Ajuste de Curvas - Cálculo Numérico - Instituto Tecnológico de Aeronáutica

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CCI-22
á lMatemática Computacional
Carlos Alberto Alonso Sanches
Juliana de Melo Bezerra
CCI-22
6) Ajuste de Curvas) j
Método dos Mínimos Quadrados, Regressão Linear
CCICCI--2222
ƒ Introduçãoç
ƒ Método dos Mínimos Quadrados
ƒ Ajuste a um polinômio
ƒ Regressão linear
ƒ Ajuste a outras curvasƒ Ajuste a outras curvas
ƒ Qualidade do ajusteQ j
CCICCI--2222
ƒ Introduçãoç
ƒ Método dos Mínimos Quadrados
ƒ Ajuste a um polinômio
ƒ Regressão linear
ƒ Ajuste a outras curvasƒ Ajuste a outras curvas
ƒ Qualidade do ajusteQ j
DefiniçãoDefiniçãof çf ç
ƒ Situações em que a interpolação não é 
aconselhável:
ƒ Quando se deseja obter um valor aproximado da 
função em algum ponto fora do intervalo de 
tabelamento, ou seja, quando se quer extrapolar
Q d l b l d ã l d d ƒ Quando os valores tabelados são resultados de 
algum experimento físico ou de alguma pesquisa, e 
por isso podem conter erros inerentes e não por isso podem conter erros inerentes e não 
previsíveis
ƒ Nesses casos convém ajustar a função ƒ Nesses casos, convém ajustar a função 
tabelada a uma função f* que seja uma “boa 
aproximação” para os valores obtidos e que aproximação para os valores obtidos, e que 
permita a extrapolação
Possíveis critérios de qualidadePossíveis critérios de qualidadeqq
ƒ Dados m pontos experimentais {(x1,y1), ..., (xm,ym)}, uma 
ã i é b l did d questão importante é estabelecer uma medida de 
qualidade para a função de ajuste f*
S j m R f*(x ) 1 i m s síd s s d ss ƒ Sejam Ri = f (xi) – yi, 1≤i≤m, os resíduos ou erros desse 
ajuste. Possibilidades:
ƒ Fazer com que os resíduos tendam a zeroƒ Fazer com que os resíduos tendam a zero
ƒ Equivaleria à interpolação...
ƒ Minimizar a soma dos resíduos
ƒ Não é um bom critério: pode haver soma nula, mas com valores grandes
ƒ Minimizar a soma dos módulos dos resíduos
ƒ É difícil encontrar seu mínimo pois não é diferenciável no ponto zeroƒ É difícil encontrar seu mínimo, pois não é diferenciável no ponto zero
ƒ Critério de Tschebycheff: minimizar máx {|Ri|}
ƒ Solução difícil e não recomendada para cálculos manuais
ƒ Critério dos mínimos quadrados: minimizar ∑iRi2
ƒ É o mais largamente utilizado
CCICCI--2222
ƒ Introduçãoç
ƒ Método dos Mínimos Quadrados
ƒ Ajuste a um polinômio
ƒ Regressão linear
ƒ Ajuste a outras curvasƒ Ajuste a outras curvas
ƒ Qualidade do ajusteQ j
Método dos Mínimos QuadradosMétodo dos Mínimos Quadradosm Qm Q
ƒ A técnica dos Mínimos Quadrados consiste no cálculo de 
t t 0 j d f ã f* i fconstantes cj, 0≤j≤n, de uma função f* que aproxima f:
ƒ f*(x) = c0Φ0(x) + c1Φ1(x) + ... + cnΦn(x) 
ƒ As funções Φ (x) 0≤j≤n que podem ser não lineares em x ƒ As funções Φj(x), 0≤j≤n, que podem ser não lineares em x, 
são escolhidas de acordo com a natureza dos dados 
experimentaisexperimentais
ƒ Considerando os resíduos Ri = f*(xi) – yi, 1≤i≤m, seja 
R = ∑iRi2 = ∑i(c0Φ0(xi) + c1Φ1(xi) + ... + cnΦn(xi) – yi)2∑i i ∑i( 0 0( i) 1 1( i) n n( i) yi)
ƒ R é uma função dos cj, 0≤j≤n, e passará por um mínimo 
quando suas n+1 derivadas parciais se anularem p
simultaneamente:
ƒ ∂R/∂cj = 2∑i[f*(xi) – yi].∂f*(xi)/∂cj = 0, 0≤j≤n
* éƒ Como ∂f*(xi)/∂cj = Φj(xi), isso é equivalente a:
ƒ ∑i(c0Φ0(xi) + c1Φ1(xi) + ... + cnΦn(xi) – yi).Φj(xi) = 0, 0≤j≤n
Equações normaisEquações normaisq ç mq ç m
ƒ Condições para que R = ∑iRi2 seja mínimo: j
ƒ ∑i(c0Φ0(xi) + c1Φ1(xi) + ... + cnΦn(xi) – yi).Φj(xi) = 0, 0≤j≤n
ƒ ∑i(c0Φ0(xi) + c1Φ1(xi) + ... + cnΦn(xi)).Φj(xi) = ∑i(yiΦj(xi)), 0≤j≤nj y j j
ƒ Temos então um sistema Ac = y de n+1 equações lineares, 
comumente chamadas de equações normais, que pode ser q q p
resolvido com técnicas já apresentadas:
⎥⎤⎢⎡ ∑∑∑ ini0i1i0i0i0 )x(Φ)x(Φ)x(Φ)x(Φ)x(Φ)x(Φ K ⎤⎡∑ )x(Φy⎤⎡c
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎡
= ∑∑∑
∑∑∑
i
ini1
i
i1i1
i
i0i1
i
ini0
i
i1i0
i
i0i0
)x(Φ)x(Φ)x(Φ)x(Φ)x(Φ)x(Φ
)()()()()()(
A
MOMM
K
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎡
= ∑
∑
)x(Φy
)x(Φy
y i
i1i
i
i0i
M
⎥⎥
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎡
= 1
0
c
c
c M
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣ ∑∑∑ i inini i1ini i0in )x(Φ)x(Φ)x(Φ)x(Φ)x(Φ)x(Φ L ⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣∑ )x(Φy ii ni⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣ nc
Φ ( ) Φ ( ) Φ ( ) ã lhid d t l d ƒ Φ0(x), Φ1(x), ..., Φn(x) são escolhidas de tal modo que 
det(A) ≠ 0, pois assim o sistema terá solução única
CCICCI--2222
ƒ Introduçãoç
ƒ Método dos Mínimos Quadrados
ƒ Ajuste a um polinômio
ƒ Regressão linear
ƒ Ajuste a outras curvasƒ Ajuste a outras curvas
ƒ Qualidade do ajusteQ j
Ajuste a um polinômioAjuste a um polinômioj m p mj m p m
ƒ Vamos ajustar a curva f a um polinômio de grau n: j p g
f*(x) = a0 + a1x + ... + anxn
ƒ Originariamente, f*(x) = c0Φ0(x) + c1Φ1(x) + ... + cnΦn(x). 
P d d fPortanto, podemos definir:
ƒ ci = ai, 0≤i≤n 
ƒ Φ (x) = xi 0≤i≤nƒ Φi(x) = xi, 0≤i≤n
ƒ Desse modo, teremos o seguinte sistema:
⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
⎥⎤⎢⎡⎥⎥
⎤
⎢⎢
⎡
∑
∑
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
+
i
i
n
i
n
i
i
i
i
i
i
i
yx
y
a
xxxxx
xxxxm L
0
1432
32
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢=
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢
⎥⎥
⎥⎥
⎢⎢
⎢⎢ ∑∑∑∑∑∑ i iii ii ii ii ii i yxaxxxxx
MMMOMMMM
L
1.
⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣
⎥⎦⎢⎣⎥⎥⎦⎢
⎢
⎣ ∑∑∑∑∑∑ +++ i inini nii nii nii nii ni yxaxxxxx L 2321
Exemplo 1Exemplo 1mpmp
ƒ Ajuste um polinômio de segundo grau aos dados abaixo:
x 0 1 2 3 4 5
y 2,1 7,7 13,6 27,2 40,9 61,1
ƒ A partir desses dados, construímos o seguinte sistema:
⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ∑∑∑ 2 ⎤⎡⎤⎡⎤⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
∑∑
∑
∑∑∑ ∑∑∑
∑∑
i
2
i
ii
i
2
1
0
4
i
3
i
2
i
3
i
2
ii
2
ii
yx
yx
y
a
a
a
xxx
xxx
xxm
.
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
82488
6585
6152
a
a
a
97922555
2255515
55156
2
1
0
,
,
,
.
⎦⎣⎦⎣⎦⎣ ∑∑∑∑ ii2iii y
ƒ m = 6
ƒ ∑xi = 15; ∑yi = 152,6; 
⎦⎣⎦⎣⎦⎣ 2 ,
∑ i ∑yi ,
∑xi2 = 55; ∑xi3 = 225; 
∑xi4 = 979; ∑xiyi = 585,6; 
∑xi2yi = 2488,8y
ƒ a0 =2,47857; a1=2,35929; 
a2 =1,86071
Exemplo 2Exemplo 2mpmp
ƒ Os dados abaixo correspondem ao volume do álcool anídrico em função 
da temperatura Considerando um volume inicial de 1cm3 a 0°C desejada temperatura. Considerando um volume inicial de 1cm3 a 0 C, deseja-
se uma tabela do volume para temperaturas entre 20 e 40°C
t (°C) 13,9 43,0 67,8 89,0 99,2( ) , , , , ,
v (cm3) 1,04 1,12 1,19 1,24 1,27
ƒ Ajustaremos v(t) a um polinômio de grau 2 a0
ƒ Considerando o volume inicial, temos v*(t) = 1 + a1t + a2t2
ƒ Sistema de equações normais para as demais constantes:
⎤⎡⎤⎡ ∑∑∑ ttt 32
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢
⎣
⎡
∑
∑
∑∑
∑∑
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
vt
vt
a
a
tt
tt
2
2
1
43
32
. ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
02025661
14266
a
a
1084167511007501892
10075018926924400
2
1
86
6
,
,
.
.,.,
.,,
a1 = 0,003068189 a2 = 1,548545.10-7
t 13,9 20 25 30 35 40 43,0 67,8 89,0 99,2
v 1,04 1,12 1,19 1,24 1,27
v* 1,04 1,06 1,08 1,09 1,11 1,12 1,13 1,21 1,27 1,31
CCICCI--2222
ƒ Introduçãoç
ƒ Método dos Mínimos Quadrados
ƒ Ajuste a um polinômio
ƒ Regressão linear
ƒ Ajuste a outras curvasƒ Ajuste a outras curvas
ƒ Qualidade do ajusteQ j
Regressão linearRegressão lineargg
ƒ Regressão linear é o caso particular em que a curva f é ajustada a 
uma reta f*(x) = a + a xuma reta f (x) = a0 + a1x
ƒ Portanto, o sistema linear torna-se:
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡ ∑
∑
∑∑
∑
ii
i
i
1
0
2
ii
i
i
yx
y
a
a
.xx
xm
⎥⎦⎢⎣⎦⎣⎥⎦⎢⎣ ∑∑∑ i ii1i ii i yxaxx
ƒ Pela regra de Cramer:
∑ixi2 ∑iyi - ∑ixi ∑ixi yi m∑ixi.yi - ∑ixi.∑iyi∑ixi .∑iyi ∑ixi.∑ixi.yi
m∑ixi2 – (∑ixi)2a0 = 
m∑ixi.yi ∑ixi.∑iyi
m∑ixi2 – (∑ixi)2
a1 = 
ƒ Desde que o denominador não seja nulo esta solução é sempre Desde que o denominador não seja nulo, esta solução é sempre 
definida
ƒ Demonstra-se que m∑ixi2 – (∑ixi)2 = (∑i∑k(xi - xk)2)/2
ƒ Portanto, se os pontos xi são distintos, a0 e a1 são únicos
ƒ As expressões de a0 e a1 podem ser reescritas:
a = y* – a x*∑ (∑ ∑ )/ a0 = y – a1x∑ixi.yi – (∑ixi.∑iyi)/m
∑ixi2 – (∑ixi)2/m
a1 = y* = ∑iyi/m x* = ∑ixi/m
ExemploExemplompmp
ƒ A tabela abaixo mostra o desempenho de um torno de parafusos em 
função do seu tempo de uso Fazer a projeção para 5 e 6 anos:função do seu tempo de uso. Fazer a projeção para 5 e 6 anos:
x (anos) 0,5 1 2 3 4
 ( f /di ) 2500 2400 2000 1800 1500y (parafusos/dia) 2500 2400 2000 1800 1500
ƒ Através de uma análise gráfica, é possível 
constatar que uma reta é um bom ajuste:constatar que uma reta é um bom ajuste:
ƒ m = 5
ƒ ∑ixi = 10,5; ∑iyi = 10200; ∑ixiyi = 19050; 
∑ x 2 = 30 25; (∑ x )2 = 110 25∑ixi2 = 30,25; (∑ixi)2 = 110,25
ƒ a1 = (∑ixi.yi – (∑ixi.∑iyi)/m)/(∑ixi2 – (∑ixi)2/m) = 
-2370/8,2 = -289,0244
ƒ y* = ∑ y /m = 2040ƒ y = ∑iyi/m = 2040
ƒ x* = ∑ixi/m = 2,1
ƒ a0 = y* – a1x* = 2646,9511
ƒ y = 2646 9511 289 0244xƒ y = 2646,9511 – 289,0244x
ƒ x = 5 ⇒ y = 1202
ƒ x = 6 ⇒ y = 913
Regressão linear múltiplaRegressão linear múltiplag m pg m p
ƒ É possível estender a regressão linear para o p g p
caso de funções lineares de múltiplas 
variáveis: f(x1, x2, x3, ..., xn)f( 1, 2, 3, , n)
ƒ Veremos um caso como exemplo, onde n=2: 
ƒ f*(x x ) = a + a x + a xƒ f*(x1, x2) = a0 + a1x1 + a2x2
ƒ Definição da função resíduo:
ƒ R = ∑iRi2 = ∑i(a0 + a1x1i + a2x2i – yi)2
ƒ Para que R seja mínimo, é necessário que:q j q
ƒ ∂R/∂a0 = 2∑i(a0 + a1x1i + a2x2i – yi) = 0
ƒ ∂R/∂a1 = 2∑ix1i(a0 + a1x1i + a2x2i – yi) = 0∂R/∂a1 2∑ix1i(a0 a1x1i a2x2i yi) 0
ƒ ∂R/∂a2 = 2∑ix2i(a0 + a1x1i + a2x2i – yi) = 0
Regressão linear múltiplaRegressão linear múltiplag m pg m p
ƒ Temos então um sistema linear com três 
incógnitas (a0, a1 e a2) e três equações
ƒ Este sistema pode ser escrito na forma Est s st ma po s r scr to na forma 
matricial abaixo:
⎤⎡⎤⎡⎤⎡ ∑∑∑ yaxxm
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡=
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡
⎥⎥
⎥⎤
⎢⎢
⎢⎡ ∑∑∑∑∑ ∑∑ ii1 i10i2i12i1i1 i2i1 yx
y
a
a
xxxx
xxm
..
⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ ∑∑∑∑ ii222i2i2i1i2 yxaxxxx .
ƒ De modo análogo ao já visto este sistema ƒ De modo análogo ao já visto, este sistema 
pode ser resolvido por algum método numérico
D t i i l j t ƒ Determina-se assim o plano que ajusta os 
pontos tridimensionais
CCICCI--2222
ƒ Introduçãoç
ƒ Método dos Mínimos Quadrados
ƒ Ajuste a um polinômio
ƒ Regressão linear
ƒ Ajuste a outras curvasƒ Ajuste a outras curvas
ƒ Qualidade do ajusteQ j
Ajuste à curva exponencialAjuste à curva exponencialj pj p
ƒ Também é possível ajustar f a uma curva p j
exponencial, fazendo-se antes uma troca de 
variáveis:
ƒ f*(x) = c1ekx, onde c1 e k são constantes
ƒ ln f*(x) = ln c1 + kx
ƒ z*(x) = c2 + kx, onde z*(x) = ln f*(x)( ) 2 , ( ) ( )
ƒ z* e x estão linearmente relacionadas: basta 
resolver a regressão linearresolver a regressão linear
ƒ Depois de resolvido o sistema correspondente, 
volta se ao problema originalvolta-se ao problema original
ExemploExemplompmp
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
f(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0,246
A dispersão dos dados 
sugere um ajuste à 
curva exponencial
z*(x) = c2 + kx, 
onde z*(x) = ln f*(x)p
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
z(x) = ln f(x) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
⎥⎤⎢⎡⎤⎡⎥⎤⎢⎡ ∑∑ ii zcxm ⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 0418308 c
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
⎥⎥
⎥
⎦⎢
⎢⎢
⎣ ∑
∑
∑∑
∑
i
ii
i
i
i
i
i
i
i
i
xzk
c
xx
2
2 . ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
646,8
041,8
.
59,33,0
3,08 2
k
c
 1 099 l f*( ) 1 099 2 5c2 = 1,099
k = -2,5
ln f*(x) = 1,099 – 2,5x
f*(x) = 3,001e–2,5x
Ajuste a outras curvasAjuste a outras curvasjj
ƒ f*(x) = axb( )
ƒ ln f*(x) = ln a + b.ln x
ƒ Sejam z*(x) = ln f*(x) e t = ln xƒ Sejam z (x) = ln f (x) e t = ln x
ƒ Portanto, z*(x) = ln a + bt
* l l dƒ z* e t estão linearmente relacionadas
ƒ f*(x) = abxf (x) ab
ƒ ln f*(x) = ln a + x.ln b
ƒ Seja z*(x) = ln f*(x) ƒ Seja z (x) = ln f (x) 
ƒ Portanto, z*(x) = ln a + x.ln b
ƒ z* e x estão linearmente relacionadas
CCICCI--2222
ƒ Introduçãoç
ƒ Método dos Mínimos Quadrados
ƒ Ajuste a um polinômio
ƒ Regressão linear
ƒ Ajuste a outras curvasƒ Ajuste a outras curvas
ƒ Qualidade do ajusteQ j
Qualidade da regressão linearQualidade da regressão linearQ gQ g
ƒ Quanto melhor for a qualidade da regressão linear, menor será o 
valor do resíduo R onde R = ∑R 2 = ∑ (f*(x ) – y )2 évalor do resíduo R, onde R = ∑iRi2 = ∑i(f (xi) – yi)2
ƒ Vamos definir o resíduo em relação à média dos pontos 
experimentais : RM = ∑i(ŷ - yi)2, onde ŷ = ∑iyi/m
Critério relativo, 
válido para 
qualquer ajuste
p M i ŷ yi ŷ iyi
ƒ O valor RM – R quantifica a redução de erro decorrente da 
descrição dos dados em termos de uma reta, em vez de um ponto 
médiomédio
ƒ (RM – R)/RM é o valor normalizado dessa redução
ƒ O coeficiente de correlação r é definido como:ƒ O coeficiente de correlação r é definido como:
M
R
RRr −= Critério absoluto, mas usado apenas 
 ã liMR
ƒ Em um ajuste linear perfeito, r = 1 (pois R = 0)
para regressão linear
ƒ Portanto, quanto mais próximo de 1 for o coeficiente de 
correlação, melhor será o ajuste da regressão linear
Teste de alinhamentoTeste de alinhamentomm
ƒ Há uma maneira simples de averiguar se o ajuste de 
 f ã ã l b l d duma função não linear tem boa qualidade:
ƒ Nos m pontos experimentais {(x1,y1), ..., (xm,ym)}, fazer as 
correspondentes trocas de variáveis de modo a que passem a correspondentes trocas de variáveis, de modo a que passem a 
obedecer uma relação linear
ƒ Fazer o diagrama de dispersão desses novos dados
ƒ Verificar o alinhamento dos pontos
ƒ Exemplo:
x -1,0 -0,7 -0,4 -0,1 0,2 0,5 0,8 1,0
y = f(x) 36,547 17,264 8,155 3,852 1,820 0,860 0,406 0,246
z(x) = ln f(x) 3,599 2,849 2,099 1,349 0,599 -0,151 -0,901 -1,402
Exemplo 1Exemplo 1mpmp
ƒ Ajuste uma curva à tabela abaixo, que fornece dados da evolução 
d l ã b l lhõ d h bda população brasileira em milhões de habitantes:
x = ano 1872 1890 1900 1920 1940 1950 1960 1970 1980 1991
y = habitantes 9,9 14,3 17,4 30,6 41,2 51,9 70,2 93,1 119,0 146,2
ƒ Suponhamos que a melhor curva seja 
uma exponencial
ƒ Encontramos como resultado y* = a.ebx, 
onde a = 2,3111.10-18 e b = 0,0229
ƒ Fazendo as correspondentes trocas de p
variáveis para linearizar a relação, 
obtemos o coeficiente de correlação 
r = 0,99775
Exemplo 2Exemplo 2mpmp
ƒ Um objeto é suspenso em um túnel de vento e a força é medida em 
diversos níveis de velocidade:diversos níveis de velocidade:
x (m/s) 10 20 30 40 50 60 70 80
y (N) 25 70 380 550 610 1220 830 1450y (N) 25 70 380 550 610 1220 830 1450
ƒ Através de regressão por mínimos quadrados, verifica-se qual é o 
melhor ajuste: com uma reta ou com uma equação y* = axbj q ç y
y* = -234,2857 + 19,4702x ln y* = -1,2941 + 1,9842.ln x
r = 0,9384 r = 0,9737 melhor ajuste
Exemplo 2 (continuação)Exemplo 2 (continuação)mp ( ç )mp ( ç )
ƒ Outro modo de verificar a qualidade da escolha é comparar os 
s lt d s d j st n s m p nt s i in isresultados do ajuste nos m pontos originais
ƒ Em outras palavras, faz-se regressão linear nos pontos 
{(f*(x1),y1), ..., (f*(xm),ym)}( ( 1) y1) ( ( m) ym)
ƒ No caso de um ajuste perfeito, será encontrada uma reta com 
coeficientes a0 = 0 e a1 = 1
ƒ Resultados obtidos no caso anterior:ƒ Resultados obtidos no caso anterior:
y* = 76,7135 + 0,8805y y* = – 18,6452 + 1,0497y
r = 0,9384 r = 0,9737 mesmo valor
MatLabMatLab
ƒ polyfit(x,y,k)ƒ Vetor com os k+1 coeficientes do polinômio de grau k que ajusta a curva descrita 
pelos dados dos vetores x e y, utilizando o método dos mínimos quadrados