Derivada Aula 02

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Prof. Cleber Costa Jr 
A derivada de uma função constante é zero. 
f '(x) 0
Rc,c)x(f 
f(x) 6 f (x) 0  
Derivada da função Potência 
nf(x) x n 1f '(x) n x  
4 4 1 3f(x) x f (x) 4.x 4.x   
A derivada da soma é a soma das 
derivadas. 
f(x) g(x) h(x) 
f '(x) g'(x) h'(x) 
4f(x) x x 6  
4 1f '(x) 4x  1 11x 
  4f '(x) (x )' (x)' (6)'
0
3f '(x) 4x
0x 0
3f '(x) 4x 1 
Vamos encontrar a derivada da 
função: 
f(x) g(x) h(x) 
 f '(x) g'(x)h(x) g(x)h'(x)
Derivada do produto 
Vamos derivar a função: 
  3 2 5 2f(x) 2x 4x 3x x  
           3 2 5 2 3 2 5 2f '(x) 2x 4x ' 3x x 2x 4x 3x x '
     2 5 2 3 2 46x 8x 3x X 2x 4x 15x 2X     
       7 4 6 3 7 4 6 318x 6x 24x 8x 30x 4x 60x 8x
7 6 4 348x 84x 10x 16x   
g(x)
f(x)
h(x)

2
g'(x)h(x) g(x)h'(x)
f '(x)
[h(x)]


, h(x) 0
Derivada do quociente 
3 2
5 2
2x 4x
f(x)
3x x



Encontre a derivada da função 
3 2
5 2
2x 4x
f(x)
3x x



u
f(x)
v

 
2
u'v uv '
f '(x)
v


  
      
 
3 2 5 2 3 2 5 2
2
5 2
2x 4x ' 3x x 2x 4x 3x x '
f '(x)
3x x
    

 
 
     
 
2 5 2 3 2 4
2
5 2
6x 8x 3x x 2x 4x 15x 2x
3x x
    

 
 
     
 
2 5 2 3 2 4
2
5 2
6x 8x 3x x 2x 4x 15x 2x
3x x
    

 
 
 
7 4 6 3 7 4 6 3
2
5 2
18x 6x 24x 8x 30x 4x 60x 8x
3x x
      

 
 
7 6 4
10 7 4
12x 36x 2x
9x 6x x
  

 
3
3
4 2
64
( 12x 36x 2)
( )x 9x 6 1
x
x
  
 

1x6x9
2x36x12
)x('f
36
23



Se y = g(u) e u = f(x) 
Então a função composta y = g( f(x) ) 
tem derivada em relação a x. 
y´(x) = g´(u) . f´(x) 
y´(x) = g´(f(x)) . f´(x) 
Determinar a derivada da função 
4 23f(x) (3x 4x) 
4 23f(x) (3x 4x) 
2
4 3f(x) (3x 4x) 
 
1
4 33
2
f '(x) (3x 4x) 12x 4
3

  
 3
43
2 12x 4
f '(x)
3 (3x 4x)



Vamos derivar a função: 
3
3
2
2 4
( )
x
f x x
x

 

 
3
3 3 2
2 8 1
( )
3
x
f x
x x
3
3
2
2 4
( )
x
f x x
x

 
uf(x) a uf '(x) a lna u'  
u u(x)
Caso particular: 
uf(x) e
uf '(x) e lne u'
1
ue u' 
Vamos encontrar a derivada da função 
23x 5f(x) 8 
 
23x 5 2f '(x) 8 ln8 3x 5 ' 
 
23x 5f '(x) 8 ln8 6x  
uf '(x) a lna u'  
23x 5f(x) 8 
Derivada da função exponencial composta 
Se , onde u = u (x) e v = v (x) são funções de x, 
deriváveis. u (x) > O, então: 
vuy 
'u.u.v)u('g)i( 1v
'v.ulnu)u('h)ii( v
'v.uln.u'u.u.v'y v1v  
Juntando as duas, teremos: 
1x2ve1xu,uy 2v 
Aplicando a propriedade: 
'v.uln.u'u.u.v'y v1v  
1x22 )1x(y 
Sendo determine 
'y
  )'1²x.()1²x)(1x2('y 11x2
)'x).(²xln(.)²x( x 1211 12  
  x)²x)(x('y x 2112 22
211 12 ).²xln(.)²x( x  
u
af(x) log u'
f '(x)
u lna


u u(x)
Caso particular: 
u
ef(x) log u'
f '(x)
u lne


1
u'
u

Vamos calcular a derivada da função 
3 2f(x) ln(5x 4x 9)  
(´ ) cos( )sen x x
0
0
x-x
)f(x-f(x)
0xx
lim)x('f


0
0
x-x
senx-senx
0xx
lim)x('sen


0
00
x-x
xx
cos 
2
x-x
2sen
2lim)x('sen
0xx




Transformação 
em produto 
2
x-x
xx
cos 
2
x-x
sen
0
00
2lim)x('sen
0xx




2
limlim)x('sen
00 xxxx
0
0
0
xx
cos .
2
x-x
 
2
x-x
sen




1 
2
)x('sen
2
)x('sen
0
00
2x
cos
xx
cos


 0cosx)x('sen
cos (´ ) ( )x sen x 
( )
( )
cos( )
sen x
tg x
x

2
cos( )cos( ) ( )( ( ))
(´ )
cos ( )
x x sen x sen x
tg x
x
 

2
(´ )cos( ) ( )cos (´ )
(´ )
cos ( )
sen x x sen x x
tg x
x


 
( )
( ) ´
cos( )
´
sen x
tg x
x
 
  
 
2 2
2
cos ( ) ( )
(´ )
cos ( )
x sen x
tg x
x


2
1
(´ )
cos ( )
tg x
x

2(´ ) sec ( )tg x x
1
( )
'
(´ )
tg x
cotg x
 
 
 

2
(´ )
( )
(´ )
tg x
tg x
cotg x


2
2
sec ( )
( )
(´ )
x
tg x
cotg x


2
2
2
1
cos ( )
( )
cos ( )
(´ )
x
sen x
x
cotg x
 
 
 
2
1
( )sen x

2
(´ )
( )
(´ )
tg x
tg x
cotg x


sec (´ ) sec( ) ( )x x tg x
´
1
cos( )
sec (´ )
x
x
 
 
 

2
cos (´ )
cos ( )
sec (´ )
x
x
x


1 ( )
sec (´ )
cos( ) cos( )
 
sen x
x
x x
2 2
( ( )) ( )
cos ( ) cos ( )
sec (´ )
sen x sen x
x x
x
 

sec (´ ) sec( ) ( )x x tg x
2
cos (´ )
cos ( )
sec (´ )
x
x
x


3 (2 )
( ) cos(2 )
sen x
f x x
x
 
 Determine a derivada da função 
3 (2 )
( ) cos(2 )
sen x
f x x
x
 
   
 2
3 (2 ) ' 3 (2 ) '
'( ) (2 ) (2 ) '
sen x x sen x x
f x sen x x
x

  
   
 2
3 (2 ) ' 3 (2 ) '
(2 ) (2 ) '
sen x x sen x x
sen x x
x

  
   
 2
3cos(2 ) 2 ' 3 (2 ) 1
(2 ) 2
x x x sen x
sen x
x
     
 
2
6 cos(2 ) 3 (2 )
2 (2 )
x x sen x
sen x
x

 
2
2
( ) 3 (2 1)f x tg x x  
2
( ) 3 (2 1)f x tg x x  
 
1
2 2'( ) 3 sec (2 1) (2 1) ' 'f x x x x         
1 12 2
1
3sec (2 1) 2
2
x x

  
1
2 2
1
6sec (2 1)
2
x x

  
𝒇 𝒙 = −𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙𝟑) 
𝒇 𝒙 = −𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐(𝒙𝟑) 
𝒇 𝒙 = − 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄(𝒙𝟑)
𝟐
 
𝒇′ 𝒙 = −𝟐 𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙𝟑
𝟏
(𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄(𝒙𝟑))′ 
= −𝟐𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙𝟑 . [−𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙𝟑 . 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙𝟑 𝒙𝟑
′
] 
= −𝟐𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙𝟑 . [−𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄 𝒙𝟑 . 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙𝟑 . 𝟑𝒙𝟐] 
𝒇′(𝒙) = 𝟔𝒙𝟐𝒄𝒐𝒔𝒆𝒄𝟐 𝒙𝟑 . 𝒄𝒐𝒕𝒈 𝒙𝟑 
( ) 2 ( )cos( ) ( )sec( )f x sen x x tg x x 
( ) 2 ( )cos( ) ( )sec( )f x sen x x tg x x 
(´ ) (2 ( )cos( ) ( )sec( ))´f x sen x x tg x x 
(´ ) (2 ( )cos( ))´ ( ( )sec( ))´f x sen x x tg x x 
(´ ) 2 (´ )cos( ) 2 ( )cos (´ )
 (´ )sec( ) ( )sec (´ )
f x sen x x sen x x
tg x x tg x x
 
 
(´ ) 2 (´ )cos( ) 2 ( )cos (´ )
 (´ )sec( ) ( )sec (´ )
f x sen x x sen x x
tg x x tg x x
 
 
2
(´ ) 2cos( )cos( ) 2 ( )( ( ))
 sec ( )sec( ) ( )sec( ) ( )
f x x x sen x sen x
x x tg x x tg x
  
 