Resumo de Geometria Analítica

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GEOMETRIA ANALÍTICA 
ego cogito ergo sum 
RESUMO 
A geometria analítica, também chamada geometria de coordenadas e de 
geometria cartesiana (filósofo e matemático francês René Descartes (1596 
- 1650), consiste no estudo da geometria por meio de um sistema de 
coordenadas e dos princípios da álgebra e da análise. Diferenciando-se da 
abordagem sintética da geometria euclidiana, em que certas noções 
geométricas são consideradas primitivas, e é utilizado o raciocínio 
dedutivo a partir de axiomas e teoremas para obter proposições 
verdadeiras. A geometria analítica é muito utilizada na física e na 
engenharia, formando um pilar para as áreas mais modernas da geometria, 
incluindo geometria algébrica, diferencial, discreta e computacional. 
Denílson Paulo S Santos 
Geometria Analítica 
 
 
�� ∈ ℜ�; ��� ∈ ℜ� ; �� = ���, ��, ���, ��� = ���, ��, ���, k ∈ ℜ �� = ���̂ + ���̂ + ���� , ��� = ���̂ + ���̂ + ���� 
Vetor retirado de 2 pontos no �� 
�������� = � − � = ���, ��, ��� − ���, ��, ��� = ��� − ��, �� − ��, ��−��� 
Soma e Multiplicação por escalar � � ∈ � ) 
�� ± ��� = ���, ��, ��� ± ���, ��, ��� = ��� ± ��, �� ± ��, �� ± ��� 
��� = ����, ��, ��� = ����, ���, ���� 
|��| = !��� + ��� + ��� → Módulo ou norma do Vetor 
�$ = %��|%��| = &%'|%��| , %(|%��| , %)|%��|* → Versor 
�� ∙ ��� = ∑ �-�-�-.� = ���� + ���� + ���� → Produto Escalar 
�� ∙ ��� = |��||���|/012 → Produto Escalar 
/012 = |%��∙3���||%��||3���| → Menor ângulo entre vetores 
�� ∙ ��� = 0 ⇔ �� ⊥ ��� → Ortogonalidade 
�� ∥ ��� ⇔ �� = ���� → Colinearidade ou Paralelismo 
�� ∥ ��� ⇔ %'3' = %(3( = %)3) → Colinearidade ou Paralelismo 
9 �� ∙ ��� > 0 ⇔ 0; < 2 < 90; �� ∙ ��� = 0 ⇔ 2 = 90;�� ∙ ��� < 0 ⇔ 90; < 2 < 180; Ângulos entre Vetores 
Produto Vetorial 
�� × ��� = B�� ���� ��B �̂ − B�� ���� ��B �̂ + B�� ���� ��B �� 
C �̂ �̂ ���� �� ���� �� ��C = ����� − ������̂ + ����� − ������̂ + ����� − ������� 
D�� = �� × ��� ⇔ ED�� ⊥ ��D�� ⊥ ��� → Vetor normal – simultaneamente ortogonal 
|�� × ���| = |��||���|1GD2 → Módulo do Produto Vetorial 
1GD2 = |%��×3���||%��||3���| → Ângulo entre vetores 
HI2 = |%��×3���||%��∙3���| → Ângulo entre vetores 
�� ∥ ��� ⇔ �� × ��� = 0�� → Colinearidade ou Paralelismo 
�J = |�� × ���| → Área de um Paralelogramo 
�L = |%��×3���|� → Área de um triângulo 
MN0O%�� ��� = &3���∙%��|%��|(* �� → Vetor Projeção 
�� ∙ ���� × R���� = ���, ���, R���� → Produto Misto 
���, ���, R���� = S�� �� ���� �� ��R� R� R�S → Produto Misto 
���, ���, R���� = 0 ⇔ ��, ���, R��� → Coplanares 
 
]J = |���, ���, R����| → Volume de um Paralelepípedo 
]L = 16 |���, ���, R����| → Volume de um Tetraedro 
fgh
gi/01 j = %'|%��|/01 k = %(|%��|/01 l = %)|%��|
 Cossenos Diretores 
/01�j + /01�k + /01�l = 1 → oGpqçã0 GDHNG Cossenos Diretores 
Retas – Equações 
N: M = � + s�� → N: ��, �, �� = ��t, �t, �t� + s�q, u, /� → Eq. Vetorial 
N: 9� = �t + qs� = �t + us� = �t + /s → Eq. Paramétrica 
N: z{z|} = ~{~| = €{€| → Eq. Simétrica 
N: E� = „� + D� = …� + † → Eq. Reduzida 
N//1 ⇔ ��Š//��‹ → Condição de Paralelismo 
N ⊥ 1 ⇔ ��Š ⊥ ��‹ → Condição de ortogonalidade 
N: Œq�� + u�� + /�� + �q�� + u�� + /�� + � Eq. da reta retirada da intersecção de 2 planos. 
Planos - Equações 
q� + u� + /� +  = 0 → Eq. Geral 
: M = � + s��Š + ℎ��‹ → Eq. Vetorial 
: ��, �, �� = ��t, �t, �t� + s��Š�, �Š�, �Š�� + ℎ��‹�, �‹�, �‹�� 
: 9� = �t + �Š�s + �‹�ℎ� = �t + �Š�s + �‹�ℎ� = �t + �Š�s + �‹�ℎ → Eq. Paramétrica 
�//� ⇔ D���//D��� → Condição de Paralelismo 
� ⊥ � ⇔ D��� ⊥ D��� → Condição de ortogonalidade 
Cônicas 
Parábola Elipse Hipérbole 
�� = 2…� G’�0 � �
�q� + ��u� = 1 G’�0 � 
��q� − ��u� = 1 G’�0 � �� = 2…� G’�0 � �
�u� + ��q� = 1 G’�0 � 
��q� − ��u� = 1 G’�0 � �� − ��� = 2…�� − ℎ� G’�0 � �� − ℎ�
�q� + �� − ���u� = 1 G’�0 � 
�� − ℎ��q� − �� − ���u� = 1 G’�0 � �� − ℎ�� = 2…�� − �� G’�0 � �� − ℎ�
�u� + �� − ���q� = 1 G’�0 � 
�� − ���q� − �� − ℎ��u� = 1 G’�0 �