Teoria - Correlação e regressão linear

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Prof.ª Dr.ª Vera Lucia Bodini
ESTATÍSTICA I 
PARTE 2 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO LINEAR
1. Correlação: o estudo da correlação linear tem por objetivo medir e avaliar o grau de relação existente entre duas variáveis quantitativas de interesse.
Se colocarmos os pares de valores num diagrama bidimensional chamado de “Diagrama de dispersão” tem-se a ideia de como as duas variáveis se correlacionam, isto é, do grau de relação conjunta que apresentam, podendo ocorrer:
· Correlação linear positiva
· Correlação linear negativa
· Correlação linear nula
· Correlação não linear
O instrumento de medida da correlação linear é dado pelo Coeficiente Linear de Pearson:
(
)
(
)
(
)
[
]
(
)
[
]
å
å
å
å
å
å
å
-
-
-
=
2
2
2
2
 
y
y
n
x
x
n
y
x
xy
n
r
Onde o campo de variação do coeficiente r se situa entre – 1 e 1
- 1 
£
 r 
£
 1
Sua interpretação dependerá do valor numérico e do sinal
- Correlação linear positiva 
0 < r < 1
- Correlação linear positiva perfeita 
r = 1
- Correlação nula
r = 0
- Correlação linear negativa
-1 < r < 0
- Correlação linear negativa perfeita
r = -1
2. Regressão linear: Suponhamos ser a linha teórica de regressão uma reta, portanto queremos encontrar uma função do tipo y = α + βx , onde a estimação dos parâmetros α e β da linha teórica é feita através de pontos experimentais fornecidos pela amostra, obtendo uma reta estimada da forma y = a + bx , onde: a = ao estimador de α e b = estimador de β.
Para tanto usaremos o método dos mínimos quadrados. Em que a reta adotada torna mínima a soma dos quadrados das distâncias da reta até os pontos experimentais no sentido vertical.
A idéia consiste em minimizar a variação residual em torno da reta estimada, utilizando as seguintes fórmulas:
(
)
å
å
å
å
å
-
-
=
2
2
n
b
x
x
n
y
x
xy
 
x
y
 
b
a
-
=
 ou 
n
n
y
å
å
-
=
x
 
b
a
3. Coeficiente de determinação ou de explicação (r²): indica a proporção da variância da variável dependente y que é estatisticamente explicada pela equação de regressão, isto é, pelo conhecimento da variável independente x. 
O coeficiente de determinação mede o grau em que as predições baseadas na equação de regressão superam as predições baseadas no valor médio de y.
4. Erro padrão de estimação: a medida de variação em torno da reta ajustada da regressão é chamada de erro padrão de estimação ou de estimativa. Calculado pela seguinte formula: 
2
2
^
-
÷
ø
ö
ç
è
æ
-
=
å
n
Y
Y
S
xy
 
EXERCÍCIOS:
1) Para estudar a relação existente entre a velocidade do veículo (km/h) na hora de um acidente e gravidade do acidente, observou-se algumas ocorrências:
	Velocidade
	60
	80
	60
	120
	100
	100
	50
	70
	80
	
	Grau de gravidade 
	1
	4
	2
	5
	4
	4
	1
	3
	2
	
 a) Determine a correlação e a regressão dos dados
 b) Estime a gravidade de um acidente se a velocidade na hora do mesmo for de 140 km/h
2) Um estudo sobre a quantidade de chuva diária (0,01 cm) e de poluição do ar (µg/m3) removida produziu os seguintes dados.
	Poluição removida 
	126
	121
	116
	118
	114
	118
	132
	141
	108
	 Chuva 
	4,3
	4,5
	5,9
	5,6
	6,1
	5,2
	5,8
	2,1
	7,5
a) Determine o coeficiente de correlação de Pearson. 
b) Determine a regressão
c) Interprete o coeficiente de determinação
d) Estime a remoção de partículas quando a quantidade de chuva for de 4,8 unidades
3) Acredita-se que o custo de manutenção da planta de produção de uma empresa tenha relação com a quantidade produzida dentro do período.
	Produção (em ton.)
	120
	130
	150
	120
	140
	190
	200
	190
	Manutenção (em milhares de reais)
	11
	14
	16
	12
	15
	16
	30
	20
a) Calcule o coeficiente de correlação de Pearson. 
b) Determine a regressão
c) Interprete o coeficiente de explicação
d) Sabendo que a produção do próximo período será de 210.000 kg, qual o custo previsto de manutenção? 
4). A empresa XX está retirando um produto do mercado, pois as suas vendas não estão mais cobrindo seu custo de produção e está sendo substituído por outro similar da empresa. Os dados abaixo mostram como está ocorrendo esta redução:
Determine:
	MÊS 
	
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	
	PRODUÇÃO
	
	250
	200
	180
	150
	150
	120
	100
	87
a. O coeficiente de correlação linear. 
b. A equação de regressão linear.
c. A quantidade estimada de produção para os próximos dois períodos
d. O coeficiente de determinação
e) Identificar de forma gráfica a existência de tendência de demanda
_1214220619.unknown
_1279298646.unknown
_1467658511.unknown
_1214220620.unknown
_1205583320.unknown
_1214220595.unknown
_1139646340.unknown