Exercícos Calculo

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<p>1</p><p>Levando-se em consideração uma função vetorial F(t) = (f(t), g(t), h(t)), em que f(t), g(t) e h(t) são funções componentes dependendo do parâmetro t. Ao calcular a derivada de F(t) em um ponto específico, o vetor resultante será:</p><p>B</p><p>Paralelo à trajetória definida pela função vetorial</p><p>2</p><p>Levando-se em consideração uma função vetorial F(t) = (f(t), g(t), h(t)), em que f(t), g(t) e h(t) são funções componentes dependendo do parâmetro t. Ao calcular a derivada de F(t) em um ponto específico, o vetor resultante será:</p><p>B</p><p>Diagonal à trajetória definida pela função vetorial</p><p>3</p><p>Considere uma função vetorial F(t) = (f(t), g(t), h(t)), em que f(t), g(t) e h(t) são funções componentes dependendo do parâmetro t. Para determinar o limite dessa função vetorial quando t se aproxima de um determinado valor, pode-se utilizar o seguinte método:</p><p>A</p><p>Obter o limite de cada uma das funções componentes</p><p>4</p><p>A área definida pela equação ρ =cos 3θρ =cos 3θ , para o intervalo 0 0, vale π16π16 . Qual é o valor de κκ ?</p><p>B</p><p>π/4</p><p>5</p><p>Sabendo que →F (u) =⟨u3 +2u, 6, √u ⟩F→ (u) =⟨u3 +2u, 6, u ⟩ m(u) = √uu, assinale a alternativa que apresenta a derivada da função →G (u) =32 →F (m(u))G→ (u) =32 F→ (m(u)) no ponto u = 4:</p><p>B</p><p>⟨200, 0, 1 ⟩</p><p>6</p><p>Qual é o valor de →G (0)G→ (0) para que a função →G (t)=⟨ett+1, √t+1 −1t, 2 sen tt⟩G→ (t)=⟨ett+1, t+1 −1t, 2 sen tt⟩ seja contínua em t = 0?</p><p>B</p><p>⟨1, 1/2, 2⟩</p><p>7</p><p>Qual é o valor de →G(0)G→(0) para que a função →G(t)=⟨e2t+1,√t+1−1t,2sentt⟩G→(t)=⟨e2t+1,t+1−1t,2sen⁡tt⟩ seja contínua em t=0t=0 ?</p><p>E</p><p>8</p><p>Considere um ponto P no plano cartesiano. Se suas coordenadas polares são representadas por ρ e θ, respectivamente, então ρ e θ representam, respectivamente:</p><p>A</p><p>A distância do ponto P à origem do sistema polar e o ângulo que a reta OP faz com o eixo das ordenadas</p><p>9</p><p>Considere uma curva parametrizada no espaço tridimensional. Se um vetor V é tal que o seu produto escalar com o vetor tangente à curva é igual a zero, então:</p><p>C</p><p>O vetor V será normal à curva</p><p>10</p><p>Considere um ponto P no plano cartesiano com coordenadas polares (ρ, θ). Se o ponto P tem coordenadas polares (3, π/4), então suas coordenadas cartesianas (x, y) podem ser calculadas da seguinte forma:</p><p>C</p><p>x = 3cos(π/4), y = 3sen(π/4)</p><p>1</p><p>As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um fluido. Dessa forma, determine a derivada direcional f(x,y,z)=xy+y2zf(x,y,z)=xy+y2z  no ponto P=(7,−2, 1)P=(7,−2, 1)  na direção do vetor v=(2, 2, 1)v=(2, 2, 1) .</p><p>D</p><p>2.</p><p>2</p><p>A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada por T(x,y)=36−2x2−4y2T(x,y)=36−2x2−4y2 , onde xx  e yy  são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P=(2, 1)P=(2, 1) . A trajetória do objeto em cada instante tt  (segundos) é dada por r(t)=(t,t24)r(t)=(t,t24) , dessa forma, determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto  Q=(4, 4)Q=(4, 4) .</p><p>D</p><p>-80°C/ seg.</p><p>3</p><p>A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada por T(x,y)=36−2x2−4y2T(x,y)=36−2x2−4y2 , onde xx  e yy  são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P=(2, 1)P=(2, 1) . A trajetória do objeto em cada instante tt  (segundos) é dada por r(t)=(t,t24)r(t)=(t,t24) , dessa forma, determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto  Q=(4, 4)Q=(4, 4) .</p><p>D</p><p>-80°C/ seg.</p><p>4</p><p>O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de todos os valores possíveis para as variáveis independentes que permitem que a função seja definida. Sabendo disso, com relação a lim(x,y)→(0,0) xyx4 + y2lim(x,y)→(0,0) xyx4 + y2 , pode se afirmar que:</p><p>B</p><p>∄.∄.</p><p>5</p><p>A regra da cadeia é um conceito fundamental na diferenciação de funções de várias variáveis e permite calcular a derivada de uma função composta. Sabendo que  f(x,y)f(x,y)  é uma função diferenciável no ponto (2,1)(2,1)  de forma que fx(2,1)=2.fx(2,1)=2. Se r(t)=(t+2, e2t)r(t)=(t+2, e2t)  sabendo que ddtf(r(t)|t=0=−2ddtf(r(t)|t=0=−2 , quanto vale fy(2,1)fy(2,1) ?</p><p>A</p><p>-2.</p><p>6</p><p>As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um fluido. Considere uma placa de metal cuja temperatura (em °C) é dada por T(x,y)=36−2x2−4y2T(x,y)=36−2x2−4y2 , onde x e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P=(2, 1)P=(2, 1) . Determine a temperatura do objeto se este for na direção do vetor  v=(1,1).v=(1,1). .</p><p>A</p><p>−8√2</p><p>7</p><p>Seja a função f(x, y, z) =x3y−z4y2f(x, y, z) =x3y−z4y2, onde x = (u+1)ev−1ev−1, y = u+ 2v e z = v cos u. Determine o valor da derivada parcial de f em relação a v para u = 0 e v = 1.</p><p>B</p><p>-19.</p><p>8</p><p>Com a regra da cadeia, podemos determinar como pequenas mudanças nas variáveis independentes afetam a função composta. Sejam as funções  f(x,y)=exy,g(t)=cost,h(t)=senteF(t)=f(g(t), h(t))f(x,y)=exy,g(t)=cos⁡t,h(t)=senteF(t)=f(g(t), h(t)) calcule F′(0)F′(0) .</p><p>D</p><p>1.</p><p>9</p><p>As funções de várias variáveis podem representar fenômenos físicos, como o movimento de partículas em um espaço tridimensional, a distribuição de temperatura em um objeto ou a variação da pressão em um fluido. Considere uma placa de metal cuja temperatura (em °C) é dada por T(x,y)=36−2x2−4y2T(x,y)=36−2x2−4y2 , onde x e y são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P=(2, 1)P=(2, 1) . Determine a temperatura do objeto se este for na direção do vetor  v=(1,1).v=(1,1). .</p><p>B</p><p>−8√2</p><p>10</p><p>Seja a função h(x, y, z) =(x+2)2ln (y2+z)h(x, y, z) =(x+2)2ln (y2+z). Determine o vetor gradiente de h(x,y,z)</p><p>C</p><p>(2(x+2)ln(y2+z),2y(x+2)2y2+z, (x+2)2y2+z)</p><p>1</p><p>A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume ∭ E√x2+y2dV∭E x2+y2dV , sabendo que EE  compreende a região contida dentro do cilindro x2+y2=16x2+y2=16  e entre os planos z=−5z=−5  e z=4z=4 .</p><p>A</p><p>384π.</p><p>B</p><p>284π284π</p><p>C</p><p>484π.484π.</p><p>D</p><p>84π.84π.</p><p>E</p><p>184π.184π.</p><p>2</p><p>Marcar para revisão</p><p>Seja o sólido limitado pelos planos z =9z =9 e pelo paraboloide z =25−x2−y2z =25−x2−y2. Sabe-se que sua densidade volumétrica de massa é dada pela equação δ (x,y,z) =x2y2δ (x,y,z) =x2y2. Marque a alternativa que apresenta a integral tripla que determina o momento de inércia em relação ao eixo z.</p><p>A</p><p>5∫−5√16−x2∫−√16−x225−x2−y2∫9 (x2+y2)x2y2dxdydz∫−55∫−16−x216−x2∫925−x2−y2 (x2+y2)x2y2dxdydz</p><p>B</p><p>4∫0√16−x2∫025−x2−y2∫0 (x2+y2)x2y2dzdydx∫04∫016−x2∫025−x2−y2 (x2+y2)x2y2dzdydx</p><p>C</p><p>4∫−4√16−x2∫−√16−x225−x2−y2∫9 x2y2dxdydz∫−44∫−16−x216−x2∫925−x2−y2 x2y2dxdydz</p><p>D</p><p>4∫−4√16−x2∫−√16−x225−x2−y2∫9 (x2+y2)x2y2dzdydx∫−44∫−16−x216−x2∫925−x2−y2 (x2+y2)x2y2dzdydx</p><p>E</p><p>4∫0√16−x2∫−√16−x225−x2−y2∫0 (x2+y2)x2y2dzdydx∫04∫−16−x216−x2∫025−x2−y2 (x2+y2)x2y2dzdydx</p><p>3</p><p>Marcar para revisão</p><p>Determine o valor de 1∫00∫xz−x∫0 6(x+z)dV∫01∫x0∫0z−x 6(x+z)dV</p><p>A</p><p>4</p><p>B</p><p>3</p><p>C</p><p>2</p><p>D</p><p>1</p><p>E</p><p>0</p><p>4</p><p>Marcar para revisão</p><p>As integrais são poderosas ferramentas da matemática, e são usadas em uma variedade de campos, desde a física e a engenharia até a economia e a biologia. Determine a massa do sólido contido no primeiro octante limitada pelos planos coordenados e pelo plano x+y+z=2x+y+z=2 , sabendo que a densidade do sólido é  ρ(x, y,z)=2xρ(x, y,z)=2x .</p><p>A</p><p>1.1.</p><p>B</p><p>13.13.</p><p>C</p><p>4/3.</p><p>D</p><p>53.53.</p><p>E</p><p>23.23.</p><p>5</p><p>Marcar para revisão</p><p>Determine o volume do sólido definido pelo cilindro parabólico x=y2x=y2 e pelos planos x = 4, z = 6 e z = 0.</p><p>A</p><p>32</p><p>B</p><p>128</p><p>C</p><p>256</p><p>D</p><p>64</p><p>E</p><p>16</p><p>6</p><p>Marcar para revisão</p><p>Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral ∫π0∫π0∫π0cos(u+v+w) dudvdw∫0π∫0π∫0πcos⁡(u+v+w) dudvdw .</p><p>A</p><p>0.</p><p>B</p><p>3π2.3π2.</p><p>C</p><p>2π.2π.</p><p>D</p><p>π.π.</p><p>E</p><p>π2.π2.</p><p>7</p><p>Marcar para revisão</p><p>A utilização de coordenadas cilíndricas</p><p>muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume ∭ E√x2+y2dV∭E x2+y2dV , sabendo que EE  compreende a região contida dentro do cilindro x2+y2=16x2+y2=16  e entre os planos z=−5z=−5  e z=4z=4 .</p><p>A</p><p>84π.84π.</p><p>B</p><p>184π.184π.</p><p>C</p><p>284π284π</p><p>D</p><p>384π.</p><p>E</p><p>484π.484π.</p><p>8</p><p>Marcar para revisão</p><p>As integrais podem ser usadas para calcular a massa total de um objeto em três dimensões. Determine o centro de massa de um sólido de densidade constante limitado abaixo pelo plano z=0z=0 , acima pelo cone z=r, r≥0z=r, r≥0  e dos pelo cilindro r=1r=1 .</p><p>A</p><p>(0, 0,3/8).</p><p>B</p><p>(0, 38,0).(0, 38,0).</p><p>C</p><p>(38, 0,38).(38, 0,38).</p><p>D</p><p>(0, 0, 0).(0, 0, 0).</p><p>E</p><p>(38, 38, 38).(38, 38, 38).</p><p>9</p><p>Marcar para revisão</p><p>Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral  é  ∫10∫10∫10x2+y2+z2 dzdydx:∫01∫01∫01x2+y2+z2 dzdydx:</p><p>A</p><p>1/2.</p><p>B</p><p>5/2.</p><p>C</p><p>1.</p><p>D</p><p>0.</p><p>E</p><p>3/2.</p><p>10</p><p>Marcar para revisão</p><p>A integral tripla é denotada como ∭f(x,y,z) dV∭f(x,y,z) dV , onde  é a função a ser integrada e  é um elemento infinitesimal de volume. Dessa forma o valor do volume dado pela integral ∫21∫1−1∫20x+y+z dxdydz∫12∫−11∫02x+y+z dxdydz  é:</p><p>A</p><p>10.</p><p>B</p><p>15.</p><p>C</p><p>1/4.</p><p>D</p><p>5/2.</p><p>E</p><p>26.</p><p>Questões</p><p>Finalizar exercício</p><p>1</p><p>Marcar para revisão</p><p>Considere um ponto P no plano cartesiano. Se suas coordenadas polares são representadas por ρ e θ, respectivamente, então ρ e θ representam, respectivamente:</p><p>A</p><p>A distância do ponto P ao eixo polar e o ângulo que a reta OP faz com o eixo das abscissas.</p><p>B</p><p>A distância do ponto P ao eixo das ordenadas e o ângulo que a reta OP faz com o eixo polar.</p><p>C</p><p>A distância do ponto P à origem do sistema polar e o ângulo que a reta OP faz com o eixo das ordenadas</p><p>D</p><p>A distância do ponto P à origem do sistema polar e o ângulo que a reta OP faz com o eixo polar.</p><p>E</p><p>A distância do ponto P ao eixo das abscissas e o ângulo que a reta OP faz com o eixo polar.</p><p>2</p><p>Marcar para revisão</p><p>Uma pessoa está caminhando em um parque, seguindo uma trilha sinuosa que segue as direções indicadas por setas. Esse exemplo ilustra um conceito fundamental em vetores, que é:</p><p>A</p><p>O vetor como uma medida de distância percorrida</p><p>B</p><p>O vetor como uma grandeza escalar</p><p>C</p><p>O vetor como uma quantidade aleatória de deslocamento</p><p>D</p><p>O vetor como uma quantidade puramente numérica</p><p>E</p><p>O vetor como uma quantidade vetorial com direção e sentido</p><p>3</p><p>Marcar para revisão</p><p>Considere uma função vetorial F(t) = (f(t), g(t), h(t)), em que f(t), g(t) e h(t) são funções componentes dependendo do parâmetro t. Para determinar se essa função é diferenciável em um intervalo, é necessário verificar:</p><p>A</p><p>A existência da derivada parcial de F(t) em relação a t em todo o intervalo</p><p>B</p><p>A derivabilidade das funções componentes f(t), g(t) e h(t) em todo o intervalo.</p><p>C</p><p>A existência do limite da função F(t) em todo o intervalo</p><p>D</p><p>A existência do limite da derivada de F(t) em todo o intervalo</p><p>E</p><p>A continuidade da função F(t) em todo o intervalo</p><p>4</p><p>Marcar para revisão</p><p>A regra da cadeia é amplamente aplicada em áreas como física, engenharia, economia e ciências naturais, onde muitos fenômenos são descritos por funções de várias variáveis. Uma placa de metal tem sua temperatura dada por T(x,y)=36−2x2−4y2T(x,y)=36−2x2−4y2 , onde xx  e yy  são medidos em centímetros e um objeto está no ponto P=(2, 1)P=(2, 1) . A trajetória do objeto em cada instante tt  (segundos) é dada por r(t)=(t,t24)r(t)=(t,t24) , dessa forma, determine a taxa de variação de temperatura em relação ao tempo no ponto  Q=(4, 4)Q=(4, 4) .</p><p>A</p><p>80°C/ seg.</p><p>B</p><p>48°C/ seg.</p><p>C</p><p>-48°C/ seg.</p><p>D</p><p>-80°C/ seg.</p><p>E</p><p>-28°C/ seg.</p><p>5</p><p>Marcar para revisão</p><p>As funções de várias variáveis descrevem relações complexas entre múltiplas grandezas. Sabendo disso, determine o domínio da função escalar h(x, y)=g(f(x, y))h(x, y)=g(f(x, y)) , sabendo que =f(x, y)=1−xy1+x2y2=f(x, y)=1−xy1+x2y2  e g(t)=t+lntg(t)=t+ln⁡t .</p><p>A</p><p>Df={(x,y)∈R2∣∣ xy1}.Df={(x,y)∈R2| x2y2>1}.</p><p>C</p><p>Df={(x,y)∈R2∣∣ xy>1}.Df={(x,y)∈R2| xy>1}.</p><p>D</p><p>Df={(x,y)∈R2∣∣ x2y2</p><p>B</p><p>10,67.</p><p>C</p><p>9,67.9,67.</p><p>D</p><p>13,67.</p><p>E</p><p>12,67.</p><p>5</p><p>Marcar para revisão</p><p>Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma, calcule a integral ∫π0∫π0∫π0cos(u+v+w) dudvdw∫0π∫0π∫0πcos⁡(u+v+w) dudvdw .</p><p>A</p><p>3π2.3π2.</p><p>B</p><p>0.</p><p>C</p><p>π2.π2.</p><p>D</p><p>2π.2π.</p><p>E</p><p>π.π.</p><p>6</p><p>Marcar para revisão</p><p>A utilização de coordenadas cilíndricas muitas vezes facilita na resolução de integrais. Dessa forma, calcule o volume ∭ E√x2+y2dV∭E x2+y2dV , sabendo que EE  compreende a região contida dentro do cilindro x2+y2=16x2+y2=16  e entre os planos z=−5z=−5  e z=4z=4 .</p><p>A</p><p>284π284π</p><p>B</p><p>184π.184π.</p><p>C</p><p>384π.</p><p>D</p><p>84π.84π.</p><p>E</p><p>484π.484π.</p><p>7</p><p>Marcar para revisão</p><p>Uma integral tripla é uma extensão de uma integral dupla, que é usada para calcular a área de superfícies bidimensionais. Dessa forma o valor da integral  é  ∫10∫10∫10x2+y2+z2 dzdydx:∫01∫01∫01x2+y2+z2 dzdydx:</p><p>A</p><p>3/2.</p><p>B</p><p>5/2.</p><p>C</p><p>0.</p><p>D</p><p>1.</p><p>E</p><p>1/2.</p><p>8</p><p>Marcar para revisão</p><p>Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo escalar, quando se depende de várias variáveis. Considerando o caminho g:[0,1]→R2g:[0,1]→R2 definido por g(t)=(etcos(2πt),etsen(2πt))g(t)=(etcos(2πt),etsen(2πt)). O comprimento L(g) do caminho g é:</p><p>A</p><p>√1+4π2(e+1)1+4π2(e+1)</p><p>B</p><p>1+4π2(e−1)</p><p>C</p><p>√1+4π2(e−12)1+4π2(e−12)</p><p>D</p><p>√1+4π2(e−2)1+4π2(e−2)</p><p>E</p><p>√1+4π2(e+2)1+4π2(e+2)</p><p>9</p><p>Marcar para revisão</p><p>Marque a alternativa que apresenta a integral de linha da função f(x,y,z)=x+y2z3f(x,y,z)=x+y2z3 sobre a curva definida pela equação y(t)=(t2,4t,5t)y(t)=(t2,4t,5t) com 0≤t≤20≤t≤2.</p><p>A</p><p>∫02(t2+2000t54t2+41)dt</p><p>B</p><p>∫20(t2+20t5√4t2+16)dt∫02(t2+20t54t2+16)dt</p><p>C</p><p>∫10(t2+200t3√t2+25)dt∫01(t2+200t3t2+25)dt</p><p>D</p><p>∫10(t+2000t2√t2+41)dt∫01(t+2000t2t2+41)dt</p><p>E</p><p>∫20(10t3+2t2√4t2+29)dt∫02(10t3+2t24t2+29)dt</p><p>10</p><p>Marcar para revisão</p><p>Determine a integral de linha ∫C→F.d→γ∫CF→.dγ→ sendo o campo vetorial →F(x,y,z)=x2z^x+2xz^y+x2^zF→(x,y,z)=x2zx^+2xzy^+x2z^ e a curva C definida pela equação γ(t)=(t,t2,2t2)γ(t)=(t,t2,2t2), para 0≤t≤1.</p><p>A</p><p>5</p><p>B</p><p>2</p><p>C</p><p>4</p><p>D</p><p>3</p><p>E</p><p>1</p><p>AV</p><p>1</p><p>Marcar para revisão</p><p>Considere a função</p><p>→</p><p>G</p><p>(</p><p>u</p><p>)</p><p>=</p><p>⟨</p><p>s</p><p>e</p><p>n</p><p>3</p><p>u</p><p>,</p><p>−</p><p>c</p><p>o</p><p>s</p><p>3</p><p>u</p><p>,</p><p>4</p><p>u</p><p>⟩</p><p>𝐺</p><p>→</p><p>(</p><p>𝑢</p><p>)</p><p>=</p><p>⟨</p><p>𝑠</p><p>𝑒</p><p>𝑛</p><p>3</p><p>𝑢</p><p>,</p><p>−</p><p>𝑐</p><p>𝑜</p><p>𝑠</p><p>3</p><p>𝑢</p><p>,</p><p>4</p><p>𝑢</p><p>⟩</p><p>. Qual é o raio de curvatura da curva?</p><p>A</p><p>25</p><p>9</p><p>25</p><p>9</p><p>B</p><p>9</p><p>25</p><p>9</p><p>25</p><p>C</p><p>16</p><p>9</p><p>16</p><p>9</p><p>D</p><p>35</p><p>12</p><p>35</p><p>12</p><p>E</p><p>9</p><p>16</p><p>9</p><p>16</p><p>2</p><p>Marcar para revisão</p><p>Considere uma curva parametrizada no espaço tridimensional. Se um vetor V é tal que o seu produto escalar com o vetor tangente à curva é igual a zero, então:</p><p>A</p><p>O vetor V será paralelo à curva</p><p>B</p><p>O vetor V será tangente à curva</p><p>C</p><p>O vetor V será antiparalelo à curva</p><p>D</p><p>O vetor V será normal à curva</p><p>E</p><p>O vetor V será colinear à curva</p><p>3</p><p>Marcar para revisão</p><p>A temperatura (T) de um objeto depende da sua posição (x,y). O objeto varia sua posição em relação ao tempo (t) seguindo as equações</p><p>x</p><p>=</p><p>2</p><p>+</p><p>t</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>=</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑡</p><p>2</p><p>e</p><p>y</p><p>=</p><p>3</p><p>e</p><p>t</p><p>−</p><p>2</p><p>𝑦</p><p>=</p><p>3</p><p>𝑒</p><p>𝑡</p><p>−</p><p>2</p><p>. Sabendo que a derivada parcial da temperatura em relação a variável x é constante e vale 3, que a derivada parcial da temperatura em relação a variável y também é constante e vale 2, determine a derivada da temperatura em relação ao tempo, para o instante t = 2 s.</p><p>A</p><p>18</p><p>B</p><p>16</p><p>C</p><p>14</p><p>D</p><p>12</p><p>E</p><p>10</p><p>4</p><p>Marcar para revisão</p><p>As integrais duplas são usadas para calcular áreas e volumes de formas irregulares em duas ou três dimensões. Determine o volume do prisma delimitado por</p><p>y</p><p>=</p><p>x</p><p>2</p><p>,</p><p>y</p><p>=</p><p>2</p><p>x</p><p>𝑦</p><p>=</p><p>𝑥</p><p>2</p><p>,</p><p>𝑦</p><p>=</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>e</p><p>z</p><p>=</p><p>x</p><p>3</p><p>+</p><p>𝑧</p><p>=</p><p>𝑥</p><p>3</p><p>+</p><p>4</p><p>y</p><p>4</p><p>𝑦</p><p>, em unidades de valor (u.v.).</p><p>A</p><p>9</p><p>,</p><p>67.</p><p>9</p><p>,</p><p>67.</p><p>B</p><p>10</p><p>,</p><p>67.</p><p>10</p><p>,</p><p>67.</p><p>C</p><p>11,67.</p><p>D</p><p>12,67.</p><p>E</p><p>13,67.</p><p>5</p><p>Marcar para revisão</p><p>Determine a abscissa do centro de massa de um sólido na forma de um cubo, definido por</p><p>0</p><p>≤</p><p>x</p><p>≤</p><p>1</p><p>,</p><p>0</p><p>≤</p><p>y</p><p>≤</p><p>1</p><p>e</p><p>0</p><p>≤</p><p>z</p><p>≤</p><p>1</p><p>0</p><p>≤</p><p>𝑥</p><p>≤</p><p>1</p><p>,</p><p>0</p><p>≤</p><p>𝑦</p><p>≤</p><p>1</p><p>𝑒</p><p>0</p><p>≤</p><p>𝑧</p><p>≤</p><p>1</p><p>, com densidade volumétrica de massa</p><p>δ</p><p>(</p><p>x</p><p>,</p><p>y</p><p>,</p><p>z</p><p>)</p><p>=</p><p>6</p><p>(</p><p>x</p><p>2</p><p>+</p><p>y</p><p>2</p><p>+</p><p>z</p><p>2</p><p>)</p><p>𝛿</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>,</p><p>𝑦</p><p>,</p><p>𝑧</p><p>)</p><p>=</p><p>6</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑦</p><p>2</p><p>+</p><p>𝑧</p><p>2</p><p>)</p><p>.</p><p>A</p><p>5</p><p>24</p><p>5</p><p>24</p><p>B</p><p>7</p><p>24</p><p>7</p><p>24</p><p>C</p><p>9</p><p>24</p><p>9</p><p>24</p><p>D</p><p>11</p><p>24</p><p>11</p><p>24</p><p>E</p><p>13</p><p>24</p><p>13</p><p>24</p><p>6</p><p>Marcar para revisão</p><p>A integral tripla é denotada como</p><p>∭</p><p>f</p><p>(</p><p>x</p><p>,</p><p>y</p><p>,</p><p>z</p><p>)</p><p>d</p><p>V</p><p>∭</p><p>𝑓</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>,</p><p>𝑦</p><p>,</p><p>𝑧</p><p>)</p><p>𝑑</p><p>𝑉</p><p>, onde  é a função a ser integrada e  é um elemento infinitesimal de volume. Dessa forma o valor do volume dado pela integral</p><p>∫</p><p>2</p><p>1</p><p>∫</p><p>1</p><p>−</p><p>1</p><p>∫</p><p>2</p><p>0</p><p>x</p><p>+</p><p>y</p><p>+</p><p>z</p><p>d</p><p>x</p><p>d</p><p>y</p><p>d</p><p>z</p><p>∫</p><p>1</p><p>2</p><p>∫</p><p>−</p><p>1</p><p>1</p><p>∫</p><p>0</p><p>2</p><p>𝑥</p><p>+</p><p>𝑦</p><p>+</p><p>𝑧</p><p>𝑑</p><p>𝑥</p><p>𝑑</p><p>𝑦</p><p>𝑑</p><p>𝑧</p><p>é:</p><p>A</p><p>15.</p><p>B</p><p>5/2.</p><p>C</p><p>26.</p><p>D</p><p>10.</p><p>E</p><p>1/4.</p><p>7</p><p>Marcar para revisão</p><p>Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo vetorial, quando se depende de várias variáveis. Considere C o círculo unitário com centro na origem, percorrido no sentido anti-horário, o valor das integrais de linha de</p><p>∮</p><p>C</p><p>[</p><p>s</p><p>e</p><p>n</p><p>(</p><p>x</p><p>y</p><p>)</p><p>+</p><p>x</p><p>y</p><p>c</p><p>o</p><p>s</p><p>(</p><p>x</p><p>y</p><p>)</p><p>]</p><p>d</p><p>x</p><p>+</p><p>(</p><p>x</p><p>2</p><p>c</p><p>o</p><p>s</p><p>(</p><p>x</p><p>y</p><p>)</p><p>)</p><p>d</p><p>y</p><p>∮</p><p>𝐶</p><p>[</p><p>𝑠</p><p>𝑒</p><p>𝑛</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>)</p><p>+</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑐</p><p>𝑜</p><p>𝑠</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>)</p><p>]</p><p>𝑑</p><p>𝑥</p><p>+</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>2</p><p>𝑐</p><p>𝑜</p><p>𝑠</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>)</p><p>)</p><p>𝑑</p><p>𝑦</p><p>é:</p><p>A</p><p>0</p><p>B</p><p>1</p><p>C</p><p>-1</p><p>D</p><p>2</p><p>E</p><p>-2</p><p>8</p><p>Marcar para revisão</p><p>Uma ferramenta matemática muito importante é a integral de linha, pois permite trabalhar com um campo escalar, quando se depende de várias variáveis. Em um avião a hélice desloca-se em linha reta a uma velocidade constante igual a 1. A hélice do avião tem raio r e roda a velocidade constante, efetuando w voltas por unidade de tempo. O comprimento da trajetória descrita por um extremo da hélice quando o avião se desloca L unidades de comprimento é:</p><p>A</p><p>∫</p><p>C</p><p>1</p><p>=</p><p>L</p><p>√</p><p>4</p><p>π</p><p>2</p><p>r</p><p>2</p><p>w</p><p>2</p><p>.</p><p>∫</p><p>𝐶</p><p>1</p><p>=</p><p>𝐿</p><p>4</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>2</p><p>𝑤</p><p>2</p><p>.</p><p>B</p><p>∫</p><p>C</p><p>1</p><p>=</p><p>L</p><p>√</p><p>1</p><p>+</p><p>4</p><p>π</p><p>2</p><p>r</p><p>2</p><p>.</p><p>∫</p><p>𝐶</p><p>1</p><p>=</p><p>𝐿</p><p>1</p><p>+</p><p>4</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>2</p><p>.</p><p>C</p><p>∫</p><p>C</p><p>1</p><p>=</p><p>L</p><p>√</p><p>1</p><p>+</p><p>4</p><p>π</p><p>2</p><p>w</p><p>2</p><p>.</p><p>∫</p><p>𝐶</p><p>1</p><p>=</p><p>𝐿</p><p>1</p><p>+</p><p>4</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>𝑤</p><p>2</p><p>.</p><p>D</p><p>∫</p><p>C</p><p>1</p><p>=</p><p>L</p><p>√</p><p>1</p><p>+</p><p>4</p><p>r</p><p>2</p><p>w</p><p>2</p><p>.</p><p>∫</p><p>𝐶</p><p>1</p><p>=</p><p>𝐿</p><p>1</p><p>+</p><p>4</p><p>𝑟</p><p>2</p><p>𝑤</p><p>2</p><p>.</p><p>E</p><p>∫</p><p>C</p><p>1</p><p>=</p><p>L</p><p>√</p><p>1</p><p>+</p><p>4</p><p>π</p><p>2</p><p>r</p><p>2</p><p>w</p><p>2</p><p>.</p><p>∫</p><p>𝐶</p><p>1</p><p>=</p><p>𝐿</p><p>1</p><p>+</p><p>4</p><p>𝜋</p><p>2</p><p>𝑟</p><p>2</p><p>𝑤</p><p>2</p><p>.</p><p>9</p><p>Marcar para revisão</p><p>O domínio de uma função de várias variáveis é o conjunto de todos os valores possíveis para as variáveis independentes que permitem que a função seja definida. Sabendo disso, com relação a</p><p>lim</p><p>(</p><p>x</p><p>,</p><p>y</p><p>)</p><p>→</p><p>(</p><p>0</p><p>,</p><p>0</p><p>)</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>4</p><p>+</p><p>y</p><p>2</p><p>lim</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>,</p><p>𝑦</p><p>)</p><p>→</p><p>(</p><p>0</p><p>,</p><p>0</p><p>)</p><p>𝑥</p><p>𝑦</p><p>𝑥</p><p>4</p><p>+</p><p>𝑦</p><p>2</p><p>, pode se afirmar que:</p><p>A</p><p>∄</p><p>.</p><p>∄</p><p>.</p><p>B</p><p>0.</p><p>C</p><p>1.</p><p>D</p><p>2.</p><p>E</p><p>-3.</p><p>10</p><p>Marcar para revisão</p><p>Determine o momento de inércia em torno do eixo x do objeto planar que ocupa a região definida por S e tem uma densidade de massa superficial</p><p>δ</p><p>(</p><p>x</p><p>,</p><p>y</p><p>)</p><p>=</p><p>3</p><p>y</p><p>𝛿</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>,</p><p>𝑦</p><p>)</p><p>=</p><p>3</p><p>𝑦</p><p>. Sabe-se que</p><p>S</p><p>=</p><p>{</p><p>(</p><p>x</p><p>,</p><p>y</p><p>)</p><p>∣</p><p>0</p><p>≤</p><p>x</p><p>≤</p><p>1</p><p>e</p><p>0</p><p>≤</p><p>y</p><p>≤</p><p>x</p><p>2</p><p>}</p><p>𝑆</p><p>=</p><p>{</p><p>(</p><p>𝑥</p><p>,</p><p>𝑦</p><p>)</p><p>∣</p><p>0</p><p>≤</p><p>𝑥</p><p>≤</p><p>1</p><p>e</p><p>0</p><p>≤</p><p>𝑦</p><p>≤</p><p>𝑥</p><p>2</p><p>}</p><p>.</p><p>A</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>B</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>C</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>4</p><p>D</p><p>1</p><p>12</p><p>1</p><p>12</p><p>E</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>6</p><p>Questões</p><p>Finalizar prova</p>