Lista - Sequências

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Sequências
1. Em cada item, encontre a fórmula para o termo geral da sequência, começando com
n = 1.
(a) 1,
1
3
,
1
9
,
1
27
, . . .
(b) 1,−1
3
,
1
9
,− 1
27
, . . .
(c)
1
2
,
3
4
,
4
5
,
7
8
, . . .
(d)
1√
pi
,
4
3
√
pi
,
9
4
√
pi
,
16
5
√
pi
Respostas:
(−1)n−1
3n−1
,
1
3n−1
,
n2
pi
1
n+1
,
2n− 1
2n
. (as respostas não estão na ordem)
2. Em cada item, encontre duas fórmulas para o termo geral da sequência, uma começando
com n = 1 e a outra com n = 0.
(a) 1,−r, r2,−r3, . . . (b) r,−r2, r3,−r4, . . .
Respostas: (−1)n+1rn, (−1)nrn+1, (−r)n, (−r)n−1. (as respostas não estão na ordem)
3. Determine o que se pede.
(a) Escreva os quatro primeiros termos da sequência {1+(−1)n}, começando com n = 0.
(b) Escreva os quatro primeiros termos da sequência {cosnpi}, começando com n = 0.
(c) Use os resultados nos itens (a) e (b) para expressar o termo geral da sequência
4, 0, 4, 0, . . . de duas formas diferentes, começando com n = 0.
Respostas: 2(1 + (−1)n); 2 + 2 cosnpi, 2, 0, 2, 0, 1,−1, 1,−1. (as respostas não estão na ordem)
4. Use o teorema do confronto para mostrar que
lim
n→∞
n!
nn
= 0.
5. Seja f a função f(x) = cos
(pi
2
x
)
e defina a sequência {an} e {bn} por an = f(2n) e
bn = f(2n+ 1).
(a) Existe lim
x→+∞
f(x)? Explique. Resp.: Não.
(b) Calcule a1, a2, a3, a4 e a5. Resp.: −1, 1,−1, 1,−1.
(c) {an} converge? Se convergir, encontre o limite. Resp.: Não.
6. Considerando a função do exercício 5, determine o que se pede.
(a) Calcule b1, b2, b3, b4 e b5.
(b) {bn} converge? Se convergir, encontre o limite.
(c) {f(n)} converge? Se convergir, encontre o limite.
1
7-18 Escreva os cinco primeiros termos da sequência, determine se ela converge e, se isso
acontecer, encontre o limite.
7.
{
n
n+ 2
}+∞
n=1
R.:
1
3
,
2
4
,
3
5
,
4
6
,
5
7
; converge; 1.
8. {2}+∞n=1
R.: 2, 2, 2, 2, 2; converge; 2.
9.
{
lnn
n
}+∞
n=1
R.:
ln 1
1
,
ln 2
2
,
ln 3
3
,
ln 4
4
,
ln 5
5
; converge; 0.
10.
{
(n+ 1)(n+ 2)
2n2
}+∞
n=1
R.:
6
2
,
12
8
,
20
18
,
30
32
,
42
50
; converge;
1
2
11.
{
n2
en
}+∞
n=1
R.: e−1, 4e−2, 9e−3, 16e−4, 25e−5; converge; 0
12.
{(
n+ 3
n+ 1
)n}+∞
n=1
R.: 2,
(
5
3
)2
,
(
6
4
)3
,
(
7
5
)4
,
(
8
6
)5
; converge; e2
13.
{
n2
2n+ 1
}+∞
n=1
R.:
1
3
,
4
5
,
9
7
,
16
9
,
25
11
; diverge; +∞.
14. {1 + (−1)n}+∞n=1
R.: 0, 2, 0, 2, 0; diverge.
15.
{
(−1)n 2n
3
n3 + 1
}+∞
n=1
R.: −1, 16
9
,−54
28
,
128
65
,−250
126
; diverge.
16.
{
pin
4n
}+∞
n=1
R.:
pi
4
,
pi2
42
,
pi3
43
,
pi4
44
,
pi5
45
; converge; 0.
17.
{(
1− 2
n
)n}+∞
n=1
R.: −1, 0, 1
33
,
(
2
4
)4
,
(
3
5
)5
; converge; e−2
18.
{
(−1)n+1n
n+ 1
}+∞
n=1
R.:
1
2
,−2
3
,
3
4
,−4
5
,
5
6
;
19-22 Encontre o termo geral da sequência, começando com n = 1, determine se a
sequência converge e, se isso acontecer, encontre o limite.
19.
1
2
,
3
4
,
5
6
,
7
8
, . . . R.:
{
2n− 1
2n
}∞
n=1
; converge; 1.
20.
1
3
,−1
9
,
1
27
,− 1
81
, . . . R.:
{
(−1)n+1 1
3n
}∞
n=1
; converge; 0.
21.
(
1− 1
2
)
,
(
1
3
− 1
2
)
,
(
1
3
− 1
4
)
,
(
1
5
− 1
4
)
, . . . R.:
{
(−1)n+1
(
1
n
− 1
n+ 1
)}∞
n=1
; converge; 0.
22. (
√
2−√3), (√3−√4), (√4−√5), . . . R.: {√n+ 1−√n+ 2}∞
n=1
; converge; 0.
23. Mostre que limn→+∞ 7−n3n−1 = 0.
24. Calcule lim
n→+∞
sin2 n
n
. R.: 0.
25. Para n suficientemente grande
√
1 + n2 e en + lnn se comportam, respectivamente,
como as sequências
√
n2 e en. Use este fato para mostrar que
lim
n→∞
√
1 + n2
en + lnn
= 0.
2
26. Considere a sequência
a1 =
√
6
a2 =
√
6 +
√
6
a3 =
√
6 +
√
6 +
√
6
a4 =
√
6 +
√
6 +
√
6 +
√
6
...
(a) Encontre uma fórmula de recursão para an+1. R.: an+1 =
√
6 + an.
(b) Supondo que a sequência convirja, encontre o seu limite. R.: L = 3.
27. Uma das mais famosas sequências é a sequência de Fibonacci (1710-1250), definida
pela recorrência un+1 = un + un−1, onde u1 = u2 = 1.
(a) Determine os dez primeiros termos desta sequência.
(b) Os termos da nova sequência xn =
un+1
un
dão uma aproximação para o igualmente
famoso número de ouro (ou razão áurea), denotado por τ . O Número de Ouro é um
número irracional misterioso e enigmático que surge numa infinidade de elementos
da natureza na forma de uma razão, sendo considerado por muitos antigos como uma
oferta dos deuses ao mundo. Este número aparece, por exemplo, em diversos templos
construídos para adoração de deuses da antiguidada. Determine uma aproximação
dos cinco primeiros termos dessa nova sequência.
(c) Supondo que τ = lim
n→+∞
xn, mostre que τ =
1
2
(1 +
√
5).
3
Sequências Monótonas
1-5 Use a diferença an+1 − an para mostrar que a sequência {an} dada é estritamente
crescente ou estritamente decrescente.
1.
{
1
n
}+∞
n=1
R.: decrescente.
3.
{
n
2n+ 1
}+∞
n=1
R.: crescente.
5. {n− 2n}+∞n=1 R.: decrescente.
7-11 Use a razão an+1/an para mostrar que a sequência {an} dada é estritamente crescente
ou estritamente decrescente.
7.
{
n
2n+ 1
}+∞
n=1
R.: crescente.
9. {ne−n}+∞n=1 R.: decrescente.
11.
{
nn
n!
}+∞
n=1
R.: crescente.
17-19 Use diferenciação para mostrar que a sequência {an} dada é estritamente crescente
ou estritamente decrescente.
17.
{
n
2n+ 1
}+∞
n=1
R.: crescente.
19. {arctann}+∞n=1 R.: crescente.
21-23 Mostre que a sequência {an} dada é, a partir de um certo termo, estritamente
crescente ou estritamente decrescente.
21. {2n2 − 7n}+∞n=1 R.: crescente a partir de um certo termo.
23.
{
n!
3n
}+∞
n=1
R.: crescente a partir de um certo termo.
4