Unidade 1 - Matemática Financeira

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Capitalização e Taxas
Unidade 1
Matemática
Financeira
Diretor Executivo 
DAVID LIRA STEPHEN BARROS
Gerente Editorial 
ALESSANDRAVANESSA FERREIRA DOS SANTOS
Projeto Gráco 
TIAGO DA ROCHA
Autoria 
RAFAELA RODRIGUES OLIVEIRA AMARO
KÁTIA GISELLE ALBERTO BASTOS
AUTORIA
Rafaela Rodrigues Oliveira Amaro
Olá! Sou licenciada em Matemática e Especialista em Metodologia
do Ensino de Matemática com ampla experiência docente nas esferas
do ensino fundamental, médio e superior. Sou apaixonada pelo que
faço, pela matemática e adoro lecionar e transmitir sobre essa disciplina
fascinante. Por isso fui convidada pela Editora Telesapiens a integrar seu
elenco de autores independentes. Estou muito feliz em poder ajudar você
nesta fase de muito estudo e trabalho. Conte comigo!
Kátia Giselle Alberto Bastos 
Olá! Sou licenciada em Matemática e Especialista em Metodologia
do Ensino de Matemática com ampla experiência docente nas esferas
do ensino fundamental e médio. Além deste trabalho, tenho experiência
como docente de cursos de formação de professores em Educação
Matemática.
ICONOGRÁFICOS
Olá. Esses ícones irão aparecer em sua trilha de aprendizagem toda vez
que:
OBJETIVO:
para o início do
desenvolvimento
de uma nova
competência;
DEFINIÇÃO:
houver necessidade
de apresentar um
novo conceito;
NOTA:
quando necessárias
observações ou
complementações
para o seu
conhecimento;
IMPORTANTE:
as observações
escritas tiveram que
ser priorizadas para
você;
EXPLICANDO 
MELHOR:
algo precisa ser
melhor explicado ou
detalhado;
VOCÊ SABIA?
curiosidades e
indagações lúdicas
sobre o tema em
estudo, se forem
necessárias;
SAIBAMAIS:
textos, referências
bibliográcas
e links para
aprofundamento do
seu conhecimento;
REFLITA:
se houver a
necessidade de
chamar a atenção
sobre algo a ser
refetido ou discutido;
ACESSE:
se for preciso acessar
um ou mais sites
para fazer download,
assistir vídeos, ler
textos, ouvir podcast;
RESUMINDO:
quando for preciso
fazer um resumo
acumulativo das
últimas abordagens;
ATIVIDADES:
quando alguma
atividade de
autoaprendizagem
for aplicada;
TESTANDO:
quando uma
competência for
concluída e questões
forem explicadas;
SUMÁRIO
Capitalização Simples ...............................................................................12
Juros e Montante Simples ........................................................................................................ 12
Juros Exatos, Ordinários e Bancários................................................................................23
Capitalização Composta .......................................................................... 26
Juros e Montante Composto ..................................................................................................26
Diferença Entre os Regimes de Capitalização...........................................................32
Homogeneidade Entre Taxa e Tempo .............................................................................35
Taxas ..................................................................................................................37
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente..............................................................................37
Taxa Nominal e Taxa Efetiva ....................................................................................................44
Fluxo de Caixa e Equivalência Financeira .........................................53
Fluxo de Caixa ...................................................................................................................................53
Equivalência Financeira..............................................................................................................54
7
UNIDADE
01
Matemática Financeira
8
INTRODUÇÃO
Caro aluno, imagine-se em uma reunião empresarial, em que serão
discutidos diversos assuntos pertinentes a realidade empresarial. Por isso,
deve-se adotar uma linguagem nanceira especíca para tal situação.
Bem, neste cenário, torna-se necessário a sua efetiva compreensão
acerca dos diversos termos e conceitos que são triviais no universo
empresarial, como juros, taxa de juros, capitalização simples e composta,
fuxo de caixa, que necessitam de um claro entendimento e interpretação
no contexto empresarial.
E a partir desta necessidade, essa primeira unidade se apresenta
como uma base sólida para compreender o mundo em que se situa a
Matemática Financeira.
Os principais fundamentos da Matemática Financeira, que
subsidiarão o desenvolvimento de conceitos mais complexos serão
abordados nessa unidade inicial, de modo a facilitar e viabilizar o
desenvolvimento deste curso.
Bons estudos!
Matemática Financeira
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OBJETIVOS
Olá! Seja muito bem-vindo à Unidade 1 – Capitalização e Taxas.
Nosso objetivo é auxiliar você no atingimento dos seguintes objetivos de
aprendizagem até o término desta etapa de estudos:
1. Compreender o regime de capitalização simples e os elementos
que o constitui.
2. Denir o regime de capitalização composto e os itens que o
elabora, diferenciando-o da capitalização simples.
3. Dierenciar os tipos de taxas mais utilizadas no mercado nanceiro.
4. Denir equivalência nanceira e fuxo de caixa apresentando suas
aplicações.
Preparado para uma viagem sem volta rumo ao conhecimento?
Vamos juntos adentrar em um mundo interessante e muito útil para nossa
vida nanceira! Ao trabalho! Avante, caro(a) aluno(a)!
Matemática Financeira
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Capitalização Simples
OBJETIVO:
Ao nal deste capítulo você será capaz de compreender os
conceitos relacionados a capitalização simples e aos seus
componentes: capital, montante, taxa de juros e período.
Além disso, seremos apresentados às denições de juros
exatos, ordinários e bancários.
Então vamos lá. Avante!.
Juros e Montante Simples
Com certeza, em algum momento da vida acadêmica ou social,
você já se deparou com notícias como estas:
“Adquira seu carro com uma pequena entrada e parcele o restante
sem juros”.
“Juros menores possibilitam aumento na compra de imóveis”.
“Juros fecham em queda, com alívio do câmbio e melhora na
percepção geopolítica”.
“Juros do cartão de crédito e cheque especial sobem no mês de
novembro”.
“Cheque especial agora com juros limitados”.
Provavelmente, sua resposta será sim! Mais comum do que
imaginamos, reconhecemos que as situações relacionadas a juros estão
intimamente conectadas às diversas situações que permeiam a dinâmica
de nosso cotidiano, uma vez que essa representação matemática é muito
recorrente para indicar dierentes operações nanceiras.
Para iniciarmos nossa jornada deniremos juro.
Matemática Financeira
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DEFINIÇÃO:
O juro é a remuneração do capital (CASTANHEIRA E
MACEDO, 2013).
O conceito de juro mais trivial é o descrito anteriormente, mas,
ainda conforme os mesmos autores, outras proposições mais populares
também caracterizam juros:
• Quantia paga pelo uso do dinheiro emprestado, isto é, custo do
capital de terceiros colocados à nossa disposição.
• Recompensa do capital agregado em atividades produtivas.
• Remuneração paga pelas instituições nanceiras a partir do capital
nelas aplicado.
• Remuneração do capital emprestado, ou seja, aluguel pago pela
utilização do dinheiro.
VOCÊ SABIA?
A ideia de juros é antiga em nossa sociedade, os
primeiros registros são identicados quando os juros eram
remunerados por sementes entre os agricultores e pagos
após a colheita; era comum essa prática de remunerar por
emprestar determinados produtos e/ou serviços entre
suas transações comerciais.
A maneira na qual os juros são incorporados permitem sua
categorização, desta maneira, ele pode ser classicado como simples ou
composto. O juro simples caracteriza-se como uma modalidade na qual
os juros incidem sobre o capital inicial.
Mas e a capitalização simples? O que é? Onde este conceito se
atrela ao de juros?
Essencialmente, capitalizar associa-se à ideia de juntar, agregar,
acumular e, na Matemática Financeira, essa concepçãose mantém
Matemática Financeira
12
agregada a outros conceitos. Assim, a capitalização simples é denida
como:
DEFINIÇÃO:
Regime de capitalização em que se utilizam os juros
simples (CASTANHEIRA E MACEDO, 2013).
Logo, na capitalização simples, para cada período temos a mesma
taxa de juros calculada sob o mesmo capital, desta maneira é possível ter
uma previsão de seu total multiplicando o total de juros por intervalo pelo
total de intervalos.
Destaca-se que na determinação dos juros simples, a curva do
capital é linear, ou seja, é gerado uma função linear na qual cada adicional
de juros é associada diretamente ao valor que inicialmente é investido.
Ainda Castanheira e Macedo (2013) enatizam que o juro é sempre
obtido intermediado por uma taxa de juros que é incidida sobre o capital.
Essa medida se relaciona a uma unidade de tempo, que pode ser diária,
mensal, semestral ou anual. As taxas mais comuns no universo nanceiro
são:
• a.d. - ao dia.
• a.m. - ao mês.
• a.b. - ao bimestre.
• a.t. - ao trimestre.
• a.q. - ao quadrimestre.
• a.s. - ao semestre.
• a.n. - ao ano.
Matemática Financeira
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Como exemplo de utilização dessas taxas, admita uma taxa de 134%
a.s., na prática qual seu signicado. Ora, basicamente essa taxa produzirá
juros de 134% a cada semestre, isto é, seis meses. E uma taxa de 0,14%
a.d.? Essa indica que a remuneração do capital emprestado é diária, por
isso os juros são obtidos diariamente gerenciados por uma taxa de 0,14%.
Os juros são regidos por taxas em porcentagem, que geralmente
são prexados por índices determinados pelo governo ou interligados
a políticas nanceiras; tais operações permitem o reajuste de preços de
diversos produtos de maneira geral e/ou aplicações nanceiras (ASSAF
NETO, 2012). Daí a tamanha importância destes índices.
REFLITA:
Constantemente associamos juros a uma ideia pejorativa,
mas por quê? Existem duas acetas deste conceito, anal,
os juros podem agregar ou depreciar nossa vida nanceira,
uma vez que essa operação pode acelerar o crescimento
de uma renda ou bem, assim como atrapalhar, a partir do
momento em que se adquire.
Mas por que a prática de juros? Qual a necessidade da admissão
deste quantitativo nas operações nanceiras?
Basicamente, de acordo com Assa Neto (2012), as taxas de juros
são ecientes de maneira a remunerar:
• O risco inerente a operação (empréstimo ou aplicação), indicado
pela incerteza em relação ao futuro.
• A diminuição de compra do capital impulsionada pela infação,
uma vez que este fator corrói o capital, diminuindo a capacidade
de compra de posse do mesmo montante.
• O capital aplicado e/ou emprestado, os juros devem agregar lucro
ao proprietário do capital de maneira a compensar a privação do
uso capital emprestado durante certo período de tempo.
Matemática Financeira
14
SAIBAMAIS:
Existe uma legislação que orienta a utilização dos juros em
operações nanceiras, a Lei n.º 8.078 de 1990 do Código de
Defesa do Consumidor. Esta Lei institui a maneira na qual a
aplicação dos juros deve ser denida em um contrato entre
as partes envolvidas.
Para aprofundarmos nos cálculos e relações neste contexto de
Matemática Financeira deniremos alguns termos comumente utilizados.
Vamos lá?
O capital é indicado por C e possui outros signicados, como valor
presente ou valor atual e pode ser descrito como:
DEFINIÇÃO:
O capital refere-se a qualquer valor expresso na moeda
corrente de uma nação e disponível para operações
nanceiras (CASTANHEIRA E MACEDO, 2013).
Este quantitativo émuito importante no contexto nanceiro, uma vez
que, fundamentado nele, a proporção de lucro ou prejuízo será calculada.
Outro componente importante nos cálculos nanceiros é o
montante que é caracterizado por:
DEFINIÇÃO:
Montante é o resultado entre o somatório entre o capital
e os juros, correspondendo a um quantitativo capitalizado
após determinado período.
Taxa de juros é um percentual que se aplica sobre o capital
durante certo período.
Matemática Financeira
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Outro fator importante na relação com o dinheiro é o tempo,
pois é baseado nele que é possível estabelecer relações nanceiras,
basicamente ele é denido como:
DEFINIÇÃO:
Período é o tempo que o quantitativo nanceiro estará
submetido a determinada taxa de juros.
A partir de agora, embasados em todos esses conceitos, será
possível determinar uma relação que permite o cálculo dos juros simples;
que basicamente depende de três fatores, como apresentado na Figura 1:
Figura 1 – Composição dos juros
Capital JurosTaxa de 
juros
Período
Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
Assim, a fórmula que possibilita o cálculo dos juros simples é dada
por:
FÓRMULA:
J=C .i. (1)
Ainda neste contexto de juros simples, existem relações especícas
para a determinação do montante e do capital envolvido em diversas
operações nanceiras.
FÓRMULA:
M=C ( 1+i.n) (2)
FÓRMULA:
M=C+J (3)
Matemática Financeira
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Perceba que as órmulas são equações polinomiais de 1.º grau,
que gracamente, são representadas por retas que possuem como
característica a permanência do mesmo coeciente angular ou a
inclinação da reta tangente. Este fato demonstra que, a cada período, os
juros são os mesmos e sempre acrescentados ao capital inicial aplicado
a certo investimento.
É de suma importância enfatizar que todas as fórmulas apresentadas
anteriormente podem ser reescritas substituindo o capital pelo termo
Valor presente (PV = present value) e o montante por Valor Futuro (FV =
future value), estes termos são muito utilizados na linguagem nanceira
e suas abreviações PV e FV representam teclas contidas na calculadora
nanceira HP–12C.
Então as fórmulas serão reescritas da seguinte forma:
FÓRMULA:
FV=PV(1+i.n) (4)
FÓRMULA:
FV=PV+J (5)
Grande parte dos cálculos inerentes ao mercado nanceiro podem
ser eitos auxiliados por uma calculadora nanceira; a mais utilizada é a
HP – 12C, na qual o valor uturo é representado pela tecla FV (future value),
pois representam as iniciais das expressões em inglês. É necessário
enfatizar que a dinâmica de entrada de valores na calculadora HP -12C é
dierente das calculadoras tradicionais, por isso, sugiro a você, aluno(a), a
leitura de alguns manuais para facilitar seu uso.
ACESSE:
No site da fabricante HP há disponível um manual de
utilização da calculadora HP-12C, que pode ser acessado
aqui.
Matemática Financeira
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Vamos, agora, exercitar estas relações que embasam os cálculos
dos juros simples? Lembrando que as fórmulas se diferenciam devido
aos elementos que as compõem, logo, a escolha de utilização dependerá
do contexto do problema a ser solucionado. Em toda resolução será
apresentado aversão algébrica e outra com base na calculadora HP-12C.
Vamos lá!
EXEMPLO:
Patrícia emprestou, durante um semestre, a quantia de R$10.000,00
a uma taxa de 2,5% a.m. (ao mês). De quanto serão os juros obtidos neste
período?
Sempre iniciaremos a resolução de um exercício destacando as
informações contidas no enunciado, logo:
n=6
i=2,5%= 2,5/100=0,025
C=10 000
J=?
Observe que o período oi denido como seis em reerência a
um semestre, porque a taxa de juros é mensal. A taxa de juros sempre
deve ser transformada para sua forma decimal, isto é, deve-se encontrar
seu número decimal correspondente e para isso, basta dividir o valor
informado por 100.
Como foi solicitado o cálculo dos juros neste período, basta
substituirmos as informações recolhidas anteriormente e aplicá-las na
relação:
J=C.i.n
J=10.000 .0,025 .6
J=1.500,00
Matemática Financeira
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Solução na Calculadora HP-12C
10000 CHS PV
2,5 i
6 n
FV
Assim, o valor acumulado após seis meses equivale a R$11.500,00;
agora, deste basta retirar o capital inicial, ou seja, o PV, logo, será
R$11.500,00 menos R$10.000,00 = R$1.500,00.
Para elucidar com mais propriedade a resolução deste exercício, é
possível elaborar uma planilha eletrônica ou quadro para a determinação
deste juro mensal até a conclusão de seutotal semestral. Observe o
Quadro 1 com os valores respectivos a este exercício.
Quadro 1 - Capitalização simples
Período Capital Juros Total Parcial Montante
1 10.000 10.000 . 0,025 . 1 = 250 10.000 10.250
2 10.000 10.000 . 0,025 . 1 = 250 10.250 10.500
3 10.000 10.000 . 0,025 . 1 = 250 10.500 10.750
4 10.000 10.000 . 0,025 . 1 = 250 10.750 11.000
5 10.000 10.000 . 0,025 . 1 = 250 11.000 11.250
6 10.000 10.000 . 0,025 . 1 = 250 11.250 11.500
Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
Observe que o total parcial se refere ao início do período, enquanto
o total é obtido ao nal do período e atente-se ao ato de que o valor
encontrado de juros nessa modalidade, é sempre o mesmo, pois, a
base de reerência para o cálculo não se modica no decorrer do tempo.
Observe essa característica na representação gráca da Figura 2.
Matemática Financeira
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Figura 2 - Capitalização simples
Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
VOCÊ SABIA?
Na Matemática Financeira existe o ano civil e o ano
comercial, que se diferenciam quanto à quantidade de dias
contabilizados; o ano civil é constituído por 365 dias ou 366
dias e o ano comercial é formado por 360 dias.
EXEMPLO:
A quantia de R$12.000,00 foi gerada a partir de um capital de R$
3.000,00 aplicado a juros simples de 5% ao mês. Qual foi o período desta
operação nanceira?
Informações do problema:
M ou FV=12 000
C ou PV=3 000
i=5%= 5/100=0,05
n=?
Matemática Financeira
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Logo: M=C (1+i.n) → FV=PV (1+i.n)
12 000 = 3 000(1+0,05n)
12 000 = 1+0,05n
3 000
4-1 = 0,05n
n = 3 = 60
0,05
Assim, o período necessário para se obter tal montante foi de 60
meses.
Solução na calculadora HP-12C
3000 CHS PV
12000 FV
5 i
n
EXEMPLO:
Uma empresa aplicou R$10.000,00 e recebeu, após 7 anos, um
montante de R$28.500,00. Qual oi a taxa de juros simples incidida nessa
transação?
Informações do problema:
• M ou FV = 28.500
• C ou PV = 10.000
• n = 7 anos
• i =?
Logo: M = C (1+i.n)→ FV = PV (1+i.n)
28 500 = 10 000 (1+i.7)
28 500
= (1+7i)
10 000)
2,85 = 1+7i
2,85-1 = 7i
i=1,85 ≅ 0,2643 ≅ 26,43 a.a.
7
Matemática Financeira
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Solução na calculadora HP-12C
10000 PV Enter
28500 FV ∆%
7 ÷
Juros Exatos, Ordinários e Bancários
Os Juros, como já aprendemos, correspondem, resumidamente,
a um “aluguel” pago pela utilização de certa quantia. Esse valor pode
ser adicionado ou retirado da quantidade inicial, variando conforme a
modalidade adotada. No entanto, a base de cálculo referente ao período
estabelecido o diferencia, pois, se calculado em 40 dias será obtido
um valor, já alterado para 41 dias será outro. Em decorrência dessa
diferenciação, assim conheceremos com mais detalhes sobre os juros
exatos, ordinários e bancários.
Os juros exatos são descritos por:
DEFINIÇÃO:
Modalidade de juros em que se adota a quantidade exata
de dias que compõem um ano civil. Pode variar entre 365
dias e 366 dias, caso o ano seja bissexto (ASSAF NETO,
2012).
Matemática Financeira
22
Os juros ordinários são:
DEFINIÇÃO:
Os juros que utilizam como referência o ano comercial, isto
é, consideram que todos os meses são compostos por 30
dias e, por consequência, o ano que é constituído por doze
destes, possui 360 dias (CASTANHEIRA E MACEDO, 2013).
Já em relação aos juros bancários, a denição é:
DEFINIÇÃO:
Juros que utilizam como referência a quantidade exata que
compõe cada mês, ou seja, 28,29, 30 ou 31 dias; assim,
o ano possui 360 dias, assim como o comercial (ASSAF
NETO, 2012).
VOCÊ SABIA?
Que o comitê de Política Monetária (COPOM) órgão
coordenado por diretores e presidente do Banco Central
determina o valor da taxa Selic (Sistema Especial de
Liquidação e Custodia). Este indicativo é que possibilita
analisar a infação, uma vez que, quanto maior or a taxa
Selic, menor é a infação, em contrapartida se ela diminuir,
a infação sobe.
Matemática Financeira
23
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo,
vamos resumir tudo o que vimos.
Você deve ter aprendido sobre o regime de capitalização
simples, que utiliza os juros simples e recebe o nome
de capitalização simples. Nesta dinâmica, é necessário
estabelecer uma taxa de juros, um período, assim como o
capital e o montante que também podem ser chamados
de valor presente e valor futuro, respectivamente. É
necessário destacar que o cálculo da taxa, na modalidade
simples, é um valor constante, por isso, não se altera no
período estabelecido. Também aprendemos sobre juros
que podem ser exatos, ordinários, ou bancários, sendo o
período que compõe um ano, 360 ou 365 dias, a diferença
básica entre cada categoria.
Matemática Financeira
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Capitalização Composta
OBJETIVO:
Ao nal deste capítulo, espera-se que você seja capaz de
conhecer sobre a capitalização composta, identicando a
maneira na qual os juros são capitalizados e, por m, será
possível diferenciar o regime de capitalização composta do
regime de capitalização simples. .
Juros e Montante Composto
Uma vez que o regime de capitalização não é simples, ele se torna
composto e sua característica mais marcante está no fato da reincidência
de juros sob o capital, assim, quando determinado valor já está interligado
a uma parcela de juros é incidindomais uma vez essa taxa de juros, porém,
sobre o total acumulado.
DEFINIÇÃO:
Capitalização composta é um regime que adota a taxa de
juros composta, isto é, o juro produzido em determinado
tempo será acrescido ao valor produzido pelo capital,
passando ambos, juro e capital a render juro no próximo
período. Nesta dinâmica nanceira, a cada intervalo em
que o juro é agregado ao valor que o gerou é chamado de
período de capitalização (ASSAF NETO, 2012).
Ao realizar um empréstimo, uma compra a prazo, nanciamento
de imóvel ou automóvel em certa instituição nanceira, sempre estamos
pagando por juros, e na grande maioria das vezes, esse juro é composto.
Na capitalização composta, os juros detêm da mesma concepção
que na capitalização simples, o que basicamente diferencia os juros
simples é o capital, que a cada período é alterado, pois a cada término de
um período de capitalização é obtido um montante ou valor uturo (FV)
Matemática Financeira
25
parcial, assim, as relações que permitem a utilização dos juros compostos
são dadas por:
FÓRMULA:
M=C+J ou FV=PV+J (6)
FÓRMULA:
M=C(1+i)n ou FV=PV(1+i)n (7)
FÓRMULA:
J=C[(1+i)n-1] ou J=PV[(1+i)n-1] (8)
Vale lembrar que, como destacado na Figura 2, na linguagem
nanceira utilizamos as seguintes denominações:
Figura 3 -Termos utilizados na Matemática Financeira
PV
FV
• Valor presente
• Capital
• Valor futuro
• Montante
Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
Ter conhecimento desta linguagem facilita manipular calculadoras
nanceiras, assim como interpretar os resultados obtidos.
Vamos praticar? Resolveremos juntos alguns exercícios e será
apresentada a resolução algebricamente intermediada por cálculos
matemáticos e na linguagem para utilizar a calculadora HP-12C.
Exemplo: Qualomontante produzido porumcapital de R$10.000,00,
a uma taxa de 2,5% a.m. durante seis meses?
Retirando as informações do enunciado:
n=6
i=2,5%=2,5=0,025
100
C=10 000
M=?
Matemática Financeira
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Assim, substituindo as informações nas relações apresentadas,
encontramos:
M=C(1+i)n ou FV=PV(1+i)n
M=10 000(1+0,025)6
M=11.596,93
Solução na calculadora HP-12C
10000 CHS PV
2,5 i
6 n
FV = 11.596,93
Para você, caro(a) aluno(a), compreender melhor a dinâmica
da capitalização composta foi elaborado o Quadro 2, de maneira a
acompanhar como os juros compostos funcionam.
Quadro 2 - Capitalização composta
Período Capital Juros Montante
1 10.000 10.000(1+0,025)1=250 10.250
2 10.250 10.250(1+0,025)1=256,25 10.506,25
3 10.506,25 10.506,25(1+0,025)1=262,66 10.768,91
4 10.768,91 10.768,91(1+0,025)1=269,22 11.038,13
5 11.038,13 11.038,13(1+0,025)1=275,95 11.314,08
6 11.314,08 11.314,08(1+0,025)1=282,85 11.596,93Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
Observe que o capital no qual incide a taxa de juros a cada período
é sempre alterado, por isso essa modalidade é reconhecida como juros
sob juros.
Matemática Financeira
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EXPLICANDO MELHOR:
Utilizaremos em nossos cálculos sempre duas casas
decimais nos cálculos necessários em virtude do Sistema
Monetário Brasileiro, é necessário relembrar as regras
de arredondamento que instituem que para arredondar
a segunda casa após a virgula, é necessário observar o
número que ocupa a terceira casa decimal. Se este valor
for igual ou menor que cinco, este último algarismo será
mantido, caso contrário, acrescenta-se uma unidade ao
algarismo que ocupa a segunda casa após a virgula.
Figura 4 - Capitalização composta
Fonte Elaborado pelas autoras (2022).
EXEMPLO:
Uma poupança oi criada com a entrada de R$20.000,00 e cou
capitalizando emumperíodo de 12 anos.Após esse tempo, foi comunicado
ao cliente detentor dessa conta que o valor presente era de R$32.000,00.
Logo, qual a taxa de juros compostos aplicado a esse capital?
Matemática Financeira
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As informações do enunciado são:
n=12
i=?
C=PV=20 000
M=FV=32 000
Assim, substituindo as informações nas relações apresentadas,
encontramos:
M=C(1+i)n ou FV=PV(1+i)n
32 000=20 000(1+i)12
32 000 = (1+i)12
20 000
1,6=(1+i)12
√1,6)= √(1+i)1212 12
1,04=1+i
1,04-1=i→i=0,04=4%
Solução na calculadora HP-12C
20000 CHS PV
32000 FV
12 n
i
EXEMPLO:
Uma poupança foi aberta com um saldo de R$23.400,00 e após
determinado período sob uma taxa de juros composto de 1,2% ao mês foi
obtido um montante de R$29.150,00. Determine o período:
Matemática Financeira
29
As informações do enunciado são:
C=PV=23 400
M=FV=29 150
i=1,2%=0,012
n=?
Assim, alterando as informações nas fórmulas apresentadas,
encontramos:
M=C(1+i)n ou FV=PV(1+i)n
29 150=23 400(1+0,012)n
29 150 = (1,012)n
23 400
1,2457=(1,012)n
log1,2457=log(1,012)n
log1,2457=n.log1,012
n=log1,245 ≅ 19 meses
log1,012
Solução na calculadora HP-12C
23400 CHS PV
29150 FV
1,2 i
n
Compare que o cálculo realizado na calculadora nanceira HP – 12C
é bem mais rápido e não demanda de manipulações algébricas como no
cálculo tradicional, no entanto, é necessário conhecimento prévio de sua
dinâmica de funcionamento.
Matemática Financeira
30
Diferença Entre os Regimes de
Capitalização
A capitalização é o espaço de tempo em que a aplicação gera os
juros contratados. Desta maneira, um período de três anos e os juros
capitalizados semestralmente produz seis períodos de capitalização, no
entanto, a maneira na qual o valor presente é determinado, adicionado
aos juros obtidos ou não, é que permite categorizá-lo em simples ou
compostos (ASSAF NETO, 2012).
O regime de capitalização simples e o composto se diferenciam
quanto a modalidade que cada um adota ao capitalizar os juros, assim,
a capitalização simples se enquadra em um modelo linear, pois, a cada
período acrescenta a mesma parcela de juros, enquanto a capitalização
composta obedece a um estereótipo exponencial, caracterizado por
acrescentar sempre ao valor presente uma parcela corrigida a partir do
montante anterior.
Gracamente, a distinção entre essas duas modalidades de
capitalização pode ser observada por meio do Gráco 3, que apresenta
ambos em um mesmo plano cartesiano.
Figura 5 – Comportamento da capitalização simples e composta
Capitalização composta
(exponencial)
$
150.000
140.000
130.000
120.000
110.000
100.000
Tempo (ano)
Capitalização
simples (linear)
Fonte: Assa Neto (2012).
Matemática Financeira
31
Observe no gráco que a inclinação da curva da capitalização
composta é bem mais inclinada em relação à capitalização simples; essa
dierença refete diretamente no juro obtido nas relações nanceiras.
EXEMPLO:
Suponha que você tenha R$100.000,00 e o aplique em determinado
investimento regido por uma taxa de juros de 0,75% a.m., durante um ano.
Qual o montante gerado?
Informações do problema:
n=12
i=0,75%=0,75= 0,0075
100
C=PV=100 000
M=FV= ?
a. Capitalização simples:
M=C(1+i.n) ou FV=PV(1+i.n)
M=100 000(1+0,0075.12)
M=109.000,00
Solução na calculadora HP-12C
100000 CHS PV
12 n
0,75 i
FV = 109.000,00
A calculadora HP-12C calcula juros simples com base em um
período que pode ser de 360 ou 365 dias. Além disso, com o juro
acumulado no visor, a quantia total pode ser calculada (principal somado
ao juro acumulado) pressionando +. Assim, para calcular os juros em um
período de 360 ou 365 dias é necessário:
• Digitar ou calcular o número de dias e pressionar n.
Matemática Financeira
32
• Digitara taxa de juros anual e pressionar i.
• Digitar a quantia do principal e pressionar CHS PV.
• Pressione:
• f INT para calcular e exibir o juro acumulado em 360 dias.
• f INT para calcular e exibir o juro acumulado em 365
dias.
Pressione + para calcular o total do principal e o juro acumulado
agora no visor.
Lembrando que os valores de n, i e PV podem ser inseridos em
qualquer ordem.
b. Capitalização composta:
M=C(1+i)n ou FV=PV(1+i)n
M=100 000(1+0,0075)12
M=109.380,69
Solução na calculadora HP-12C
100000 CHS PV
12 n
0,75 i
FV = 109.938,69
Se atente ao fato de que no período de um ano houve uma diferença
de= R$938,69 e R$ 109.380,69 menos R$109.000,00 = R$380,69). Muita,
não é mesmo?!
Agora imagine esse incremento em transações realizadas em 10, 20,
30 anos? Aumenta ainda mais, não é mesmo? Por isso, o juro composto é
muito utilizado nas transações mais comuns no mercado nanceiro.
Matemática Financeira
33
Homogeneidade entre Taxa e Tempo
Em transações nanceiras, sempre o período (n) deve estar
condizente com a unidade de tempo (dias, meses e anos) em que oi
estabelecida a taxa de juros. Lembrando que:
• O ano civil equivale a 365 dias.
• O ano comercial é igual a 360 dias.
• O mês comercial compreende 30 dias.
É comum estar incidido em um empréstimo, por exemplo, uma taxa
de juros capitalizada anualmente, mas um cliente quer contratá-lo em um
período de meses, por isso, a importância de realizar a transformação de
uma taxa para outra.
Vamos entender na prática como ocorre esse processo de
transormação? Avante, caro aluno(a)!
Exemplo: Determine a equivalência de uma taxa de juros de 16%
anual para:
a. Taxa diária.
b. Taxa mensal.
c. Taxa bimestral.
d. Taxa semestral.
Para obter tais transformações, basta realizar a divisão da taxa anual
indicada pelo período em que se almeja a transformação, logo:
Matemática Financeira
34
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe foi apresentado nesta unidade?
Aprendeu mesmo tudo sobre este conteúdo? Agora, só
para termos certeza de que você realmente entendeu o
tema de estudo deste capítulo, vamos resumir tudo o que
vimos! Vamos lá?
Você conheceu commais propriedade sobre a dinâmica da
capitalização composta, isto é, sobre os juros compostos,
modalidade na qual a taxa de juros é calculada sobre o
montante obtido anteriormente; observe que em ambas
as modalidades de capitalização é necessário estabelecer
uma taxa de juros, um período, assim como o capital e
o montante. A principal diferença entre o juro simples e
composto consiste no valor no qual se incide o cálculo da
taxa. Na modalidade simples, esse valor é constante, já na
modalidade composta, esse número sempre aumenta e é
variável. Também aprendemos que, em várias transações
nanceiras, é necessário que o período seja igual à unidade
de tempo (dias, meses e anos) em que se é capitalizada a
taxa de juros, representando a homogeneidade entre taxa
e tempo.
Matemática Financeira
35
Taxas
OBJETIVO:
Ao nal deste capítulo, é esperado que você compreenda
sobre taxas de juros e as operações possíveis de serem
executadas com ela, identicando o tipo de manipulação
mais condizente com o regime de capitalização
estabelecido. Já estudamos o conceito e aplicação as taxas
neste contexto nanceiro, agora será necessário conhecer
um pouco mais sobre esse índice, assim como diferenciá-
las. Então,iniciaremos este conteúdo apresentando as
técnicas para conversão de taxas quanto ao seu período de
capitalização: taxa proporcional e taxa equivalente..
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Taxa proporcional e equivalente possuem a mesma função, que
basicamente consiste em transformar uma taxa que capitaliza os juros
perante certo período para outro. A grande diferença entre ambas consiste
na categoria de juros; assim, a taxa proporcional é aplicada aos juros
simples, enquanto a taxa equivalente se relaciona aos juros compostos.
Veja na Figura 6 essa distinção.
Figura 6 – Organograma sobre a classicação de taxas conorme o tipo de juros
Taxas
Taxa Proporcional
Taxa Equivalente
Juros Simples
Juros Compostos
Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
Matemática Financeira
36
DEFINIÇÃO:
Denominam-se as duas taxas como proporcionais quando
promovem a igualdade dos montantes de um mesmo
capital ao término de determinado período, isto é, a razão
entre elas é igual a razão entre os respectivos períodos
(ASSAF NETO, 2012).
Matematicamente, isso corresponde à denição que será
apresentada a seguir:
DEFINIÇÃO:
Por meio da propriedade fundamental da proporção, o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos, ou
seja:
FÓRMULA:
i1.n2=i2.n1 (9)
Uma vez considerando:
i1 e i2=taxas de juros
n1 e n2=períodos
EXEMPLO:
Admitindo uma taxa anual igual a 45%, determine esse índice
proporcional a:
a. Mensal.
b. Trimestral.
c. Semestral.
d. Diária.
Matemática Financeira
37
Para solucionar esse exercício, inicialmente basta substituir as
informações na relação apresentada anteriormente:
a. Mensal:
Como a taxa de juros de 45% informada é anual e este período é
constituído por 12 meses, logo:
i1=0,45 e n1=12
i2= ? e n2=1
Assim:
12
i1.n2=i2.n1 → 0,45 .1=i2.12→ i2= 0,45 =0,0375=3,75% a.m.
b. Trimestral:
Como a taxa de juros de 45% informada é anual e este período é
constituído por 4 trimestres, logo:
i1=0,45 e n1=4
i2= ? e n2=1
Assim:
4
i1.n2=i2.n1 → 0,45 .1 = i2 .4→ i2= 0,45 = 0,1125=11,25% a.t.
c. Semestral:
Como a taxa de juros de 45% informada é anual e este período é
constituído por 2 semestres, logo:
i1=0,45 e n1= 2
i2= ? e n2= 1
Assim:
2
i1.n2=i2.n1 → 0,45 .1=i2 .2→ i2= 0,45 = 0,225=22,5% a.s.
Matemática Financeira
38
d. Diária:
Como a taxa de juros de 45% informada é anual e este período é
constituído por 360 dias, logo:
i1=0,45 e n1= 360
i2= ? e n2= 1
Assim:
360
i1.n2=i2.n1 → 0,45 .1 = i2 .360→ i2= 0,45→ i2= 0,1125→ i2 = 0,125% a.d.
Agora, de volta ao contexto da capitalização composta,
conheceremos mais sobre as taxas equivalentes, assim como as técnicas
admissíveis de serem utilizadas. Vamos lá?
Assa Neto (2012) declara que as taxas equivalentes são descritas
da seguinte forma:
DEFINIÇÃO:
Duas taxas são denominadas equivalentes, se quando
aplicadas a juros compostos e considerando um mesmo
capital, produzem um mesmo valor de montante (ASSAF
NETO, 2012).
Existe uma relaçãomatemática especíca que possibilita determinar
essa equivalência, dada por:
FÓRMULA:
(1+i1 )n1 = (1+i2 )n2 (10)
Em que:
i1 e i2=taxas de juros
n1 e n2=períodos
Matemática Financeira
39
Mas, em quais situações devo utilizar de tais relações? É o que
veremos na prática nos exemplos a seguir:
EXEMPLO:
Qual a taxa bimestral, semestral e anual equivalente a taxa mensal
de 3%?
Para solucionar esse problema, utilizaremos como referência um
bimestre como 2 meses ou 60 dias, um semestre com 6 meses ou 180
dias e um ano como 12 meses ou 360 dias.
• Bimestral:
i1 (taxa bimestral) = ? , n1= 1 , i2= 3% a.m , n2= 2
(1+i1)
n1 = (1+i2)
n2
(1+i1)
1 = (1+0,03)2
(1+i1)
1 = (1,03)2
1+i1 = 1,0609
i1 = 1,0609-1
i1 = 0,0609 ≅ 6,1% a.b.
Solução na calculadora HP-12C
1 ENTER
0,03+
60 ENTER
30 ÷
yx
1 -
100 X
Matemática Financeira
40
Logo, uma taxa de juros compostos de 3% mensal equivale a uma
taxa bimestral de 6,1%.
• Semestral:
i1 (taxa semestral) = ? , n1= 1 , i2= 3% a.m , n2= 6
(1+i1)
n1 = (1+i2)
n2
(1+i1)
1 = (1+0,03)6
(1+i1)
1 = (1,03)6
1+i1 = 1,1941
i1 = 1,1941-1
i1 = 0,1941 ≅ 19,41% a.s
Solução na calculadora HP-12C
1 ENTER
0,03 +
180 ENTER
30 ÷
yx
1 -
100 X
Logo, uma taxa de juros compostos de 3% mensal, equivale a uma
taxa semestral de 6,1%.
• Anual:
i1 (taxa anual) = ? , n1 = 1 , i2 = 3% a.m , n2 = 12
(1+i1)n1 = (1+i2)n2
(1+i1)
1 = (1+0,03)12
(1+i1)
1 = (1,03)12
1+i1 = 1,4258
i1 = 1,4258-1
i1 = 0,4358 ≅ 42,58% a.n.
Matemática Financeira
41
Solução na Calculadora HP-12C
1 ENTER
0,03 +
360 ENTER
30 ÷
yx
1 -
100 X
Logo, uma taxa de juros compostos de 3% mensal equivale a uma
taxa anual de 42,58%.
Basicamente as fórmulas que permitem realizar as conversões mais
comuns são apresentadas no quadro, no qual:
• prazo inicial (inormação que tenho relativo ao período).
• prazo nal (prazo solicitado).
• taxa inormada (taxa ornecida no exercício).
• taxa a ser determinada (taxa procurada).
Matemática Financeira
42
Quadro 1 - Fórmulas para equivalência entre taxas
Período Relação
Anual para diário (a.a. para a.d.) id= [(1+ia)
1/360-1]∙100
Mensal para diário (a.m. para a.d.) id= [(1+im)
1/30-1]∙100
Anual para mensal (a.a. para a.m.) im= [(1+ia)
1/12-1]∙100
Diário para anual (a.d. para a.a.) ia= [(1+id)
360-1]∙100
Diário para mensal (a.d. para a.m.) im= [(1+id)
30-1]∙100
Mensal para anual (a.m. para a.a.) ia= [(1+im)
12-1]∙100
Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Ao realizar um empréstimo, é comum questionarmos sobre o
valor referente à taxa incidida na operação e como resposta somos
inormados que a taxa anual praticada é de 38%; porém, o prazo reerente
à constituição do juro, assim como sua agregação ao capital que o gera
costumeiramente, é mensal.
Namaioria das vezes, o mercado nanceiro institui para umamesma
operação, expressões distintas de juros para sua forma de capitalização;
um exemplo prático é ser comum nos juros do cheque especial utilizar
tanto a taxa efetiva, quanto a taxa nominal. Assim, para comparar o custo
para se realizar tal transação é essencial conhecer a fundamentação
teórica de cada modalidade de taxa. A partir de situações como esta,
surge a necessidade de identicar, assim como dierenciar, a taxa nominal
da efetiva e, posteriormente, efetuar a transformação entre ambas.
Matemática Financeira
43
Castanheira e Macedo (2013) reiteram que a taxa nominal:
DEFINIÇÃO:
Uma taxa é chamada de nominal quando o intervalo de
tempo ao qual se refere a taxa não se equipara com o
período de capitalização.
Tendo como exemplo uma taxa de 16% semestral, a capitalização
trimestral é tida como uma taxa nominal, pois, a taxa se refere ao
semestre. No entanto, a capitalização dos juros ocorre trimestralmente,
isto é, existem quatro períodos de capitalização em um ano.
Vamos, portanto, caro(a) aluno(a), considerar, para tornar mais claro
essa denição, a resolução do exemplo a seguir.
EXEMPLO:
Determine o valor futuro de um capital de R$7.000,00 aplicado a
taxa nominal de 32% ao ano, durante um ano, sob regime de capitalização:
a. Bimestral.
b. Semestral.
Chamo sua atenção, aluno(a), para o ato de que o período variará
conforme a modalidade de capitalização. Logo, será necessário mudar
o número correspondente ao tempo percorrido, lembrando que sempre
será considerado nessas operações o juro composto. Caso seja os juros
simples, será especicado no comando da questão.
a. Bimestral: como um bimestre compreende dois meses, para
determinar o período basta calcular a razão: 12/2=6 bimestres,
assim como a taxa deve também ser modicada para 32%/6 ≅ 0,05
M = C (1+i)n
M = 7000(1+0,05)6
M=9.380,66
Matemática Financeira
44
Solução pela calculadora HP-12C
7000 CHS PV
5 i
6 n
FV
b. Semestral: como um semestre compreende seis meses, para
determinar o período basta calcular a razão: 12/6=2 semestres,
assim, como a taxa deve também ser modicada para 32%/2 ≅ 0,16
M = C (1+i)n ou FV = PV(1+i)n
M =7000(1+0,16)2
M =9.419,20
Solução pela calculadora HP-12C
7000 CHS PV
16 i
2 n
FV
É comum que surjam dúvidas quanto à maneira de converter
períodos, conforme a periodicidade de conversão. Assim, para facilitar sua
compreensão, basta identicar no quadro a seguir a alteração necessária
a ser realizada no exercício proposto.
Quando o período da taxa é maior que o período de capitalização, a
transformação ocorre dividindo valores. Observe o Quadro 2:
Matemática Financeira
45
Quadro 2 – Transformação de taxa com período maior ao período de capitalização
Taxa Capitalização Operação
Anual
Semestral ÷2
Trimestral ÷4
Bimestral ÷6
Mensal ÷12
Diária ÷360
Semestral
Trimestral ÷2
Bimestral ÷3
Mensal ÷6
Diária ÷180
Trimestral
Bimestral ÷1,5
Mensal ÷3
Diária ÷90
Bimestral
Mensal ÷2
Diária ÷60
Mensal Diária ÷30
Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
Matemática Financeira
46
Em contrapartida, quando o período da taxa é menor que o período
de capitalização, a transformação ocorre multiplicando valores; agora
observe o Quadro 3.
Quadro 3 – Transformação de taxa com período menor ao período de capitalização
Taxa Capitalização Operação
Diária
Anual ×360
Semestral ×180
Trimestral ×90
Bimestral ×60
Mensal ×30
Mensal
Anual ×12
Semestral ×6
Trimestral ×3
Bimestral ×2
Bimestral
Anual ×6
Semestral ×3
Trimestral ×2,5
Trimestral
Anual ×4
Semestral ×2
Semestral Anual ×2
Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
Matemática Financeira
47
Agora que nalizamos as denições relacionadas à taxa nominal,
conheceremos outra modalidade de taxa, a efetiva, que de acordo com
Castanheira e Macedo (2013) é:
DEFINIÇÃO:
Quando o prazo referente a uma taxa coincide com o
período de formação e incorporação do juro ao capital que
o produziu e existe uma taxa efetiva.
Na dinâmica taxa efetiva não importa o prazo no qual o capital
será acrescentado de juros, pois o resultado, isto é, o montante, será
sempre o mesmo, porque o juro é capitalizado uma única vez no período
correspondente a taxa (ASSAF NETO, 2012).
Inicialmente, podem parecer conusas as denições da taxa
nominal e da taxa efetiva, no entanto, a maneira mais fácil de entender
essas denições é a partir das distinções entre ambas. Mas como?
Observe atentamente as informações a seguir e compreenderá
esse comando.
Figura 7 – Comparação entre taxa nominal e taxa efetiva
TAXA NOMINAL
TAXA EFETIVA
Unidade de tempo
DIFERENTE da unidade do
período de capitalização.
Unidade de tempo IGUAL
a unidade do período de
capitalização.
Fonte: Elaborado pelas autoras (2022).
É importante destacar que a taxa nominal não é usada nos cálculos
nanceiros e sim, a taxa eetiva, e por convenção, a transormação da taxa
nominal para a taxa efetiva é realizada proporcionalmente.
Agora vamos praticar?
Matemática Financeira
48
EXEMPLO:
Determine omontante e a taxa efetiva incidido sobre umempréstimo
de R$5.000,00 a ser pago em parcela única em um ano? Considere uma
taxa nominal de 11% anual com capitalização mensal.
Retirando as informações do exercício, encontramos:
i = 11% a.a. É necessário realizar a conversão para taxa nominal, logo
proporcionalmente uma taxa anual para mensal:
11%/12 = ≅ 0,92% = 0,0092
C = PV = 5.000
n = 12
Agora substituindo na fórmula de juros compostos:
M=C(1+i)n ou FV=PV(1+i)n
M =5000(1+0,0092)12
M =5580,81
Solução pela calculadora HP-12C
5000 CHS PV
16 i
0,92 n
FV = 5.580,81
Assim, o montante é igual a R$ 5.580,81. Já para determinar a taxa
efetiva pertencente a essa operação, é necessário retornarmos com os
valores do montante encontrado e do capital; em contrapartida, o período
será modicado para um, pois encontraremos a taxa eetiva anual. Veja:
5580,81=5.000(1+i)1
=5580,81/5000=1+i
1,1162=1+i
i=0,1162=11,62% a.a.(taxa eetiva)
Matemática Financeira
49
Solução pela calculadora HP-12C
1 n
i
Outra maneira de se determinar a taxa efetiva é por meio da relação:
FÓRMULA:
i
f = (1+i)q-1 (11)
Em que:
if= taxa eetiva;
q= número de períodos de capitalização de juros;
Assim, resolvendo o exemplo anterior já direto na fórmula,
encontramos:
if=(1+i)
q-1
if=(1+0,0092)
12-1
if=0,1162
EXEMPLO:
Uma instituição nanceira possui, dentre sua cartela de produtos,
uma aplicação nanceira que paga 40% ao ano. Um cliente, após um mês
de prazo, solicitou a rentabilidade efetiva considerando os juros de 40%
a.a. como:
a. Taxa efetiva.
b. Taxa nominal.
Hora de praticar! Vamos lá?
Matemática Financeira
50
a. Taxa efetiva: a rentabilidademensal corresponde a taxa equivalente
composta de 40% a.a.; logo:
b. Taxa nominal: a rentabilidade mensal de 40%a.a. é encontrada pela
taxa proporcional, assim:
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos neste capítulo?
Aprendeu mesmo tudinho? Agora, só para termos certeza
de que você realmente entendeu o tema de estudo deste
capítulo, vamos resumir tudo o que vimos nesta terceira
unidade.
Você deve ter aprendido sobre a classicação das taxas
de juros e suas respectivas peculiaridades; inicialmente,
estas podem ser calculadas proporcionalmente quando
manejando os juros da modalidade simples e encontradas
equivalentemente no trabalho com os juros compostos;
também você deve ter conhecido sobre as taxas efetivas e
nominais; estas se dierenciam e se classicam quanto ao
período que ocorre a capitalização e operíodo de incidência
e cálculo da taxa de juros. Basicamente, quando estes
indicativos são iguais, estas taxas recebem a denominação
de taxas efetivas e se o período de capitalização e o
período de cálculo da taxa são distintos, ou seja, diferentes
no período, então estas são chamadas de taxas nominais.
Matemática Financeira
51
Fluxo deCaixa e Equivalência Financeira
OBJETIVO:
Ao nal deste capítulo, é esperado que você entenda
sobre um dispositivo gráco muito útil na administração,
denominado fuxo de caixa, assim como, entenda sobre
o conceito de equivalência nanceira que relaciona a
igualdade de capitais, conforme determinado período..
Fluxo de Caixa
Fluxo de caixa e equivalência nanceira são conceitos imprescindí-
veis em uma administração consciente dos recursos nanceiros de uma
empresa.
A Matemática Financeira estuda a relação do dinheiro conforme
o tempo e o fuxo de caixa e é muito importante nas operações de
Matemática Financeira, uma vez que possibilita a visualização da variação
do capital.
Assa Neto (2012) dene fuxo de caixa como:
DEFINIÇÃO:
Representação gráca de um conjunto de entradas e saídas
em uma linha do tempo.
O fuxo de caixa não será o mesmo sempre, pois, os valores e
quantidade de entradas e saídas variarão. No entanto, há um estereótipo
denido para essa representação, que é identicado pela Figura 8.
Matemática Financeira
52
Figura 8 – Fluxo de caixa
Fonte: Assaf Neto, 2012.
Para construir essa representação é necessário seguir algumas
regras, são elas:
• A linha horizontal indica uma escala de tempo, isto é, o horizonte
nanceiro da operação.
• O ponto zero indica o período inicial e os demais pontos às datas
com registro nanceiro.
• Setas acima da linha do tempo indicam recebimentos ou entradas.
• Setas para abaixo da linha do tempo sinalizam aplicações ou
saídas de dinheiro.
• PV ou valor presente simboliza o capital no momento atual.
• FV ou valor futuro que simboliza o montante obtido após o
investimento de certo capital em determinado período.
• PMT indica o valor de uma parcela que pode ser adicionada ou
subtraída do montante a cada período.
Equivalência Financeira
Imagine a seguinte situação: você vai ao banco e um atendente te
arma que R$1.000,00 hoje equivale a R$1.200,00 daqui a um ano.
E essa situação te intriga, anal, será verdadeira tal armação?
Sim, é! No âmbito da Matemática Financeira um valor hoje, pode
sim, ser equivalente a outro, em determinado futuro, pois ambos capitais
produzem, em uma determinada data e submetido à determinada taxa,
resultados semelhantes.
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A equivalênciananceira se reere diretamente a equivalência
entre capitais. Esse conceito é muito útil em ocasiões em que se desejam
postergar ou antecipar o vencimento de diferentes títulos.
Teoricamente, Assa Neto (2012) descreve equivalência nanceira
como:
DEFINIÇÃO:
Dois ou mais capitais são ditos equivalentes quando, a
uma certa taxa de juros produzem resultados iguais em
uma data em comum e a data para o qual os capitais são
transferidos recebe o nome de data focal..
Quando relacionados ao fuxo de caixa, estes são equivalentes se
seus valores presentes quando submetidos a mesma taxa de juros forem
idênticos.
É importante enfatizar que, para a capitalização simples, a
equivalência entre capitais depende da escolha da data focal escolhida e,
por isso, na prática não é muito utilizada.
Já na capitalização composta, a data focal pode ser qualquer uma,
porque se dois ou mais capitais são equivalentes em determinada data,
logo, o serão em qualquer data.
Assim, considerando que os capitais com
vencimentos para datas são equivalentes, mantém-se a
seguinte proporção:
Mas, e na prática?
Como algebricamente conseguimos comprovar a equivalência
entre dois ou mais capitais?
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Existem diferentes relações para quando os vencimentos são
anteriores a data focal ou posteriores a ela; assim como o regime de
capitalização simples ou composta também altera as relações.
Vamos resolver mais um exemplo? “Avante”
EXEMPLO:
Considere dois títulos nos valores de R$15.208,18 e R$17.107,13, com
vencimentos de 5 e 8 meses, respectivamente, e submetidos a uma taxa
de 4% ao mês. Verique a equivalência destes capitais.
Para identicar a equivalência ou não destes capitais, inicialmente
retiraremos as informações do enunciado:
V1=15.208,18
V2=17,107,13
t1=5 meses
t2=8 meses
i=4%=0,04
Agora, basta substituir estes valores na relação apresentada
anteriormente e vericar se obtemos valores coincidentes.
Logo, é possível concluir que os capitais são equivalentes.
Solução pela calculadora HP-12C
15208,18 CHS PV
4 i
5 n
FV
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E depois conferir com o outro cálculo:
17107,13 CHS PV
4 i
8 n
FV
RESUMINDO:
E então? Gostou do que lhe mostramos? Aprendeu mesmo
tudinho? Agora, só para termos certeza de que você
realmente entendeu o tema de estudo deste capítulo,
vamos resumir tudo o que vimos.
Você deve ter aprendido sobre um dispositivo gráco
que apresenta diversas operações nanceiras pertinentes
a uma empresa e que recebe o nome de fuxo de caixa,
e, por meio desta representação, é possível visualizar as
movimentações com o caixa da empresa, conforme o
período.
Por m, conhecemos o conceito de equivalência nanceira,
que simplesmente se refere à igualdade entre os mesmos
valores de capitais, quando regidos nas diferentes técnicas
de capitalização: simples ou composta. Este conceito é
muito utilizado em instituições nanceiras na prática de
liquidação de débitos, assim, é possível identicar o valor a
ser pago por uma antecipação de saldos.
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REFERÊNCIAS
ASSAF NETO, A. Matemática Financeira e suas Aplicações. 12. ed.
São Paulo: Atlas, 2012.
BAUER, U. R. Matemática Financeira Fundamental. São Paulo:
Atlas, 2003.
CASTANHEIRA, N. P.; MACEDO, L. R. D. Matemática Financeira 
Aplicada. Curitiba: Intersaberes, 2013.
LAPPONI, J. C. Matemática Financeira: uma abordagem moderna.
2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1994.
MATHIAS, W. F.; GOMES, J. M. Matemática Financeira. São Paulo:
Editora Atlas, 1996.
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