ESTACIO - EXERCICIO -Funções De Várias Variáveis e Suas Derivadas - ENGENHARIA MECANICA

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A
B
C
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E
A
B
C
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

Determine a derivada direcional da função , na direção
do vetor   no ponto (x,y) = (1,1).
f(x, y)  = + 52x2
y
( ,   − )√3
2
1
2
2√3
2√3 +  1 
2√3 −  1 
√3 +  1 
1  −  √3
2 Marcar para revisão


Considere a função . Sabe-se que x(u,v)=u v e
y(u,v)=uv. Determine o valor da expressão   para (u,v)=(1,2).
g(x, y)  = arctg(2x + y) 2
37 ( + )∂g
∂u
∂g
∂v
11.
12.
13.
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B
C
D
E
A
B
14.
15.
3 Marcar para revisão
Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas
variáveis independentes afetam a função composta. Sejam as funções  
 calcule
 .
f (x, y) = exy, g (t) = cos t, h (t) = senteF (t) = f (g (t) ,  h (t))
F ′ (0)
0.
1.
2.
3.
4.
4 Marcar para revisão
O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de todos os valores
possíveis para as variáveis independentes que permitem que a função seja
definida. Sabendo disso, com relação a , pode se
afirmar que:
lim
(x,y)→(0,0)
 
xy
x4  +  y2
∃.̸
0.
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1.
2.
-3.
5 Marcar para revisão
A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia,
economia e ciências naturais, onde muitos fenômenos são descritos por
funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada
por , onde  e  são medidos em centímetros e
um objeto está no ponto . A trajetória do objeto em cada instante
  (segundos) é dada por , dessa forma, determine a taxa de
variação de temperatura em relação ao tempo no ponto  .
T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2 x y
P = (2,  1)
t r (t) = (t, )t2
4
Q = (4,  4)
80°C/ seg.
48°C/ seg.
-48°C/ seg.
-80°C/ seg.
-28°C/ seg.
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O entendimento e a aplicação correta da regra da cadeia são essenciais para
a análise e otimização de funções de várias variáveis em diversos campos
científicos e aplicados. Considere a função
  e a curva espacial
 . Determine a derivada da função
 , quanto  ou seja  sabendo que  
 .
f (x, y, z) = x2 + 3y2 + z2 − 2xy
α (t) = (x (t) , y (t) ,  z (t))
g (t) = f (x (t) , y (t) ,  z (t)) t = t0, g′ (t0)
x (t0) = 1,   y (t0) = 2,   z (t0) = −1 e x′(t0) = 2, y ′(t0) = √2, z′(t0) = 1
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B
C
D
E
A
B
C
D
E
9√2 − 6.
10√2 − 6.
11√2 − 6.
8√2 − 6.
5√2 − 6.
7 Marcar para revisão
As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o
movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de
temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um fluido. Considere
uma placa de metal cuja temperatura (em °C) é dada por
 , onde x e y são medidos em centímetros e um
objeto está no ponto . Determine a temperatura do objeto se este
for na direção do vetor  .
T (x, y) = 36 − 2x2 − 4y2
P = (2,  1)
v = (1, 1) .
−16√2.
16√2.
8√2.
−8√2.
0.
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Determine a derivada direcional da função , na direção
do vetor   no ponto (x,y) = (1,1).
f(x, y)  = + 52x2
y
( ,   − )√3
2
1
2
2√3
2√3 + 1
2√3 − 1
√3 + 1
1 − √3
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O entendimento e a aplicação correta da regra da cadeia são essenciais para
a análise e otimização de funções de várias variáveis em diversos campos
científicos e aplicados. Considere a função
  e a curva espacial
 . Determine a derivada da função
 , quanto  ou seja  sabendo que  
 .
f (x, y, z) = x2 + 3y2 + z2 − 2xy
α (t) = (x (t) , y (t) ,  z (t))
g (t) = f (x (t) , y (t) ,  z (t)) t = t0, g′ (t0)
x (t0) = 1,   y (t0) = 2,   z (t0) = −1 e x′(t0) = 2, y ′(t0) = √2, z′(t0) = 1
9√2 − 6.
10√2 − 6.
11√2 − 6.
8√2 − 6.
5√2 − 6.
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A derivada parcial é uma das principais ferramentas para analisar funções de
várias variáveis. Ela permite calcular a taxa de variação da função em relação
a uma variável específica, mantendo as demais constantes. Sobre as
derivadas parciais, marque a afirmativa correta.
Se uma função  possui derivadas parciais contínuas,
então ela é diferenciável.
f :  R2 → R
Se uma função  diferenciável em  pode não
ter plano tangente em .
f :  R2 → R (x0,  y0)
(x0,  y0, f (x0,  y0))
Toda função  contínua em um ponto  é diferenciável
em .
f :  R2 → R P
P
A função  tem derivadas direcionais em
todas as direções do ponto .
f (x,  y) = √x2 + y2
(0,  0)
Para provar que uma função  é contínua em ,
basta provar que  existe sobre todas as retas
que passam por .
f :  R2 → R (x0,  y0)
lim
(x,y)→(x0,y0)
f(x, y)
(x0,  y0)
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