Cálculo Numérico - Aula 08

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CÁLCULO NUMÉRICO 
AULA 8 
Integração Numérica 
Objetivos: 
1) Identificar e aplicar diferentes métodos para integração numérica, ou seja, métodos de extrapolação. 
Introdução: 
 Temos por objetivo calcular o valor aproximado, com maior precisão, de uma integral definida para 
sua primitiva. Para isso, recorreremos ao método de extrapolação, presente na resolução de problemas em 
Engenharia. 
Realizaremos também a comparação entre os métodos aprendidos e o método de extrapolação. 
Método de Romberg 
 O método de Romberg permite que se calcule com grande precisão a integral definida 
 
 
. Tal 
método é mais preciso que o método dos trapézios e exige um esforço computacional menor. 
 O método utiliza a Regra do Trapézio repetida para obter aproximações preliminares. Em seguida 
aplica um processo de exploração de Richardson para melhorar a aproximação, ou seja, aplica-se 
sucessivamente a extrapolação de Richardson, onde duas aproximações são usadas para se definir uma 
terceira. 
 
Primeiro passo do Método Romberg 
 Calculando aproximações preliminares via Regra do Trapézio, passaremos a usar a notação Rk, R1, 
onde k = 1, 2, ... 
Para k = 1temos: 
 
 
Segundo passo do Método Romberg 
 Utilizaremos a extrapolação de Richardson para acelerar a convergência. 
Obtemos: 
 
Podemos visualizar mais facilmente os resultados através da tabela n x n de Romberg abaixo: 
 
Política de segurança operacional 
Exemplo: 
 Calcule a aproximação da integral definida 
 
 
 com n = 6 
R2,1 = 
 
 
 [R11+h1f(a+h2)] = 
 
 
 [0+ f(0+
 
 
)] = 
 
 
[ f(
 
 
)] = 
 
 
 1,5707963267 hk = 
 
 
, mn = 2n-1 
R3,2 = Rk, j – 1 + 
 
 
 
 
Conclusão: 
 Portanto podemos concluir que a convergência da integral será 20.000.000. Observe que a escolha do 
n define o tamanho da tabela. Porém, observe que atingimos a convergência antes mesmo de terminar de 
preencher a tabela neste tempo. 
 Para evitar trabalho desnecessário, podemos definir um critério de parada para o calculo como sendo 
uma tolerância de erro, ou seja, quando a diferença entre vizinhos for menor do que o erro, paramos o 
procedimento. 
Nesta aula, você: 
 Identificou, comparou e aplicaremos métodos que envolvem integração numérica para solução de 
problemas que necessitam de aproximação usando um método mais preciso. 
Na próxima aula, você vai estudar: 
 Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias de 1a ordem, usando modelos dinâmicos e método de 
Euler; 
 Identificação e aplicação de métodos de resolução de equações diferenciais ordinárias (EDO) de 1a 
ordem para problemas de valor inicial (PVI); 
 Implementação do algorítmo.