Lista 9

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Lista 9 
 
1) Calcule 
 
a) ∬ (𝑥2 + 2𝑦)𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 𝐵 é o círculo 𝑥
2 + 𝑦2 ≤ 4. 
b) ∬ (𝑥2 + 𝑦2)𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵 onde 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ
2: 1 ≤ 𝑥2 +
𝑦2 ≤ 4} 
c) ∬ 𝑥2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵 onde 𝐵 é o conjunto 4𝑥
2 + 𝑦2 ≤ 1. 
d) ∬ 𝑠𝑒𝑛 (4𝑥2 + 𝑦2)𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 𝐵 é o conjunto 4𝑥
2 +
𝑦2 ≤ 1, 𝑦 ≥ 0. 
e) ∬ 𝑒𝑥
2+𝑦2
𝐵
𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 𝐵 é o conjunto de todos os 
(𝑥, 𝑦) tais que 1 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 4. 
f) ∬
√𝑦−𝑥
3
1+𝑦+𝑥𝐵
𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 𝐵 é o triângulo de 
vértices(0,0), (1,0) 𝑒 (0,1). 
g) ∬ 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵 onde 𝐵 é o conjunto, no plano 𝑥𝑦, 
limitado pela cardioide 𝜌 = 1 − cos 𝜃. 
h) ∬
𝑒𝑦−𝑥
2
𝑦−𝑥2𝐵
𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 𝐵 é o conjunto de todos os 
(𝑥, 𝑦) tais que 1 + 𝑥2 ≤ 𝑦 ≤ 2 + 𝑥2. 
i) ∬ 𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵 onde 𝐵 é o círculo 𝑥
2 + 𝑦2 − 𝑥 ≤ 0. 
j) ∬ √𝑥2 + 𝑦2𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 𝐵 é o quadrado 0 ≤ 𝑥 ≤
1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. 
k) ∬ 𝑦2𝐵 𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ
2: 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1, 𝑦 ≥
𝑥, 𝑥 ≥ 0} 
l) ∬ (2𝑥 + 𝑦) cos(𝑥 − 𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑦𝐵 onde 𝐵 é o 
paralelogramo de vértices (0,0), (
𝜋
3
,
𝜋
3
) , (
2𝜋
3
, −
𝜋
3
) e 
(
𝜋
3
, −
2𝜋
3
) 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Calcule ∬ √𝑦2 − 𝑥2
3
𝐵
𝑑𝑥𝑑𝑦 onde 𝐵 é o paralelogramo 
de vértices (0,0), (
1
2
,
1
2
) , (0,1) e (−
1
2
,
1
2
). 
3) Calcule a área da região limitada pela elipse 
𝑥2
𝑎2
+
𝑦2
𝑏2
=
1 (𝑎 > 0, 𝑏 > 0). 
4) Considere a função 𝑔(𝑥. 𝑦) = 𝑓(√𝑥2 + 𝑦2) onde 𝑓(𝑢) 
é uma função de uma variável real a valores reais, 
contínua em [𝑎, 𝑏], 0 ≤ 𝑎 < 𝑏 e tal que𝑓(𝑥) ≥ 0, 𝑥 ∈
[𝑎, 𝑏]. Seja 𝐵 o conjunto: 
 
𝐵 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3: 𝑎2 ≤ 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑏2,
0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑔(𝑥, 𝑦)} 
a) Verifique que 𝐵 é gerado pela rotação em torno do 
eixo 𝑧 do conjunto 
 
{(𝑥, 𝑦, 𝑧): 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑦 = 0, 0 ≤ 𝑧 ≤ 𝑓(𝑥)} 
b) Utilizando coordenadas polares mostre que o 
volume de 𝐵 é 
 
2𝜋 ∫ 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥
𝑏
𝑎
 
5) Calcule o centro de massa: 
 
a) 𝛿(𝑥, 𝑦) = 𝑦 e 𝐵 é o quadrado 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, 0 ≤ 𝑦 ≤ 1. 
b) 𝐵 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2: 𝑥2 + 4𝑦2 ≤ 1, 𝑦 ≥ 0} e a 
densidade é proporcional à distância do ponto à 
origem. 
c) 𝐵 é o triângulo de vértices (0,0), (1,0) 𝑒 (1,1) e a 
densidade é proporcional à distância do ponto à 
origem. 
d) 𝐵 é o conjunto de todos (𝑥, 𝑦) tais que 𝑥3 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 e 
a densidade constante, igual a 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
e) 𝐵 é o conjunto de todos (𝑥, 𝑦) tais que 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 +
1, 0 ≤ 𝑥 ≤ 1, e a densidade é o produto das 
coordenadas do ponto. 
f) 𝐵 é o conjunto de todos (𝑥, 𝑦) tais que 1 ≤ 𝑥2 +
𝑦2 ≤ 4, 𝑦 ≥ 0 e a densidade é proporcional à 
distância do ponto à origem.