Exercícios de Álgebra Linear

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Universidade Federal da Campina Grande
Departamento de Engenharia Ele´trica
A´lgebra Linear
Prof. Edmar Candeia Gurja˜o
2a Lista de Exerc´ıcios
Data: 20/05/2015
Problema 1 Determine se cada um dos conjuntos abaixo e´ espac¸o vetorial.
a) O conjunto A = {(x, y) : x, y ∈ R} com (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) =
(k2a, k2b).
b) O conjunto B = {(x, y) : x, y ∈ R} com (a, b) + (c, d) = (a, d) e k(a, b) = (ka, kb).
Problema 2 (2,0 pontos) Seja V o conjunto de todos os pares (a, b), a, b ∈ R, com
adic¸a˜o e multiplicac¸a˜o por escalar definidos por
(a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d) e k(a, b) = (ka, 0).
Esse conjunto e´ um espac¸o vetorial?
Problema 3 Determine se os conjuntos abaixo sa˜o subespac¸os de R3
a) W1 = {(a, b, c)|a = 2b}
b) W2 = {(a, b, c)|a ≤ b ≤ c}
c) W3 = {(a, b, c)|ab = 0}
d) W4 = {(a, b, c)|a = b = c}
Problema 4 O conjunto {(1 − t)3, (1 − t)2, 1 − t, 1} e´ uma base para o espac¸o dos po-
linoˆmios de grau ≤ 3?
Problema 5 Seja um espac¸o vetorial W , com dim(W ) = n, e o conjunto de vetores de
W S = {u,v, 2u, 2v, 3u, 3v, ..., nu, nv}, responda:
1. O conjunto S pode ser uma base para o espac¸o W?
2. Caso n = 4, o que devemos considerar sobre os vetores de S e quais as modificac¸o˜es
(remoc¸o˜es, inserc¸o˜es) devem ser feitas para obter uma base para W?
Problema 6 Dada a matriz de mudanc¸a de base [I]BA =
 1 0 10 1 1
1 1 1
 determine:
a) [v]A, sabendo que [v]B =
 12
3

1
b) A base B sabendo que A = {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 1, 1)}.
Problema 7 Determine se cada um dos conjuntos abaixo e´ um subespac¸o vetorial do R3.
a) W = {(a, b, 0) : a, b ∈ R};
b) W1 = {(a, b, c) : a+ b+ c = 0}.
Problema 8 (2,0 pontos) Considere os vetores u = (1,−3, 2) e v = (2,−1, 1) em R3.
a) O conjunto formado pelos vetores {(1, 7, 4),u,v} e´ L.I. ou L.D.? Prove sua res-
posta.
b) O conjunto formado pelos vetores {(2,−5, 4),u,v} e´ L.I. ou L.D.? Prove sua res-
posta.
c) Para que valor de k o conjunto {(1, k, 5),u,v} e´ L.D.?
Problema 9 Seja V o espac¸o de todas as matrizes 2 × 2 e w o subespac¸o gerado por[
1 −5
−4 2
]
,
[
1 1
−1 5
]
,
[
2 −4
−5 7
]
e
[
1 −7
−5 1
]
. Encontre uma base e a dimensa˜o
de W .
Problema 10 Sejam as bases do R3: {e1,= (1, 1, 1), e2 = (0, 2, 3) e3 = (0, 2, 1)} e
{f1,= (1, 1, 0), f2 = (1,−1, 0) f3 = (0, 0, 1)}
a) Dado o vetor v = (3, 5,−2) determine [v]e e [v]f
b) Determine [I]ef .
c) Como voceˆ pode verificar se a matriz do item anterior esta´ correta?
Problema 11 Determine se cada um dos conjuntos abaixo, com as respectivas operac¸o˜es
e´ um espac¸o vetorial
a) {(x, y) | x = 2y, x, y ∈ R} e as operac¸o˜es de soma e multiplicac¸a˜o por escalar
usuais.
b) {(x, y) | x, y ∈ R} com as operac¸o˜es (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) e
k(x, y) = (x, ky).
Cabral, pp. 87 Prob 3.12 Vetores LI e LD
Problema 12 Sejam {v1,v2, ...,vn} vetores LI e w ∈ W = [v1,v2, ...,vn]. Prove que:
a) {w,v1,v2, ...,vn} e´ LD,
b) {v2, ...,vn} e´ LI, e
c) [v2, ...,vn] 6= W .
2
Problema 13 Verifique se W = {(x, y, z, t) ∈ R4 | x− 2z = 0 e y = t} e´ um subespac¸o
vetorial de R4.
Problema 14 W e´ um subespac¸o vetorial de dimensa˜o 4, os vetores (1, 0, 3, 4), (3, 0, 7, 9),
(2, 0, 6, 8) e (4, 0, 10, 13) pertencem a W , determine uma base para W .
Problema 15 Determine os coeficientes dos vetores abaixo com relac¸a˜o as bases apre-
sentadas e as respectivas matrizes de transformac¸a˜o dessa base para a base canoˆnica.
a) v = x3 − x, base B = {x3 + 2x, 4x3 − x2 + x+ 3, x3 + x− 1, x3 + x}
b) w = (1, 1, 1, 1), base β = {(0, 3, 1, 0), (1, 1,−1, 1), (0, 1, 0, 0), (2, 4− 1, 1)}.
Problema 16 Em um espac¸o vetorial de dimensa˜o n, dado β = {v1,v2, ...,vp} que
pertence a esse espac¸o, justifique as seguintes afirmativas:
a) Se p > n, enta˜o β na˜o e´ LI.
b) Se p < n, enta˜o β na˜o gerador do espac¸o.
c) Se p = n, enta˜o β e´ gerador do espac¸o se e so´ se´ LI.
Retirado de prova do 2o esta´gio per´ıodo 10.2
Problema 17 (2,0 pontos) Se B = {u,v,w} e´ base de um espac¸o vetorial V , verifique
se C = {u + v + w,v − 3w,u + 2v −w} tambe´m e´ base de V .
Problema 18 Dado um espac¸o vetorial de dimensa˜o n e um conjunto de vetores β com
p elementos. Quais as condic¸o˜es para que esse conjunto seja uma base para o espac¸o?
Problema 19 Determine se cada um dos conjuntos abaixo define um espac¸o vetorial. a)
V =
{[
a b
0 a+ b
]
|a, b ∈ R
}
b) W =
{[
a 0
0 1
]
|a ∈ R
}
ambos com adic¸a˜o de matrizes
e multiplicac¸a˜o por um escalar padra˜o.
Problema 20 Determine se o conjunto V de todas as func¸o˜es de polinoˆmios quadra´ticos
f(x) = ax2 + bx+ c, a 6= 0 com adic¸a˜o de func¸o˜es e multiplicac¸a˜o por um escalar padra˜o
e´ um espac¸o vetorial.
Problema 21 Determine se o conjunto W = {(a, b, a− b+ 1)|a, b ∈ R} e´ um subespac¸o
vetorial de V = R3.
Problema 22 Determine se o conjunto S = {(a, 0, a − b)|a, b ∈ R} e´ um subespac¸o
vetorial de V = R3.
Exerc´ıcio 3, pp. 168. Thomas S. Shores
Problema 23 Determine se o conjunto V =
{[
a b 0
b a 0
]
|a, b ∈ R
}
e´ um subespac¸o
vetorial de M2×3.
3
Problema 24 Quais dos seguintes conjuntos de vetores sa˜o LI em V = R4 ? a)

1
−1
0
1
,

−2
2
1
1
 b)

1
1
0
0
,

1
0
1
0
,

1
0
0
1
,

−1
1
−2
0
 c)

0
1
−1
2
,

0
1
3
4
,

0
2
2
6
 b)

1
1
1
1
,

0
2
0
0
,

0
2
1
1

Problema 25 (2,0 pontos) Encontre as coordenadas de v com respeito a`s seguintes
bases:
a) v =
[
1
−1
]
, base
[
2
1
]
,
[
2
−1
]
de R2
b) v = 2 + x2, base 1 + x, x+ x2, 1− x de P2
c) v =
[
a b
b c
]
, base
[
0 1
1 0
]
,
[
1 0
0 0
]
,
[
0 0
0 1
]
de M2×2
Problema 26 Para quais valores de k o conjunto de vetores (1, 1, k), (2, k, 4) e (3k +
1, 3,−4) em R3 e´ LI?
Problema 27 Assuma que S = {v1,v2, ...,vk} ⊆ V , sendo V um espac¸o vetorial de
dimensa˜o n. Diga se as seguintes afirmativas sa˜o verdadeiras ou falsas, e justifique as
suas respostas.
1. Se S e´ uma base de V enta˜o k = n.
2. Se S e´ LI enta˜o k ≤ n.
3. Se S e´ LI e k = n enta˜o S e´ uma base de V .
Problema 28 Considere as bases B = {e1, e2, e3} e C = {g1,g2,g3} de R3 assim rela-
cionadas:
g1 = e1 − e2 − e3
g2 = 2e2 + 3e3
g3 = 3e1 + e3
(1)
1. Determinar as matrizes de mudanc¸a de base de B para C e de C para B.
2. Se um vetor u de R3 apresentar as coordenadas 1, 2 e 3 em relac¸a˜o a base B, quas
as suas coordenadas em relac¸a˜o a C?
4
Problema 29 Mostre que o subconjunto de vetores {(0, 2, 2), (0, 4, 1)} e´ uma base do
subespac¸o vetorial de R3 U = {(x, y, z) ∈ R3|x = 0}.
Problema 30 Seja W um subespac¸o de R4 gerado pelos vetores (1,−2, 5, 3), (2, 3, 1,−4),
e ,(3, 8,−3,−5).
1. Encontre a base e a dimensa˜o de W .
2. Estenda a base de W para que ela se torne a base de R4.
Problema 31 (2,0 pontos) Suponha que v, u e w formam um conjunto de vetores LI.
Mostre que
1. u + v − 2w, u− v −w sa˜o LI.
2. u + v − 3w, u + 3v e v = w sa˜o LD.
Problema 32 Determinar se cada um dos seguintes conjuntos e´ um espac¸o vetorial:
a) Conjnto V consistindo de todos os polinoˆmios quadra´ticos f(x) = ax2 + bx+ c com
a 6= 0 e adic¸a˜o de func¸o˜es e multiplicac¸a˜o por um escalar padro˜es.
b) O conjunto Sn do todas as matrizes n × n sime´tricas com a adic¸a˜o de matrizes e
multiplicac¸a˜o por um escalar padro˜es.
Problema 33 Quais dos seguintes subconjuntos sa˜o subespac¸os vetoriais de R3?
a) W1 = {(x, y, z)| x, y, z positivos}.
b) W2 = {(x, y, z)| x2 − y = 0}.
Problema 34 Prove que uma lista de vetores v1,v2, ...,vn com vetores repetidos e´ line-
armente dependente
Problema 35 Determine quais dos conjuntos vetores abaixo sa˜o linearmenteindepen-
dentes ou linearmente dependentes.
a) A =
[
1 −2 3
2 4 −1
]
, B =
[
1 −2 4
4 5 −2
]
e D =
[
3 −8 7
2 10 −1
]
,
b) u = t3 − 4t2 + 2t+ 3, v = t3 + 2t2 + 4t− 1 e w = 2t3 − t2 − 3t+ 5.
Exerc´ıcio 5.23, p. 103. Colec¸a˜o Schaum.
Problema 36 Seja W o espac¸o gerado pelos polinoˆmios: v1 = t
3 − 2t2 + 4t + 1, v2 =
t3 + 6t − 5, v3 = 2t3 − 3t2 + 9t − 1 e v4 = 2t3 − 5t2 + 7t + 5. Encontre uma base e a
dimensa˜o de W .
5