Lista - Raio e Intervalo de Convergência

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Raio e Intervalo de Convergência
1. Determine o raio e o intervalo de convergência da série
∞∑
n=1
n
en
x3n+5.
2. Determine o raio e o intervalo de convergência da série
∞∑
n=1
n
2n
(x− 1)n+12 .
3. Determine o raio e o intervalo de convergência da série
∞∑
n=1
(2x− 1)n2 .
4-7. Determine o intervalo de convergência da série de potências e encontre uma função
conhecida que esteja representada pela série de potências naquele intervalo.
4. 1− x+ x2 − x3 + · · ·+ (−1)nxn + · · ·
5. 1 + x2 + x4 + · · ·+ x2n + · · ·
6. 1 + (x− 2) + (x− 2)2 + · · ·+ (x− 2)n + · · ·
7. 1− (x+ 3) + (x+ 3)2 − (x+ 3)3 + · · ·+ (−1)n(x+ 3)n + · · ·
8. Suponha que a função f esteja representada pela série de potências
f(x) = 1− x
2
+
x2
4
− x
3
8
+ · · ·+ (−1)nx
n
2n
+ · · · .
Encontre o domínio de f . Encontre f(0) e f(1).
9-. Determine o raio e o intervalo de convergência.
9.
∞∑
n=0
xn
n+ 1
10.
∞∑
n=0
3nxn
11.
∞∑
n=0
(−1)nxn
n!
12.
∞∑
n=1
5n
n2
xn
13.
∞∑
n=2
xn
lnn
14.
∞∑
n=1
xn
n(n+ 1)
15.
∞∑
n=0
(−2)nxn+1
n+ 1
16.
∞∑
n=1
(−1)n−1 x
n
√
n
17.
∞∑
n=0
(−1)nx2n
(2n)!
18.
∞∑
n=0
3n
n!
xn
19.
∞∑
n=2
(−1)n+1 x
n
n(lnn)2
20.
∞∑
n=0
xn
1 + n2
21.
∞∑
n=0
(
3
4
)n
(x+ 5)n
22.
∞∑
n=1
(−1)n+1 (x+ 1)
n
n
23.
∞∑
n=1
(−1)n (x+ 1)
2n+1
n2 + 4
24.
∞∑
n=1
(2n+ 1)!
n3
(x−2)n
25.
∞∑
n=0
pin(x− 1)2n
(2n+ 1)!
26.
∞∑
n=0
(2x− 3)n
42n
27. Use o teste da raíz para determinar o intervalo de convergência de
∞∑
n=2
xn
(lnn)n
.
1
Respostas
1. R =
3√e
2
;
(
− 3
√
e
2
,
3√e
2
)
2. R = 4; (−3, 5).
3. R = 1/2; (0, 1).
4. −1 < x < 1; 1
1+x
.
5.
1
1−x2 ; (−1, 1).
6. 1 < x < 3; 1
3−x .
7.
1
4+x
; (−4,−2)
8. −2 < x < 2; f(0) = 1; f(1) = 2/3.
9. R = 1; [−1, 1).
10. R = 1/3; (−1/3, 1/3).
11. R = +∞, (−∞,+∞).
12. R = 1/5, [−1/5, 1/5].
13. R = 1, [−1, 1).
14. R = 1, [−1, 1].
15. R = 1/2, (−1/2, 1/2].
16. R = 1, (−1, 1].
17. R = +∞, (−∞,+∞).
18. R = +∞, (−∞,+∞).
19. R = 1, [−1, 1].
20. R = 1, [−1, 1].
21. R = 4/3, (−19/3,−11/3).
22. R = 1, (−2, 0].
23. R = 1, [−2, 0].
24. R = 0.
25. R = +∞, (−∞,+∞).
26. R = 3/2,
[
13
2
, 19
2
]
.
27. (−∞,+∞).
2