da part́ıcula
• Ψ(x) é a função de onda
• V (x) é o potencial
• E é a energia da part́ıcula.
Esta equação pode ser modificada para que uma part́ıcula
de massa m livre se mova paralelamente ao eixo x com
energia potencial zero (V = 0 em todos os lugares) resul-
tando na descrição da mecânica quântica do movimento
livre em uma dimensão:
ψ(x) = A cos kL+B sin kL (2)
Onde A e B são constantes reais.
4. DEFININDO A FUNÇÃO DE ONDA ψ(X)
A solução para a equação de Schrödinger que encontramos
acima é a solução geral para um sistema unidimensional,
que é análoga a solução do oscilador hamônico simples.
Agora precisamos aplicar nossas condições de contorno
para encontrar a solução para nosso sistema particular. De
acordo com nossas condições de fronteira, a probabilidade
de encontrar a part́ıcula em x = 0 ou x = L é zero. Quando
x = 0, sin 0 = 0 e cos 0 = 1; portanto, A deve ser igual a
0, para cumprir esta condição de limite, dando:
ψ(x) = B sin kL (3)
Agora podemos encontrar nossas constantes (B e k) para
definir a função de onda completa.
Como A = 0, B tem que ser diferente de 0, logo temos que
sin kL tem que ser 0. Para sin kL = 0, kL = nπ. Logo:
kL = nπ (n = 0, π, 2π, 3π, ...) (4)
Rescrevendo os termos da equação em função de k, temos:
k =
nπ
L
(n = π, 2π, 3π, ...) (5)
Onde é notória a quantização do número de ondas.
Logo nossa função de onda pode ser escrita da forma de
ψ(x) = B sin
nπx
L
(6)
Agora para encontrarmos quem é nossa constante B tere-
mos que normalizar nossa função de onda nos limites do
poço, ou seja, entre 0 e L.
∫ L
0
|ψ(x, t)|2dx = 1 (7)
Onde obteremos B =
√
2
L . Perceba que a constante B só
depende da largura do poço. E substituindo B e k em ψ(x),
temos
ψ(x) =
√
2
L
sin
nπx
L
(8)
5. OS NÍVEIS DE ENERGIA
Sabendo que k2 está relacionada com E, rescrevendo em
termos E, temos
En =
h̄2k2
2m
(9)
como k = nπL , temos que E
En =
h̄2π2n2
2mL2
(10)
Logo podemos notar que a energia da part́ıcula também é
quantizada. Além do momento P = h̄2k2 que também é
quantizado.
Na figura abaixo, temos que E1 é inversamente proporci-
onal a largura do poço.
Figura 2. Niveis de Energia
Como é perceptivel, a energia E2 será 4 vezes maior que
E1, isso se vem da consequência da quantização da energia.
Perceba também que ∆E cresce proporcional a n. Logo
∆En+1 = n
2En (11)
6. A FUNÇÃO ψ(X) NO PLANO
Agora que encontramos todas as componentes da função
de onda, chegou a parte de vermos como ela é distribúıda
no espaço, e mais, vamos ver também como será nossa
probabilidade de encomtrarmos a part́ıcula.
Figura 3. A função de onda no espaço
Como podemos ver, a função onda ψ(x) é zero em todos os
pontos fora do poço de potencial. E a probababilidade|ψ|2
de encontramos a part́ıcula é zero em todos os pontos
fora do poço. Perceba que também que as probabilidades
mudam para cada estado de ψ(x).
7. O POÇO DE POTENCIAL FINITO
Agora que já falamos sobre as soluções para um poço de
potencial do tipo infito, vamos falar um pouco sobre o
potencial não infinito.
Figura 4. Poço de Potencial Finito
Veja que temos três regiões no nosso sistema (i, ii e iii),
logo, teremos soluções para cada uma delas.
Para a regição ii, nossa solução será a do poço infinito.
Logo teremos para a regição i e ii,
ψ(x) = C exp k′x+D exp−k′x (12)
Onde esta solução é uma combinação linear das soluções
das regiões i e iii respectivamente.
Realizando todos os métodos matemáticos para encontra-
mos as constantes envolvidas na equação, temos agora uma
função de onda diferente de zero em todos os pontos do
plano, mesmo fora do poço
Figura 5. Função de Onda para o Poço Finito
Figura 6. Probabilidade de Encontrar a Part́ıcula para o
Poço Finito
8. CONCLUSÃO
Podemos perceber que a energia de uma part́ıcula confi-
nada cresce com o crescimento do seu número quântico
n, bem como a sua diferença de energia de um ńıvel
para outro ∆E, o que é o inverso do que acontece no
problema para o átomo de hidrgêncio, que tem sua ∆En
cada vez menor de acordo com que n cresce. Logo também
podemos observar que existe a probabilidade da part́ıcula
ser encontrada na região externa do poço. Pobabilidade
essa que cresce a medida que n evolúı, em outras palavras,
quanto maior a energia En, maior a probabilidade de
encontrarmos a part́ıcula fora do poço, mesmo com E < V .
REFERÊNCIAS
Eisberg, R. and Resnick, R. (1979). Fisica quantica:
atomos, moleculas, solidos, nucleos e particulas. ELSE-
VIER EDITORA. URL https://books.google.com.
br/books?id=5tBlPgAACAAJ.
Griffiths, D. (2011). Mecânica quântica. PRENTICE
HALL BRASIL. URL https://books.google.com.
br/books?id=Z1CLZwEACAAJ.
Sakurai, J. and Napolitano, J. (2017). Modern Quantum
Mechanics. Cambridge University Press. URL https://
books.google.com.br/books?id=010yDwAAQBAJ.