Lista - Volume por Fatiamento

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Volume por fatiamento
1. Encontre o volume do sólido que resulta quando a região sombreada gira em torno
do eixo indicado.
1. Gira em torno do eixo x. Curva:
y =
√
3− x. Resp.: 8pi
2. Gira em torno do eixo y. Reta:
y = 3− 2x. Resp.: 13pi/6
3. Gira em torno do eixo x. Curva:
y =
√
cosx. Resp.: (1−√2/2)pi
4. Gira em torno do eixo y. Curva:
x =
√
1 + y. Resp.: 8pi
9. Encontre o volume do sólido cuja base é a região delimitada pela curva y = x2 e
o eixo x de x = 0 até x = 2 e cujas seções transversais, tomadas perpendicularmente ao
eixo x, são quadrados. Resp.: 32/5
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas
gira em torno do eixo x.
11. y =
√
25− x2, y = 3. Resp.: 256pi/3
13. x = √y, x = y/4. Resp.: 2048pi/15
15. y = ex, y = 0, x = 0, x = ln 3. Resp.: 4pi
17. y =
1√
4 + x2
, x = −2, x = 2, y = 0. Resp.: pi2/4
1
19. Encontre o volume do sólido cuja base é a região delimitada pela curva y = x3 e
o eixo y de y = 0 até y = 1 e cujas seções transversais, tomadas perpendicularmente ao
eixo y, são quadrados. Resp.: 3/5
Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada pelas curvas dadas
gira em torno do eixo y.
21. x = csc y, y = pi/4, y = 3pi/4, x = 0. Resp.: 2pi
23. x = y2, x = y + 2. Resp.: 72pi/5
25. y = lnx, x = 0, y = 0, y = 1. Resp.: (pi/2)(e2 − 1)
31. Encontre o volume do sólido que resulta quando a região acima do eixo x e abaixo
da elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (a > 0, b > 0)
gira em torno do eixo x. Resp.: 4piab2/3
33. Encontre o volume do sólido gerado quando a região delimitada por y =
√
x+ 1,
y =
√
2x e y = 0 gira em torno do eixo x. (Sugestão: Divida o sólido em duas partes.)
Resp.: pi
39. Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por y =
√
x,
y = 0 e x = 9 gira em torno da reta x = 9. Resp.: 648pi/5
41. Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por x = y2 e
x = y gira em torno da reta y = −1. Resp.: pi/2
43. Encontre o volume do sólido que resulta quando a região delimitada por y = x2 e
y = x3 for rotacionada em torno da reta x = 1. Resp.: pi/15
45. A ponta cônica de reentrada de um veículo espacial é desenhada de tal forma
que uma seção transversal tomada x pés da ponta e perpendicular ao eixo de simetria é
um círculo com raio de
1
4
x2 pés. Encontre o volume da ponta cônica sabendo que seu
comprimento é de 20 pés. Resp.: 40.000pi pés3
47. Encontre o volume do sólido cuja base é a região delimitada pelas curvas y = x e
y = x2 cujas seções transversais perpendiculares ao eixo x são quadrados. Resp.: 1/30
48. Considere a região R delimitada simultaneamente pelas curvas y = x3 e x = y3.
Calcule o volume do sólido obtido quando a região R é rotacionada em torno do eixo y.
Resp.: 32
35
pi.
61. Uma cunha é cortada de um cilindro circular reto de raio r por dois planos: um
perpendicular ao eixo do cilindro e o outro fazendo um ângulo θ com o primeiro. Encontre
o volume da fatia por fatiamento perpendicular ao eixo y, conforme figura abaixo. Resp.:
(2/3)r3 tan θ
2
3
63. Dois cilindros circulares retos de raio r têm eixos que se intersectam em ângulos
retos. Encontre o volume do sólido comum a ambos. (Sugestão: Um oitavo do sólido está
esboçado na figura abaixo.) Resp.: 16r3/3
64. Mostre, via volume de sólidos de revolução, que o volume de um cone de raio r e
altura h é V =
pir2h
3
.
4