Unidade 3 Cálculo avançado com números complexos

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CÁLCULO AVANÇADOCÁLCULO AVANÇADO
COM NÚMEROSCOM NÚMEROS
COMPLEXOSCOMPLEXOS
UNIDADE 3 –CÁLCULOUNIDADE 3 –CÁLCULO
AVANÇADO COM NÚMEROSAVANÇADO COM NÚMEROS
COMPLEXOSCOMPLEXOS
Autora: Érica Regina de SantanaAutora: Érica Regina de Santana
Revisor: Heitor OliveiraRevisor: Heitor Oliveira
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Introdução
Prezado(a) estudante,
Olhe agora ao seu redor e observe que estamos constantemente rodeados por
fenômenos da natureza e, sendo um pouco mais minuciosos, nos surpreenderemos com
os padrões e regularidades que nos cercam. Essas regularidades possuem padrões que
poderão ser expressos por representações numéricas e algébricas.
Também podemos pensar na soma de dois números ou mais; porém, como proceder com
a soma de infinitos números?
Nesta unidade, responderemos a algumas questões que integram a teoria das
sequências e séries infinitas. E não podemos deixar de mencionar Isaac Newton, que
com sua ideia de representação de funções como uma soma de séries infinitas,
demonstrou a importância das sequências e séries em Cálculo. Uma boa parte das
funções que trabalhamos em Física, Química e Matemática são definidas como soma de
séries.
Então vamos começar?
Bons estudos!
3.1 Sequências e séries
O estudo das sequências é fundamental para o estudo das séries infinitas e suas
aplicações, pois de maneira simplificada podemos definir uma série infinita como a soma
de uma sequência infinita de números. E em áreas de estudo diversas, como óptica,
relatividade especial e eletromagnetismo, há a análise de fenômenos que trocam uma
função pelos primeiros termos da série que a representa.
A teoria de sequências e séries infinitas, segundo Thomas (2012), tem uma importante
aplicação no método para representar uma função derivável conhecida f ( x ) como uma
soma infinita de potências de x , de forma que se pareça com um “polinômio com infinitos
termos”. Além disso, o método estende nosso conhecimento de como avaliar, derivar e
integrar polinômios, de forma que possamos trabalhar com funções ainda mais gerais do
que aquelas encontradas até aqui. Essas novas funções são frequentes soluções para
importantes problemas na ciência e na engenharia. Conheça, a seguir, um pouco sobre
dois grandes personagens que cooperaram nesses estudos:
O período moderno
» Clique nas abas para saber mais sobre o assunto
Fonte: THIEL; MODESTI, 2016. p. 117.
Como podemos observar, o período moderno apresentou grandes momentos e
movimentos para o desenvolvimento das teorias de cálculo. Ao final do século XVI e a
partir do século XVII deu-se início de forma mais intensa aos estudos e pensamentos, o
que contribuiu para a evolução da noção de função e, consequentemente, para o estudo
das sequências e séries.
 Fourier Bernard Placidus
3.2 Sequências
Uma sequência é representada como uma lista de números escritos em uma ordem
determinada. Veja o exemplo a seguir:
Sendo:
n (índice) um número inteiro que indica a posição a ( #PraCegoVer : a n )de um
número na sequência;
ɑ ( #PraCegoVer : a um ) o primeiro termo;
ɑ ( #PraCegoVer : a dois ) o segundo termo;
ɑ ( #PraCegoVer : a n ) o enésimo-termo;
ɑ ( #PraCegoVer : a n menos um ) o sucessor de ɑ ( #PraCegoVer : a n );
e como estamos abordando sequências infinitas, ɑ ( #PraCegoVer : a n maisum
) é o sucessor de ɑ ( #PraCegoVer : a n ).
n 
1 
2 
n 
n-1 n 
n+1 
n 
Assim, temos que para cada número inteiro positivo representado por n , teremos um
número a ( #PraCegoVer : a n ) correspondente. Nesse sentido, podemos afirmar que
uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos,
cuja representação usual é dada por a ( #PraCegoVer : a n ), e não por f (n) (
#PraCegoVer : f de n ).
Exemplo 1)
 A lista de números da sequência a = 2 [ #PraCegoVer : a n igual a dois elevado à n
], será a = 2 , a = 2 , a = 2 , … [ #PraCegoVer : a zero igual a dois elevado a
zero, a um igual a dois elevado a um, a dois igual a dois elevado a dois, reticências
]; então:
Exemplo 2)
 Determine a sequência dada por
Resolução : podemos representar a por
Então:
n 
n 
n 
n 
0 
0 
1 
1 
2 
2 
n 
VOCÊ SABIA?
Uma sequência muito conhecida é a sequência de Fibonacci. Podemos defini-la com
alguns recursos, como o apresentado a seguir:
De uma maneira mais simples, podemos definir cada termo da sequência de Fibonacci
como a soma dos dois termos precedentes, sendo assim, temos:
Também podemos representar uma sequência por meio de um gráfico. Como a
sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos números inteiros positivos,
teremos a representação em pontos isolados com coordenadas.
Temos como exemplo
Leonardo Fibonacci (1170 – 1250) foi um matemático italiano de grande
influência na Idade Média. O seu problema mais famoso foi o problema
dos coelhos: suponha que coelhos vivam para sempre e que a cada
mês cada par produza um novo par, que se torna reprodutivo com dois
meses de idade. Se começarmos com um par recém-nascido, quantos
pares de coelhos teremos no n-ésimo mês? O problema assuma uma
sequência infinita dada por:
Que, representando numericamente, é:
Considerando as coordenadas
Portanto, quanto maior for o valor de n , mais os termos da sequência
se aproximarão de 1. A análise facilita a visualização e a progressão desses valores, e a
comparação dos valores de n e a verifica a sua tendência a um limite:
Que, nesse caso, podemos representar como:
Segundo Stewart (2013), podemos definir que uma sequência { a } tem limite L . Assim,
escrevemos:
Se pudermos tornar os termos a tão próximos de L quanto quisermos ao fazer n
suficientemente grande, e se lim a ( #PraCegoVer : limite de a n com n tendendo
ao infinito ) existir, dizemos que a sequência converge (ou é convergente ); caso
contrário, dizemos que a sequência diverge (ou é divergente ).
n 
n 
n 
n→∞ n 
Também devemos citar que se
quando n é um inteiro, então
3.2.1 Convergência e divergência
Analisando algumas sequências, podemos verificar que às vezes seus números se
aproximam de um valor comum, à medida que o índice aumenta. Assim, como vimos nos
exemplos anteriores, dizemos que a sequência está convergindo a um valor limite. Dessa
forma, se explorarmos melhor essa sequência, até que o índice n seja maior que um
número N , a diferença entre a e o limite da sequência será menor que qualquer número
pré-selecionado ϵ > 0 ( #PraCegoVer : épsilon maior que zero ).
Segundo Thomas (2012), a sequência a converge para um número L se, para todo
número positivo ϵ, existir um número inteiro N correspondente, de modo que para todo n :
Se nenhum número L existir, dizemos que { a } diverge. Se { a } converge para L ,
escrevemos a = L ( #PraCegoVer : limite de a n com n tendendo ao infinito igual a l
), ou simplesmente a →L ( #PraCegoVer : a n tendendo a l ) . Chamamos L de limite
da sequência.
A sequência a diverge ao infinito se para cada número M houver um número inteiro N ,
tal que para todo n maior do que N, a > M ( #PraCegoVer : a n maior que M ). Se essa
condição for verdadeira, escrevemos:
n 
n 
n n 
n 
n 
n 
n 
De maneira semelhante, se para cada número m existir um número inteiro N , de forma
que, para todo n > N ( #PraCegoVer : n minúsculo maior que N maiúsculo ) tenhamos
a 0 ( #PraCegoVer : épsilon maior que zero ), provaremos que há
um número N inteiro de modo que, para todo n :
Essa condição será válida somente se
2. REGRA DA DIFERENÇA
3. REGRADA MULTIPLICAÇÃO POR
CONSTANTE
4. REGRA DO PRODUTO
5. REGRA DO QUOCIENTE
Se N for um inteiro e maior que
a condição será válida para todo n maior que N , nos provando assim que
Exemplo 4)
 Prove que a
é uma sequência divergente.
Resolução : supondo que
seja convergente para um número L , escolheremos
como definição do limite, assim todos os termos a da sequência com índice n maior que
um N devem se localizar a menos de
n 
de L . Uma vez que o número 1 aparece repetidamente como termo sim, termo não da
sequência, devemos ter o número 1 localizado a uma distância a menos que
de L.
Sendo que
Da mesma forma, o número -1 aparece repetidamente na sequência com índice
arbitrariamente alto. Assim, devemos ainda ter que
Entretanto, o número L não pode estar em ambos os intervalos
uma vez que ele não possui uma superposição. Dessa forma, não existe tal limite L e,
portanto, a sequência diverge.
Observe que o mesmo argumento funciona para qualquer número positivo e menor que
1, não somente
VAMOS PRATICAR?
Mostre que k = k . ( #PraCegoVer: limite de k com n tendendo ao infinito
igual a k ).
Identificar uma sequência convergente é importante e poderá auxiliar na resolução de
problemas e aplicação de propriedades. Considerando a e b sequências convergentes
e c uma constante, podemos citar que:
n n 
Assim, se a ≤ b ≤ c ( #PraCegoVer : a n menor ou igual a b n menor ou igual a c
n ) para n ≥ n ( #PraCegoVer : n maior ou igual a n de índice zero ), e
então:
que indica o teorema do confronto.
Exemplo 5)
 Determine
Resolução : 
Exemplo 6)
Cerifique se
n n n 
0 
é convergente ou divergente.
Resolução : dividiremos o numerador e o denominador por n :
Como o numerador é constante e o denominador se aproxima de 0, podemos afirmar que
a é divergente.n 
3.3 Séries de números complexos
De um modo simples, podemos dizer que uma série infinita é a soma de uma sequência
infinita de números:
Um exemplo simples que podemos pensar é em um número decimal infinito que
possamos representar por um número inteiro aproximado, por meio do arredondamento.
Quanto mais casas decimais esse número tiver, mais próximo estará do valor exato.
Duas séries importantes que devemos abordar são a série geométrica e a série de
números complexos. A série geométrica é dada pela soma dos termos de uma
sequência ou progressão geométrica, em que cada termo é obtido a partir do anterior,
sendo multiplicado por uma razão r .
Já a série de números complexos é dada pela soma dos termos de uma sequência de
números complexos. Uma sequência de números complexos é uma função cujo domínio
é o conjunto de números naturais N e o contradomínio o conjunto dos números
complexos C .
Podemos comparar uma série com uma dada série geométrica, a fim de verificar se há
CASO
O que queremos dizer quando expressamos um número com um decimal
infinito? Por exemplo, o que significa escrever:
A convenção por trás de nossa notação decimal é que qualquer número
pode ser escrito como uma soma infinita. Aqui, isso significa que:
“Onde os três pontos (...) indicam que a soma continua para sempre, e
quanto mais termos adicionarmos, mais nos aproximaremos do valor real
de π".
Fonte: STEWART, 2013. p. 636.
Como estamos falando da soma de infinitos termos, precisamos verificar um método para
encontrar o que queremos. Podemos resolver por meio da soma dos primeiros termos da
sequência, que será uma soma finita ordinária que poderá ser calculada pelos métodos
usuais. A chamaremos de n -ésima soma parcial, já que estamos somando os n primeiros
termos da sequência. Espera-se que, à medida que n aumente, essa soma parcial
chegue cada vez mais próxima de um limite, assim como os termos de uma sequência
infinita se aproximam de um limite, sempre buscando um padrão dessas somas
Observe:
ou não a soma da série. As séries numéricas que possuem termos positivos e negativos
exigem certos cuidados e critérios em sua abordagem, além disso, as séries de números
complexos podem ser reduzidas a séries de números reais.
Ao somarmos os termos determinando a soma parcial, tentaremos achar um padrão que
justifique o seu crescimento. Vamos expressar essa análise na tabela abaixo.
Tabela 1 – Soma parcial de uma série infinita
SOMA PARCIAL VALOR
EXPRESSÃO
SUGERIDA
PARA SOMA
PARCIAL
Primeira S = 1 1 2 - 1
Segunda S = 1 + ½ 3/2 2n – 1/2 
Terceira S = 1 + ½ + ¼ 7/4 2 – ¼
⁞ ⁞ ⁞ ⁞
n -ésima
S = 1 + ½ + ¼
+ …
+ 1/2 
2n – 1/2 2 – 1/2 
Fonte: THOMAS, 2012. (Adaptado).
1 
2 
n - 1
3 
n 
n - 1
n - 1 n - 1
#PraCegoVer: A tabela apresenta os termos de uma soma parcial de
uma série infinita. Na primeira coluna, aparece a classificação
Assim, é perceptível que há um padrão, e com isso podemos estabelecer um termo geral
dado por,
que converge para 2, sendo expresso por
Assim, a soma da série infinita é:
Combinando séries
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ordinal dos termos (primeira, segunda, terceira, três pontinhos, n-
ésima), na segunda coluna as somas parciais (s um igual a um, s
dois igual a um mais meio, s três igual a um mais meio mais um
quarto e assim sucessivamente), na terceira coluna é apresentado o
valor encontrado da soma parcial (um, três meios, sete quartos, três
pontinhos e dois elevado a n-ésima potência menos um sobre dois
elevado a n menos 1) e na última coluna são apresentadas as
expressões sugeridas para as somas parciais (sendo dada a
expressão geral dois menos um sobre dois elevado à n menos 1).
3.3.1 Convergência e divergência
Dada uma série
denota-se por s sua n -ésima soma parcial como:
Se a sequência { s } for convergente e
existir como um número real, então a série Σ a ( #PraCegoVer : somatório de a n ) é
chamada de convergente, e escrevemos:
O número s é chamado a soma da série. Se a sequência { s } é divergente, então a
série é chamada divergente.
 Regra da soma Regra da diferença
Regra da multiplicação por constante
n 
n 
n 
n 
 Podemos ainda afirmar que a soma de uma série é o limite da sequência de somas
parciais. Assim, ao escrevermos
expressamos que, ao somarmos uma certa quantidade de termos de uma série, nos
aproximamos de s . Então:
Exemplo 7)
Sendo a soma dos primeiros n termos de uma série
dada por:
determine o limite de s .
Resolução:
Séries geométricas
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n 
O QUE SÃO SÉRIES GEOMÉTRICAS?Em que a e r (razão) são números reais fixos e a≠0 ( #PraCegoVer : a
diferente de zero )
Exemplo 8)
 Verifique se a série
diferente de zero ).
A série pode ainda ser escrita como
RAZÃO
a razão de uma série geométrica pode ser positiva ou negativa. Veja os
exemplos a seguir:
CONVERGÊNCIA E DIVERGÊNCIA
Se |r|somatório de a n ) for convergente, o
limite da sequência Σa ( #PraCegoVer : somatório de a n ) é s (a soma da série) e o
limite da sequência { a } será 0. Mas se
não podemos concluir que Σa ( #PraCegoVer : somatório de a n ) seja convergente.
Observe que, para a série harmônica
temos
quando n→∞ ( #PraCegoVer : n tende ao infinito ).
Agora, apresentaremos alguns dos teoremas importantes, observe a interação:
n 
n n 
n 
n 
n 
Transmissão de mensagens na rede
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3.3.2 Séries de funções
As definições de limite e convergência de sequências e séries de números complexos
são as mesmas apresentadas no campo dos números reais. Não podemos esquecer a
relação entre as funções analíticas e os números complexos, fato importante, pois
podemos desenvolver as funções analíticas em séries de potências.
A série de uma função é dada por
sendo f ( #PraCegoVer : f de n ) uma função. E essa série será convergente, em B , se
a função s : B→R ( #PraCegoVer : s dois pontos B tendendo a R ), para cada x∈B (
#PraCegoVer : x pertencente a B ), sendo:
 
 
 
Teste da integral Teste da comparação
Teste de comparação no limite Teste da razão Teste de raiz
Teste da série alternada (teste de Leibniz)
Estimas de séries alternadas
Teorema de convergência para séries de potências
Teste de divergência Critério de convergência para série alternada
n 
Chamaremos s ( n ) de soma da série de função de
sendo o domínio de s = s(x) ( #PraCegoVer : s igual a s de x ) o conjunto de todos os
valores de x para os quais a série convergirá.
Exemplo 11)
 É do nosso conhecimento que para todo x , com |x| 0 ( #PraCegoVer : épsilon maior que zero ) dado existir
um natural n0 tal que, para todo x ∈B ( #PraCegoVer : x pertence a B ). Assim,
VOCÊ O CONHECE?
Augustin Louis Cauchy nasceu em Paris, em 21 de agosto de 1789, no
ano em que teve início a Revolução Francesa. Era o mais velho entre
dois irmãos e quatro irmãs. O pai era um homem gentil e de grande
cultura, advogado de profissão. Com quatro anos mudou-se para
Arcueil, pois devido à revolução francesa era impossível viver em Paris.
Como as escolas estavam fechadas na época da revolução, foi o seu
pai que lhe ensinou as primeiras letras. Após a Revolução Francesa, a
família Cauchy passou por dificuldades e enquanto criança, Cauchy foi
mal alimentado. Laplace e Lagrange, amigos do pai, repararam no
talento matemático do pequeno Cauchy e ajudaram-no no ensino da
matemática, principalmente na construção de círculos que são
tangentes a três círculos dados.
No critério de Cauchy para a convergência de uma série de funções, entende-se que
série de funções
converge uniformemente, em B , a função
se, e somente se, para todo ϵ>0 ( #PraCegoVer : épsilon maior que zero ) dado, existir
um natural n tal que, quaisquer que sejam os naturais m e n e para todo x ∈B (
#PraCegoVer : x pertencente a B ). Assim,
Critério M de Weierstrass
 Suponhamos que
0 
seja uma série de funções e suponhamos que exista uma série numérica
tal que, para todo x ∈B ( #PraCegoVer : x pertencente a B ) e para todo natural k :
Nessas condições, se a série
for convergente, então a série
convergirá uniformemente, em B, à função
Exemplo 13)
 Mostre que a série
é uniformemente convergente em R .
Resolução: para todo k≥1 ( #PraCegoVer : k maior ou igual a um ),
Assim, a série
é convergente. Segundo o critério M de Weierstrass, a série dada converge
uniformemente em r à função
Exemplo 14)
 Seja s = s(x) ( #PraCegoVer : s igual a s de x ) uma função dada por
Resolução : para todo x e todo k ≥ 1 ( #PraCegoVer : k maior ou igual a um ),
A série converge absolutamente para todo x . O domínio de s = s(x) ( #PraCegoVer : s
igual a s de x ) é R .
3.3.3 Séries de funções
Podemos expressar algumas funções como somas de séries de potências, manipulando
séries geométricas ou derivando/integrando essas séries. A expressão dessas funções
por meio de somas infinitas é uma estratégia muito útil para integrar funções que não têm
antiderivadas elementares e aproximar funções por polinômios.
Observe a equação:
Ao considerarmos essa equação como uma série geométrica, teremos a = 1 e r = x (
#PraCegoVer : a igual a um e r igual a x ) cujo limite é representado desta forma:
Mas aqui nos interessa expressar a equação como uma função:
e como uma soma de uma série de potências. Observe a representação gráfica de
algumas somas parciais da função, em que
é a n -ésima soma parcial. A medida que n aumenta, s ( x ) ( #PraCegoVer : s com
índice n de x ) se torna uma aproximação cada vez melhor de f(x) ( #PraCegoVer : f de
x ) para -1de zero e b m
igual a zero, qualquer m igual a k mais um, k mais dois, reticências ) dizemos
que z é um polo de ordem k ;
0 
0 0 
m 
0 
k m 
0 
∀m ∈N, ∃k>m|b ≠0 ( #PraCegoVer : qualquer m pertence a N , existe um k
maior que m com b k diferente de zero ) dizemos que z é uma singularidade
essencial.
Agora vejamos alguns exemplos de funções complexas e singularidades:
Exemplo 17)
 Sendo
todos os pontos do eixo real negativo, incluindo a origem, são pontos singulares, embora
não existam pontos singulares isolados.
Exemplo 18)
 A função
tem pontos isolados em z = 0 , z = 2i e z = -2i ( #PraCegoVer : z igual a zero, z igual a a
dois i , e z igual a menos dois i ).
Exemplo 19)
 Considere
dado por
k 
0 
Resolução : Como
Assim z = 0 é uma singularidade removível.
Exemplo 20)
Consideraremos a função
primeiro em uma vizinhança de z = 0 , digamos |z| 1 ( #PraCegoVer : R maior que um ), o
contorno formado pelo segmento [-R, R], seguindo de C , contém o polo z = i , em que o
resíduo de f é
Pelo teorema do resíduo,
Por outro lado,
sendo
R 
R 
Isto mostra que
Logo, passando ao limite com R→∞ ( #PraCegoVer : R tendendo ao infinito ), obtemos:
que é o resultado procurado.
Exemplo 24)
 Calcule
Resolução: a integral é:
O integrando é:
em que
São polos simples, sendo C o semicírculo do semiplano superior de um círculo |z| = R (
#PraCegoVer : módulo de z igual a R ), em que
Assim, teremos:
Integrando f no sentido anti-horário, ao longo da fronteira da região semicircular temos
Quando z está sobre C , ou seja, |z| = R ( #PraCegoVer : módulo de z igual a R ),
temos:
sendo
Assim:
R 
R 
Logo, passando ao limite com R→∞ ( #PraCegoVer : R tendendo ao infinito ), obtemos:
Teste seus conhecimentos
Atividade não pontuada.
Síntese
Nesta unidade vimos que uma sequência é representada como uma lista de números
escritos em uma ordem determinada. Uma sequência { a } tem limite L e escreveremos
se pudermos tornar os termos a tão próximos de L quanto quisermos ao fazer n
suficientemente grande. Se lim a existir, dizemos que a sequência converge (ou é
convergente ). Caso contrário, dizemos que a sequência diverge (ou é divergente ).
Ademais, discutimos que, de um modo simples, podemos dizer que uma série infinita é a
soma de uma sequência infinita de números, e que a soma de uma série é o limite da
sequência de somas parciais. Estabelecemos, também que as definições de limite e
convergência de sequências e séries de números complexos são as mesmas
apresentadas no campo dos números reais.
Por fim, vimos o teorema do resíduo : seja f uma função regular e univalente em uma
n 
n 
n→∞ n 
região simplesmente convexa R , exceto em um número finito de singularidades isoladas
z , …, z ( #PraCegoVer : z um, reticências, z k ), então
em que C é um contorno fechado de R , envolvendo z , …, z ( #PraCegoVer : z um,
reticências, z k ) uma vez no sentido positivo.
SAIBA MAIS
Título : Um curso de cálculo – Volume 4
Autor : Hamilton Luiz Guidorizzi
Editor : LTC
Ano : 2018
Comentário : Seu diferencial são os recursos pedagógicos digitais
inéditos e exclusivos, que servem tanto para aprofundar quanto para fixar
a aprendizagem dos estudantes de Cálculo.
Onde encontrar : Biblioteca Virtual da
1 k 
1 k 
Referências bibliográficas
STEWART, J. Cálculo II . Tradução da 7. ed. americana. São Paulo, 2013.
THIEL, A. A.; MODESTI, M. S. O cálculo e a matemática superior : algumas aplicações.
Blumenau: Instituto Federal Catarinense, 2016.
THOMAS, G. B. Cálculo . 11. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2008. v. 1.
THOMAS, G. B. Cálculo . 12. ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil, 2012. v. 2.
GUIDORIZZI, H. L. Um cálculo de cálculo, 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2013. vol. 4.
ÁVILA, Geraldo. Variáveis complexas e aplicações. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.