Questão resolvida - Resolva as seguintes integrais usando as substituições trigonométricas indicado a) - Cálculo II - UFBA

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1ª Questão
 
Resolva as seguintes integrais usando as substituições trigonômétricas indicado 
 
 usando a mudança a dx)∫
1
3
3
2
1
x5 9x - 12
3x = sec 𝜃( )
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos resolver a integral na sua forma indefinida;
 
dx, usando a ubstituição : 3x = sec 𝜃 x = dx =∫ 1
x5 9x - 12
( ) →
sec 𝜃
3
( )
→
tan 𝜃 sec 𝜃 d𝜃
3
( ) ( )
 
Com essa substituição, a integral fica;
 
dx = dx =∫ 1
x5 9x - 12
∫ 1
x5 3x - 1( )2
∫ 1
sec 𝜃
3
( )
5
sec 𝜃 - 12( )
tan 𝜃 sec 𝜃 d𝜃
3
( ) ( )
 
= d𝜃 = 81 d𝜃∫ tan 𝜃 sec 𝜃 d𝜃( ) ( )
3sec 𝜃
3
5( )
5 sec 𝜃 - 1
2( )
∫ 3 tan 𝜃 sec 𝜃
sec 𝜃
4 ( ) ( )
5( ) sec 𝜃 - 12( )
∫ tan 𝜃
sec 𝜃
( )
4( ) sec 𝜃 - 12( )
 
Das identidades trigonométrica, temos que : sec 𝜃 - 1 = tan 𝜃2( ) 2( )
 
81 d𝜃 = 81 d𝜃 = 81 d𝜃∫ tan 𝜃
sec 𝜃
( )
4( ) sec 𝜃 - 12( )
∫ tan 𝜃
sec 𝜃
( )
4( ) tan 𝜃2( )
∫ tan 𝜃
sec 𝜃 tan 𝜃
( )
4( ) ( )
 
81 d𝜃 = 81 d𝜃 = 81 cos 𝜃 d𝜃 = 81 cos 𝜃 d𝜃∫ 1
sec 𝜃4( )
∫ 1
1
cos 𝜃4( )
∫ 4( ) ∫ 2( ) 2
 
Das identidades trigonométrica, temos que : cos 𝜃 =2( )
1 + cos 2𝜃
2
( )
 
 
 
81 cos 𝜃 d𝜃 = 81 d𝜃 = 81 d𝜃 = 81 d𝜃∫ 2( ) 2 ∫ 1 + cos 2𝜃
2
( )
2
∫ 1 + cos 2𝜃
2
( ( ))2
2
∫ 1 + cos 2𝜃
4
( ( ))2
 
= 1 + 2cos 2𝜃 + cos 2𝜃 d𝜃
81
4
∫ 2 ( ) 2( )
 
Ainda, temos que : cos 2𝜃 =2( )
1 + cos 4𝜃
2
( )
 
1 + 2cos 2𝜃 + d𝜃 = d𝜃
81
4
∫ ( ) 1 + cos 4𝜃
2
( ) 81
4
∫ 2 + 4cos 2𝜃 + 1 + cos 4𝜃
2
( ) ( )
 
= ⋅ 3 + 4cos 2𝜃 + cos 4𝜃 d𝜃 = 3d𝜃+ 4cos 2𝜃 d𝜃+ cos 4𝜃 d𝜃
81
4
1
2
∫( ( ) ( )) 81
8
∫ ∫ ( ) ∫ ( )
 
= 3𝜃+ 4 cos 2𝜃 d𝜃+ cos 4𝜃 d𝜃
81
8
∫ ( ) ∫ ( )
 
Vamos resolver as integrais que restaram separadamente;
 
1 cos 2𝜃 d𝜃, u = 2𝜃 du = 2d𝜃 2d𝜃 = du d𝜃 =)∫ ( ) → → → du
2
 
cos 2𝜃 d𝜃 = cos u = =∫ ( ) ∫ ( )du
2
sen u
2
( ) sen 2𝜃
2
( )
 
2 cos 4𝜃 d𝜃, u = 4𝜃 du = 4d𝜃 4d𝜃 = du d𝜃 =)∫ ( ) → → → du
4
 
cos 4𝜃 d𝜃 = cos u = =∫ ( ) ∫ ( )du
4
sen u
4
( ) sen 4𝜃
4
( )
 
Com esses resultados, a integral fica;
 
3𝜃+ 4 ⋅ + = 3𝜃+ 2sen 2𝜃 +
81
8
sen 2𝜃
2
( ) sen 4𝜃
4
( ) 81
8
( )
sen 4𝜃
4
( )
 
= ⋅ 3𝜃+ ⋅ 2sen 2𝜃 + ⋅ = + sen 2𝜃 + sen 4𝜃 + c
81
8
81
8
( )
81
8
sen 4𝜃
4
( ) 243𝜃
8
81
4
( )
81
32
( )
 
 
 
Devemos voltar para a veriável x, a fim de resolver a integral definida, fazemos;
 
 3x = sec 𝜃 sec 𝜃 = 3x 𝜃 = Arcsec 3x( ) → ( ) → ( )
 
Com isso, a integral fica;
 
dx = + sen 2Arcsec 3x + sen 4Arcsec 3x + c∫ 1
x5 9x - 12
243Arcsec 3x
8
( ) 81
4
( ( ))
81
32
( ( ))
 
Finalmente, podemos encontrar o resultado da integral deifinida;
 
dx = + sen 2Arcsec 3x + sen 4Arcsec 3x∫
2
3
3
2
1
x5 9x - 12
243Arcsec 3x
8
( ) 81
4
( ( ))
81
32
( ( ))
2
3
3
2
 
dx = + sen 2Arcsec 3 ⋅ + sen 4Arcsec 3 ⋅∫
2
3
3
2
1
x5 9x -12
243Arcsec 3 ⋅
8
2
3 81
4
2
3
81
32
2
3
- + sen 2Arcsec 3 ⋅ + sen 4Arcsec 3 ⋅
243Arcsec 3 ⋅
8
3
2
81
4 3
2 81
32 3
2
 
dx = + sen 2 ⋅ + sen 4 ⋅∫
2
3
3
2
1
x5 9x -12
243 ⋅
8
𝜋
3 81
4
𝜋
3
81
32
𝜋
3
- - sen 2 ⋅ - sen 4 ⋅
243 ⋅
8
𝜋
4 81
4
𝜋
4
81
32
𝜋
4
 
 
dx = + + - - - sen - sen 𝜋∫
2
3
3
2
1
x5 9x -12
243𝜋
24
81
4 2
3 81
32 2
3 243𝜋
32
81
4
𝜋
2
81
32
( )
 
dx = + - - - ⋅1- ⋅0∫
2
3
3
2
1
x5 9x -12
81𝜋
8
81
8
3 81
64
3 243𝜋
32
81
4
81
32
 
 
 
dx = + - -0 = + - -0∫
2
3
3
2
1
x5 9x -12
324𝜋-243𝜋
32
648 -81
64
3 3 81
4
81𝜋
32
567
64
3 81
4
 
dx = + - 1∫
2
3
3
2
1
x5 9x - 12
81
4
𝜋
8
7
16
3
 
 
(Resposta )