Introdução aos Polinômios e Fatoração

Prévia do material em texto

UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO
CAMPUS DE SINOP
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Polinômios
Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
Polinômios
1.Introdução
2.Técnicas de fatoração
3.Fatoração de polinômios de terceiro grau ou de 
grau superior
4.Teorema do zero racional
3
Nesta aula, vamos apresentar alguns 
assuntos de interesse, relativo aos polinômios, que 
vão subsidiar a disciplina de Cálculo I.
1. Introdução
4
O Teorema Fundamental da Álgebra afirma 
que todo polinômio de grau n
anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0
tem precisamente n zeros. (Os zeros podem ser 
repetidos ou imaginários.) O problema de achar os 
zeros de um polinômio é equivalente ao de 
decompor o polinômio em fatores lineares.
2. Técnicas de fatoração
5
2.1. Fórmula quadrática
2
2
2 2
40
2
4 4 0
2 2
b b ac
ax bx c x
a
b b ac b b ac
x x
a a
− ± −
+ + = ⇒ =
   
− + − − − −
− ⋅ − =   
   
   
Exemplo:
( ) ( )
±
− + = ⇒ =
− + = ⇒ − ⋅ − =
2
2
5 15 6 0
2
5 6 0 3 2 0
x x x
x x x x
6
2.2. Produtos especiais
2 2
3 3 2 2
3 3 2 2
4 4 2 2
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )( )
x a x a x a
x a x a x ax a
x a x a x ax a
x a x a x a x a
− = − +
− = − + +
+ = + − +
− = − + +
Exemplos:
2
3 2
3 2
4 2
9 ( 3)( 3)
8 ( 2)( 2 4)
64 ( 4)( 4 16)
16 ( 2)( 2)( 4)
x x x
x x x x
x x x x
x x x x
− = − +
− = − + +
+ = + − +
− = − + +
7
2.3. Produtos especiais
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2
3 3 2 2 3
3 3 2 2 3
4 4 3 2 2 3 4
4 4 3 2 2 3 4
2
2
3 3
3 3
4 6 4
4 6 4
x a x ax a
x a x ax a
x a x ax a x a
x a x ax a x a
x a x ax a x a x a
x a x ax a x a x a
+ = + +
− = − +
+ = + + +
− = − + −
+ = + + + +
− = − + − +
8
2.3. Produtos especiais
Exemplos:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2
22 4 2
3 3 2
3 3 2
4 4 3 2
4 4 3 2
3 6 9
5 10 25
2 6 12 8
1 3 3 1
2 8 24 32 16
4 16 96 256 256
x x x
x x x
x x x x
x x x x
x x x x x
x x x x x
+ = + +
− = − +
+ = + + +
− = − + −
+ = + + + +
− = − + − +
9
2.3. Produtos especiais
1 2 2 3 3 1( 1) ( 1)( 2)( )
2! 3!
n n n n n n nn n n n nx a x nax a x a x na x a− − − −
− − −
+ = + + + + + +…
Exemplo:
5 5 5 1 2 5 2 3 5 3
4 5 4 5 5 5
5 5 4 2 3 3 2 4 5
5(5 1) 5(5 1)(5 2)( ) 5
2! 3!
5(5 1)(5 2)(5 3) 5(5 1)(5 2)(5 3)(5 4)
4! 5!
5(4) 5(4)(3) 5(4)(3)(2) 5(4)(3)(2)(1)( ) 5
2 1 3 2 1 4 3 2 1 5 4 3 2 1
( )
x a x ax a x a x
a x a x
x a x ax a x a x a x a
x a
− − −
− −
− − −
+ = + + +
− − − − − − −
+ +
+ = + + + + +
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
+ 5 5 4 2 3 3 2 4 55 10 10 5x ax a x a x a x a= + + + + +
Nota: Define-se n! = n(n-1)(n-2)(n-3) … 1 0! = 1 e 1! = 1
10
2.4. Fatoração por grupamento
Exemplo:
3 2 2 2( ) ( ) ( )( )acx adx bcx bd ax cx d b cx d ax b cx d+ + + = + + + = + +
3 2 2 23 2 6 4 (3 2) 2(3 2) ( 2)(3 2)x x x x x x x x− − + = − − − = − −
11
Exemplo 1: Aplique a Fórmula Quadrática para 
achar todos os zeros dos seguintes polinômios. 
(a) 4x2 + 6x + 1, (b) x2 + 6x + 9 e (c) 2x2 – 6x + 5.
2.5. Exemplos
2
2
2
4 6 36 16 6 20 6 2 5 3 5( )
2 8 8 8 4
4 6 36 36 6( ) 3
2 2 2
4 6 36 40 6 4( )
2 4 4
b b ac
a x
a
b b acb x
a
b b ac
c x
a
− ± − − ± − − ± − ± − ±
= = = = =
− ± − − ± −
= = = − = −
− ± − ± − ± −
= = =
No exemplo 1, os zeros na parte a são irracionais, e 
os zeros na parte c são imaginários. Em ambos os casos a 
quadrática se diz irredutível, porque não pode ser 
decomposta em fatores lineares, com coeficientes racionais.
12
Exemplo 2: Ache os zeros dos seguintes polinômios 
quadráticos. (a) x2 - 5x + 6, (b) x2 - 5x - 6 e 
(c) 2x2 + 5x - 3.
Os zeros são (a) x = 2 e x = 3, (b) x = -1 e 
x = 6 e (c) x = 1/2 e x = -3.
2.5. Exemplos
2
2
2
( ) 5 6 ( 2)( 3)
( ) 5 6 ( 1)( 6)
( ) 2 5 3 (2 1)( 3)
a x x x x
b x x x x
c x x x x
− + = − −
− − = + −
+ − = − +
13
Pode ser difícil achar os zeros de polinômios 
de grau três ou grau superior. Entretanto, conhecido 
que seja um dos zeros de um polinômio, pode-se 
utilizar este zero para reduzir o grau do polinômio. 
Por exemplo, se x = 2 é um zero do polinômio x3 – 4x2
+ 5x – 2, sabemos que (x – 2) é um fator e, por 
divisão, podemos fatorar o polinômio como segue:
x3 – 4x2 + 5x – 2 = (x – 2)(x2 – 2x + 1) = (x – 2)(x – 1)2
Como alternativa, muitos preferem utilizar a 
divisão sintética para reduzir o grau de um 
polinômio.
3. Fatoração de polinômios de 
terceiro grau ou de grau superior
14
Dado x = x1 é um zero de ax3 + bx2 + cx + d.
3.1. Divisão sintética para um 
polinômio cúbico
a
a b c dx1
0
Coeficientes para o fator quadrático
Padrão vertical:
Somar termos
Padrão diagonal:
Multiplicar por x1
15
Por exemplo, efetuando a divisão sintética 
no polinômio x3 – 4x2 + 5x -2, utilizando o zero 
x = 2, obtemos o seguinte: 
3.1. Divisão sintética para um 
polinômio cúbico
11 -2
2 -4 2
1 -4 5 -22
0
(x – 2)(x2 - 2x + 1) = x3 – 4x2 + 5x - 2
Padrão vertical:
Somar termos
Padrão diagonal:
Multiplicar por x1
16
Ao utilizar a divisão sintética, leve em conta 
todos os coeficientes – mesmo que alguns sejam 
zero. Por exemplo, se sabemos que x = -2 é um 
zero de x3 + 3x + 14, podemos aplicar a divisão 
sintética como segue: 
3.1. Divisão sintética para um 
polinômio cúbico
71 -2
-2 4 -14
1 0 3 14-2
0
(x + 2)(x2 - 2x + 7) = x3 + 3x + 14
Padrão vertical:
Somar termos
Padrão diagonal:
Multiplicar por x1
17
Uma forma sistemática de achar os zeros 
racionais de um polinômio consiste em aplicar o 
Teorema do Zero Racional.
Se um polinômio
anxn + an-1xn-1 + … + a1x + ao
tem coeficientes inteiros, então todo zero racional 
é da forma x = p/q, onde p é um fator de a0 e q é
um fator de an.
4. Teorema do zero racional
18
Exemplo 3: Ache todos os zeros reais da 
expressão 2x3 + 3x2 – 8x + 3.
Fatores do termo constante: ± 1, ± 3
Fatores do coeficiente líder: ± 1, ± 2
Os zeros racionais possíveis são os fatores 
do termo constante divididos pelos fatores do 
coeficiente líder.
1, -1, 3, -3, 1/2, -1/2, 3/2, -3/2 
4. Teorema do zero racional
19
Testando esses zeros possíveis, vemos que 
x = 1 é um deles.
2(1)3 + 3(1)2 – 8(1) + 3 = 2 + 3 – 8 + 3 = 0
4. Teorema do zero racional
-32 5
2 5 -3
2 3 -8 31
0
(x – 1)(2x2 + 5x - 3) = 2x3 + 3x2 - 8x + 3
Padrão vertical:
Somar termos
Padrão diagonal:
Multiplicar por x1
20
Finalmente, fatorando a quadrática
2x2 + 5x – 3 = (2x - 1)(x + 3),
temos
2x3 + 3x2 – 8x + 3 = (x – 1)(2x – 1)(x + 3)
e podemos concluir que os zeros são x = 1, x = 1/2 
e x = -3.
4. Teorema do zero racional