Apostila Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
2010/2
Professora Ms. Beatriz V. Vaccari
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SUMÁRIO
1 PORCENTAGEM	4
1.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C	4
2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS	7
3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS	8
4 DIFERENÇA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES	9
5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS	11
5.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO	11
5.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA	11
6 JUROS SIMPLES	13
6.1 ELEMENTOS BÁSICOS	13
7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M)	15
8 PRAZO MÉDIO	19
9 DESCONTO SIMPLES	21
9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL	21
9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL	25
10 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS	28
11 JUROS COMPOSTOS	31
11.1 CONCEITO	31
11.2 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRESENTE VALOR	32
11.3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA	32
11.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS	33
11.5 CÁLCULO DO MONTANTE QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO	33
12 TAXAS PROPORCIONAIS	37
13 TAXAS EQUIVALENTES	38
14 TAXA NOMINAL	40
15 TAXA EFETIVA (i)	41
16 TAXA DE JURO REAL (ir)	43
17 TAXA ACUMULADA	45
18 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA	46
19 DESCONTO COMPOSTO	48
20 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS	50
21 RENDAS	52
21.1 CONCEITO	52
21.2 CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS	52
21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA	53
21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITÁRIA IMEDIATA 
	53
21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV)	53
21.6 MONTANTE DE UMA RENDA	57
22 SISTEMAS DE AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS	61
22.1 SISTEMA FRANCÊS (DE PRESTAÇÕES IGUAIS OU PRICE)	61
22.2 SISTEMA DE AMORTIZAÇÕES CONSTANTES (SAC)	63
22.3 SISTEMA DE AMORTIZAÇÃO MISTO	65
22.4 CORREÇÃO MONETÁRIA SOBRE FINANCIAMENTOS	66
23 ANÁLISE DE INVESTIMENTOS	69
23.1 VALOR PRESENTE LÍQUIDO (VPL)	69
23.2 TAXA INTERNA DE RETORNO (TIR)	70
GABARITO	74
ANEXO 1	79
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1 PORCENTAGEM
A porcentagem é muito utilizada na prática. Ela é usada no cálculo de comissões, abatimentos, lucros, descontos, reajustes, etc.
Elementos básicos:
Principal (C): Valor sobre o qual se calcula a porcentagem. O principal corresponde sempre a 100% da operação.
Porcentagem (p): É a parte do principal que corresponde à taxa.
Taxa percentual (r): É a razão representada pela fração de denominador 100.
Cálculo da porcentagem: Por ser um sistema proporcional, para o cálculo da porcentagem utiliza-se a seguinte regra de três:
 Principal ----------- 100%
 Porcentagem ------- taxa percentual 
1.1 FUNÇÕES DE PORCENTAGEM NA HP 12C
	
1.1.1 Para calcular a porcentagem: C enter r %
Caso em seguida for clicada a tecla +, o valor da porcentagem será somado ao principal. Se for pressionada a tecla -, o valor será subtraído do principal.
1.1.2 Para calcular o principal: r enter p %T
1.1.3 Para calcular a diferença de percentual entre dois valores a e b: a enter b 
%
1.1.4 Para calcular a taxa de porcentagem: C entre p %T
Exemplo 1: Um empregado que ganha R$ 1.800,00 recebeu um aumento R$ 360,00. Qual foi a taxa percentual desse aumento?
1.800 ---------- 100% Na HP 12 C
 360 ---------- x			 1.800
			 enter
x 
 			 360
x = 20%				 %T
Exemplo 2: Um investidor comprou um terreno por R$ 50.000,00 e vendeu-o, um ano depois, por R$ 62.500,00. Qual o lucro, em porcentagem, do preço de custo? 
50.000 ----------- 100%		 Na HP 12 C
62.500 ----------- x			 	 50.000
		 		enter		
x= 125% 			 		62.500
					
%
125- 100 = 25%
O lucro foi de 25%.
Exemplo 3: Calcular 10% de 12.
12 -------- 100%			Na HP 12 C
 x -------- 10%			 12
 
				 enter
 x = 1,2				 10
					 % 
Exemplo 4: Calcular que taxa percentual 8 representam de 80.
80 -------- 100%			Na HP 12 C
 8 -------- x				 80
 
				 enter
 x = 10% 				 8
					 %T
Exercícios propostos
O número de funcionários de uma agência bancária passou de 80 para 120. Em relação ao número inicial, o aumento no número de funcionários foi de;
 a) 50%	 b) 55% 	 c) 60% d) 65%	 e) 70%
Uma escola tem 600 alunos dos quais 40% são meninas e os demais meninos. Sabendo-se que apenas 10% dos meninos ainda não aprenderam a ler, indique quantos meninos já sabem ler.
No transporte de frutas, determinada transportadora registra uma perda média de 1,7%. Para uma carga de 15.000 kg, qunato será a perda esperada?
Uma pessoa comprou um automóvel por determinado valor e vendeu-o com um lucro de R$ 680,00, correspondente a 3,4% do preço de compra. Qual foi esse preço de compra?
Um livro que custava R$ 43,00 foi vendido numa liquidação com abatimento de 15%. Qual o valor do abatimento?
Um televisor foi comprado numa liquidação por R$ 420,75, já deduzidos os 6,5% de abatimento. Qual o valor do televisor antes do abatimento?
Num depósito, há dois tipos de refrigerantes. O refrigerante A representa 36% do total, e do refrigerante B há 1.296 garrafas. Qual o número total de garrafas existentes no depósito?
 Um comerciante adquiriu 2.000 cadernos a R$ 3,60 cada um. Vendeu ¼ por R$ 2.000,00 e o restante por R$ 6.000,00. De quanto por cento foi o lucro.
 O preço de capa de uma revista mensal é de R$ 5,00. Na assinatura anual, com direito a 12 edições dessa revista, há um desconto de 12%. Qual o preço da assinatura?
Após um aumento de 3,5%, certo empregado passou a ganhar R$ 2.173,50. Qual era seu salário antes do aumento?
	Produção e vendas, em setembro,
	Três montadoras de automóveis
	
	
	
	Montadora
	 Unidades
	Porcentagem vendida
	 
	Produzidas
	 Da produção
	A
	3.000
	80%
	B
	5.000
	60%
	C
	2.000
	x%
Sabendo que nesse mês as três montadoras venderam 7.000 dos 10.000 carros produzidos, qual é o valor de x?
O Sr. Manoel contratou um advogado parra receber uma dívida cujo valor era de R$ 10.000,00. Por meio de um acordo com o devedor, o advogado conseguiu receber 90% do total da dívida. Supondo que o Sr. Manoel pagou ao advogado 15% do total recebido, quanto dinheiro lhe restou?
Certo artigo que custava R$ 200,00 teve seu preço reajustado em 18%. Qual o seu preço final?
Para aumentar as vendas, o dono de uma loja de roupas resolveu dar 20% de desconto em qualquer peça de inverno. Qual era o preço original de um casaco que, na promoção, estava sendo vendido por R$ 96,00?
Um investidor comprou uma casa por R$ 50.000,00 e gastou 80% do custo em reparos. Mais tarde vendeu a casa por R$ 120.000,00. Qual foi o seu lucro? De quanto por cento foi o seu lucro?
Um produto é vendido por R$ 1.850,00 com 15% de lucro. Se o preço de venda fosse R$ 2.210,00, qual seria o percentual de lucro?
Sobre uma fatura de R$ 3.679,49 se concede um abatimento de R$ 93,91. De quanto por cento é este abatimento?
2 ABATIMENTOS SUCESSIVOS
	No meio comercial é muito comum o uso de abatimentos sucessivos, isto é, calcular os abatimentos sobre os valores líquidos encontrados anteriormente.
O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula:
()
Sendo:
VF = valor real a ser pago
C = principal, ou seja, valor de 100%
i = taxas unitárias sucessivas
Exemplo 1: Sobre uma fatura de R$ 124.000,00 são dados os seguintes descontos sucessivos: 20% + 10% + 5%. Qual o valor líquido a ser pago?
VF = 124.000 (1- 0,2) (1- 0,1) (1- 0,05)	 Na HP 12C
VF = 124.000 x 0,8x 0,9 x 0,95		 124000 enter 20% - 10% - 5%
VF = R$ 84.816,00
Exemplo 2: Por uma mercadoria foi pago R$ 70,00. Sabendo-se que sobre o preço constante na tabela foram dados descontos sucessivos de 30%+ 20%, qual era o preço da tabela?
70 = C (1- 0,3) (1 – 0,2)	 	
70= C x 0,7x 0,8		 
70 = C x 0,56
C= 70/ 0,56
C= R$ 125,00
Taxa única no sistema de abatimentos sucessivos:
	
)
Exemplo : Sobre os valores constantes numa tabela de preços são dados os descontos sucessivos de 50%+ 30%+ 20%. Na realidade qual o desconto oferecido pela empresa?
i= 1- (1- 0,5) (1- 0,3) (1 – 0,2) 	 
i= 1 – 0,5x 0,7x 0,8)		 
i= 1- 0,28
i=0,72 x100 = 72%
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3 ACRÉSCIMOS SUCESSIVOS
O cálculo do valor líquido ou valor final é dado pela seguinte fórmula:
Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%. Qual o preço final dessa mercadoria?
 VF= 8 (1+ 0,025) (1+0,05) 		Na HP 12C 
 VF = 8 x 1,025 x 1,05			8 enter 2,5% + 5% +
 VF = R$ 8,61
Exemplo 2: Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 20% + 15%., pagando o comprador R$ 144,90, qual era o valor da mercadoria?
144,90 = C (1+0,2) (1+0,15)	 
144,90 = C x 1,2 x 1,15	 
144,90 = C x 1,38
C = 144,90/ 1,38
C = R$ 105,00
Taxa única no sistema de acréscimos sucessivos:
Exemplo: Qual a taxa total de aumento no exemplo anterior?
 
 i= (1+ 0,2) ( 1+ 0,15) – 1	 	 
 i= 1,2 x 1,15 -1			 
 i= 0,38 x 100= 38%
�
4 DIFERENÇA PERCENTUAL ENTRE DOIS VALORES
	Para calcular a diferença percentual entre dois valores ( do principal para o valor final), utiliza-se a seguinte fórmula:
	
	 
Exemplo 1: O preço de uma mercadoria era de R$ 8,00, no início de um determinado mês. Durante o mês sofreu aumentos sucessivos de 2,5% + 5%, passando a custar R$ 8,61. Calcular o percentual total de aumento.
				 Na HP 12C 
 8 enter 8,61 
%
Exercícios propostos
Uma mercadoria que custava R$ 24,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 30%+20%+10%. Pergunta-se:
Por quanto foi vendida?
Qual o percentual total do abatimento?
Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 20%+10%+5% se o total pago foi R$ 273,60, pergunta-se:
Qual o valor da mercadoria antes dos abatimentos?
Qual o percentual total do abatimento?
Um produto cujo preço era de R$ 36,00, sofreu aumentos sucessivos de 30%+25%. Pergunta-se:
Qual o preço atual?
Qual o percentual do aumento?
O preço de um objeto foi aumentado, sucessivamente 10%, 10% e 20%, passando a custar R$ 450,12. Qual era o preço inicial?
Uma mercadoria sofreu dois aumentos sucessivos de 20%. Na venda foi concedido um desconto de 15%, pagando o comprador R$ 24,48. Qual era o preço inicial desta mercadoria?
Uma mercadoria custava R$ 75,00 foi vendida com abatimentos sucessivos de 10%+5%+2%. Pergunta-se:
Por quanto foi vendida?
Qual o percentual total do abatimento?
Na compra de uma mercadoria foi obtido abatimentos sucessivos de 10%+2%. Se o valor pago foi de R$ 110,25, pergunta-se:
Qual o valor da mercadoria antes do abatimento?
Qual o percentual total do abatimento?
Um produto cujo preço era R$ 712,00,sofreu aumentos sucessivos de 6%+3%. Pergunta-se:
A que preço está sendo vendida?
Qual foi o percentual total de aumento?
O preço da gasolina foi aumentado, sucessivamente 11,5%+7,2%+4,5% passando a custar R$ 1,30. Qual era o preço antes dos aumentos?
Uma mercadoria sofreu aumentos sucessivos de 14%+9%. Na venda foi concedido um desconto de 10%, pagando o comprador R$ 239,32. Qual era o preço inicial desta mercadoria?
Um operário ganhou um salário líquido de R$ 515,97. Sabendo-se que recebeu um aumento de 5% em relação ao salário anterior e lhe foi descontado 9% referente a impostos previdenciários, qual era o salário deste operário?
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5 OPERAÇÕES SOBRE MERCADORIAS
	Utilizando o processo da porcentagem pode-se facilmente calcular, partindo do preço de custo, o preço de venda de mercadorias considerando o lucro sobre o preço de custo ou sobre o preço de venda.
5.1 LUCRO SOBRE O PREÇO DE CUSTO
	Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de custo, considera-se o preço de custo como o valor correspondente a 100%. O preço de venda será equivalente a 100%+ r.
Fórmula:
Exemplo 1: Uma mercadoria foi comprada por R$ 120,00. Por quanto deverá ser vendida se o lucro desejado é de 40% sobre o preço de compra?
V= 120 (1+0,4) Na HP 12C 
V= 120 x 1,4			 120 enter 40% +
V= R$ 168,00
5.2 LUCRO SOBRE O PREÇO DE VENDA
	Para calcular o preço de venda com lucro sobre o preço de venda, considera-se o preço de venda como o valor correspondente a 100%. O preço de custo será equivalente a 100% - r.
Fórmula:
	 
Exemplo 1: Por quanto deverá ser vendida uma mercadoria, comprada por R$20,00, desejando-se obter um lucro de 20% sobre o preço de venda?
 				 
 					
Exercícios propostos:
Uma mercadoria foi comprada por R$ 24,00. Por quanto deverá ser vendida para que o lucro seja de 30% sobre o preço de compra?
Uma mercadoria foi vendida por R$ 50,75, com um lucro de 45% sobre o preço de compra. Quanto custou esta mercadoria?
Uma casa foi vendida por R$ 54.000,00, com um lucro de R$ 6.000,00. A quanto por cento corresponde este lucro?
Uma mercadoria foi comprada por R$ 240,00 e deverá ser vendida com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Qual o preço de venda?
Um terreno foi comprado por R$ 4.750,00 e vendido com um lucro de 5% sobre o preço de venda. Por quanto foi vendido?
Uma mercadoria foi vendida por R$ 12,50 com um lucro de 40% sobre o preço de venda. Quanto custou esta mercadoria?
Uma mercadoria está sendo vendida por R$ 75,90. Se o percentual das despesas incidentes sobre o preço de venda é 29% e o lucro 15% sobre o mesmo valor, quanto custou esta mercadoria?
Um objeto comprado por R$ 80,00 foi vendido por R$ 104,00. Qual a taxa pela qual se calculou o lucro sobre o preço de custo?
Uma mercadoria foi comprada por R$ 1.200,00 e vendida por R$ 1.500,00. Qual o percentual de lucro sobre o preço de compra?
Um comerciante vendeu um artigo por R$ 5.250,00. De quanto foi o lucro, em reais, se ele representa 25% sobre o preço de custo?
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6 JUROS SIMPLES
	Juro é:
valor pago pelo uso de dinheiro emprestado, ou seja, custo do capital de terceiros colocado à nossa disposição;
remuneração do capital empregado em atividades produtivas;
remuneração paga pelas instituições financeiras sobre o capital nelas aplicados;
remuneração do capital emprestado, podendo ser entendido, de forma simplificada, como sendo o aluguel pago pelo uso do dinheiro.
Se aplicarmos um capital durante determinado período de tempo, ao fim do prazo obteremos um valor (montante) que será igual ao capital aplicado acrescido da remuneração obtida durante o período de aplicação.
	A diferença entre o montante e a aplicação é denominada remuneração, rendimento do capital ou juros.
	No regime de juros simples, os juros de cada período são calculados sempre sobre o mesmo capital, portanto os rendimentos em cada período são os mesmos e os montantes crescem linearmente.
	
Observe o cálculo a seguir:
		 
	 
	Cálculo dos juros simples
	 
	Período
	Capital
	Juros do período
	 Juros 
	Montante
	 
	inicial
	 (i= 10%a.p.)
	acumulados
	 
	0
	1.000,00
	0,00
	0,00
	1.000,00
	1
	
	1000 x 0,10= 100
	100
	1.100,00
	2
	
	1000 x 0,10= 100
	200
	1.200,00
	3
	 
	1000 x 0,10= 100
	300
	1.300,00
6.1 ELEMENTOS BÁSICOS
Capital (C): É a quantia empregada no início da aplicação.
Juro (j): É o valor pago pelo empréstimo do dinheiro.
Taxa de juro (i): É a unidade de medida dos juros. Nas fórmulas de cálculo utiliza-se a taxa na forma unitária. (divide-se a taxa percentual por 100 para transformá-la em unitária).Tempo(t): É o tempo de duração do empréstimo. Deverá ser sempre representado em relação ao período da taxa.
Montante (M): É o valor total a ser pago ou recebido com a finalidade de quitar ou encerrar um empréstimo.
Fórmula Fundamental de Juros Simples é:
j = Cit
Exemplo 1: João assumiu o compromisso de restituir a Pedro a importância de R$ 200.000,00 que havia tomado emprestado, a uma taxa de juros simples de 2,5% ao mês, a ser restituído em 9 meses. Calcule o valor dos juros que Pedro receberá de João.
j = 200.000,00 x 0,025 x 9				 Na HP 12C 
j = R$ 45.000,00					 200000 enter 2,5% 9 x 
Exemplo 2: Calcule o capital necessário para que uma aplicação financeira produza rendimentos iguais a R$ 148.612,61, à taxa de juros simples de 12% ao ano, durante 3 anos.
148.612,61 = C x 0,12 x 3				 
C = 148.612,61/ 0,36				 			
C = R$ 412.812,81					 
Exemplo 3: Um título de R$ 22.000,00 vencido em 24/06 e liquidado em 08/08 do mesmo ano, foi penalizado com um juro de R$ 1.650,00. Qual foi a taxa mensal de juros simples cobrada?
1.650,00 = 22.000,00 x 45/30 x i			 
 i = 1650,00/33.000,00				 
 i = 0,05 x 100 = 5%					 
							 							
Obs: Os dias são contados de data a data, através do ano civil. 
Exemplo 4: Qual o tempo necessário, para que um capital de R$ 20.000,00 renda juros de R$ 4.000,00, a uma taxa simples de 12% ao ano?
4.000,00= 20.000,00 x 0,12 x t						
 t = 4.000,00/ 2.400,00					
 t = 1,67 x 12 = 20 meses ou 1 ano e 8 meses					 
Exemplo 5: Que capital deve ser empregado em juros simples a taxa de 60% ao ano, para que se obtenha um juro de R$ 240,00 em 72 dias?
240,00 = C x 0,6 x 72/360					 
C= 240,00/ 0,12
C = R$ 2.000,00
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7 MONTANTE SIMPLES DE UM CAPITAL (M)
	Montante de um capital é igual a soma deste capital com os juros por ele produzido.
Como a fórmula de juros é: j = Cit
Então o montante simples pode ser calculado pela fórmula:
 ou
Exemplo 1: Um capital de R$ 20.000,00 foi aplicado em juros simples num prazo fixo de 3 meses a taxa de 72%a.a.. Qual o valor do resgate?
M = 20.000,00 ( 1 + 0,72/12 x 3)			
M = 20.000,00 ( 1 + 0,06 x 3)			
M= R$ 23.600,00					
Exemplo 2: Qual o valor a ser aplicado, em juro simples, durante 42 dias a taxa de 4% a.m., para resgatar no fim deste tempo R$ 12.672,00?
12.672,00 = C ( 1 + 0,04 x 42/30)
C = 12672,00/ 1,056
C = R$ 12.000,00
	Para calcular taxa de juro efetiva de uma aplicação, basta apenas dividir o valor do resgate pelo valor aplicado, diminuindo 1 do quociente.
Exemplo 3: Uma empresa aplicou R$ 32.000,00. No fim de 48 dias resgatou R$ 35.072,00. Determinar a taxa de juro efetiva que a empresa ganhou na aplicação?
						35.072,00
 		 32.000,00
 	Na HP 12C
 				32000 enter
			35072
				
%
A taxa mensal de juros simples será:
r = (9,6/48) x 30						
r= 6% a.m.				
Exercícios propostos:
Calcular os juros produzidos por uma aplicação de R$ 2.000,00, à taxa de 30% a.a. de juros simples, durante 4 meses e 18 dias.
Que capital aplicado em juro simples produz um juro de R$ 24.000,00 à taxa de 30% a.a. em 2 anos?
A que taxa anual de juros simples deve-se empregar o capital de R$ 80.000,00 para se obter um juro de R$ 32.000,00 durante 8 meses?
Durante quanto tempo deve-se empregar o capital de R$ 50.000,00 para se obter um juro simples de R$ 35.000,00, sendo a taxa de 30% a.m.?
Calcule os rendimentos referentes a uma aplicação financeira R$ 1.470,00, durante 95 dias, à taxa de juros simples de 21%a.a..
Qual o valor do resgate de uma aplicação, sabendo-se que o investimento inicial foi de R$ 32.500,00, o prazo de 118 dias e a taxa de juros simples de 2,3% ao mês?
Um aplicador deseja transformar o capital de R$ 23.000,00 em R$ 29.997,88, em 556 dias. Qual a taxa anual de juros simples que o aplicador deverá conseguir para alcançar seu objetivo? 
Um investidor fez uma aplicação em juro simples durante 2 meses . No fim deste tempo retira o montante de R$ 159.000,00 e reaplica tudo por mais 3 meses a mesma taxa. Sabendo-se que o valor do resgate final é de R$ 173.310,00 Qual a importância inicialmente aplicada?
Seu José aplicou R$ 200.000,00, em juro simples por 5 meses, a taxa de 96%a.a.. Qual o valor do resgate?
Uma pessoa aplicou certa quantia, a juros simples de 5% ao semestre, durante 45 dias. Após este prazo, recebeu R$ 897.343,87. Calcular o capital aplicado.
Um título no valor R$ 22.500,00, vencido em 18/03 foi liquidado no dia 12/04, do mesmo ano. Se o valor pago na liquidação foi de R$ 23.287,50, qual a taxa mensal de juro simples?
Uma TV em cores é vendida nas seguintes condições:
Preço à vista = R$ 1.800,00;
Condições à prazo = 30% de entrada e R$ 1.306,00 em 30 dias.
Determinar a taxa de juros simples cobrada na venda a prazo.
Uma aplicação de R$ 15.000,00 é efetuada pelo prazo de 3 meses à taxa de juros simples de 26% ao ano. Que outra quantia deve ser aplicada por 2 meses à taxa linear de 18% ao ano para obter o mesmo rendimento financeira?
Uma mercadoria é oferecida num magazine por $ 130,00 à vista, ou nas seguintes condições: 20% de entrada e um pagamento de R$106,90 em 30 dias. Calcular a taxa linear mensal de juros que está sendo cobrada.
Um certo capital, aplicado por três trimestres, a uma taxa de juro simples de 24% a.a., rende R$ 900,00 de juro. Determine o montante.
Uma pessoa contrai um empréstimo de R$ 75.000,00 à taxa linear de 3,3% ao mês. Em determinada data líquida este empréstimo pelo montante de R$ 92.325,00 e contrai nova dívida no valor de R$ 40.000,00 pagando uma taxa de juros simples mais baixa. Este último empréstimo é resgatado 10 meses depois pelo montante de R$ 49.600,00.
Pede-se calcular:
o prazo do primeiro empréstimo e o valor dos juros pagos;
a taxa simples de juros mensal e anual cobrada no segundo empréstimo.
Um refrigerador é vendido por R$ 980,00 à vista ou com uma entrada de 25% e mais um pagamento de R$ 793,80 após 40 dias. Qual a taxa mensal de juro simples envolvida na operação?
Calcular o montante produzido por um capital de R$ 2.000,00 aplicado durante 9 meses, à taxa de 12% ao semestre de juros simples.
Uma pessoa tomou emprestado R$ 1.400,00 durante 4 meses e 17 dias, a uma taxa de juros simples de 17% ao trimestre. Qual o valor dos juros a ser pago?
Calcular a taxa anual de juros simples que rendeu um fundo de investimento, sabendo-se que o capital aplicado foi de R$ 4.000,00 e que o valor de resgate foi de R$ 5.200,00 após seis meses.
Uma mercadoria cujo o preço à vista é R$ 500,00 foi vendida com uma entrada de 25% e, mais um pagamento no valor de R$ 401,25 com vencimento para 42 dias. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada no financiamento?
Após quanto tempo os capitais de R$ 7.000,00 e R$ 9.000,00, empregados às taxas de juros simples de 6% e 4% ao mês, respectivamente, atingirão o mesmo montante
Qual a taxa mensal de juros simples que deve ser aplicado um capital para duplicar de valor em 1 ano e 3 meses?
Um capital de R$ 4.000,00 foi aplicado a juros simples por 72 dias; um outro capital de R$ 5.000,00 foi também aplicado a juros simples, à mesma taxa durante 45 dias. Determinar a taxa anual, sabendo-se que a diferença entre os juros da 1ª aplicação e da 2ª aplicação são iguais a R$ 31,50.
O preço à vista de um televisor é R$ 500,00. Entretanto, em dois pagamentos, com entrada, na ocasião, de R$ 200,00, e outro em 30 dias, o preço sobe para R$ 530,00. Qual é a taxa cobrada?
Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 22%a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido. Qual o montante líquido de uma aplicação de R$4.000,00?
Um fazendeiro possui um estoque de 1.000,00 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de R$ 30,00 por saca. Três meses mais tarde é forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por R$ 24,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros do mercado é de 5%a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data da venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples.
Um produto está sendo vendido nas seguintes condições: R$ 70,00 à vista ou uma entrada de 40% e um cheque de R$ 48,00 para 42 dias. Qual a taxa de juros simples usada por este estabelecimento?
Uma televisão é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, a prazo com R$ 300,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.308,00 após três meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento. 
Um capital de R$ 15.000, foi aplicado em juro simples a taxa de 4,5% a.m.. Na época do resgate o juro recebido foi de R$ 1.485,00. Qual foi o tempo da aplicação?
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8 PRAZO MÉDIO
	Sejam os capitais 
, 
,..........., 
, todos empregados em juros simples, a uma mesma taxa i durante os tempo t1, t 2 , ..........,t m , respectivamente. Chama-se prazo médio aquele no qual deve-se empregar a soma dos capitais, a mesma taxa, para obter um juro igual a soma dos juros de cada capital determinado separadamente.
	 
	Se os capitais forem iguais o prazo médio é calculado pela seguinte fórmula:
 
	 
 
Exemplo 1: Os capitais de R$ 2.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados em juro simples durante 36 dias, 60 dias, e 156 dias, respectivamente. Durante quanto tempo deve-se aplicar a soma destes capitais, a mesma taxa, para obter o mesmo juro?
							Na HP 12 C
 
		f 
						36 enter 2000 
							60 enter 5000 
							156 enter 3000 
							g 
Exemplo 2: Se a taxa de juros é 6%a.m., qual o juro produzido no exemplo 1?
 
Exemplo 3: Uma pessoa deposita R$ 500,00 no início de cada mês, a taxa de 5%a.m., em juro simples. Calcular o montante constituído no final de um ano.
 
 
M= 6.000,00 ( 1 + 6,5 x 0.05)
M = R$ 7.950,00
Exercícios propostos:
Um título de R$ 105.000,00 vencível em 31/03 foi pago da seguinte maneira: R$ 25.000,00 em 31/03; R$ 20.000,00 em 15/04; R$ 15.000,00 em 20/04; R$ 24.000,00 em 30/04 e R$ 21.000,00 em 10/05. Sabendo-se que a taxa de juro simples cobrada pelo credor foi de 6%a.m., qual o juro pago na liquidação?
Uma empresa devedora de um título de R$ 420.000,00 pagou-o da seguinte maneira : R$ 120.000,00 no vencimento; R$ 75.000,00 com atraso de 12 dias; R$ 120.000,00 com atraso de 25 dias e R$ 105.000,00 com atraso de 42 dias. Sabendo-se que o total de juros pago na liquidação foi de R$ 11.080,00, determinar a taxa de juro simples, anual cobrada pelo credor?
Um título de R$ 108.000,00 vencível no dia 31 de março foi pago da seguinte maneira:
R$ 28.000,00 no vencimento
R$ 20.000,00 em 15/04
R$ 15.000,00 em 20/04
R$ 24.000,00 em 30/04
R$ 21.000,00 em 10/05
Qual foi o atraso médio no pagamento do título se todos os pagamentos foram feitos no mesmo ano?
Uma empresa adquiriu um equipamento no valor de R$ 200.000,00. Pagou 25% no ato e o restante foi amortizado em 15 parcelas mensais iguais acrescidas de juro simples a no seu vencimento. Sabendo-se que o total dos juros pagos no financiamento foi de R$ 24.000,00, qual a taxa mensal do juro simples?
Os capitais de R$ 8.000,00, R$ 10.000,00 e R$ 6.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 8, 5 e 9 meses, respectivamente. Obtenha o tempo necessário para que a soma desses capitais produza juros à mesma taxa, igual à soma dos juros dos capitais individuais aplicados nos seus respectivos prazos.
Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples, pelos prazos de 4,3 e 2 meses, respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais.
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9 DESCONTO SIMPLES
	Desconto é o abatimento concedido sobre um título de crédito em virtude de seu resgate antecipado. Representa a retirada do juro calculado pelo banco nas operações de capitalização simples, proporcionalmente ao prazo antecipado de pagamento.
	Quando se fala em desconto simples, temos duas modalidades de desconto a considerar:
a) o comercial ou bancário ou por fora;
 	b) o racional ou por dentro.
9.1 DESCONTO SIMPLES COMERCIAL	
9.1.1 Conceito
	O desconto simples comercial é igual ao juro simples calculado sobre o valor nominal do título, a uma taxa de desconto durante o tempo que antecede o vencimento deste.
9.1.2. Fórmula
 
Onde:
d: desconto simples comercial 
 quantia a ser abatida do valor nominal.
N: valor nominal 
valor do título a ser pago no dia do vencimento.
: taxa unitária de desconto
t: tempo de antecipação 
 período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu vencimento
Exemplo 1: Um título de R$ 280.000,00 sofreu um desconto comercial 39 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto de 6%a.m.. Calcular o desconto.
d = 280.000,00 x 0,06 x (39/30)			
d = R$ 21.480,00	
			
Exemplo 2: Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 6 meses, cujo valor de resgate é de R$ 1.000,00 e cujo valor atual é de R$ 880,00?
 N= 1.000 	n= 6 m	A = 880	i = ? a.m.
Sendo A = N (1 – i x n) 
880 = 1000 (1 – i x 6) 		 
 
 					 
6i = 1 – 0,88				 
i = 0,12 ÷ 6 = 0,02 ou seja 2% ao mês 
					
9.1.3 Valor Atual Comercial
	É a diferença entre o valor nominal e o desconto comercial por ele sofrido.
	A = N – d 	Ou 	A = N (1 – iat)
Onde:
A = é valor líquido, já abatido o desconto, a ser pago (ou recebido) antecipadamente;
d = desconto simples comercial
ia = taxa de desconto 
t = tempo de antecipação
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o valor atual comercial
A = 280.000 (1- 0,06 x 39/30) = R$ 258.160,00 
9.1.4 Valor Líquido
Sempre que houver cobrança de comissões ou taxas, o valor líquido é igual ao valor atual diminuído da comissão.
 VL = N – (d + com)
Ou :
VL = N – (d+ com + desp + IOF)
Onde:
VL = valor líquido
Com = comissão
Desp = despesas
N = valor nominal
Exemplo 1: Um título de R$ 240.000,00 sofreu um desconto bancário, 27 dias antes do seu vencimento, numa instituição financeira que opera com uma taxa de desconto de 7% a.m.. Sabendo-se que é cobrada uma comissão de 0,5% sobre o valor nominal, qual o valor líquido recebido pelo portador?
	A = 240.000 x 0,07 x 27/30 = R$ 15.120,00
	Com. = 240.000 x 0,005 = R$ 1.200,00
	VL = 240.000 – ( 15.120 + 1.200) = R$ 223.680,00
Exemplo 2: Uma empresa desconta 5 títulos no valor total de R$ 18.000,00 vencíveis em 36 dias, num banco que opera com uma taxa de desconto de 4,5% a.m.. Sabendo-se que o banco cobra uma comissão antecipada de 0,5 % sobre o valor nominal dos títulos, mais despesas para cobrança no valor de R$ 4,00 por título e mais o IOF (imposto sobre operações financeiras) que é de 0,123% a.m., qual o valor líquido creditado na conta da empresa?
d = 18.000 x 0,045 x 36/30 = 972,00
com = 18.000 x 0,005 = 90,00
desp. de cobrança = 4 x 5 = 20,00
IOF = 18.000 x 0,00123 x 36/ 30 = 26,57
VL = 18.000 – (972 + 90 + 20 + 26,57) = R$ 16.891,43
Obs: Quando não houver cobrança de comissões ou taxas o valor líquido é igual ao valor atual.
9.1.5 Taxa efetiva de juro numa operação de desconto simples bancário
	Numa operação de desconto, a taxa efetiva de juro é calculada levando-se em conta o valor nominal dos títulos, o prazo médio destes títulos e o valor líquido recebido pelo portador.
É a taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado, comercial ou bancário gerano período considerado um montante igual ao valor nominal. 
	Para calcular a taxa efetiva de juro do período do desconto de títulos com vencimento para t dias, basta efetuar a divisão entre o valor nominal e o valor líquido diminuindo de 1, ou seja, calcular a diferença percentual entre o valor líquido e o valor nominal. 
 
Seu cálculo pode ser realizado utilizando a fórmula:
Nota: Os valores correspondentes ao Desconto e ao valor Atual – são utilizados tanto para juro comercial, quanto bancário.
Exemplo 1: Uma empresa desconta um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operação?
 
A= 20.000(1- 0,06 x 39/30) = 18.440		
					 
i = 20000/18440 -1
i= 1,085 – 1	
i= 8,5% 	
9.1.6 Taxa total de desconto em relação a taxa efetiva de juro:
	Para calcular a taxa total de desconto (juro antecipado) conhecida a taxa efetiva de juro, utiliza-se a seguinte fórmula:
OBS: Para calcular a taxa mensal de desconto basta dividir a taxa total de desconto pelo número de dias que antecede o vencimento do título multiplicando a seguir por 30.
 
Exemplo: Um banco que opera com uma taxa efetiva de juro de 11,2% a.p. para empréstimos com prazo de 42 dias, a que taxa mensal de desconto deveria operar em operações de desconto com prazo de 42 dias, para obter o mesmo rendimento?
 ou 10,07 % a.p. de 42 dias
 7,194 % a.m.
Exercícios propostos:
Um título de $ 5.500,00 é descontado à taxa de 30% a.a., 3 meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros corrente é de 30% a.a.. Qual a taxa efetiva de juros que incidiu sobre o valor atual?
Qual a taxa mensal de desconto utilizada numa operação a 120 dias, cujo valor de resgate é de $ 1.000,00 e cujo valor atual é de $ 880,00? 
Uma empresa descontou um título de R$ 20.000,00, 39 dias antes de seu vencimento, num banco que opera com uma taxa de desconto de 6% a.m.. Qual a taxa efetiva de juro paga pela empresa nesta operação? 
Uma empresa comercial possui em seu grupo de contas a receber um cheque pré-datado no valor de R$ 5.000,00 e cuja data de depósito está programada 	para daqui a cinco meses. Sabendo que a empresa pensa em descontar esse título em um banco que cobra uma taxa de desconto de 3% a.m. mais uma taxa operacional igual a 0,7% do valor nominal, calcule o desconto sofrido pelo título.
Um pequeno comerciante leva a um banco o seguinte conjunto de cheques pré-datados para serem descontados à taxa de desconto de 2,8% a.m.
	Cheque
	Valor
	Prazo de antecipação
	A
	R$ 500,00 
	2 meses
	B
	R$ 1.500,00 
	1 mês
	C
	R$ 2.000,00 
	45 dias
Determinar o valor líquido recebido pela empresa.
Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 14.000,00, dois meses antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,5% a.m..
a) Qual o valor do desconto?
b) Qual o valor descontado recebido pela empresa?
c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco?
A o descontar uma promissória com prazo de 45 dias, um banco calculou um desconto de R$ 1.200,00. Qual o valor da promissória sabendo-se que a taxa de desconto utilizada foi de 4% a.m.?
O dono de uma pequena indústria metalúrgica leva a um banco as duplicatas A, B e C para serem descontadas.
	Duplicatas
	Valor
	Prazo de antecipação
	A
	R$ 4.000,00 
	2 meses
	B
	R$ 14.000,00 
	50 dias
	C
	R$ 8.000,00 
	75 dias
Se o banco utilizar uma taxa de desconto de 2,5% a.m., qual será o valor líquido recebido pela empresa?
Um título de R$ 5.000,00 sofreu um desconto por fora 42 dias antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto foi de 6% a.m., qual o valor do desconto?
Uma empresa desconta em um banco uma duplicata de R$ 18.000,00, setenta e dois dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto de 3,2% a.m..
a) Qual o valor do desconto?
b) Qual o valor descontado recebido pela empresa?
c) Qual a taxa mensal de juros simples efetivamente cobrada pelo banco?
9.2 DESCONTO SIMPLES RACIONAL
9.2.1 Conceito
	Desconto simples racional é igual ao valor do juro simples calculado sobre o valor atual racional de um título, numa taxa de juro, durante o tempo que antecede o vencimento deste.
	
9.2.2 Valor Atual Racional
	Chama-se de valor atual racional de um título de valor nominal (N), vencível no final de um certo tempo (t), ao capital (
) que aplicado a juro simples, durante o tempo (t) produza um montante igual ao valor nominal do título (N).
Exemplo 1: Qual o valor atual racional de um título de R$ 120.000,00 vencível no final de 60 dias, sendo 10% a.m. a taxa de juros simples?
	
 				
 
 R$ 100.000,00		 
9.2.3 Fórmula para cálculo do desconto racional em relação ao valor nominal:
Se:
Logo:
Exemplo: Considerando o exemplo anterior, calcular o desconto racional.
	
= 120.000 – 100.000 
= R$ 20.000,00
ou:
	
 			
 
= R$ 20.000,00				
Exercícios propostos:
Um título de R$ 320.000,00 foi negociado racionalmente 75 dias antes do seu vencimento a uma taxa de 11,2% a.m..Qual o desconto sofrido?
O valor atual de um título de R$ 158.750,00, descontado racionalmente, 90 dias antes do seu vencimento é R$ 125.000,00. Calcular a taxa da transação.
Qual o desconto racional sofrido por um título de valor R$ 24.000,00 vencível no final de 4 meses, sendo 5% a.m. a taxa de desconto?
Um título com valor nominal de R$ 3.836,00 foi resgatado quatro meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 10% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título?
Uma letra de câmbio no valor nominal de R$ 7.560,00, vence em 6 meses e 15 dias. Calcular o valor atual, deste título, considerando 48% a.a. para o desconto por dentro.
Admita-se que uma duplicata tenha sido submetida a 2 tipos de descontos. No primeiro caso, a juros simples, a uma taxa de 10% a.a., vencível em 180 dias, com desconto racional. No segundo caso, com desconto comercial, mantendo as demais condições. Sabendo-se que a soma dos descontos foi de R$ 635,50, qual o valor nominal do título?
Calcular o desconto por dentro sobre um título de R$ 3.225,00 vencível no final de 75 dias e negociado à taxa utilizada na operação é de 36% a.a.?
Um título com valor nominal de R$ 110.000,00 foi resgatado dois meses antes do seu vencimento, tendo sido concedido um desconto racional simples à taxa de 60% a.m. De quanto foi o valor pago pelo título?
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10 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS
Às vezes temos necessidade de substituir um título (ou mais) por outro (ou outros) com vencimento diferente ou, ainda, de saber se duas formas de pagamento são equivalentes. Esses problemas estão ligados, de modo geral, à equivalência de capitais diferidos (são aqueles cujos vencimentos têm datas diferentes)
	Dois ou mais capitais, disponíveis em épocas distintas, são equivalentes se possuírem, numa certa época, valores atuais iguais.
A1 = A 2 ou A = A 1 + A2 + ...........+An
Para a solução: estabelecer um data de comparação e comparar os valores atuais dos títulos nessa data. No regime de juros simples, a data deve ser a data zero (data de contração da dívida), também conhecida como data focal.
Obs: A equivalência de capitais pode ser calculada, no sistema de capitalização simples, através do desconto comercial (com taxa de desconto) ou do desconto racional (com taxa de juro).
Exemplo 1: Um título de R$ 26.950,00, vencível no final de 45 dias, deve ser substituído por outro, vencível no final de 39 dias. Calcular o valor do novo título se a transação for realizada numa taxa de desconto de 15% a.m..
Exemplo 2: Um título de R$ 26.950,00 vencívelno final de 45 dias, deve ser substituído por outro, vencível no final de 39 dias. Calcular o valor do novo título se a transação for realizada numa taxa de juro simples de 15%a.m..
Exemplo 3: Uma empresa deve pagar dois títulos, sendo um de R$ 720,00, vencível em 2 meses, e outro de R$ 960,00, vencível em 3 meses. Entretanto, não podendo resgatá-los nos prazos estipulados, propõe ao credor substituí-los por um único título, com vencimento para 4 meses. Calcular o valor nominal do novo título, considerando a taxa de desconto simples de 2% a.m..
 + 
)
N= R$ 1.732,17
Exercícios propostos:
Um comerciante deve dois títulos, um de R$ 8.000,00 para 90 dias e outro de R$ 10.000,00 para 72 dias. Pede para substituí-los por um único título com vencimento para 60 dias. Calcular o valor do novo título se a taxa de desconto utilizada é 7,5% a.m..
Um título de R$ 240.000,00, vencível em 60 dias foi substituído por dois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis no final de 30 e 70 dias, respectivamente. Calcular o valor dos novos títulos, se a transação é realizada numa taxa de desconto de 10%a.m..
Por uma mercadoria foram feitas as seguintes propostas:
a) R$ 500,00 de entrada, R$ 200,00 no fim de 3 meses e R$ 300,00 no fim de 5 meses.
b) R$ 300,00 de entrada, R$ 350,00 no fim de 1 mês e R$ 350,00 no fim de 2 meses.
Sabendo-se que a taxa corrente de juro simples é de 8%a.m., quanto deveria dar mais, de entrada o portador da menor oferta para igualar-se com a maior?
Um comerciante devedor de um título no valor de R$ 17.050,00, vencível em 60 dias, propõe ao credor a substituição deste título por dois novos títulos, sendo um no valor de R$ 7.200,00 para 30 dias e um outro para 45 dias. Calcular o valor deste outro título considerando uma taxa de desconto igual a 2% a.m..
Dois títulos de valor nominal R$ 5.200,00 cada, vencíveis em 50 e 75 dias, respectivamente, serão substituídos por um único título de valor R$ 10.000,00. Calcular o prazo deste título se a taxa de desconto simples utilizada na transação é de 3%a.m..
Uma empresa devedora de um título no valor de R$ 22.540,00, vencível no final de 3 meses, propõe ao credor a substituição deste por dois novos títulos de valores nominais iguais, vencíveis no final de 4 e 5 meses respectivamente. Calcular o valor de cada um dos novos títulos sendo 5%a.m. a taxa de juros simples empregada na transação.
Um negociante tem as seguintes obrigações de pagamento com um banco:
R$ 18.000,00 vencíveis em 37 dias;
R$ 42.000,00 vencíveis em 83 dias;
R$ 100.000,00 vencíveis em 114 dias.
Com problemas de caixa nestas datas deseja substituir este fluxo de pagamentos pelo seguinte esquema:
R$ 20.000,00 em 60 dias;
R$ 50.000,00 em 100 dias;
o restante em 150 dias.
Sendo 3,2% ao mês a taxa de juros simples adotada pelo banco nestas operações, pede-se calcular o valor do pagamento remanescente.
Um título de R$ 4.200,00 que vencerá em cinco meses deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a oito meses. Admitindo que esse títulos podem ser descontados à taxa de 1,5% ao mês, calcule o valor nominal do novo título.
Um título de R$ 1.000,00 que vencerá em 3 meses, deve ser substituído por outro com vencimento para daqui a 5 meses. Admitindo-se que esses títulos podem ser descontados à taxa de 2,5%a.m., calcular o valor nominal do novo título.
Uma pessoa deseja trocar dois títulos, um de valor nominal de R$ 30.000,00 e outro de R$ 36.000,00, vencíveis, respectivamente, dentro de 2 e 6 meses, por um único título vencível em 4 meses. Sendo a taxa de juro igual a 3%a.m., qual será o valor do novo título?
Um título de R$ 70.000,00, pagável em 50 dias, vai ser substituído por outro com vencimento para 120 dias. Sabendo que o credor pode resgatar o título à taxa de desconto igual a 36% a.a., determine o valor nominal do título.
Queremos substituir dois títulos, um de R$ 50.000,00 para 90 dias e outro de R$ 120.000,00 para 60 dias, por três outros, com o mesmo valor nominal, vencíveis, respectivamente, em 30, 60 e 90 dias. Calcular o valor nominal comum, sabendo que a taxa de desconto comercial da transação é de 3% a.m.
Uma pessoa tem dois compromissos a pagar: R$ 5.000,00 daqui a 60 dias e R$ 8.000,00 daqui a 75 dias. Desejo trocar esse débitos por dois pagamentos iguais, um daqui a 3 meses e outro a ser pago daqui a 4 meses. Determine o valor desses pagamentos, sabendo que a taxa de juros simples usada é de 6%am.
Uma empresa apresenta o borderô de duplicatas a seguir, para sem descontadas em um banco à taxa de desconto comercial de 2% a.m. Qual o valor líquido recebido pela
empresa?
	
11 JUROS COMPOSTOS
11.1 CONCEITO
	
	O regime de juros compostos é o mais comum no dia-a-dia do sistema financeiro e do cálculo econômico. Os juros compostos são popularmente chamados de juros sobre juros.
	Na capitalização composta ao final de cada período, os juros são calculados e somados ao capital, formando um montante, que irá ser o capital do período seguinte. A esse processo de agregação dos juros ao capital é que se dá o nome de capitalização composta.
	
Utilizando as seguintes notações:
PV = capital inicial
FV = montante final
i = taxa unitária (sempre referente ao período da capitalização)
n = número de períodos de capitalização (ano, trimestre, mês, dia, etc.)
		
	Regime de Capitalização Composta
	Capital aplicado
	Juros de cada período
	Valor acumulado 
	R$ 1.000,00 
	R$ 1.000 x 10% = R$ 110,00
	R$ 1.100,00 
	R$ 1.100,00 
	R$ 1.100 x 10% = R$ 110,00
	R$ 1.210,00 
	R$ 1.210,00 
	R$ 1.210 x 10% = R$ 121,00
	R$ 1.331,00 
O cálculo do montante foi assim efetuado:
	
= 1.000 ( 1 + 0,1 x 1)
	
= 1.100 ( 1 + 0,1 x 1)
	
= 1.210 ( 1 + 0,1 x 1)
Substituindo os valores pelos símbolos, temos:
montante ao final do 1º período
	
= 
 ( 1 + i )
montante ao final do 2º período
= 
 ( 1 + i )²
montante ao final do 3º período
	
= 
 ( 1 + i )³
montante ao final do n-ésimo período
	
= 
 
Portanto, a fórmula fundamental para o Cálculo do Futuro Valor:
	 
Exemplo 1: Uma pessoa toma emprestados R$ 5.000,00 a juros de 3%a.m., pelo prazo de 10 meses, com capitalização composta. Qual o valor a ser pago no final do período?
							
Na HP 12C
				5000 CHS PV			
					 3 i
n
FV
Na calculadora cientifica 
							1,03 
 10
Multiplicar o resultado acima por 5000
Exemplo 2: Um empréstimo de R$ 200.000,00 deverá ser pago no final de um ano a taxa de 5% a.m., num sistema de capitalização mensal. Qual o valor a ser pago no vencimento?
 
 
11.2 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DO PRESENTE VALOR
 ou
Exemplo: Que capital deve ser empregado a juros compostos a taxa de 12% a.t., para em dois anos, em capitalização trimestral, constituir um montante de R$ 838.426,00?
 
			Na HP 12 C
 83842CHSFV
				 12 i
						 8 n
						 PV
11.3 FÓRMULA PARA O CÁLCULO DA TAXA
 
	
	
 
 
Exemplo: A que taxa de juro deve-se empregar o capital de R$ 30.000,00 para obter um montante de R$ 506.736,04 no final de dois anos em capitalização mensa ?
			Na HP 12C
					30000 CHS PV
				24 n
					506736,04 FV
						 i
11.4 CÁLCULO DO NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS
	
Exemplo: No final de quanto tempo, em capitalização mensal, a aplicação de um capital de R$ 120.000,00 à taxa de 6% a.m. oportuniza um resgate de R$ 287.586,98?
							Na HP 12C
 	 
 
						 n11.5 CÁLCULO DO MONTANTE QUANDO O NÚMERO DE PERÍODOS FINANCEIROS NÃO FOR UM NÚMERO INTEIRO
	
	
Onde m representa a parte inteira e p/q a parte fracionária.
	Existem dois sistemas de cálculo. Um através da Convenção Linear e outro através da Convenção Exponencial.
Convenção Linear:
	
	O cálculo da convenção linear calculamos a parte inteira com capitalização composta e , para a parte fracionária, calculamos o juro simples sobre esse montante.
 	
	
Exemplo: Uma dívida de R$ 100.000,00 está sendo paga com 132 dias de atraso. Qual deverá ser o valor cobrado se o cálculo é realizado no sistema de convenção linear e a taxa é de 12% a.m.?
n= 132/30 = 4,4 meses m = 4 p/q= 0,4
FV= 100.000,009 1= 0,12)4 ( 1 + 0,12 x 0,4) Na HP 12C
FV = R$ 164.904,83				 Retirar o C da calculadora
 100000 CHS PV
							 132 enter 30 : n
							 12 i
							 FV
	
Convenção Exponencial:
	O cálculo da convenção exponencial se baseia na fórmula fundamental, ou seja inclusive no período fracionário o juro é calculado através do juro composto.
	
Exemplo: Cálculo do exemplo anterior, através da convenção exponencial.
FV = 100.000,00 (1 + 0,12) 4,4 			Na HP 12C 
FV= R$ 164.649,08					Colocar o C da calculadora
100000 CHS PV
							132 enter 30 : n
							12 i
							FV
Exercícios Propostos:
Foram aplicados R$ 1.800,00 durante cinco trimestres a uma taxa de 8% a.t., no regime de juros compostos. Calcular o montante.
Qual será o valor do resgate, aplicando-se R$ 5.000,00, em juros compostos a taxa de 6% a.m., durante dois anos em capitalização mensal?
Josilma toma emprestados R$ 25.000,00 a uma taxa de juro de 2% ao mês, pelo prazo de 24 meses, com capitalização composta. qual o valor a ser pago no final do período?
Um título de renda fixa deverá ser resgatado por R$ 14.345,00 daqui a um ano. Sabendo que o rendimento desse título é de 28,8% ao ano, determine o seu valor atual.
5-Um capital de R$ 6.600,00 foi aplicado durante um ano, a uma taxa de 1,6% ao mês. Qual foi o valor do juro composto produzido?
O capital de R$ 22.000,00 foi aplicado durante dois anos e produziu o montante a juro composto de R$ 31.449,06. Calcule a taxa de juro mensal dessa aplicação.
Um investidor quer resgatar R$ 35.000,00 daqui a seis meses. Se o banco oferecer uma rentabilidade de 1,8% ao mês, quanto deverá aplicar hoje? Suponha capitalização mensal.
Uma empresa tomou um empréstimo de R$ 98.000,00 e comprometeu-se liquidá-lo no final de 8 meses mediante um pagamento de R$ 158.570,43. Calcular a taxa mensal de juro, sabendo-se que a capitalização é mensal.
A que taxa de juro semestral um capital de R$ 43.000,00 pode ser dobrado em 36 meses?
Um capital de R$ 2.000,00 foi aplicado à taxa de 3%a.m. por 60 dias, e o de R$ 1.200,00, à taxa de 2% a.m. por 30 dias. qual foi o montante total recebido?
 Um capital foi depositado a juros compostos e, após 2 anos, triplicou de valor. Qual a taxa mensal de juros compostos usada?
A que taxa de juro composto devem ser emprestados R$ 35.000,00 para, em oito meses, obtermos um montante de R$ 42.000,00?
Calcule o juro produzido por um capital de R$ 100.000,00, a uma taxa de juro composto de 25% ao ano, em dois anos.
Uma certa pessoa concedeu um empréstimo de R$ 10.000,00 à taxa efetiva de 4,8% a.m.. Qual o valor a ser cobrado na liquidação, um ano, três meses e seis dias após a realização do empréstimo:
a) Calculado através da convenção linear.
b) Calculado através da convenção exponencial.
Um capital de R$ 10.000,00 foi aplicado em juro composto a taxa de 6% a.m., durante um ano, oito meses e 12 dias, em capitalização mensal. Calcular o valor do montante através da convenção linear.
Foram aplicados R$ 28.700,00 a uma taxa efetiva de 2% ao mês, e foram recebidos R$ 10.698,95 de juro. Qual foi o prazo da aplicação? 
Calcular o montante de R$ 18.000,00 durante 2 a 4 m 8 d, a juros de 5% a.t., capitalizados trimestralmente :
a) Pela convenção linear.
b) Pela convenção exponencial.
Uma pessoa aplicou R$ 500,00, a 1,4% a.m. de juros compostos, obtendo como saldo R$ 615,95. Determine o prazo da aplicação.
O capital de R$ 50.000,00 ficou empregado durante 6 meses, sendo que nos dois primeiros à taxa de 4,7% a.m., nos dois seguintes à taxa de 4,9% a.m. e nos dois últimos à taxa de 5,3% a.m.. Qual o montante constituído no final de seis meses?
Que capital deverá ser aplicado, em juros compostos, durante 3 anos, em capitalização mensal, `taxa de 7,5% a.m., para que proporcione um juro no valor de R$ 300.277,00?
Por quantos meses o capital de R$ 1.800,00 foi aplicado a uma taxa de juro composto de 1,6% ao mês, tendo produzido o montante de R$ 2.247,94?
Calcule o montante resultante da aplicação de um capital de R$ 28.400,00 durante um ano e quatro meses, a uma taxa de juro composto de 8% ao trimestre, pela convenção linear.
Resolva o problema anterior pela convenção exponencial.
Foram aplicados R$ 20.000,00 durante 35 anos, a uma taxa de juro composto de 15% ao ano nos primeiros dez anos, 18% ao ano nos dez anos seguintes e 17% ao ano nos últimos 15 anos. Determine o montante obtido.
Certo capital foi aplicado a juros compostos durante quatro meses. As taxas de juros foram de 1,95%, 2,24%, 2,73% e 2,08%, respectivamente. O total de rendimentos calculado foi de R$ 2.723,14.
Determine o capital aplicado.
Determine a taxa acumulada no período.
Determine o valor dos juros recebidos no terceiro mês.
Se o capital permanecer aplicado ao quinto mês qual deve ser a taxa recebida neste mês 
Um capital de R$ 8.100,00 foi aplicado a juros compostos, da seguinte forma: a 2,25% a.m. durante os primeiros cinco meses, a 1,8% a.m. nos três seguintes meses e a 1,65% a.m. nos próximos três meses. Calcule o total de juros apurado.
Certo capital foi aplicado a juros compostos de 3% a.m., durante cinco meses. O montante de R$ 1.022,94, daí resultante, foi novamente aplicado a juros compostos, agora por sete meses, gerando um montante de R$ 1.392,08. Calcule:
a taxa de juros da aplicação.
o total de juros recebido nas duas aplicações.
12 TAXAS PROPORCIONAIS
Duas, ou mais taxas, são proporcionais se entre elas e os tempos a que elas se referem existir uma mesma razão.
Exemplo:	60% a.a.	12 meses
		15% a.t.	3 meses			
		5% a.m.	1 mês	
Taxas equivalentes são aquelas que produzem o mesmo montante quando o tempo é o mesmo. Por exemplo:
 taxa anual 			 taxa trimestral
 
 capitalização anual capitalização trimestral 
Obs.: Em juros compostos as taxas proporcionais não são equivalentes.
Exemplo: Em um regime de juros compostos, relativo ao capital de R$ 1.000,00, calcule o montante nas duas situações:
Durante 1 ano, à taxa de 24% a.a.
....................
Durante 12 meses, à taxa de 2% a.m.
...............
Como os dois montantes obtidos não são iguais, as taxas não são equivalentes, mas são proporcionais.
�
13 TAXAS EQUIVALENTES
Duas, ou mais taxas, são equivalentes quando, referindo-se a períodos e capitalização diferentes, fazem com que capitais iguais constituam, no final de um, certo tempo, montantes iguais.
A equivalência é calculada pela seguinte fórmula:
Onde:
 = 	taxa conhecida.
=	taxa a ser calculada.
QQ =	tempo do período da taxa a ser calculada.
Qt =	tempo da taxa conhecida, em relação a k.
Na realidade 
nada mais é do que o valor do juro calculado sobre o capital unitário (1,00), no prazo estipulado.
Para as frações do ano, no regime de capitalização a juros compostos, as relações são:
	(1 + id)360 = (1 + im)12 = (1 + it)4= (1+is)2 = (1+ ia)
Exemplo: 
	Taxa Conhecida
	Taxa equivalente para:
	a) 79,5856% ao ano
	 1 mês
	b) 28,59% ao trimestre
	1 semestre
	c) 2,5 % ao mês
	105 dias
	d) 0,5% ao dia
	1 ano
	e) 25% (ano comercial)
	1 ano exato ( base 365 dias)
Solução algébrica				Solução HP- 12C
a) 
		100 CHS PV
 
		79,5856 i
 
		30 enter 360 : n
 
		 FV 100 -
 
b)
		100 CHS PV
 
		28,59 i
 
		180 enter 90 : n
 
		 FV 100 -
c) 
	 100 CHS PV
 
		 2,5 i r
 
	 105 enter 30 : n
 
		 FV 100 -
 
d) 
	 100 CHS PV
 
	 5 i
 
	 360 n
 
		 FV 100 -
 
% ao ano
e) 
	 100 CHS PV
 
	 25 i
 
		 365 enter 360 : n
 
		 FV 100 -
 
% ao ano civil
�
14 TAXA NOMINAL
	A taxa nominal é uma taxa referencial em que os juros são capitalizados (incorporados ao principal) mais de uma vez no período a que a taxa se refere. A taxa de juros é nominal quando a sua unidade de tempo não coincide com a unidade de tempo dos períodos de capitalização.
Na prática é comum utilizar, por exemplo, juros de 48% ao ano, capitalizado semestralmente. Nestes casos onde o período de capitalização não coincide com o período a que a taxa se refere diz-se que a taxa é nominal.
Para resolver problemas que trazem em seu enunciado uma taxa nominal, devemos calcular a taxa efetiva da operação.
Se, por exemplo, a taxa de capitalização é de 10% a.m., a taxa nominal será de: 
10% x 12m= 120% a.a. capitalizada mensalmente.
Exemplo 1: Sendo 12% a.m. capitalizada diariamente a taxa nominal de juro, qual a taxa de capitalização?
Solução:
�
15 TAXA EFETIVA (i)
Taxa efetiva, como já é a taxa efetivamente paga. É a taxa de capitalização ou toda e qualquer taxa equivalente a esta.
Exemplo: Um banco oferece empréstimos a taxa de 72% a.a. em capitalização mensal (Taxa Nominal). Qual a taxa efetiva anual cobrada pelo banco?
Solução:
i = 0,72 / 12 = 0,06	ou	6% a.m. (taxa efetiva de capitalização)
	 	 100 CHS PV
	 6 i
	 12 n
		 FV 100 -
% ao ano
Exercícios propostos:
Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente às seguintes taxas:
a) 1,8% a.m.		b) 2,5% a.b.		c) 4,5%a.t.		d) 18% a.s
Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente às seguintes taxas:
a) 75% a.a.		b) 50% a.s.		c) 21% a.t.		d) 6,5% a.b.
e) 0,12% a.d.
Em juros compostos, qual a taxa semestral equivalente às seguintes taxas:
a) 0,14% a.d.	b) 1,6% a.m.		c) 2,7% a.b.		d) 4,1% a.t.
e) 96% a.a.
Sendo 5% a.m. a taxa efetiva de juro, determinar a taxa para:
a) 3 meses.	b) 3 dias.
c) 42 dias.	d) um ano.	e) 15 dias.
Um banco oferece a taxa de 54% a.a. para aplicações em CDBs. Pergunta-se, qual a taxa para:
a) 32 dias?	b) 47 dias?
c) um dia?	d) um mês?	e) 192 dias?
Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 36% a.a.:
a) capitalizada mensalmente.	b) capitalizada diariamente.
Aplicando-se R$ 50.000,00 no regime de juro composto, durante um ano a taxa de 108% a.a., em capitalização mensal, qual o valor do montante no final do ano?
Um banco oferece empréstimos a taxa de 42% a.a. capitalizada trimestralmente. Se o banco tivesse que apresentar o contrato em forma de taxa efetiva, qual deveria ser a taxa efetiva:
a) trimestral?	b) mensal?	c) anual?
Em juros compostos, qual taxa em 40 dias equivalente a 2,5% a.m.?
Em juros compostos, qual taxa em 65 dias equivalente a 2% a.m.?
Dadas as taxas a seguir encontre as respectivas taxas efetivas anuais.
24% a.a. com capitalização diária.
24% a.a. com capitalização mensal.
24% a.a. com capitalização bimestral.
24% a.a. com capitalização semestral.
�
16 TAXA DE JURO REAL (ir)
	Taxa de juro real é a taxa efetiva ganha em cima do índice inflacionário, ou seja , a apuração do ganho ou perda em relação a uma taxa de inflação. Na taxa real se leva em consideração a inflação do período. O juro real é calculado sobre o capital corrigido.
	
Sendo: 
= taxa aparente ( taxa efetiva)
= taxa da inflação
= taxa de ganho real
Na capitalização composta, para retirar uma taxa de outra, deve-se utilizar a seguinte fórmula:
	
Exemplo 1: Qual o rendimento da poupança se a TR do mês foi 0,93% e a taxa de juro real é de 0,5%a.m.?
= 1,435% a.m.
Exemplo 2: Se a taxa aparente de juro foi de 3,224% a.m. e a TR de mês foi de 1,2%, qual a taxa de ganho real?
			
a.m.
Exercícios propostos:
Um capital foi aplicado, por um ano, à taxa de juros igual a 22% a.a. No mesmo período, a taxa de inflação foi de 12%. Qual a taxa real de juros?
A taxa anual de juros cobrada por uma loja é de 40%a.a. Qual a taxa real de juros, se a taxa de inflação resultar em 15% no mesmo período?
Se a taxa de juro aparente for 7,2%a.m., qual a taxa de ganho real se:
a) A inflação mensal for de 6%?		
b) A inflação mensal for de 4,8%?
Uma pessoa adquire uma letra de câmbio em uma época A e a resgata na época B. O juro aparente recebido foi de 25%. Calcule a taxa de juro real, sabendo que a taxa de inflação, nesse período foi de 15%. 
Que taxa ao período deve ser aplicada sobre um capital depositado em caderneta de poupança por um mês, sabendo que esse produto é remunerado à taxa de 0,5% a.m. + TR? (considere TR do mês 0,45%). 
Um empréstimo foi feito a uma taxa de 32% ao ano. Sabendo que a inflação nesse ano foi de 21%, calcule a taxa real anual. 
Uma financeira cobra uma taxa aparente de 22% ao ano, com a intenção de ter um retorno real correspondente a uma taxa de 9% ao ano.Qual a taxa de inflação?
17 TAXA ACUMULADA
Taxa acumulada é aquela resultante ao final de n períodos. Se a taxa for constante em todos os períodos, então a taxa acumulada será iacumulada=(1+ido período)n. Entretanto pode-se calcular a taxa de juros acumulada quando ela não é constante.
	 iacumulada = [(1 + i1) x (1 + i2) x ... x (1 + in)- 1] x 100 
Exemplos:
1. Em dois anos consecutivos a taxa de juros anual de um banco foi 12% e 10%, respectivamente. Qual a taxa de juros acumulada no período?
		i1=0,12 e i2=0,10
		iacumulada = (1+0,12) x (1+0,10) -1= (1,12 x 1,10)-1 = 0,232 = 23,2%
2. Em três anos um produto aumentou 7%, 8% e 5%. Qual a taxa de aumento acumulada no período? 
		i1=0,07 i2=0,08 e i3=0,05
		iacumulada = (1+0,07) x (1+0,08) x (1+0,05) -1
iacumulada= (1,07 x 1,08 x 1,05)-1						iacumulada = 1,2134 - 1 
iacumulada = 0,2134 
iacumulada = 21,34%
Exercícios propostos:
A inflação nos últimos 4 meses foi de 5,4%, 6,2%, 2,8% e 3,1% ao mês, respectivamente. Determine a taxa acumulada no período. 
Em janeiro, fevereiro, março e abril de um ano, o preço de um produto teve, respectivamente os seguintes aumentos: 2%, 5%, 3,6% e 7%. Qual a taxa de aumento no quadrimestre? 
Calcule a taxa acumulada trimestral de um banco que pagou 1,2% no primeiro mês, 1,17 no segundo e 1,23% no terceiro mês do ano. 
18 CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA
Supondo uma taxa nominal de 12% a.a. vamos determinar as taxas efetivas com as seguintes hipóteses de capitalização:
	Capitalização
	Nº. períodos no ano
n
	Taxa efetiva do período
	Taxa efetiva anual
ie = (1 + i)n – 1
	semestral
	2
	
	
	trimestral
	4
	
	
	mensal
	12
	
	
	diária
	360
	
	
	horária
	8.640
	
	
Podemos observar que quanto maior o número de capitalizações dentro do tempo, maior é a taxa efetiva. Porém, pode-se observar também, que a diferença entre as taxas com capitalização diária ecapitalização horária é muito pequena.
Quando o número de capitalizações tende ao infinito o cálculo da taxa efetiva se dá através da seguinte fórmula:
onde:
i = taxa efetiva
e = 2,7182818 (base dos logaritmos naturais)
in = taxa nominal
Exemplo 1: Qual A taxa efetiva anual equivalente a 10%a.a. com capitalização contínua?
i = e0,1 – 1 
i = 2,71828180,1 – 1
i = 1,105171 – 1 = 0,105171 
r = 10,5171%a.a.
A capitalização contínua proporciona o maior montante possível no final do tempo do investimento, para uma taxa nominal anual. Seu cálculo é realizado através da seguinte fórmula:
onde:
m = número de períodos referentes a taxa nominal. (Se a taxa nominal for expressa anualmente m representa número de anos, se for expressa mensalmente, m representa número de meses e assim sucessivamente).
Exemplo2: Calcular o montante constituído com um investimento de R$ 5.000,00 por dois anos a uma taxa de 10% a.s. capitalizada continuamente.
Solução:
m = 4 (número de semestres)
FV = 5.000,00 ( e0,1( 4
FV = 5.000,00 ( 2,71828180,4
FV = 5.000,00 ( 1,491825 = R$ 7.459,12
Exemplo 3: Se um investimento de R$ 20.000,00 for realizado a uma taxa nominal de 5% a.m. capitalizada continuamente, qual o montante acumulado no final de 5 anos?
Solução: 
m = 60 (número de meses)
FV = 20.000,00 ( e0,05 ( 60
FV = 20.000,00 ( 2,71828183
FV = 20.000,00 ( 20,085536 = R$ 401.710,73
Exercícios propostos:
Calcular a taxa efetiva anual equivalente as seguintes taxas nominais capitalizadas continuamente:
a) 15% a.a.	b) 36% a.a.	c) 24% a.s.	d) 2% a.m.
Um capital de R$ 5.000,00 é aplicado durante oito meses a juros compostos à taxa de 36% a.a., capitalizados mensalmente. Qual o montante?
Qual o montante de uma aplicação de R$ 6.000,00 durante três anos, à taxa de 15% a.a., capitalizados continuamente?
Qual o montante de uma aplicação de R$ 3.000,00 durante oito meses, à taxa de 2% a.m., capitalizados continuamente?
Qual a taxa anual de juros compostos equivalente à taxa de 15% a.a, capitalizados continuamente?
O valor de R$ 15.000,00 ficou aplicado durante 4 anos. Calcular o valor acumulado no final dos 4 anos se for considerada uma taxa nominal de 28% a.a. capitalizada continuamente.
Calcular a taxa efetiva anual equivalente a taxa nominal de 48% a.a.:
a) capitalizada mensalmente.		b) capitalizada diariamente.
c) capitalizada continuamente.
19 DESCONTO COMPOSTO
O conceito de desconto é o mesmo que no regime a juros simples: abatimento ao antecipar o pagamento de um vencimento.
Emprega-se o desconto composto para operações a longo prazo, já que a utilização do desconto simples em períodos longos pode resultar em valores sem nexo.
Assim como no caso de descontos simples, em descontos compostos temos dois tipos de descontos, desconto racional e comercial. O desconto comercial praticamente não é utilizado, logo ficaremos restritos ao desconto racional.
A = N (1+i)-n ou 
A = valor atual racional ou valor descontado racional 
 valor líquido pago ou recebido antes do vencimento
N = valor nominal do título 
 valor indicado no título (importância a ser paga no dia do vencimento)
i = taxa de desconto
n = tempo 
 período compreendido entre o dia em que se negocia o título e seu vencimento (Obs: inclui um dos dias extremos, o primeiro ou o último)
Exemplo 1: Determine o valor atual de um título de R$ 80.000,00, saldado 4 meses antes de seu vencimento, à taxa de desconto composto de 2% ao mês.
N = 80.000		n = 4 meses		i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
A = N (1+i)-n 					Na HP 12C
A = 80.000 (1+0,02)-4 			80000 FV 
A= 73.907,63				 4 n 
						2 i 
PV CHS 
O valor atual do título é de R$ 73.907,63
Exemplo 2: Qual o desconto composto que um título de R$ 50.000,00 sofre ao ser descontado 3 meses antes do seu vencimento, à taxa de 2,5% ao mês?
d =?		N = 50.000		n = 3 meses	i = 2,5% a.m. = 0,025 a.m.
Como d = N – A, 	 
A = N (1+i)-n 							Na HP 12C
A = 50.000 (1+0,025)-3					50000 FV 		
A = 46.429,97						 3 n 
								2,5 i 
d = 50.000 - 46.429,97 					PV 
d = 3.570,03							50000 +
O valor do desconto é de R$ 3.570,03
Exercícios propostos:
Calcule o valor atual de um título de valor nominal de R$ 112.000,00, com vencimento para 2 anos e 6 meses, à taxa de 36% ao ano, capitalizado semestralmente. 
Qual o valor atual de um título de R$ 10.000 vencível no final de 6 meses, sendo 84% a.a. capitalizado mensalmente a taxa nominal de juro? 
Um título de valor nominal de R$ 150.000,00 foi resgatado 3 meses antes de seu vencimento, tendo sido contratado à taxa de 30% a.a., capitalizados mensalmente. Qual foi o desconto concedido? 
Em uma operação de desconto composto, o portador do título recebeu R$ 39.954 como valor de resgate. Sabendo que a antecipação foi de 4 meses e o desconto de R$ 3.046, qual foi a taxa de juro mensal adotada? 
Um título no valor nominal de R$ 75.000 com vencimento para 5 meses é trocado por outro com vencimento para 3 meses. Sabendo que a taxa de juro corrente no mercado é de 3% ao mês, qual o valor nominal do novo título? 
Um comerciante, devedor de um título de R$ 400.000,00 para 3 anos, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos anuais iguais: um no fim de um ano e outro no fim de 2 anos. Sabendo que a taxa é de 40% ao ano, calcule o valor desses pagamentos. 
Uma empresa devedora de dois títulos, um de valor R$ 30.000,00 vencível no final de 129 dias e outro de valor de R$ 42.000,00 vencível no final de 171 dias, pretende liquidá-los imediatamente. Se o credor concorda com a transação a uma taxa de 48% a.a. capitalizada mensalmente, qual o valor atual dos dois títulos?
Uma financeira oferece a um cliente dois títulos, vencendo o primeiro em 12 meses, no valor de R$ 8.000,00, e o segundo em 18 meses no valor de R$ 10.000,00. Por quanto devem ser adquiridos hoje, considerando uma taxa efetiva de juros de 2,55% a.m.?
Uma Pessoa tem uma nota promissória a receber de valor nominal R$12.000,00, que vencerá em dois anos. Além disso, possui R$ 18.000,00 hoje. Que irá aplicar à taxa de 2% a.m., durante dois anos. Considerando a taxa de juros vigente no mercado, é de 2% a.m., pergunta-se:
a) Quanto a pessoa possui em dinheiro na data de hoje?
b) Quanto possuíra daqui a um ano? 
c) Quanto possuirá daqui a dois anos? 
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20 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS
O conceito de equivalência de capitais permite transformar formas de pagamento em outras formas equivalentes, para poder compará-las e decidir sobre a melhor alternativa.
	Dois capitais são equivalentes se, em uma mesma data t, seus valores são iguais.
	Os conceitos aplicados na equivalência de capitais são os mesmos de juros simples.
Exemplo 1: A uma taxa de juros compostos de 2% a.m., R$ 1.500,00 daqui a 3 meses, equivalem a quanto, hoje?
Fv = 1.500	 C = ? n = 3 meses		i = 2% a.m. = 0,02 a.m.
Fv = C (1+i)n 
1500= C (1+0,2)3 
C= 
 C = 1.413,48.
Assim, uma dívida de R$ 1.500,00 daqui a 3 meses é o mesmo que uma dívida de R$ 1.413,00 hoje, já que, dispondo deste valor, pode-se aplicá-lo e obter, daqui a 3 meses os R$1.500,00.
Exemplo 2: Uma pessoa tem hoje R$ 700,00 e mais uma nota promissória de R$ 500,00 para receber em 5 meses. Se o dinheiro pode ser remunerado à uma taxa efetiva de 3,7% a.m, pede-se que valor essa pessoa pode contar nas datas: 
a) de hoje b) no final de 5 meses c) no final de 3 meses
 data focal: dia de hoje data focal: mês cinco data focal: mês três
FV=700 + 
 FV= 700(1 + 0,037)5 + 500 FV=700(1 + 0,037)3 +
Exercícios propostos:
Uma empresa devedora de um título de R$ 15.000,00 vencível no final de 6 meses, propõe a substituição deste título pordois novos títulos, de mesmo valor nominal, vencíveis no final de 2 e 4 meses respectivamente. Se transação é realizada a taxa de 12% a.a. em capitalização mensal, qual o valor dos novos títulos?
Uma empresa tomou emprestado um empréstimo de R$ 100.000,00 por dois anos a juro de 24% a.a. capitalizado trimestralmente. Passado 6 meses da realização do empréstimo a empresa propõe ao credor a liquidação da dívida mediante dois pagamentos iguais, sendo um no ato e outro no final de um ano a partir daquela data. Sabendo-se que o credor concorda com a transação concedendo um desconto a taxa de 20% a.a capitalizada trimestralmente, qual o valor dos pagamentos?
Uma nota promissória, cujo valor nominal é R$ 50.000 vence daqui a um mês. O devedor propõe a troca por outra nota promissória, a vencer daqui a 3 meses. Qual deve ser o valor nominal da nova nota promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% ao mês?
Uma pessoa tem uma dívida de R$ 60.000 para daqui a 2 meses e outra de R$ 80.000 para daqui a 3 meses. Quanto deverá aplicar hoje, à taxa de juros de 3% ao mês, para fazer frente a essas dívidas?
Resolva o problema anterior considerando a taxa de 1% a.m.
Uma empresa deve pagar 3 títulos. O primeiro de R$ 15.000 exigível em 1 ano; o segundo de R$ 30.000 exigível em 2 anos e o terceiro de $ 25.000 exigível em 3 anos. A empresa pretende substituir estes 3 títulos por um único título de $ 45.676,21. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 5%, o prazo do novo título é de (aproximadamente)... (Questão do concurso para Controlador da Arrecadação Federal).
a) 12 meses		b)13 meses 		c)14 meses		d)15 meses
A loja BOM SOM vende um conjunto de aparelhos de som em duas parcelas: R$ 20.000 de entrada e R$ 40.000 após 5 meses. Francisco propõe adiar a segunda parcela por mais 3 meses. Considerando que a taxa de juros mensal cobrada é de 5% e o regime é de capitalização composta, Francisco deverá pagar a mais na entrada a quantia de: (desprezar os centavos da resposta):
a) R$ 4.267,00		b) R$ 4.553,00 	c)R$ 4.674,00	 	d) R$6.305,00
Uma casa é vendida à vista por R$ 318.000 ou a prazo por R$ 90.000 de entrada, mais 3 prestações mensais e iguais de R$ 80.000 cada uma, vencendo a primeira um mês após a entrada. Qual a melhor alternativa para um comprador que pode aplicar seu dinheiro à taxa de 3% ao mês?
Ernesto emprestou determinada quantia a José Luiz, que se comprometeu a pagá-lo em dois pagamentos iguais de R$ 800,00 ao final do terceiro e sétimo meses do empréstimo. Posteriormente, o devedor propôs pagar as prestações ao final do quinto e sexto meses. Sabendo que o credor trabalha com taxas de juros compostos de 8% a.m., aceitará a proposta?
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21 RENDAS
	As operações até aqui estudadas compreenderam casos de pagamentos ou recebimentos geralmente em parcela única. Agora vamos estudar os casos de depósitos ou prestações sucessivas, destinados a pagar uma dívida ou a formar um capital.
	O processo de realização de depósitos sucessivos com o objetivo de formar um fundo, um capital ou uma poupança é chamado de capitalização. Ao processo de pagamento de uma dívida dá-se o nome de amortização.
21.1 CONCEITO
	
Renda é uma sucessão de depósitos e/ou saques ou, ainda, de recebimentos e/ou pagamentos, em épocas diferentes, destinados a formar um capital (capitalização) ou a pagar (ou receber) uma dívida (amortização).
21.2 CLASSIFICAÇÃO DAS RENDAS
	
Vamos classificar uma renda ou série uniforme de acordo com quatro parâmetros: o prazo, o valor, a forma e o período a que se refere a renda.
22.2.1 Quanto ao prazo
	
a) Temporária, quando tem um número limitado de pagamentos 
b) Infinita, quando tem um número ilimitado de pagamentos 
21.2.2 Quanto ao valor
a) Fixos, quando todos os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos têm valores iguais.
b) Variáveis, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos não têm todos os valores iguais.
21.2.3 Quanto ao vencimento do primeiro pagamento
a) Imediata: quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou saque ou depósito ocorre no primeiro período.
b) Diferida: quando o primeiro pagamento ou recebimento, ou saque ou depósito não ocorre no primeiro período, havendo, portanto um prazo de carência.
21.2.4 Quanto à periodicidade
a) Periódicas, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos ocorrem em intervalos de tempo iguais.
b) Não Periódicas, quando os pagamentos ou recebimentos, ou saques ou depósitos ocorrem em intervalos de tempo variáveis.
21.2.5 Quanto ao momento dos pagamentos
a) Postecipadas, quando a ocorrência é no final do período.
b) Antecipadas, quando o primeiro pagamento ocorre no tempo “0” da série de pagamentos.
21.3 VALOR ATUAL DE UMA RENDA
	O valor atual ou presente valor de uma renda é igual à soma dos valores atuais em termos de pagamentos.
21.4 VALOR ATUAL OU PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNITÁRIA IMEDIATA 
	
O valor atual de uma renda é a soma dos valores atuais de seus pagamentos. Na prática, no entanto, fica muito difícil, a cada operação, ter que calcular os valores atuais das parcelas individualmente. Para facilitar, podemos utilizar um fator específico. O fator é representado por 
.
Este fator é calculado através da fórmula:
	
Onde: n = número de períodos i= taxa
Exemplo: Qual o valor atual de uma renda unitária imediata, com 10 pagamentos, sendo 5% a.p. a taxa de juro?
			Na HP 12 C:
 				1 CHS PMT 
						5 i
						10 n 
						PV 
21.5 PRESENTE VALOR DE UMA RENDA UNIFORME (PV)
21.5.1 Imediata ou Postecipada
	
	
ou
	
�� EMBED Equation.3 
Exemplo 1: O preço de um carro é R$ 17.706,00. Um comprador dá 40% de entrada e o restante é financiado à taxa de 5% ao mês em 10 meses. Calcule o valor da prestação mensal. 
17706 
 100%			 Na HP 12C
 x 
 40%		 17706 enter
 x = 7.082,40		 40 % -
17.706,00 – 7.082,40			 
Valor a ser financiado R$10.623,60
10.623,60 = PMT x 7,721735	10623,60 CHS PV
PMT = 10.623,60/ 7,721735		10 n
PMT = R$ 1.375,81			5 i
					PMT
O valor da prestação é R$ 1.375,805
Exemplo 2: Qual o valor que, financiado à taxa de 2,5% ao mês, pode ser amortizado em 12 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$ 350 cada uma?
PV = 350 x 10,257765		Na HP 12C
PV = R$ 3.590,21			350 CHS PMT
						2,5 i
						12 n
						PV
Exemplo 3: Quantas prestações de mensais de R$ 80,00 cada uma são suficientes para liquidar um financiamento de R$ 361,20, à taxa de 3,5% a.m.? 
361,20 = 80 x
			Na HP 12C
= 361,20/ 80			80 CHS PMT
 = 4,515000			361,2 PV
n = 5 				3,5 i
						n
21.5.2 Antecipada
	
	
ou
	
Exemplo: Um aparelho eletrônico foi comprado em quatro prestações mensais de R$ 200,00, no início de cada mês, à taxa de 2% a.m.. Calcular o valor a vista do aparelho.
PV = 200 ( 1 + 2,883883)				Na HP 12C
PV = 200 x 3,883883				g beg
PV = 776,78						200 CHS PMT
								2 i
								4 n
								PV
21.5.3 Diferida
	
Onde m representa o número de períodos da carência.
Exemplo: Um empréstimo de R$ 50.000,00 é concedido a uma empresa em prestações mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de financiamento contratada foi de 2% ao mês e foi concedido um prazo de carência de 4 meses para o primeiro pagamento, pergunta-se: Qual o valor da prestação?
	
�� EMBED Equation.3 �� EMBED Equation.3 
 								Na HP 12C
18,913926 x 0,942322 			50000 CHS PV 
PMT = 50000/ 17,823015					3 n
PMT = R$ 2.805,36						2 i FV
								CHS PV
								0 FV
								24 n
								PMT
Exercícios propostos:
Calcular o valor de um financiamento a ser quitado através de seis pagamentos mensais de R$ 1.500,00,