Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Universidade Estadual de Feira de Santana DEXA Disciplina: Calculo Diferencial e Integral I-E Curso: Eng Computação Prof: Eduardo Sales Semestre 2014_1 Lista 03 – Aplicação de Derivadas e integral OTIMIZAÇÃO 1) Molde um fio de arame de comprimento L em forma de um retângulo cuja área seja a maior possível. 2) Faz-se girar um triângulo retângulo de hipotenusa dada H em torno de um de seus catetos, gerando um cone circular reto. Determine o cone de volume máximo. 3) Dentre os retângulos com base no eixo Ox e vértices superiores sobre a parábola 212y x ,determine o de área máxima. 4) Um caixa com fundo quadrado e sem tampa deve ser forrada com couro. Quais devem ser as dimensões da caixa que requerem a quantidade mínima de couro, sabendo que a sua capacidade é 32 litros? 5) Um cartaz deve conter 50cm 2 de matéria impressa com duas margens de 4cm em cima e embaixo e duas margens laterais de 2cm cada. Determine as dimensões externas do cartaz de modo que a sua área total seja mínima. 6) Corta-se um pedaço de arame de comprimento L em duas partes; com uma das partes faz- se uma circunferência e com a outra um quadrado. Em que ponto deve-se cortar o arame para que a soma das áreas compreendidas pelas duas figuras seja mínima ? 7) Um fazendeiro deve construir dois currais lado a lado, com uma cerca comum. Se cada curral deve possuir uma certa área A, qual o comprimento da menor cerca necessária? 8) Um tanque de base quadrada, sem tampa, deve conter 125cm3. O custo, por metro quadrado, para a base é de R$8,00 e para os lados R$4,00. Encontre as dimensões do tanque para que o custo seja mínimo. 9) Desejamos fazer uma caixa retangular aberta com um pedaço de papelão de 8cm de largura e 15cm de comprimento, cortando um pequeno quadrado em cada canto e dobrando os lados para cima. Determine as dimensões da caixa de volume máximo. 10) Nos problemas a seguir, calcule a integral indicada. Comprove as respostas obtidas, derivando-as. a) dxx5 b) dx x 1 2 c) dx5 d) dt)2t5t3( 2 e) dy y 1 y 2 y3 3 f) dxxx 2 ex g) du 2 u e u2 3 u3 1 2 2 h) dx x 1x2x 2 2 i) dx x xx 5 1 )2( 23 j) dttt )1( 2 11) Calcule as integrais abaixo aplicando o Método de substituição como no exemplo abaixo: Exemplo: Calcule: dxx 5)1( Solução: Fazendo: u = x +1, temos: dxdu dx du 1 Logo, k u k u duudxx 66 )1( 66 55 = k x 6 )1( 6 a) 3(2 1) x dx b) 5 7x dx c) 3 7 2(2 1) . x x dx d) 23 . (7-6x )x dx e) 2 3 6 ( 1) (x 3 1) x dx x f) 21 x x dx g) 3 21 x x dx(dica: u = 1 + x² du = 2x dx) h) 2 89( 3 5) (2 3) x x x dx i) 2 1 x dx x j) 2 3 1 x dx x k) 1 x dx x (dica: u = 1 + x u – 1 = x e du = dx) l) k e dxe x x 7 ... 7 7 m) cos (4x) dx n) 2.cos (x ) x dx o) 19) cos x dx x (dica: xdx du xu 2 1 ) p) 3(cos 5x sen 5x) dx (dica: xdx du xu 5sen55cos ) q) 2(ln x) dx x r) kdx x 2 x)(ln ... ln x 2 s) kxdxx |ln| ln... ln x . 1 12) Calcule as integrais indefinidas abaixo aplicando o Método de Integral por partes : a) dx e xx b) dx e x2x c) dxln x x d) dxln x 2x e) dx (ln x) 2x f) dx .e 2xx g) dx x cosx h) dx x senx i) dx x cos2x j) dx x senx2 k) dx x cosxe l) dx x senxe Integral definida Exemplos: Calcule dx 2 1 2x = ... = 3 7 Solução: 3 )( 3x xF é uma primitiva de f(x) = x 2 e f é contínua em [1 , 2] Assim, dx 2 1 2x = 3 1 - 3 8 3 2 1 3x = 3 7 13) Calcule as integrais definidas abaixo: a) 3 1 2 3 dxx = ... = 28 b) dx 4 3 1 = ... = 16 c) dx )13( 2 0 3 xx = ... = 8 d) dx 12 1 2x = ... = 2 1 e) 4 1 2 dx x = ... = ln 16 2,77 f) dx 112 1 3xx = ... = 8 32ln8 g) dx 1 0 xe = ... = e 1 1 h) 2 2 x os dxc = ... = 2 14) Cálculo de área a) Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x = 1 , y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x b) Represente graficamente e calcule a área do conjunto limitado pelas retas x = 0 , x = 1 , y = 0 e pelo gráfico de f(x) = x2. c) Represente geometricamente e calcule a área da região limitada pelo gráfico de f(x) = x3, pelo eixo x e pelas retas x = -1 e x = 1. d) Represente geometricamente e calcule a integral definida . 11 5 dx x e) Represente geometricamente e determine a área limitada pela curvas y = x2 + x, y = x + 1 e pelas retas x = 2 e x = 4. f) Represente geometricamente e determine a área limitada pela parábola y = x2 – 4 e pela reta y = 2–x. GABARITO 1. 2. e Altura= 3. base = 4, altura = 8 4. 4 × 4 × 2 dm3 5. 9 × 18 6. Área mínima se 7. A 8. base: 5x5cm2 e altura: 5cm 9. 5/3cm, 14/3cm, 35/3cm Questão 10 k) k 6 x6 l) k x 1 m) kx5 n) 3 3 2 5 2 3 t t t k o) 3 2 1 2 1y n y k y p) 52 2 5 xe x k q) 3 21 31 3 2 3 u n u e u k u r) k x xnx 1 1 2 s) kxx 3 11 x 4 5 234 t) 7 32 2 7 3 t t k Questão 11 a) 4(2 1) 8 x k b) 32 (5 7) 15 x k c) 3 8(2 1) 48 x k d) 2 43 (7-6x ) 16 k e) 3 5 1 15( 3 1) k x x f) 2 3(1 ) 3 x k g) 2 5 2 3(1 ) (1 ) 5 3 x x k (dica: u = 1 + x2 du = 2x dx) h) 2 9( 3 5)x x k i) 2ln 1 x k j) 23 ln |x 1| 2 k k) 1 ln |1 x |x k (dica: u = 1 + x u – 1 = x e du = dx) l) 7 7 xe k m) en (4 ) 4 s x k n) 2en ( ) 2 s x k o) 2sen x k (dica: xdx du xu 2 1 ) p) 4cos 5 20 x k (dica: xdx du xu 5sen55cos ) q) 3(ln x) 3 k r) 2(ln x) 2 k s) ln | ln |x k Questão 12 a) (x – 1) ex + k b) ex (x2 – 2x + 2) + k c) fazendo u = ln x e dv = xdx => k 2 1 xln 2 x2 d) fazendo: u = ln x e dv = x2dx k 3 1 xlnx 3 1 3 e) k 2 1 xln)x(ln 2 x 2 2 f) k 2 1 xe 2 1 2x g) kxxx cossen. h) kxxx sencos. i) kxxxxx sen2cos.2sen.2 j) kxxxxx cos2sen.2cos.2 k) kxx e x )cos(sen 2 l) kxx e x )cos(sen 2 Questão 13 já existe Questão 14 a) 2 1 2 x dx 1 0 2 1 0 xA b) 3 1 3 x dx 1 0 3 1 0 2xA c) Área = 2 1 4 1 4 1 xdx 0 1 1 0 33 dxx d) 1 1 55 1 ln | | ln 5 1,61dx x x e) 50/3 u.a. f) 125/6 u.a.
Compartilhar