lista 2 - Calc. Vetorial

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Universidade Federal do Cariri - UFCA
Ca´lculo Vetorial Aplicado
Professor Francisco Calvi da Cruz Junior
Lista 2
Aluno: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. Calcule os seguintes limites
(a) lim
(x,y)→(0,0)
x2 − y2
x2 + y2
(b) lim
(x,y)→(0,0)
x3
x2 + y2
(c) lim
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
(d) lim
(x,y)→(0,0)
x2√
x2 + y2
(e) lim
(x,y)→(0,0)
x+ y
x− y
(f) lim
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
2. Justifique a continuidade de cada func¸a˜o a seguir
(a) f(x, y) = cos(6xy − 1)
(b) f(x, y) = tg(x3/(1− 2xy))
(c) f(x, y) = arctg(x+3
y−4 )
(d) f(x, y) = sh(1/(x4y))
3. Determine o conjunto dos pontos de continuidade das seguintes func¸o˜es
(a) f(x, y) = 3x2y2 − 5xy + 6
(b) f(x, y) =
√
6− 2x2 − 3y2
(c) f(x, y) = ln( x−y
x2−y2
(d) f(x, y) = x−y√
1−x2−y2
(e) f(x, y) =


x−3y
x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
(f) f(x, y) =


xy2
x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),
4, se (x, y) = (0, 0).
4. Determine as derivadas paciais, ∂f/∂x e ∂f/∂y das seguintes func¸o˜es
(a) f(x, y) = arctg(x2 + y2)
(b) f(x, y) =


x3−y2
x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),
0, se (x, y) = (0, 0).
5. Se uma func¸a˜o f : U ⊂ Rn → R possui todas as suas derivadas parciais em p ∈ U ,
podemos afirmar que essa func¸a˜o e´ cont´ınua nesse ponto? Justifique a sua resposta.
6. Verifique se e´ diferencia´vel.
(a) f(x, y) = xcos(x2 + y2)
(b) f(x, y) = ln(1 + x2 + y2)
(c) f(x, y) = arctg(xy)
(d) f(x, y) =


xy
x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),
4, se (x, y) = (0, 0).
7. Determine as equac¸o˜es do plano tangente, caso existam, das seguintes func¸o˜es nos
respectivos pontos
(a) f(x, y) =


xy2
x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),
4, se (x, y) = (0, 0).
em (0, 0, f(0, 0)).
(b) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).
(c) f(x, y) = xex
2
−y2 em (2, 2, f(2, 2)).
(d) f(x, y) = x2 + y2 em (0, 1, f(0, 1)).
8. Determine o vetor gradiente para as seguintes func¸o˜es
(a) f(x, y) = x2y
(b) f(x, y) = ex
2
−y2
(c) f(x, y, z) =
√
x2 + y2 + z2
(d) f(x, y, z, w) = xyzwsen(xyzw)cos(xyzw)
9. Determine a derivada de f ao longo de γ onde
(a) f(x, y) = x2y e γ(t) = (et
2
, 2t+ 1).
(b) f(x, y) = sen(xy) e γ(t) = (3t, t2).
(c) f(x, y) = ln(x2 + y2 + 1) e γ(t) = (sen(3t), cos(3t)).
10. Verifique que a func¸a˜o dada e´ diferencia´vel.
(a) f(x, y) = ex−y
2
.
(b) f(x, y) = xcos(x2 + y2).
(c) f(x, y) = x4 + y3.
(d) f(x, y) = ln(1 + x2 + y2).
11. Determine a equac¸a˜o do plano tangente.
2
(a) f(x, y) = 3xy2 − x em (1, 2, f(1, 2)).
(b) f(x, y) = 2x2y em (1, 1, f(1, 1)).
12. Sabendo que z = x2y, x = et
2
e y = 2t + 1, determine dz/dt. (Dica: Considere
z = f(x, y), γ(t) = (et
2
, 2t+ 1) e aplique a regra da cadeia em f(γ(t))).
13. Suponha que z = f(x, y) seja de classe C1, f(1, 2) = −2, ∂f/∂x(1, 2) = 3 e ∂f/∂y(1, 2) =
4 e admitindo que γ(t) = (t2, 3t− 1, z(t)) ⊂ Graf(f), para todo t ∈ R, determine
(a) z(t).
(b) A equac¸a˜o da reta tangente a γ no ponto γ(1).
14. Seja f(x, y) = x2 + y2. Calcule a derivada direcional ∂f/∂u(1, 1) onde u e´ o versor de
(a) (−1, 1).
(b) (1, 2).
(c) (1, 1).
15. Determine (∂f/∂u)(0, 0), onde u = (a, b) e´ um vetor unita´rio e
f(x, y) =


x3
x2+y2 , se (x, y) 6= (0, 0),
4, se (x, y) = (0, 0).
16. Estude com relac¸a˜o a ma´ximos e mı´nimos locais de
(a) f(x, y) = x2 + 3xy + 4y2 − 6x+ 2y
(b) f(x, y) = x3 + 2xy + y2 − 5x
(c) f(x, y) = x2 + y3 + xy − 3x+ 4y + 5
(d) f(x, y) = 3x4 + 2y4
17. Determine os extremantes de f em A nos casos em que
(a) f(x, y) = x3 + y3 − 3x− 3y e A = {(x, y) ∈ R2; 0 ≤ x ≤ 2e− 2 ≤ y ≤ 2}
(b) f(x, y) = xy e A
{
(x, y) ∈ R2;x ≥ 0, y ≥ 0e2x+ y ≤ 5}
18. Determine os pontos cr´ıticos de f |M nos casos em que
(a) f(x, y) = 3x+ 2y e M =
{
(x, y) ∈ R2;x2 + y2 = 1}
(b) f(x, y) = y + x3 e M =
{
(x, y) ∈ R2; y − x3 = 0}
(c) f(x, y) = x+ 2y + z e M =
{
(x, y) ∈ R2;x2 + 2y2 + z2 = 4}
“As horas passam marcando os momentos que se va˜o...” - Bom trabalho. �
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